Решение системы уравнений методом Гаусса
Типовой расчет 1
<#"732219.files/image001.gif">
Решение
А) по формулам Крамера
Проверка:
Б) методом Гаусса
Составляем расширенную матрицу системы:
Исходная система после преобразований:
Ответ: .
Задача № 2. Решить систему уравнений (В)
матричным методом.
Решение
Здесь -
обратная матрица, .
Проверка:
Ответ: .
Задача № 3. Решить систему уравнений (С).
Решение
Приведем систему к ступенчатому виду:
Очевидно, ранг расширенной матрицы равен рангу
основной матрицы системы. Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система
является совместной.
Пусть -
свободная переменная, Тогда:
Полагая, ,
частное решение системы:
Задача № 4. Даны вершины пирамиды
A1(1; -9; 2), A2(-2; -11; 5), A3(4; -12; 3),
A4(-1; -10; 3)
Средствами векторной алгебры найти:
Объем пирамиды;
Площадь грани
Угол между ребрами и
Величину проекции вектора на
направление вектора
Решение
Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда,
построенного на векторах
крамер гаусс векторный алгебра
Найдем координаты этих векторов:
Тогда объем пирамиды:
Площадь грани :
Угол между ребрами и
найдем
по следующей формуле:
Типовой расчет 2
<#"732219.files/image052.gif">:
А(-7; -2), B(-19; -18), C(5; -11)
Найти:
Уравнение стороны ВС;
Уравнение высоты AD;
Уравнение медианы AM;
Длину высоты AD;
Длину медианы AM.
Решение
Уравнение прямой, проходящей через
точки B и C:
Высота AD, проведенная к стороне BC:
Уравнение стороны BC: .
Координаты точки M:
Тогда уравнение медианы AM:
Расстояние от точки A до прямой BC это есть
длина высоты AD:
Уравнение прямой BC:
Длина медианы AM:
Задача № 2. Составить уравнение плоскости,
проходящей через:
Точки ;
Точку перпендикулярно
прямой ;
Точку и
прямую ;
Точку параллельно
плоскости ;
Точки и
параллельно
оси Ох.
(4; 1; -10), A2(7; 2; -7), A3(5; 3; -9),
A4(2; 2; -13)
π: 4x + 3y - 2z + 4 = 0
Решение
Уравнение плоскости через 3 точки в общем виде:
Направляющий вектор прямой L1: s{-1;3;-1}.
Следовательно, для искомой плоскости нормаль будет иметь координаты {-1;3;-1},
так как прямая и плоскость перпендикулярны.
Уравнение плоскости, проходящей через точку
A1(4;1;-10):
(x - 4) + B(y - 1) + C(z + 10) = 0,
где {A;B;C}- координаты вектора нормали к
плоскости {-1;3;-1}. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку
A1 перпендикулярно прямой L1:
(x - 4) - 3(y - 1) + (z + 10) = 0;
x - 3y + z +17 = 0 - уравнение искомой
плоскости.
Плоскость, проходящая через точку М0(х0;у0;z0) и
через прямую K
,
не проходящую через М0, представляется
уравнением:
Получим:
Для двух параллельных плоскостей векторы
нормалей коллинеарны. Поэтому для искомой плоскости вектор нормали совпадает с
вектором нормали заданной плоскости :
{4;3;-2}. Уравнение плоскости, проходящей через точку A3(5; 3; -9) и с вектором
нормали {4;3;-2}:
(x - 5) + 3(y - 3) - 2(z + 9) = 0;
x + 3y - 2z - 47 = 0 - уравнение прямой,
проходящей через точку A3 параллельно плоскости .
Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс имеет
вид: By + Cz + D = 0 (1).
Если плоскость проходит через точку, то
координаты этой точки удовлетворяют уравнению плоскости. Подставляем координаты
точек A1(4; 1; -10), A2(7; 2; -7) в уравнение плоскости (1) и получаем систему
двух уравнений:
Для определения коэффициентов A, B и D имеем
систему двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными. Составляем
матрицу коэффициентов этих уравнений:
Подставляем найденные значения в уравнение (1):
ty + tz + 27t = 0;
y + z + 27 = 0 - уравнение прямой, проходящей
через точки A1(4; 1; -10), A2(7; 2; -7) параллельно оси Ох.
Задача № 3. Составить канонические уравнения прямой,
проходящей через:
Точку параллельно
прямой ;
Точки и
;
Точку перпендикулярно
плоскости .
(4; 1; -10), A2(7; 2; -7), A3(5; 3; -9),
A4(2; 2; -13)
π: 4x + 3y - 2z + 4 = 0
Уравнение прямой, проходящей через точку A1(4;
1; -10):
Здесь {m;n;p} - координаты направляющего вектора
прямой.
Так как искомая прямая параллельная прямой L1,
тогда координаты их направляющих векторов пропорциональны. А это значит, что m
= -1, n = 3, p = -1. Тогда искомое уравнение прямой:
Уравнение прямой, проходящей через точки A1(4;
1; -10), A2(7; 2; -7):
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
M(x1,y1,z1) и перпендикулярной данной плоскости Ax+By+Cz+D=0
В нашем случае, уравнение прямой, проходящей
через точку A1(4; 1; -10) перпендикулярно плоскости π:
4x + 3y - 2z + 4 = 0:
Задача № 4. Найти:
Угол между прямыми и
;
Угол между прямой и
плоскостью ;
Расстояние от точки до
плоскости .
(4; 1; -10), A2(7; 2; -7), A3(5; 3; -9),
A4(2; 2; -13)
π: 4x + 3y - 2z + 4 = 0
Решение
Воспользуемся формулой:
.
Получим:
Угол ψ между
прямой K (с направляющими коэффициентами l, m, n) и плоскостью Ах+By+Cz+D=0
находится по формуле:
Расстояние от точки до плоскости в общем виде:
В нашем случае, расстояние от точки A1(4; 1;
-10)до плоскости π: 4x + 3y - 2z + 4 = 0 равно:
Задача № 5. Привести к каноническому виду
уравнения (1) и (2) кривых второго порядка. Построить кривые.
(1) y2 - 3x - 2y + 7 = 0, (2) x2 + 4y2 + 4x -
8y - 56 = 0
Решение
- 3x - 2y + 7 = 0;
Рис. 1
+ 4y2 + 4x - 8y - 56 = 0;
Рис. 2