Приближение функций
ВВЕДЕНИЕ
Овладеть практическими навыками применения
простейших алгоритмов линейного и нелинейного сглаживания данных (функций,
заданных табличным способом) и их численного дифференцирования, а также
получение навыков проведения оценок полученных результатов относительно
погрешностей и коэффициентов обусловленности.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для заданного ряда экспериментальных
измерений функции в равноотстоящих узлах . Требуется произвести сглаживание
результатов измерений, представленных таблично (Таблица 1). Для этого
необходимо использовать алгоритмы линейного и нелинейного сглаживания.
Выполнить численное
дифференцирование для исходных и сглаженных данных, используя формулы
численного дифференцирования, основанные на формуле Бесселя и на второй формуле
Гаусса.
Для заданных формул численного
дифференцирования вычислить коэффициенты обусловленности, сравнить полученные
значения и сделать рекомендации по применению соответствующих методов.
Определить оптимальное значение шага
численного дифференцирования для достижения заданного значения точности
решения. Сравнить полученное значение оптимального шага с заданным шагом
аргумента в табличном представлении функции и сделать соответствующие
рекомендации по изменению процедуры проведении последующих измерений значений
функции.
2. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
.1 MEDSMOOTH и SUPSMOOTH
Проведем сглаживание данных с использованием
встроенных функций MEDSMOOTH и SUPSMOOTH.
Присваиваем переменной ORIGIN значение, равное
единице.
Из таблицы 1 введем исходные данные
и разместим их в массивах (x), (y).
Рисунок 1 - Графическое сравнение
функций medsmooth и supsmooth с исходной функцией
2.2 Линейное сглаживание данных по
трем и пяти точкам
Используя алгоритм линейного сглаживания данных
по трем точкам изобразим на одном графике исходные (у) и сглаженные данные.
Рисунок 2 - График данной функции и сглаженных
данных (по трем точкам)
Проведем линейное сглаживание данных по пяти
точкам и построим графики исходных и сглаженных данных.
Рисунок 3 - График данной функции и сглаженных
данных (по пяти точкам)
2.3 Нелинейное сглаживание данных по
семи точкам
Проведем нелинейное сглаживания по семи точкам и
изобразим на одном графике исходные и сглаженные данные. сглаживание.
Рисунок 4 - График данной функции и сглаженных
данных (по семи точкам)
Построим таблицы сглаженных данных, полученных
разными методами.
Таблица 1 - Исходные данные и данные, полученные
в результате сглаживания линейными и нелинейным методами
x
|
Y
|
Z3
|
Z5
|
Z7
|
0.115
|
8.657
|
8.652
|
8.631
|
8.657
|
0.12
|
8.293
|
8.303
|
8.274
|
8.294
|
0.125
|
7.967
|
7.984
|
7.958
|
0.13
|
7.649
|
7.657
|
7.672
|
7.649
|
0.135
|
7.362
|
7.369
|
7.383
|
7.362
|
0.14
|
7.096
|
7.102
|
7.114
|
7.096
|
0.145
|
6.848
|
6.854
|
6.865
|
6.848
|
0.15
|
6.617
|
6.622
|
6.631
|
6.617
|
0.155
|
6.4
|
6.404
|
6.413
|
6.305
|
0.16
|
6.197
|
6.201
|
6.409
|
6.149
|
0.165
|
6.006
|
6.343
|
6.617
|
6.311
|
0.17
|
6.826
|
6.829
|
6.996
|
6.881
|
0.175
|
7.657
|
7.592
|
7.348
|
7.548
|
0.18
|
8.293
|
7.97
|
7.677
|
8.021
|
0.185
|
7.958
|
7.967
|
7.784
|
8.037
|
0.19
|
7.649
|
7.657
|
7.652
|
7.73
|
0.195
|
7.362
|
7.363
|
7.334
|
0.2
|
6.996
|
7.069
|
7.094
|
7.158
|
0.205
|
6.848
|
6.82
|
6.645
|
6.962
|
0.21
|
6.617
|
6.288
|
5.811
|
6.174
|
0.215
|
5.4
|
5.071
|
5.013
|
5.076
|
0.22
|
3.197
|
3.867
|
4.209
|
3.694
|
0.225
|
3.006
|
3.009
|
3.23
|
2.868
|
0.23
|
2.826
|
2.824
|
2.214
|
2.854
|
2.4 Сравнение результатов
сглаживания
Рисунок 5 - Графическое сравнение результатов
сглаживания с исходной функцией
Сравним (графически) линейные и нелинейный
методы сглаживания с исходной функцией.
Анализируя график, можно сделать вывод о том что
наиболее точным является метод medsmooth.
2.5 Численное дифференцирование
исходных и сглаженных данных
Для численного дифференцирования данных
воспользуемся формулами, приведенными ниже. Вычисления выполним в среде
MathCAD, результаты сравним графически.
Рисунок 6 - Сравнение результатов
дифференцирования исходных и сглаженных данных
Изменим шаг дифференцирования, уменьшив его в 4
раза.
Рисунок 7 - Сравнение результатов
дифференцирования исходных и сглаженных данных (шаг уменьшен в 4 раза)
Изменим шаг дифференцирования, увеличив его в 4
раза.
Рисунок 8 - Сравнение результатов
дифференцирования исходных и сглаженных данных (шаг увеличен в 4 раза)
В результате делаем вывод о том, что при
уменьшении шага, получаем более точный результат.
2.6 Численное дифференцирование
исходных и сглаженных данных с помощью второй формулы гаусса и формулы Бесселя
Формула Бесселя имеет вид:
Формула Гаусса имеет вид:
Выполним преобразование формулы с
учетом, что
Тогда формулы Бесселя и Гаусса
примут вид для исходных данных:
Таблица 2 - Первая и вторая производные по
методу Бесселя и Гаусса
B1
|
B2
|
Ga1
|
Ga2
|
-64.333
|
1.024e3
|
-69.444
|
1.027e3
|
-59.507
|
909.633
|
-64.668
|
892.867
|
-55.205
|
814.033
|
-60.515
|
778.467
|
-51.335
|
737.233
|
-56.884
|
684.067
|
-47.802
|
679.233
|
-53.674
|
609.667
|
-44.511
|
640.033
|
-50.787
|
555.267
|
-41.37
|
619.633
|
-48.122
|
520.867
|
-38.284
|
618.033
|
-45.578
|
506.467
|
-35.158
|
635.233
|
-43.057
|
512.067
|
-31.9
|
671.233
|
-40.458
|
537.667
|
-28.415
|
726.033
|
-37.68
|
583.267
|
-24.608
|
799.633
|
-34.625
|
648.867
|
-20.387
|
892.033
|
-31.192
|
734.467
|
-15.657
|
1.003e3
|
840.067
|
-10.323
|
1.133e3
|
-22.791
|
965.667
|
-4.293
|
1.282e3
|
-17.624
|
1.111e3
|
2.528
|
1.45e3
|
-11.678
|
1.277e3
|
10.235
|
1.636e3
|
-4.855
|
1.462e3
|
18.92
|
1.841e3
|
2.946
|
1.668e3
|
28.678
|
2.065e3
|
11.826
|
1.894e3
|
39.604
|
2.308e3
|
21.883
|
2.139e3
|
51.79
|
2.57e3
|
33.218
|
2.405e3
|
Сравним результаты полученные методами Гаусса и
Бесселя.
Рисунок 9 - Сравнение результатов первой
производной по формуле Бесселя и Гаусса
Сравним результаты полученные методами Гаусса и
Бесселя.
Рисунок 10 - Сравнение результатов второй производной
по формуле Бесселя и Гаусса
Полученные результаты имеют достаточно большой
разбеги и сильно разнятся по значению, что свидетельствует о плохой
обусловленности задачи.
Под обусловленностью вычислительной задачи
понимают чувствительность ее решения к малым изменениям погрешностей исходных
данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям исходных
данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны
существенные изменения решения. Мерой степени обусловленности вычислительной
задачи является число обусловленности. Эту величину можно интерпретировать как
коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к
вызвавшим их погрешностям входных данных.
Вычислим коэффициенты обусловленности,
основанные на второй формуле Гаусса:
линейный сглаживание
гаусс бессель
Так как 6000 намного больше единицы,
то задача плохо обусловлена, то есть малым погрешностям исходных данных
соответствуют существенные изменения в решении.
Вычислим коэффициенты
обусловленности, основанные на формуле Бесселя:
Так как 10000 намного больше
единицы, то задача плохо обусловлена, то есть малым погрешностям исходных
данных соответствуют существенные изменения в решении.
Вычислим оптимальное значение шага
дифференцирования.
Оценка максимальной погрешности
интерполяции исходной функции на всем отрезке дифференцирования [a, b] для
четырёх узлов интерполяции (n=3) удовлетворяет условию:
, где
Полная погрешность представляет
собой сумму вычислительной погрешности и погрешности интерполяции на интервале
дифференцирования и не превосходит величины:
Минимизация по h функции ε1(h) приводит к
следующей формуле для вычисления оптимального значения шага дифференцирования:
Из полученных значений можно сделать
вывод, что оптимальное значения шага дифференцирования намного превышает
значение шага в нашей функции. Следовательно, чтобы задача стала хорошо
обусловленной, следует взять шаг h=0.275.
ВЫВОД
В ходе данной лабораторной работы были проведены
процедуры сглаживания - линейного по трем и пяти точкам и нелинейного по семи
точкам, а также сглаживание с использованием функций MEDSMOOTH и SUPSMOOTH.
Сравнивая полученные результаты, можно сделать вывод, что сглаживание по трем и
пяти точкам, а также функция SUPSMOOTH дают самые гладкие графики, в то время
как нелинейное сглаживание по семи точкам, и функция MEDSMOOTH дают более
приближенные к оригинальным значения.
В результате выполнения численного
дифференцирования для данных, с использованием формул численного
дифференцирования, основанных на второй формуле Гаусса и на формуле Бесселя.
Были вычислены коэффициенты обусловленности (6000 для формулы Гаусса и 10000 для формулы
Бесселя), сравнив полученные значения, был сделан вывод о том, что задача
плохо обусловлена для обоих методов численного дифференцирования.
Также было определено оптимальное
значение шага численного дифференцирования для достижения заданного значения
точности решения: . Сравнив
полученное значение оптимального шага с заданным шагом аргумента (h=0.005) в
табличном представлении функции, был сделан вывод, что при проведении
последующих измерений значений функции следует увеличить шаг для лучшей
обусловленности задачи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Учебно-методические
пособие «Методы решения задач вычислительной математики» для изучения
дисциплины «Алгоритмы и методы вычислений» для студентов направления подготовки
«Компьютерная инженерия» дневной и заочной форм обучения. / Сост. Е.В. Козлова.
- Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2009.
2. Методические
указания к выполнению лабораторной работы №2 «Приближение функций» по
дисциплине «Алгоритмы и методы вычислений» для студентов направления подготовки
«Компьютерная инженерия» дневной формы обучения /Сост. Е.В. Козлова. -
Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2014.- 16с.