Построение треугольника, пирамиды по координатам и использование векторной алгебры

Построение треугольника, пирамиды по координатам и использование векторной алгебры

Задание 1

По трем заданным точкам построить треугольник и средствами векторной алгебры найти:

) длину стороны ВС;

) уравнение линии ВС;

) уравнение высоты, проведенной из точки А;

) длину высоты, проведенной из точки А;

)площадь треугольника АВС;

) угол между сторонами ВА и ВС;

) координаты точки N - середины стороны АС;

) координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2 : 3, считая от точки А.

Координаты треугольника: А (-5,3); В (4,6); С (8,4)

Решение:

1. Расстояние d между точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) определяется по формуле:

Найдем длину стороны ВС

. Уравнение прямой проходящей через точки М1(х1; у1) и М2(х2; у2) имеет вид:

Найдем уравнение прямой ВС:

 - уравнение прямой ВС.

.Уравнение высоты, опущенной из вершины А на прямую ВС

Прямая проходящая через точку М0(х0; у0) и перпендикулярная прямой

Ах + Ву + С=0 представляется уравнением

 - уравнение прямой ВС. А (-5,3)

 - уравнение искомой высоты АD.

.АD. Расстояние d от точки М1(х1; у1) до прямой Ах+Ву+С=0 определяется по формуле:

Найдем длину высоты АD

А( -5, 3);  - уравнение прямой ВС

) Площадь треугольника найдем используя

)Косинус угла между векторами  находится по формуле:

Косинус угла α, образованного векторами  и ,равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

Найдем координаты векторов

Если даны точки М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), то координаты вектора находятся следующим образом:

Найдем угол между векторами  и

) N середина АС. Найдем ее координаты по формуле:

А (-5,3); В (4,6); С (8,4)

N(1,5; 3,5)

8)координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2:3, считая от точки А.

М(-1,4; 4,2)

Сделаем чертеж:

Задание 2

По четырем заданным точкам построить пирамиду и средствами векторной алгебры найти:

) длину ребра А1А2;

) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

) площадь грани А1А2А3;

) объем пирамиды А1А2А3А4;

) составить уравнение прямой А1А2;

) уравнение плоскости А1А2А3.

Координаты пирамиды: А1 (2, -5, 3); А2 (3, 2, -5); А3 (5, 3, 2); А4 (-5, 3, 2)

Решение:

1) Расстояние d между точками М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), определяется по формуле:

) длину ребра А1А2;

) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

косинус угла между векторами  находится по формуле:

Косинус угла α, образованного векторами  и ,равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

Если даны точки М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), то координаты вектора находятся следующим образом:

Найдем угол между векторами

) площадь грани А1А2А3:

А1 (2, -5, 3); А2 (3, 2, -5); А3 (5, 3, 2); А4 (-5, 3, 2)

, то есть вектор векторного произведения имеет координаты (57; -23; -13).

) объем пирамиды А1А2А3А4;

Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах. Объем параллелепипеда найдем, используя смешанное произведение векторов:

5) составить уравнение прямой А1А2;

Уравнение прямой проходящей через точки М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), имеет вид:

Найдем уравнение прямой А1А2:

 - уравнение прямой А1А2.

6) уравнение плоскости А1А2А3. Уравнение плоскости проходящей через три точки М0(х0; у0; z0), М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2), имеет вид:

 - уравнение плоскости А1А2А3.

Задание 3

треугольник пирамида уравнение координата

Даны уравнения линии r = r (ϕ) в полярной системе координат. Требуется:

)построить линию по точкам на промежутке от ϕ = 0 до ϕ = 2π с шагом, равным π/8;

) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с

полярной осью;

) назвать линию, найти координаты центра и полуоси.

Решение:

 - эллипс с центром в т(2; 0) малой осью  и большой осью

Задание 4

Даны два комплексных числа .

а) Записать их в тригонометрической форме и отметить полученные числа на комплексной плоскости;

б) Найти числа z1 + z2, z1 - z2, построить;

в) Найти z1∙z2, z1 / z2, записать в тригонометрической и алгебраической формах, сравнить результаты;

г) Найти z13;

д) Найти 3√z2, построить.;

Решение:

Запишем число  в тригонометрической форме:

Запишем число  в тригонометрической форме:

 Сложение комплексного числа:

 Вычитание комплексного числа:

 Умножение комплексного числа:

Разделить комплексное число (делимое) на комплексное число  (делитель) - значит найти такое число(частное, которое при умножении на делитель даст делимое.

На практике удобно помножить и разделить на сопряженное к знаменателю.

Запишем число  в тригонометрической форме:

Запишем число  в тригонометрической форме:

Задание №5

Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

Решение:

а) Вычислим предел подставив в него 5:

-

неопределенность.

Для устранения неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители по формулам:

ах2 + bx + с = 0

ах2 + bx + с = а(х-х1)(х-х2)

Тогда получим:

Получаем:

б) Вычислим предел подставив в него ∞:

- неопределенность.

Для устранения неопределенности разделим числитель и знаменатель на х2. Это можно сделать, так как значение дроби не изменится если ее числитель и знаменатель разделить на одно и тоже ненулевое число.

г) Вычислим предел, подставив в него 0:

 - неопределенность

Для устранения неопределенности применим формулы 1-го замечательного предела:

д) Вычислим предел подставив в него 0:

 - неопределенность.

Для устранения неопределенности применим формулы 2-го замечательного предела:

Сделаем замену

Используя второй замечательный предел

Задание №6

Исследовать функцию на непрерывность:

Решение:

Функция f(x) - непрерывна в т х = а, если соблюдаются следующие условия:

при х = а функция f(x) имеет определенное значение b;

при х → а функция имеет предел, тоже равный b;

При нарушении хотябы одного из этих условий функция называется разрывной в т х = а.

 - значит в т х = -1 функция имеет разрыв.

 - значит в т х = 2 функция непрерывна.

Покажем это на графике:

Задание №7

Найти производные функций:

Решение:

Задание №8

Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке х0 = 2.

Решение:

Уравнение касательной к линии:

 - уравнение касательной к графику функций  в точке х=2.

Уравнение нормали имеет вид:

 - уравнение нормали к графику функций  в точке х=2.

Задание №9

Найти пределы функций, применяя правило Лопиталя.

Решение:

а) Вычислим предел, подставив в него 5:

-

неопределенность.

Воспользуемся правилом Лопиталя для устранения неопределенности:

г) Вычислим предел подставив в него 0:

 - неопределенность

Воспользуемся правилом Лопиталя для устранения неопределенности:

-

неопределенность

Воспользуемся правилом Лопиталя для устранения неопределенности:

Задача № 10

Исследуйте функцию  и постройте ее график.

Решение.

1.Область определения.

Все предусмотренной формулой функции операции, кроме деления, - т.е. операции сложения и возведения в натуральную степень - выполняются при любых значениях аргумента х, а деление возможно, если делитель не равен нулю. Поэтому данная функция определена, если знаменатель задающей ее дроби не равен нулю: если , т.е. если . Таким образом, .

2)Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ т.е. у=0:

 - точка пересечения с осою ОХ.

С осью ОУ т.е. х=0:

 - точка пересечения с осою ОУ.

.Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x), то функция нечетная, при хD(y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

Функция ни четная ни нечетная

4.Вертикальные асимптоты.

Поскольку вертикальные асимптоты следует искать лишь в точках разрыва данной функции, единственным «кандидатом» в нашей задаче является прямая .

Следовательно х=1 точка разрыва 2-го рода и х=1 - вертикальная асимптота.

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты графика функции  имеет вид ,

где ; .

В частности, получается, что если , а при этом существует, по этим формулам находится горизонтальная асимптота .

Выясним наличие наклонных асимптот.

;

 - уравнение горизонтальной асимптоты.

.Найдем экстремумы и интервалы монотонности. Действуем по следующей схеме.

Вычислим первую производную данной функции:

Находим критические точки функции (т.е. внутренние точки области определения, в которых первая производная равна нулю или не существует).

Приравняем нулю найденную производную. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю. В числителе стоит произведение двух сомножителей, которое равно нулю, если один из множителей равен нулю, а второй при этом имеет смысл.

Производная не существует, если ее знаменатель равен нулю. Это происходит при , но это значение аргумента не входит в область определения данной функции и поэтому не дает критической точки.

Таким образом, у нашей функции две критические точки:  и .

Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки и от точки разрыва.

Найдем знак производной на каждом из интервалов. Для этого на интервале мы можем выбрать удобную для вычислений точку и найти в ней знак производной; тот же знак будет у нее на всем этом интервале.

Значит на промежутке [0; 1) функция возрастает, а на промежутке (; 0) и (1;) функция убывает.

Занесем полученные данные в таблицу:

у                т.

  - точка максимума.

6.Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Для этого вычислим вторую производную данной функции:

х = -0,5 - точка подозрительная на перегиб

Исследуем поведение функции справа и слева от точки подозрительной на перегиб и от т. х=1

Найдем координаты точки перегиба:

- координата точки перегиба.

Список использованной литературы

1.Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ: Астрель, 2006. - 991с.

.Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Под ред. А.И. Кирилова. - 3-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 368с.

.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 509с.

.Красс М.С., Чупрыков Б.П. Математика для экономистов. - СПб.: Питер 2007. - 464с.