Определение вероятности событий

ЗАДАНИЕ №1. Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий

Среди 10 документов, поступивших в офис, два оформлены с ошибками. Для проверки наудачу взяли 4 документа. Какова вероятность того, что среди них окажется:

а) хотя бы один неверно оформленный документ,

б) только один неверно оформленный документ.

a) Воспользуемся классической формулой Р(А)=,

Число N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 10 документов взять четыре, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 4: .

Событие «выбран хотя бы один неверно оформленный документ» - это появление одного из двух несовместных событий А1=«выбран один неверно оформленный документ и три верно оформленных»  и А2=«выбраны два неверно оформленных и два верно оформленных документа» .

Данная выборка - неупорядоченная, без повторений.

Вероятность первого события:

Вероятность второго события:

Вероятность события «выбран хотя бы один неверно оформленный документ» определяется как сумма несовместных событий А1 и А2:

b) Воспользуемся классической формулой Р(B)=,

Число N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 10 документов взять четыре, т.е. числу сочетаний из 10 элементов по 4: . Вероятность того, что лишь один документ будет оформлен неверно - это совместное появление событий «один документ оформлен неверно»  и «три документа оформлены верно» .

Т.е., число благоприятных исходов .

Т.к. данная выборка - неупорядоченная, без повторений, то:

ЗАДАНИЕ № 2. Теорема полной вероятности события

Рассмотрим гипотезы:

Н1 - лампа поступила с первого завода,

Н2 - лампа поступила со второго завода.

Тогда из условия Р(Н1)=0,4; Р(Н2)=0,6.

Событие А - лампа работает бесперебойно.

По условию Р(А/Н1)=0,1; Р(А/Н2)=0,2.

Следовательно, по формуле полной вероятности

Р(А)=0,4·0,1+0,6·0,2=0,16.

ЗАДАНИЕ №3. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Формула Муавра-Лапласа

В поселке из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 300 имеют холодильники.

По формуле Муавра-Лапласа:

где:

φ(x) - функция Гаусса, определяется по таблицам,=0.8 - вероятность появления события, q=1-p,=400 - число испытаний,=300 - число появлений события в n испытаниях.

по таблицам найдем: φ(-2.5)= φ(2.5)=0.0175

Искомая вероятность равна: .

ЗАДАНИЕ №4. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Функция распределения вероятностей случайной величины

. По заданному закону распределения дискретной случайной величины Х:

Условие нормировки: 0.2+0.3+0.1+0.2+0.2=1.

Если x из (-∞;1], то F(x)=P(X<x)=0;

если x из (1;4], то F(x)=P(X<x)=P(X=1)=0.2;

если x из (4;5], то F(x)=P(X<x)=P(X=1)+P(X=4)=0.2+0.3=0.5;

если x из (5;7], то F(x)=P(X<x)=P(X=1)+ P(X=4)+ +P(X=5)=0.2+0.3+0.1=0,6;

если x из (7;8], то F(x)=P(X<x)=P(X=1)+ P(X=4)+ P(X=5)+ +P(X=7)=0.2+0.3+0.1+0.2=0.8;

если x из (8;+ ∞ ), то F(x)=P(X<x)=P(X=1)+ P(X=4)+P(X=5)+P(X=7)+ +P(X=8)=0.2+0.3+0.1+0.2+0.2=1.

Следовательно,

Математическое ожидание:

Дисперсия:

=M[X2]-mx2

Dx=30.1-4.9=25.2.

Среднее квадратическое отклонение:

σx =  =  =5.02.

ЗАДАНИЕ №5 Статистическое распределение. Геометрическое изображение. Выборочные характеристики статистического распределения

По данному статистическому распределению выборки вычислить:

а) выборочную среднюю,

с) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Построить полигон частот или гистограмму.

а) Выборочная средняя:

.

.

с) Выборочное среднее квадратическое отклонение:

.

вероятность событие формула распределение

Полигон частот: