Комплексное число, вектор, алгебраическая операция, дробь и многочлен

Вид работы:

Контрольная работа
Предмет:

Математика
Язык:

Русский
,
Формат файла:
MS Word

71,35 Кб
Опубликовано:

2014-03-07

Все контрольные работы по математике

Скачать контрольную работу Читать текст online Посмотреть все контрольные работы

Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.

Комплексное число, вектор, алгебраическая операция, дробь и многочлен

Задание 1

Решить уравнения:

Решение:

Решим квадратное уравнение , используя формулу

Проверка:

Ответ: .

Задание 2

Вычислить:

Решение:

Возведение в степень комплексного числа производится по формуле:

Извлечение корня из комплексного числа производится по формуле:

Задание №3

Проверить, образует ли множество аддитивную Абелеву или мультипликативную Абелеву группу относительно операций + и ∙.

+	a	b	c
a	a	b	c
b	b	a	c
c	c	b	a
∙	a	b	c
a	a	b	c
b	b	a	c
c	c	b	a

Решение:

1. В множество М введена бинарная алгебраическая операция +.

2. = а (нулевой элемент)

а+а=а, а+b=b, а+c=c

3. Каждый элемент является обратным сам для себя (-a=a, -b=b, -c=c):

. Ассоциативность выполняется

а+(b+c)=(a+b)+c+c = b+c

. Коммутативность не выполняется: c+b=c, b+c=b, значит

По сложению множество группу образует, но она не Абелева.

. В множество М введена бинарная алгебраическая операция ∙.

. l = а (нулевой элемент)

а∙а=а, а∙b=b, а∙c=c

. Каждый элемент является обратным сам для себя (a-1=a, b-1=b, c-1=c):

-1∙а=а, b-1∙b=а, c-1∙c=а

. Ассоциативность выполняется

а∙(b∙c)=(a∙b) ∙c

b∙c = b∙c

4. Коммутативность не выполняется: c∙b=c, b∙c=b, значит

По умножению множество группу образует, но она не Абелева.

Задание №4

Указать геометрическую интерпретацию комплексных чисел, для которых выполняется:

Решение:

- каноническое уравнение эллипса с центром в точке (0; 0). Большим радиусом и малым .

Сделаем чертеж:

Задание №5

Дано:

Найти:

Решение:

Две группы с операциями и называются изоморфными, если существует отображение такое, что:

) - выполняется для

) - биективно.

- биективное или взаимно-однозначное отображение, когда оно одновременно сюръективно и инъективно.

Отображение - сюръективно, если (Im - образ) - выполняется для

Отображение - инъективно, если - выполняется для

Задание 6

Указать базис, ранг и линейные комбинации для системы векторов:

Решение:

С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы. Для этого приведем матрицу к трапециевидному виду, число ненулевых строк в трапециевидной матрице и будет равно рангу матрицы.

первую строку домножим на (-1) и сложим с третьей и четвертой.

Сложим вторую строку с третьей домножив на (-1), и сложим вторую строку с четвертой.

Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Значит ранг r = 2. Базис

Линейные комбинации для системы векторов:

Задание №8

Построить пространство решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными и указать какой-либо базис:

Решение:

С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы системы. Для этого приведем матрицу к трапециевидному виду, число ненулевых строк в трапециевидной матрице и будет равно рангу матрицы.

первую строку домножим на (-1) и сложим с третьей и четвертой.

Сложим вторую строку с третьей домножив на (-1), и сложим вторую строку с четвертой.

Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Значит ранг r = 2. Число неизвестных в системе n = 4. Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от n - r = 4 - 2 = 2 параметров. Базисный минор это отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы. Пусть - базисный минор. Тогда х1 и х2 - базисные неизвестные, т. к. коэффициенты перед ними образуют базисный минор, х3 и х4 - параметры. Обозначим для удобства х3 =С1 и х4 = С2 и выразим базисные неизвестные через параметры. Так как r = 2, то достаточно взять два уравнения, соответствующие базисному минору:

Решим эту систему с помощью формул Крамера.

Тогда:

Общее решение исходной системы имеет вид:

Частные решения системы линейных уравнений получаем, придавая параметрам конкретные числовые значения. Множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство размерности

n - r = 4 - 2 = 2, т. е. базис в этом пространстве состоит из двух линейно независимых решений. Придадим параметрам С1 и С2 поочередно следующие значения: С1 = 1 и С2 = 0 и С1 = 0 и С2 = 1, тогда получим два частных решения системы, линейно-независимых между собой,

Решения Е1 и Е2 образуют один из базисов пространства решений данной системы, которое можно записать, как оно состоит из бесчисленного множества четверок вида , где С1 и С2 принимают произвольные значения. Размерность этого пространства равна двум.