Расчет автоматизированной технологической линии методами теории массового обслуживания
1. Постановка задачи
проектирования
Для функционирования подобной линии
свойственен случайный характер протекающих во времени процессов, что позволяет
описать ее работу с помощью методов теории массового обслуживания.
Пусть автоматизированная
лесозаготовительная технологическая линия включает автоматизированную
сучкорезную установку 1 (рис. 3.1), предназначенную для обрезки сучьев с
деревьев. Время обрезки сучьев в результате воздействия ряда факторов является
случайной величиной со средним значением
После обрезки сучьев
хлысты, образующие входящий поток требований, поступают в лесонакопитель 2, в
котором может находиться некоторый их запас. Из лесонакопителя хлысты
перемещаются в автоматизированный раскряжевочный агрегат 3, где из них
выпиливаются сортименты. Время раскряжевки хлыста также считаем случайной
величиной Отметим,
что раскряжевочный агрегат (РА) является в данной системе обслуживающим по
отношению к сучкорезной установке (СУ), а лесонакопитель (ЛН), содержащий
некоторый промежуточный запас древесины между двумя смежными агрегатами,
выполняет роль демпфера, сглаживающего неравенство производительностей этих
агрегатов. Требуется определить показатели функционирования технологической
автоматизированной линии, в том числе оптимальную емкость лесонакопителя.
Схема автоматизированной
лесозаготовительной линии
Технологическую линию в
данном случае можно рассматривать как систему массового обслуживания с
ожиданием и ограниченной длиной очереди (вместимостью лесонакопителя), которая
выражается в количестве находящихся в накопителе хлыстов. Источником входящего
потока в лесонакопитель с интенсивностью l является сучкорезная
установка, а раскряжевочный агрегат здесь выполняет роль обслуживающего
устройства с интенсивностью обслуживания m. При этом считаем, что
число заготовок, выдаваемых первой установкой в результате воздействия
различных факторов, является случайной величиной, распределенной по закону
Пуассона, а время обслуживания заготовок во втором агрегате распределяется по
показательному закону.
Если лесонакопитель
заполнен до отказа, а сучкорезная машина закончила обработку очередного дерева,
то она останавливается, ожидая, пока в накопителе появится свободное место. Это
возможно, если производительность сучкорезной установки выше производительности
раскряжевочного агрегата. В противном случае, когда раскряжевочный агрегат
более производителен, в лесонакопителе должен быть запас хлыстов для
раскряжевки, иначе будет простаивать уже второй агрегат. Таким образом, в
лесонакопителе всегда должно быть свободное место для приема древесины и всегда
должен быть ее запас. Слишком маленькая емкость накопителя приводит к простоям
агрегатов, слишком большая усложняет конструкцию и удорожает всю линию. Поэтому
с учетом перечисленных факторов целесообразно определение оптимальной емкости
лесонакопителя.
2. Расчетные формулы
. Интенсивность
входящего в лесонакопитель потока хлыстов, поступающих из сучкорезной машины
. Интенсивность обработки
сортиментов в раскряжевочной установке (интенсивность обслуживания)
.
. Параметр системы
.
. Вероятность того, что
в лесонакопителе будет k
заготовок
. Вероятность
обслуживания заготовки вторым агрегатом (раскряжевочной установкой), т.е.
вероятность того, что раскряжевочная установка свободна
. Вероятность того, что
второй агрегат (раскряжевочная установка) будет занят работой
7. Среднее число заготовок
в лесонакопителе
8. Среднее время нахождения
заготовки в лесонакопителе, т.е. время ожидания, когда закончит работу и
освободится раскряжевочная установка
мин
. Общее среднее время
нахождения заготовки в системе
мин.
. Вероятность простоя
второго агрегата (раскряжевочной установки)
. Вероятность простоя
первого агрегата (сучкорезной установки)
12. Время работы первого
агрегата (сучкорезной установки) за время T
(например, за смену)
мин. = 7,9999 ч.
. Время простоя первого
агрегата за время Т
мин. = 0,00016 ч.
. Время работы второго
агрегата (раскряж. установки) за время Т
мин. = 2,8112 ч.
. Время простоя второго
агрегата за время Т
мин. = 5,1888 ч.
. Средняя
производительность системы за время Т (количество сортиментов, произведенных
технологической линией за время Т, например, сменная выработка)
Для иллюстрации
рассмотренной методики были выполнены расчеты основных характеристик
технологической линии, результаты которых приведены в табл. 3.1. В расчетах
были приняты следующие исходные данные: .
Емкость лесонакопителя
менялась в пределах 0 £ S £ 9 шт. Графики зависимости некоторых характеристик линии от
емкости накопителя показаны на рис. 3.2 и 3.3
Таблица 3.1
S
|
a
|
Pк
|
Тр.1, ч
|
П, шт./смену
|
0
|
0,3514
|
0,6486
|
7,9999
|
2,8112
|
54,6645
|
1
|
0,3514
|
0,2279
|
7,9999
|
2,8112
|
67,6864
|
2
|
0,3514
|
0,0281
|
7,9999
|
2,8112
|
71,7566
|
3
|
0,3514
|
0,0280
|
7,9999
|
2,8112
|
73,1293
|
4
|
0,3514
|
0,0098
|
7,9999
|
2,8112
|
73,6129
|
5
|
0,3514
|
0,0035
|
7,9999
|
2,8112
|
73,7832
|
6
|
0,3514
|
0,0012
|
7,9999
|
2,8112
|
73,8498
|
7
|
0,3514
|
0,0004
|
7,9999
|
2,8112
|
73,8570
|
8
|
0,3514
|
0,0002
|
7,9999
|
2,8112
|
73,8660
|
9
|
0,3514
|
0,00005
|
7,9999
|
2,8112
|
73,8713
|
¥
|
|
|
|
|
75,0
|
Рис. 3.2. Вероятность
того, что в лесонакопителе k
заготовок как функция его емкости
Рис. 3.3. Сменная
производительность системы как функция емкости лесонакопителя
Из рис. 3.3 видно, что с
увеличением емкости лесонакопителя сменная производительность сначала
интенсивно возрастает, затем ее рост замедляется и кривая производительности
стремится к предельному значению (П75,0, при S). Это позволяет сделать
предварительный вывод о том, что емкость накопителя при выбранных исходных
данных не целесообразно принимать больше 8-9 мест, так как это приводит лишь к
удорожанию линии без существенного увеличения производительности. Для более
точной количественной оценки емкости накопителя и других конструктивных
параметров линии необходимо решить задачу оптимизации.
3. Оптимизация
параметров лесозаготовительной линии
При решении задачи оптимизации
параметров автоматизированной лесозаготовительной линии могут быть использованы
различные критерии (производительность, надежность, стоимость и пр.). Выберем в
качестве критерия экономическую эффективность. Целевая функция в этом случае
будет иметь вид
где Е - экономический
эффект от работы линии за смену; П - сменная производительность (выработка); С
- прибыль от реализации одного готового изделия (сортимента); Тр1 -
среднее время работы за смену первого агрегата (сучкорезной установки); Тпр1
- время простоев за смену первого агрегата; Тр2 - среднее время
работы за смену второго агрегата (раскряжевочного); Тпр2 - время
простоев за смену второго агрегата; S
- емкость накопителя; qp1
- стоимость эксплуатации первого агрегата в единицу времени; qпp1
- стоимость простоев первого агрегата в единицу времени; qp2
- стоимость эксплуатации второго агрегата в единицу времени; qпp2
- стоимость простоев второго агрегата в единицу времени; qps - стоимость содержания и
эксплуатации одной ячейки накопителя за смену. Стоимостные показатели qi
были в данном случае заданы в виде относительных безразмерных коэффициентов,
что удобно для укрупненных расчетов на ранних стадиях проектирования.
Результаты, полученные с учетом
предыдущих расчетов, приведены в табл. 3.2. Оптимальный конструктивный вариант
в таблице выделен.
Для принятых исходных данных при
стоимостных коэффициентах qp1 = 1,2; qпp1 = 0,5; qp2 = 1,5; qпp2 = 0,7 и qps = 1,5 оптимальная
емкость лесонакопителя, соответствующая максимальному значению эффективности Е,
составила Sопт = 5, (рис. 3.4).
Таблица 3.2
S
|
П
|
Тр1, ч
|
Тпр1, ч
|
Тр2, ч
|
Тпр2, ч
|
С
|
Е
|
0
|
54,6645
|
7,9999
|
0,00016
|
2,8112
|
5,1888
|
1
|
34,9589
|
1
|
67,6864
|
7,9999
|
0,00016
|
2,8112
|
5,1888
|
1
|
46,4808
|
2
|
71,7566
|
7,9999
|
0,00016
|
2,8112
|
5,1888
|
1
|
49,051
|
3
|
73,1293
|
7,9999
|
0,00016
|
2,8112
|
5,1888
|
1
|
48,9237
|
4
|
73,6129
|
7,9999
|
0,00016
|
2,8112
|
5,1888
|
1
|
47,9073
|
5
|
73,7832
|
7,9999
|
0,00016
|
2,8112
|
5,1888
|
1
|
46,5776
|
73,8498
|
7,9999
|
0,00016
|
2,8112
|
5,1888
|
1
|
45,1442
|
7
|
73,8570
|
7,9999
|
0,00016
|
2,8112
|
5,1888
|
1
|
43,6514
|
8
|
73,8660
|
7,9999
|
0,00016
|
2,8112
|
5,1888
|
1
|
42,1604
|
9
|
73,8713
|
7,9999
|
0,00016
|
2,8112
|
5,1888
|
1
|
40,6657
|
Рис. 3.4. Зависимость
эффективности лесозаготовительной линии от ёмкости накопителя
4. Программа для
лесозаготовительной линии
GENERATE 3901111371
TERMINATE 128800
5. Используемые блоки в
программе
Блок СЕNЕRАТЕ предназначен для генерирования требования (транзакты), входящие в
систему.
Блок QUEUE и DEPART предназначены для входа
в очередь и выхода из очереди.
Блок SEIZE и RELANCE предназначены для
команд занять устройство и освободить устройство.
Блок АDVANСЕ предназначен для задержки транзакта на заданное время.
Блок TERMINATE предназначен для
удаления транзакта из системы.
Карта SТАRТ дает указание начать моделировать и определяет момент его
окончания.
Карта END дает указание закончить
моделирование.
Автоматизированная
лесозаготовительная технологическая линия включает автоматизированную
сучкорезную установку предназначенную для обрезки сучьев с деревьев. Время
обрезки сучьев в результате воздействия ряда факторов является случайной
величиной со средним значением
После обрезки сучьев
хлысты, образующие входящий поток требований, поступают в лесонакопитель, в
котором может находиться некоторый их запас. Из лесонакопителя хлысты
перемещаются в автоматизированный раскряжевочный агрегат, где из них
выпиливаются сортименты. Время раскряжевки хлыста также считаем случайной
величиной .
Отметим, что раскряжевочный агрегат является в данной системе обслуживающим по
отношению к сучкорезной установке, а лесонакопитель, содержащий некоторый
промежуточный запас древесины между двумя смежными агрегатами, выполняет роль
демпфера, сглаживающего неравенство производительностей этих агрегатов. Общее
время работы автоматизированной лесозаготовительной технологической линии
составляет T=28800 c.
Выводы
Я провел моделирование
автоматизированной лесозаготовительной технологической линии, позволяющей
выбрать вариант линии с минимальными по принятому критерию потерям.
Технологическую линию в данном
случае можно рассматривать как систему массового обслуживания с ожиданием и
ограниченной длинной очереди (вместимость лесонакопителя), которая выражается в
количестве находящихся в накопителе хлыстов.
В расчетах было подсчитано
вероятность Pk изменяющее по закону степенной функций an при 0<a<1.
Подсчитав производительность я
выяснил, что с увеличением емкости лесонакопителя сменная производительность
сначала интенсивно возрастает, затем ее рост замедляется и кривая
производительности стремится к предельному значению. Это позволяет сделать
предварительный вывод о том, что емкость накопителя при выбранных исходных
данный не целесообразно принимать больше 8-9 мест, так как это приводит лишь к
удорожанию линии без существенного увеличения производительности.
Так же произведя расчет экономической
эффективности было выяснено что оптимальная емкость лесонакопителя,
соответствующая максимальному значению эффективности E, составила Sопт=5.
Учитывая все эти факторы мы можем
установить оптимальный накопитель при котором не будет простоев агрегатов и не
произойдет усложнение конструкции и не удорожает всю линию.
Список литературы
автоматизированный обрезка
лесозаготовительный обслуживание
1.
Петровский В.С., Харитонов В.В. Автоматизация производственных
процессов лесопромышленных предприятий. - М.: Лесная промышленность, 1990.
2.
Ширнин Ю.А., Овчинников Ю.А. Основы моделирования и синтез схем
автоматического управления лесосечными машинами: Учебное пособие. -
Йошкар-Ола.: МарПИ, 1990.
3.
Ротт А.Р. Моделирование и расчеты производственно-технических
систем: Учебное пособие. - Йошкар-Ола.:МарГТУ, 2010.
4.
Ротт А.Р., Багнюк В.В Автоматика и автоматизация производственных
процессов. Методические указания. Йошкар-Ола, 2006.