Построение и анализ математической модели объекта управления

Эквивалентная схема объекта управления

Рисунок 1. Исходная схема

Содержание

1.       Построение математической модели объекта управления в пространстве состояния

.        Построение математической модели

.        Построение сигнального графа

.        Нахождение передаточной функции по формуле Мейсона

5.     По передаточной функции определить временные и частотные характеристики и построить их графики

6.       Определить прямые и косвенные оценки качества ОУ по полученным зависимостям

Заключение

Список используемой литературы

математический управление передаточный временный

1.       Построим математическую модель объекта управления в пространстве состояния

Рисунок 2 Структурная схема ОУ

В схеме четыре элемента, запасающих энергию:L1,L2,C1,C2, следовательно, математическая модель должна быть четвертого порядка.

При построении математических моделей следует учитывать следующие выражения для связи токов, напряжений и комплексных сопротивлений элементов электрической схемы.

Для сопротивления R  

Для индуктивности L  

Для емкости C

2.       Построение математической модели

Задаемся направлением контурных токов i1,i2,i3,i4. Составляем четыре уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров:

В уравнениях (1),(4) есть интегралы, поэтому продифференцируем их:

В уравнениях  и есть производные, в качестве x1,x2,x3,x4 выбираем элементы с производными и производные берем на порядок ниже:

Запишем введенный вектор состояния в виде дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнение в пространстве состояний записывается в левой части:

,  

Выразим токи i1,i2,i3,i4 из уравнений :

Найдем :

выходной параметр:

Получили четыре дифференциальных уравнения и одно уравнение для выходного параметра.

Запишем полученную систему уравнений в матричном виде:

Получим матричное уравнение для выходной переменной:

3.       Построение сигнального графа

Перепишем уравнения в общем, виде для построения графа системы:

.        Нахождение передаточной функции по формуле Мейсона

  ,

где к - количество возможных прямых путей от входа к выходу;

∆ - определитель графа;

Рk - коэффициент передачи кого пути от входа к выходу;

∆к - определитель всех касающихся контуров при удалении кого пути;

- сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров;

- сумма всех возможных произведений из 2-х не касающихся контуров;

- сумма всех возможных комбинаций из 3-х не касающихся контуров.

С учетом всех перечисленных формул для нахождения передаточной функции по формуле Мейсона необходимо выполнить действия в определенной последовательности:

определить и записать уравнения всех к прямых путей от входа к выходу Р1, Р2,..., РК ;

- выявить число замкнутых контуров и записать их уравнения Lx,L2,...,Ln;

записать выражение для определителя системы ∆;

записать определители путей: ∆1, ∆2, ∆k;

- записать и преобразовать выражение передаточной функции W(p).

В данном случае есть 5 пути от входа к выходу:

;

В системе имеется 7 замкнутых контуров:

Определитель системы ∆:

Количество сомножителей равно количеству прямых путей. Выражение для  записывается как выражение для , но разрываются контуры, через которые проходит прямой путь P_i.

Определитель путей ∆k:

Запишем и преобразуем выражение передаточной функции:

5.       По передаточной функции определить временные и частотные харак теристики и построить их графики

Переходная функция:

Рис. 5 График переходной функции.

Весовая функция:

Рис. 6 График весовой функции.

Строим графики АЧХ и ФЧХ.

Рис. 7 График АЧХ (амплитудно-частотная характеристика).

Рис. 8 График ФЧХ (фазо-частотная характеристика):

6.       Определить прямые и косвенные оценки качества ОУ по полученным зависимостям

Определим качество системы по графику переходного процесса h(t).

а) Прямые оценки качества:

t_p= 11 с - время переходного процесса (время регулирования);

 - перерегулирование;

n=0.5 - колебательность;

t_H= 0.385 -время нарастания регулируемой величины;

t_cor=0.66 - время первого согласования;

б) Косвенные оценки качества:

Показатель колебательности:

Резонансная частота:

Частота среза: wсp=10

Полоса пропускания частот:

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы была построена математическая модель объекта управления в пространстве состояния, составлены граф системы и структурная схема. По формуле Мейсона найдена передаточная функция системы, построены графики временных и частотных характеристик системы, определены оценки качества системы по данным характеристикам.

Список используемой литературы

1. Брофеев Ю.И. Импульсная техника. -М.: Высшая школа, 1984.

. Р.Ли Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. -М.: Наука, 1966.

. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления под ред. Е.А.Санковского - Минск: Высшая школа, 1973.