Множественная линейная регрессия
|
№
|
s
|
d
|
p
|
q
|
|
1
|
0,35
|
0,29
|
2,02
|
1,33
|
|
2
|
0,79
|
0,55
|
1,29
|
1,01
|
|
3
|
0,93
|
0,70
|
1,09
|
0,85
|
|
4
|
1,50
|
0,41
|
1,68
|
1,20
|
|
5
|
0,47
|
0,37
|
0,30
|
1,24
|
|
6
|
0,36
|
0,30
|
1,98
|
1,32
|
|
7
|
1,08
|
1,03
|
0,87
|
0,56
|
|
8
|
1,19
|
1,30
|
0,80
|
0,30
|
|
9
|
1,15
|
1,17
|
0,81
|
0,41
|
|
10
|
1,10
|
1,06
|
0,84
|
0,54
|
|
11
|
0,87
|
0,64
|
1,16
|
0,92
|
|
12
|
0,64
|
0,44
|
1,52
|
1,14
|
|
13
|
0,66
|
0,46
|
1,47
|
1,13
|
|
14
|
0,70
|
0,49
|
1,41
|
1,10
|
|
15
|
1,01
|
0,88
|
0,97
|
0,72
|
|
16
|
1,01
|
0,91
|
0,93
|
0,71
|
|
17
|
1,03
|
0,94
|
0,91
|
0,66
|
|
18
|
0,31
|
0,27
|
2,08
|
1,35
|
|
19
|
0,32
|
0,28
|
2,05
|
1,33
|
|
20
|
0,42
|
0,32
|
1,90
|
1,27
|
|
21
|
0,52
|
0,38
|
1,73
|
0,33
|
|
22
|
0,50
|
1,40
|
1,79
|
1,23
|
|
23
|
0,81
|
0,58
|
1,25
|
0,98
|
|
24
|
0,75
|
0,53
|
1,33
|
1,05
|
|
25
|
0,98
|
0,80
|
0,99
|
0,76
|
|
26
|
0,96
|
0,76
|
1,04
|
0,80
|
|
27
|
0,93
|
0,72
|
1,05
|
0,83
|
|
28
|
0,86
|
0,61
|
1,18
|
0,94
|
|
29
|
0,73
|
0,51
|
1,38
|
1,06
|
|
30
|
0,39
|
0,32
|
1,94
|
1,29
|
|
31
|
0,45
|
0,34
|
1,83
|
1,26
|
|
32
|
0,58
|
0,41
|
1,63
|
1,19
|
Задача 1. Множественная линейная
регрессия
-
объём продаж товара А, ед. (или спрос);- средний доход потребителя, тыс. руб.;-
цена товара А, руб.;- цена товара Б, руб.;
1. Вычислите
описательные статистики. Проверьте характер распределения признаков. При
необходимости удалите аномальные наблюдения;
2. Постройте
уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов,
дайте экономическую интерпретацию полученных результатов. Рассчитайте
интервальные оценки его коэффициентов и дайте им экономическую интерпретацию;
3. Дайте
сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних
коэффициентов эластичности;
4. Оцените
статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью
критериев Фишера и Стьюдента, сопоставьте результаты t-статистик с
интервальными оценками коэффициентов регрессии;
5. Оцените
качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.
6. Постройте
матрицу парных коэффициентов корреляции. Сделайте вывод о силе связи результата
и факторов. Определите критическое значение rкр для выборочных
парных коэффициентов корреляции по таблице Фишера-Йетса и проверьте значимость
каждого из коэффициентов на уровне значимости a=0,05.
7. Выберите
лучшую факторную переменную из рассмотренных и обоснуйте свой выбор.
Выясните, является ли товар А высокоэластичным
или низкоэластичным? Ценным? Традиционным? Взаимодополняющим или
взаимозамещающим по отношению к товару Б?
Решение:
1. Вычислим
описательные статистики
|
s
|
d
|
p
|
q
|
|
Среднее
|
0,761
|
0,630
|
1,351
|
0,963
|
|
Стандартная
ошибка
|
0,053
|
0,056
|
0,081
|
0,055
|
|
Медиана
|
0,77
|
0,54
|
1,31
|
1,03
|
|
Мода
|
0,93
|
0,41
|
#Н/Д
|
1,33
|
|
Стандартное
отклонение
|
0,301
|
0,315
|
0,457
|
0,311
|
|
Дисперсия
выборки
|
0,091
|
0,099
|
0,209
|
0,097
|
|
Эксцесс
|
-0,517
|
-0,061
|
-0,747
|
-0,598
|
|
Асимметричность
|
0,247
|
0,893
|
-0,041
|
-0,638
|
|
Интервал
|
1,19
|
1,13
|
1,78
|
1,05
|
|
Минимум
|
0,31
|
0,27
|
0,3
|
0,3
|
|
Максимум
|
1,5
|
1,4
|
2,08
|
1,35
|
|
Сумма
|
24,35
|
20,17
|
43,22
|
30,81
|
|
Счет
|
32
|
32
|
32
|
32
|
|
Наибольший(1)
|
1,5
|
1,4
|
2,08
|
1,35
|
|
Наименьший(1)
|
0,31
|
0,27
|
0,3
|
0,3
|
|
Уровень
надежности(95,0%)
|
0,109
|
0,114
|
0,165
|
0,112
|
|
Коэффициент
вариации
|
0,396
|
0,499
|
0,339
|
0,323
|
Коэффициент вариации факторных переменных d
и р больше 0,33 значит по данным признакам совокупность не однородна.
Коэффициент вариации факторных переменных q
меньше 0,33 значит по данным признакам совокупность однородна.
Закон нормального распределения признаков
говорит о том, что мода и медиана очень близки друг к другу, такое
распределение считается нормальным.
Значения эксцесса отличны от 0, что не
удовлетворяет условиям нормального распределения. Но в целях изучения мы
проведем исследование.
Значения асимметрии считаются нормальными если
они близки к 0. Наиболее близок к этому значению р - цена товара А.
1. Построим
уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов
|
Коэффициенты
|
Стандартная
ошибка
|
t-статистика
|
|
s-пересечение
|
1,221
|
0,270
|
4,521
|
|
Переменная
d
|
0,201
|
0,172
|
1,169
|
|
Переменная
p
|
-0,219
|
0,114
|
-1,925
|
|
Переменная
q
|
-0,303
|
0,185
|
-1,633
|
Уравнение регрессии имеет вид:
у = 1,221 + 0,201d - 0,219p - 0,303q
С увеличением дохода потребителей на 1 тыс. руб.
объем продаж возрастает на 0,201 руб. С увеличением цены товара А на 1 руб.
объем продаж уменьшается на 0,219 руб. С увеличением цены товара В на 1 руб.
объем продаж уменьшается на 0,303 руб.
Рассчитаем интервальные оценки коэффициентов
уравнения регрессии.
|
|
Коэффициенты
|
Нижние
95%
|
Верхние
95%
|
|
s-пересечение
|
1,221
|
0,668
|
1,775
|
|
Переменная
d
|
0,201
|
-0,151
|
0,552
|
|
Переменная
p
|
-0,219
|
-0,451
|
0,014
|
|
Переменная
q
|
-0,303
|
-0,683
|
0,077
|
С увеличением дохода потребителей на 1 тыс. руб.
объем продаж уменьшается максимум на 0,151руб. или увеличится как максимум на
0,552. С увеличением цены товара А на 1 руб. объем продаж уменьшается максимум
на 0,451руб. или увеличится как максимум на 0,014. С увеличением цены товара В
на 1 руб. объем продаж уменьшится максимум на 0,683руб или увеличится как
максимум на 0,077руб.
В границы доверительных интервалов всех
переменных попадает 0, это свидетельствует о статистической незначимости и
ненадежности рассматриваемых коэффициентов.
1.
Вычислим
коэффициент эластичности:
То есть с увеличением дохода на 1% от своего
среднего уровня, средний объем продаж увеличивается на 0,166% от своего
среднего уровня, а с увеличением цены на товар А на 1% от своего среднего
уровня, средний объем продаж уменьшается на 0,389% от своего среднего уровня, а
с увеличением цены на товар В на 1% от своего среднего уровня, средний объем
продаж уменьшается на 0,383% от своего среднего уровня.
Наиболее сильное влияние на объем продаж
оказывает цена товара А, наименьшее доход потребителя.
3. Оценим статистическую значимость уравнения
регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента, сопоставим
результаты t-статистик с интервальными оценками коэффициентов регрессии.
Находим наблюдаемое и фактическое значение
критерия Фишератабл(α=0,05)=4,12факт
= 11,988табл<Fнабл то уравнение в целом
статистически значимо и надежно
Проверим значимость параметров с помощью
критерия Стьюдента
|
|
Коэффициенты
|
t-статистика
|
|
s-пересечение
|
1,221
|
4,521
|
|
Переменная
d
|
0,201
|
1,169
|
|
Переменная
p
|
-0,219
|
-1,925
|
|
Переменная
q
|
-0,303
|
-1,633
|
|
Табличное(критическое)
значение статистики Стьюдента
|
2,0423
|
Найдем tкрит(α=0,05;
f=32)=2,0423крит>tнабл
для переменных d, р, q
значит эти коэффициенты регрессии незначимы и ненадежны.
. Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:
В среднем расчётные значения
отличаются от фактических на 15.2%, что превышает допустимые пределы 8%-10%,
следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения неудачным.
5. Построим матрицу парных коэффициентов
корреляции.
|
|
s
|
p
|
q
|
|
s
|
1
|
|
|
|
|
d
|
0,624
|
1
|
|
|
|
p
|
-0,663
|
-0,599
|
1
|
|
|
q
|
-0,676
|
-0,691
|
0,660
|
1
|
Проверим значимость коэффициентов корреляции на
уровне значимости α=0,05.
Рассчитаем фактические значения критериев по
формуле:
Табличное(критическое) значение
статистики Стьюдента, определенное на уровне значимости α=0,05 при
числе степеней свободы f=32равно:крит(α=0,05;
f=32)= 2,0423
|
s
|
d
|
p
|
q
|
|
s
|
|
|
|
|
|
d
|
4,377
|
|
|
|
|
p
|
4,857
|
4,092
|
|
|
|
q
|
5,028
|
5,242
|
4,809
|
|
По критерию t все коэффициенты значимы.
По матрице коэффициентов видим, что наибольшее
влияние на объем продаж оказывает цена товара Б, наименьшее доход потребителя.
Множественный коэффициент корреляции равен R =
0,75, то есть связь между спросом (у) и включенными в модель факторами (х)
высокая.
Коэффициент детерминации 
значит
вариация спроса s на 56,2% объясняется вариацией включенных в модель факторов и
на 43,8% зависит от других факторов
6. Рассчитаем значения коэффициентов
детерминации R2 объясняющих переменных по всем остальным переменным,
то есть в качестве зависимой переменной выбираем последовательно все
переменные: s, d, p, q все остальные объясняющие переменные в качестве
независимых.
|
Зависимая
переменная
|
Независимая
переменные
|
R2
|
R
|
|
s
|
d,
p, q
|
0,562
|
0,75
|
|
d
|
s,
p, q
|
0,537
|
0,733
|
|
p
|
d,
s, q,
|
0,536
|
0,732
|
|
q
|
d,
p, s,
|
0,61
|
0,781
|
Анализ оценок детерминации показал наличие
тесной связи между объясняющей переменной q
и всеми остальными признаками.
Лучшая факторная переменная q
так как от нее в большей степени зависит изменение s.
Эластичность по модулю больше 1
значит товар высокоэластичный.
Товары А и Б могут являться
взаимодополняемыми, но не являются взаимозаменяемыми так как коэффициенты
эластичности изменяются однонаправлено, так как все коэффициенты регрессии
показывают, что связь между ценой товара А и остальными факторами сильная, то
товар традиционен, и так как коэффициенты эластичности по модулю меньше 1
значит товар не ценен.
Задача 2. Парная регрессия
уравнение регрессия
линейный корреляция
Примите за результативную переменную
- переменную, рассмотренную в задаче 1, а за факторную переменную - лучшую
факторную переменную, выбранную в задаче 1.
1. Постройте
поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте
параметры уравнения линейной регрессии и нанесите его на поле корреляции.
3. Оцените
тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дайте
с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи
фактора с результатом.
5. Оцените
с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.
6. С
помощью t-критерия Стьюдента оцените статистическую надёжность показателей
регрессионного моделирования.
7. С
помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надёжность результатов регрессионного
моделирования.
8. Проверьте
разложение общей суммы квадратов отклонений зависимой переменной у от своего
среднего значения (ТSS) на два слагаемых - «объяснённую» (или регрессионную)
сумму квадратов отклонений (ЕSS) и «необъяснённую» (или остаточную) сумму
квадратов отклонений (RSS).
Рассчитайте параметры уравнений:
1 степенной
регрессии;
2 экспоненциальной
(показательной) регрессии;
3 полулогарифмической
регрессии;
Каждое из построенных уравнений нанесите на поле
корреляции и для него:
1. Оцените
тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
2. Дайте
с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы
связи фактора с результатом.
3. Оцените
с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.
4. С
помощью t-критерия Стьюдента оцените статистическую надёжность показателей
регрессионного моделирования.
5. С
помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надёжность результатов
регрессионного моделирования.
6. Проверьте
разложение общей суммы квадратов отклонений зависимой переменной у от своего
среднего значения (ТSS) на два слагаемых - «объяснённую» (или регрессионную)
сумму квадратов отклонений (ЕSS) и «необъяснённую» (или остаточную) сумму
квадратов отклонений (RSS).
Результаты вычислений внесите в сводную таблицу.
По значениям характеристик выберите лучшее
уравнение регрессии и дайте его обоснование.
Рассчитайте прогнозное значение результата, если
прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня.
Определите доверительный интервал прогноза для
уровня значимости α=0,05.
|
№
|
Объем
продаж, ед. y
|
Цена
товара, руб. x
|
|
1
|
0,35
|
1,33
|
|
2
|
0,79
|
1,01
|
|
3
|
0,93
|
0,85
|
|
4
|
1,50
|
1,20
|
|
5
|
0,47
|
1,24
|
|
6
|
0,36
|
1,32
|
|
7
|
1,08
|
0,56
|
|
8
|
1,19
|
0,30
|
|
9
|
1,15
|
0,41
|
|
10
|
1,10
|
0,54
|
|
11
|
0,87
|
0,92
|
|
12
|
0,64
|
1,14
|
|
13
|
0,66
|
1,13
|
|
14
|
0,70
|
1,10
|
|
15
|
1,01
|
0,72
|
|
16
|
1,01
|
0,71
|
|
17
|
1,03
|
0,66
|
|
18
|
0,31
|
1,35
|
|
19
|
0,32
|
1,33
|
|
20
|
0,42
|
1,27
|
|
21
|
0,52
|
0,33
|
|
22
|
0,50
|
1,23
|
|
23
|
0,81
|
0,98
|
|
24
|
0,75
|
1,05
|
|
25
|
0,98
|
0,76
|
|
26
|
0,96
|
0,80
|
|
27
|
0,93
|
0,83
|
|
28
|
0,86
|
0,94
|
|
29
|
0,73
|
1,06
|
|
30
|
0,39
|
1,29
|
|
31
|
0,45
|
1,26
|
|
32
|
0,58
|
1,19
|
Решение:
Строим поле корреляции:
2. Предположим, что между х и у связь
линейная, тогда уравнение регрессии имеет вид: ŷх=а+bx. Для
нахождения его параметров составим расчётную таблицу 1:
ŷх= 1,393 - 0,656х -
уравнение линейной регрессии.
Итак, с увеличением цены товара на 1
руб. средний объем продаж уменьшается в среднем на 0,656руб.
Таблица 1. Расчётная таблица
|
у
|
х
|
у2
|
х2
|
xy
|
ŷх
|
y-ŷх
|
(y-ŷх)2
|
ŷх
-`y
|
(ŷх
-`y)2
|
у
-`y
|
(у
-`y)2
|
|
|
1
|
0,35
|
1,33
|
0,123
|
1,769
|
0,466
|
0,521
|
-0,171
|
0,029
|
-0,240
|
0,058
|
-0,411
|
0,169
|
0,487
|
|
2
|
0,79
|
1,01
|
0,624
|
1,020
|
0,798
|
0,730
|
0,060
|
0,004
|
-0,031
|
0,001
|
0,029
|
0,001
|
0,075
|
|
3
|
0,93
|
0,85
|
0,865
|
0,723
|
0,791
|
0,835
|
0,095
|
0,009
|
0,074
|
0,006
|
0,169
|
0,029
|
0,102
|
|
4
|
1,5
|
1,2
|
2,250
|
1,440
|
1,800
|
0,606
|
0,894
|
0,800
|
-0,155
|
0,024
|
0,739
|
0,546
|
0,596
|
|
5
|
0,47
|
1,24
|
0,221
|
1,538
|
0,583
|
0,580
|
-0,110
|
0,012
|
-0,181
|
0,033
|
-0,291
|
0,085
|
0,233
|
|
6
|
0,36
|
1,32
|
0,130
|
1,742
|
0,475
|
0,527
|
-0,167
|
0,028
|
-0,234
|
0,055
|
-0,401
|
0,161
|
0,464
|
|
7
|
1,08
|
0,56
|
1,166
|
0,314
|
0,605
|
1,026
|
0,054
|
0,003
|
0,265
|
0,070
|
0,319
|
0,102
|
0,050
|
|
8
|
1,19
|
0,3
|
1,416
|
0,090
|
0,357
|
1,196
|
-0,006
|
0,000
|
0,435
|
0,189
|
0,429
|
0,184
|
0,005
|
|
9
|
1,15
|
0,41
|
1,323
|
0,168
|
0,472
|
1,124
|
0,026
|
0,001
|
0,363
|
0,132
|
0,389
|
0,151
|
0,023
|
|
10
|
1,1
|
0,54
|
1,210
|
0,292
|
0,594
|
1,039
|
0,061
|
0,004
|
0,278
|
0,077
|
0,115
|
0,056
|
|
11
|
0,87
|
0,92
|
0,757
|
0,846
|
0,800
|
0,789
|
0,081
|
0,006
|
0,028
|
0,001
|
0,109
|
0,012
|
0,093
|
|
12
|
0,64
|
1,14
|
0,410
|
1,300
|
0,730
|
0,645
|
-0,005
|
0,000
|
-0,116
|
0,013
|
-0,121
|
0,015
|
0,008
|
|
13
|
0,66
|
1,13
|
0,436
|
1,277
|
0,746
|
0,652
|
0,008
|
0,000
|
-0,109
|
0,012
|
-0,101
|
0,010
|
0,013
|
|
14
|
0,7
|
1,1
|
0,490
|
1,210
|
0,770
|
0,671
|
0,029
|
0,001
|
-0,090
|
0,008
|
-0,061
|
0,004
|
0,041
|
|
15
|
1,01
|
0,72
|
1,020
|
0,518
|
0,727
|
0,921
|
0,089
|
0,008
|
0,160
|
0,025
|
0,249
|
0,062
|
0,088
|
|
16
|
1,01
|
0,71
|
1,020
|
0,504
|
0,717
|
0,927
|
0,083
|
0,007
|
0,166
|
0,028
|
0,249
|
0,062
|
0,082
|
|
17
|
1,03
|
0,66
|
1,061
|
0,436
|
0,680
|
0,960
|
0,070
|
0,005
|
0,199
|
0,040
|
0,269
|
0,072
|
0,068
|
|
18
|
0,31
|
1,35
|
0,096
|
1,823
|
0,419
|
0,507
|
-0,197
|
0,039
|
-0,254
|
0,064
|
-0,451
|
0,203
|
0,637
|
|
19
|
0,32
|
1,33
|
0,102
|
1,769
|
0,426
|
0,521
|
-0,201
|
0,040
|
-0,240
|
0,058
|
-0,441
|
0,194
|
0,627
|
|
20
|
0,42
|
1,27
|
0,176
|
1,613
|
0,533
|
0,560
|
-0,140
|
0,020
|
-0,201
|
0,040
|
-0,341
|
0,116
|
0,333
|
|
21
|
0,52
|
0,33
|
0,270
|
0,109
|
0,172
|
1,177
|
-0,657
|
0,431
|
0,416
|
0,173
|
-0,241
|
0,058
|
1,263
|
|
22
|
0,5
|
1,23
|
0,250
|
1,513
|
0,615
|
0,586
|
-0,086
|
0,007
|
-0,175
|
0,031
|
-0,261
|
0,068
|
0,172
|
|
23
|
0,81
|
0,98
|
0,656
|
0,960
|
0,794
|
0,750
|
0,060
|
0,004
|
-0,011
|
0,000
|
0,049
|
0,002
|
0,074
|
|
24
|
0,75
|
1,05
|
0,563
|
1,103
|
0,788
|
0,704
|
0,046
|
0,002
|
-0,057
|
0,003
|
-0,011
|
0,000
|
0,061
|
|
25
|
0,98
|
0,76
|
0,960
|
0,578
|
0,745
|
0,894
|
0,086
|
0,007
|
0,133
|
0,018
|
0,219
|
0,048
|
0,087
|
|
26
|
0,96
|
0,8
|
0,922
|
0,640
|
0,768
|
0,868
|
0,092
|
0,008
|
0,107
|
0,011
|
0,199
|
0,040
|
0,096
|
|
27
|
0,93
|
0,83
|
0,865
|
0,689
|
0,772
|
0,849
|
0,081
|
0,007
|
0,088
|
0,008
|
0,169
|
0,029
|
0,088
|
|
28
|
0,86
|
0,94
|
0,740
|
0,884
|
0,808
|
0,776
|
0,084
|
0,007
|
0,015
|
0,000
|
0,099
|
0,010
|
0,097
|
|
29
|
0,73
|
1,06
|
0,533
|
1,124
|
0,774
|
0,698
|
0,032
|
0,001
|
-0,063
|
0,004
|
-0,031
|
0,001
|
0,044
|
|
30
|
0,39
|
1,29
|
0,152
|
1,664
|
0,503
|
0,547
|
-0,157
|
0,025
|
-0,214
|
0,046
|
-0,371
|
0,138
|
0,402
|
|
31
|
0,45
|
1,26
|
0,203
|
1,588
|
0,567
|
0,566
|
-0,116
|
0,014
|
-0,195
|
0,038
|
-0,311
|
0,097
|
0,259
|
|
32
|
0,58
|
1,19
|
0,336
|
1,416
|
0,690
|
0,612
|
-0,032
|
0,001
|
-0,149
|
0,022
|
-0,181
|
0,033
|
0,056
|
|
Итого
|
24,350
|
30,810
|
21,345
|
32,656
|
21,482
|
24,365
|
0
|
1,528
|
0
|
1,288
|
0
|
2,816
|
6,779
|
|
в
среднем
|
0,761
|
0,963
|
0,667
|
1,021
|
0,671
|
0,761
|
0
|
RSS
|
0
|
ESS
|
0
|
TSS
|
0,212
|
2. Рассчитаем коэффициент парной
корреляции:
то есть связь между средними
затратами на продукты питания (у) и ценой товара (х) средняя.
Определим коэффициент детерминации:
Итак, 45,7% вариации средних объемов
продаж объясняется вариацией доходов и на 64,3% зависит от других факторов.
. Вычислим среднюю ошибку
аппроксимации:
В среднем расчётные значения
отличаются от фактических на 21,2%, что превышает допустимые пределы 8%-10%,
следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения не удачным.
. Вычислим коэффициент эластичности:
То есть с увеличением средней цены
товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшаются на
0,83% от своего среднего уровня, а с уменьшением средней цены товара на 1% от
своего среднего уровня, средние объемы продаж увеличиваются на 0,83% от своего
среднего уровня.
Выдвигаем гипотезы:
Н0: коэффициенты
уравнения и показатель тесноты связи незначимы (Н0: a=0; b=0; rху=0);
Н1: коэффициенты
уравнения и показатель тесноты связи значимы (Н1: a≠0; b≠0;
rху≠0).
Вычислим случайные ошибки параметров
линейной регрессии и коэффициента корреляции:
По таблице критических точек
распределения Стьюдента находим
табл(a; n-m-1)=tтабл(0,05;
32)= 2,0423.
Так какb>tтабл
(5,05>2,0423);a<tтабл (1,847<2,0423);Rxy>tтабл
(5,05>2,0423);
то для коэффициента регрессии b и
корреляции гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик
отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и
надёжность. Для коэффициента регрессии а гипотеза Н0 о случайной
природе оцениваемых характеристик не отклоняется (или принимается) и признается
его статистическая незначимость и ненадёжность.
. Проверим значимость уравнения
регрессии с помощью F-критерия Фишера.
Выдвигаем гипотезы:
Н0: уравнение регрессии в
целом незначимо; Н1: уравнение регрессии в целом значимо;
Находим наблюдаемое значение
критерия:
По таблице приложения находим
критическое значение критерия: Fтабл=4,17 где F(a; m; n-m-1)=F(0,05; 1;
32)=4,17. Так как Fфакт>Fтабл (25,2>4,17), то
гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик
отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и
надёжность.
. Тождество выполняется:
Нанесём полученное уравнение на поле
корреляции:
Предположим, что между х и у связь степенная,
тогда уравнение регрессии имеет вид: ŷх=а·xb.
Построению степенной модели предшествует
процедура линеаризации переменных. Линеаризация переменных производится путём
логарифмирования обеих частей уравнения: lny=lnа+b·lnx, тогда Y=А+b·X, где
Y=lny; X=lnx; А=lna.
Составим расчётную таблицу 2.
По методу наименьших квадратов (МНК) из решения
системы:
уравнение парной линейной регрессии
Y на X имеет вид:
ŶX = -0,425 - 0,638X
Выполнив его потенцирование,
получим:
ŷх=е-0,425·х
-0,638 или ŷх= 0,656 · х -0,638
Рассчитаем индекс корреляции:
то есть связь между средними
объемами продаж (у) и ценой товара (х) средняя.
Определим индекс детерминации:
Итак, 35,8% вариации средних объемов
продаж объясняется вариацией среднего дохода потребителя и 64,2% зависит от
других факторов.
Вычислим среднюю ошибку
аппроксимации:
В среднем расчётные значения отличаются от
фактических на 325,7%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно,
с этой точки зрения можно считать выбор уравнения неудачным.
Вычислим коэффициент эластичности: 
То есть с увеличением цены товара на 1% от
своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшаются на 0,638% от своего
среднего уровня, а с уменьшением цены товара на 1% от своего среднего уровня,
средние объемы продаж увеличиваются на 0,638% от своего среднего уровня.
Проверим значимость коэффициентов регрессии и
корреляции с помощью t - критерия Стьюдента.
Выдвигаем гипотезы:
Н0: коэффициенты уравнения и
показатель тесноты связи незначимы (Н0: a=0; b=0; rху=0);
Н1: коэффициенты уравнения и
показатель тесноты связи значимы (Н1: a≠0; b≠0; rху≠0).
Вычислим случайные ошибки параметров линейной
регрессии и коэффициента корреляции:
По таблице критических точек
распределения Стьюдента находим
tтабл(a; n-m-1)=tтабл(0,05;
32)= 2,0423.
Так какb>tтабл
(4,09>2,0423);a<tтабл (1,164<2,0423);Rxy>tтабл
(4,096>2,0423);
то для коэффициента регрессии b и
корреляции гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик
отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и
надёжность. Для коэффициента регрессии а гипотеза Н0 о случайной
природе оцениваемых характеристик не отклоняется (или принимается) и признается
его статистическая незначимость и ненадёжность.
Проверим значимость уравнения регрессии с
помощью F - критерия Фишера.
Выдвигаем гипотезы:
Н0: уравнение регрессии незначимо;
Н1: уравнение регрессии значимо;
Находим наблюдаемое значение критерия:
По таблице приложения находим
критическое значение критерия: Fтабл=4,17 где F(a; m; n-m-1)=F(0,05; 1;
32)=4,17.
Так как Fфакт>Fтабл
(16,729>4,17) то гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых
характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и
надежность.
Тождество выполняется:
Нанесём полученное уравнение на
поле корреляции:
Предположим, что между х и у связь
показательная, тогда уравнение регрессии имеет вид: ŷх=а·bx.
Построению показательной модели предшествует
процедура линеаризации переменных. Линеаризация переменных производится путём
логарифмирования обеих частей уравнения: lny=lnа+x·lnb, тогда Y=А+B·x, где
Y=lny; B=lnb; А=lna. Составим расчётную таблицу 2.
|
y
|
x
|
У=lny
|
X=lnx
|
XY
|
Y2
|
X2
|
ŶX
|
Y-
ŶX
|
(Y-
ŶX)2
|
    
|
|
|
|
|
|
1
|
0,35
|
1,33
|
-1,050
|
0,285
|
-0,299
|
1,102
|
0,081
|
-0,607
|
-0,443
|
0,196
|
-0,249
|
0,062
|
-0,692
|
0,479
|
0,422
|
|
2
|
0,79
|
1,01
|
-0,236
|
0,010
|
-0,002
|
0,056
|
0,000
|
-0,431
|
0,196
|
0,038
|
-0,073
|
0,005
|
0,122
|
0,015
|
0,830
|
|
3
|
0,93
|
0,85
|
-0,073
|
-0,163
|
0,012
|
0,005
|
0,026
|
-0,321
|
0,249
|
0,062
|
0,037
|
0,001
|
0,285
|
0,081
|
3,428
|
|
4
|
1,5
|
1,2
|
0,405
|
0,182
|
0,074
|
0,164
|
0,033
|
-0,541
|
0,947
|
0,896
|
-0,183
|
0,034
|
0,763
|
0,583
|
2,335
|
|
5
|
0,47
|
1,24
|
-0,755
|
0,215
|
-0,162
|
0,570
|
0,046
|
-0,562
|
-0,193
|
0,037
|
-0,204
|
0,042
|
-0,397
|
0,158
|
0,255
|
|
6
|
0,36
|
1,32
|
-1,022
|
0,278
|
-0,284
|
1,044
|
0,077
|
-0,602
|
-0,420
|
0,176
|
-0,244
|
0,060
|
-0,664
|
0,440
|
0,411
|
|
7
|
1,08
|
0,56
|
0,077
|
-0,580
|
-0,045
|
0,006
|
0,336
|
-0,055
|
0,132
|
0,017
|
0,303
|
0,092
|
0,435
|
0,189
|
1,716
|
|
8
|
1,19
|
0,3
|
0,174
|
-1,204
|
-0,209
|
0,030
|
1,450
|
0,343
|
-0,169
|
0,029
|
0,701
|
0,492
|
0,532
|
0,283
|
0,973
|
|
9
|
1,15
|
0,41
|
0,140
|
-0,892
|
-0,125
|
0,020
|
0,795
|
0,144
|
-0,004
|
0,000
|
0,502
|
0,252
|
0,498
|
0,248
|
0,029
|
|
10
|
1,1
|
0,54
|
0,095
|
-0,616
|
-0,059
|
0,009
|
0,380
|
-0,032
|
0,127
|
0,016
|
0,326
|
0,106
|
0,453
|
0,205
|
1,334
|
|
11
|
0,87
|
0,92
|
-0,139
|
-0,083
|
0,012
|
0,019
|
0,007
|
-0,372
|
0,233
|
0,054
|
-0,014
|
0,000
|
0,219
|
0,048
|
1,670
|
|
12
|
0,64
|
1,14
|
-0,446
|
0,131
|
-0,058
|
0,199
|
0,017
|
-0,509
|
0,062
|
0,004
|
-0,151
|
0,023
|
-0,088
|
0,008
|
0,140
|
|
13
|
0,66
|
1,13
|
-0,416
|
0,122
|
-0,051
|
0,173
|
0,015
|
-0,503
|
0,087
|
0,008
|
-0,145
|
0,021
|
-0,058
|
0,003
|
0,000
|
|
14
|
0,7
|
1,1
|
-0,357
|
0,095
|
-0,034
|
0,127
|
0,009
|
-0,486
|
0,129
|
0,017
|
-0,128
|
0,016
|
0,001
|
0,000
|
0,362
|
|
15
|
1,01
|
0,72
|
0,010
|
-0,329
|
-0,003
|
0,000
|
0,108
|
-0,215
|
0,225
|
0,051
|
0,143
|
0,020
|
0,368
|
0,135
|
22,649
|
|
16
|
1,01
|
0,71
|
0,010
|
-0,342
|
-0,003
|
0,000
|
0,117
|
-0,206
|
0,216
|
0,047
|
0,152
|
0,023
|
0,368
|
0,135
|
21,752
|
|
17
|
1,03
|
0,66
|
0,030
|
-0,416
|
-0,012
|
0,001
|
0,173
|
-0,160
|
0,189
|
0,036
|
0,198
|
0,039
|
0,388
|
0,150
|
6,410
|
|
18
|
0,31
|
-1,171
|
0,300
|
-0,351
|
1,372
|
0,090
|
-0,616
|
-0,555
|
0,308
|
-0,258
|
0,067
|
-0,813
|
0,661
|
0,474
|
|
19
|
0,32
|
1,33
|
-1,139
|
0,285
|
-0,325
|
1,298
|
0,081
|
-0,607
|
-0,532
|
0,284
|
-0,249
|
0,062
|
-0,781
|
0,611
|
0,467
|
|
20
|
0,42
|
1,27
|
-0,868
|
0,239
|
-0,207
|
0,753
|
0,057
|
-0,577
|
-0,290
|
0,084
|
-0,219
|
0,048
|
-0,510
|
0,260
|
0,334
|
|
21
|
0,52
|
0,33
|
-0,654
|
-1,109
|
0,725
|
0,428
|
1,229
|
0,282
|
-0,936
|
0,877
|
0,640
|
0,410
|
-0,296
|
0,088
|
1,432
|
|
22
|
0,5
|
1,23
|
-0,693
|
0,207
|
-0,143
|
0,480
|
0,043
|
-0,557
|
-0,136
|
0,019
|
-0,199
|
0,040
|
-0,335
|
0,112
|
0,196
|
|
23
|
0,81
|
0,98
|
-0,211
|
-0,020
|
0,004
|
0,044
|
0,000
|
-0,412
|
0,201
|
0,041
|
-0,054
|
0,003
|
0,147
|
0,022
|
0,956
|
|
24
|
0,75
|
1,05
|
-0,288
|
0,049
|
-0,014
|
0,083
|
0,002
|
-0,456
|
0,168
|
0,028
|
-0,098
|
0,010
|
0,070
|
0,005
|
0,586
|
|
25
|
0,98
|
0,76
|
-0,020
|
-0,274
|
0,006
|
0,000
|
0,075
|
-0,250
|
0,230
|
0,053
|
0,108
|
0,012
|
0,338
|
0,114
|
11,370
|
|
26
|
0,96
|
0,8
|
-0,041
|
-0,223
|
0,009
|
0,002
|
0,050
|
-0,283
|
0,242
|
0,058
|
0,075
|
0,006
|
0,317
|
0,101
|
5,924
|
|
27
|
0,93
|
0,83
|
-0,073
|
-0,186
|
0,014
|
0,005
|
0,035
|
-0,306
|
0,234
|
0,055
|
0,052
|
0,003
|
0,285
|
0,081
|
3,218
|
|
28
|
0,86
|
0,94
|
-0,151
|
-0,062
|
0,009
|
0,023
|
0,004
|
-0,386
|
0,235
|
0,055
|
-0,028
|
0,001
|
0,207
|
0,043
|
1,556
|
|
29
|
0,73
|
1,06
|
-0,315
|
0,058
|
-0,018
|
0,099
|
0,003
|
-0,462
|
0,147
|
0,022
|
-0,104
|
0,011
|
0,043
|
0,002
|
0,469
|
|
30
|
0,39
|
1,29
|
-0,942
|
0,255
|
-0,240
|
0,887
|
0,065
|
-0,587
|
-0,354
|
0,125
|
-0,229
|
0,053
|
-0,584
|
0,341
|
0,376
|
|
31
|
0,45
|
1,26
|
-0,799
|
0,231
|
-0,185
|
0,638
|
0,053
|
-0,572
|
-0,226
|
0,051
|
-0,214
|
0,046
|
-0,441
|
0,194
|
0,283
|
|
32
|
0,58
|
1,19
|
-0,545
|
0,174
|
-0,095
|
0,297
|
0,030
|
-0,536
|
-0,009
|
0,000
|
-0,178
|
0,032
|
-0,187
|
0,035
|
0,016
|
|
итого
|
24,350
|
30,810
|
-11,459
|
-3,382
|
-2,062
|
9,933
|
5,490
|
-11,442
|
0
|
3,743
|
0
|
2,089
|
0
|
5,830
|
92,371
|
|
в
среднем
|
0,761
|
0,963
|
-0,358
|
-0,106
|
-0,064
|
0,310
|
0,172
|
-0,358
|
0
|
RSS
|
0
|
ESS
|
0
|
TSS
|
3,257
|
Таблица 2. Расчётная таблица
|
Y
|
x
|
xY
|
Y2
|
x2
|
Ŷх
|
Y-
Ŷх
|
 (Y- Ŷх)2 
|
|
|
|
|
1
|
-1,050
|
1,33
|
-1,396
|
1,102
|
1,769
|
-0,720
|
-0,329
|
0,314
|
0,109
|
-0,692
|
0,479
|
|
2
|
-0,236
|
1,01
|
-0,238
|
0,056
|
1,020
|
-0,405
|
0,169
|
0,718
|
0,029
|
0,122
|
0,015
|
|
3
|
-0,073
|
0,85
|
-0,062
|
0,005
|
0,723
|
-0,247
|
0,175
|
2,405
|
0,030
|
0,285
|
0,081
|
|
4
|
0,405
|
1,2
|
0,487
|
0,164
|
1,440
|
-0,592
|
0,998
|
2,461
|
0,995
|
0,763
|
0,583
|
|
5
|
-0,755
|
1,24
|
-0,936
|
0,570
|
1,538
|
-0,632
|
-0,123
|
0,163
|
0,015
|
-0,397
|
0,158
|
|
6
|
-1,022
|
1,32
|
-1,349
|
1,044
|
1,742
|
-0,711
|
-0,311
|
0,305
|
0,097
|
-0,664
|
0,440
|
0,077
|
0,56
|
0,043
|
0,006
|
0,314
|
0,039
|
0,038
|
0,495
|
0,001
|
0,435
|
0,189
|
|
8
|
0,174
|
0,3
|
0,052
|
0,030
|
0,090
|
0,295
|
-0,121
|
0,697
|
0,015
|
0,532
|
0,283
|
|
9
|
0,140
|
0,41
|
0,057
|
0,020
|
0,168
|
0,187
|
-0,047
|
0,336
|
0,002
|
0,498
|
0,248
|
|
10
|
0,095
|
0,54
|
0,051
|
0,009
|
0,292
|
0,059
|
0,037
|
0,386
|
0,001
|
0,453
|
0,205
|
|
11
|
-0,139
|
0,92
|
-0,128
|
0,019
|
0,846
|
-0,316
|
0,177
|
1,270
|
0,031
|
0,219
|
0,048
|
|
12
|
-0,446
|
1,14
|
-0,509
|
0,199
|
1,300
|
-0,533
|
0,087
|
0,194
|
0,008
|
-0,088
|
0,008
|
|
13
|
-0,416
|
1,13
|
-0,470
|
0,173
|
1,277
|
-0,523
|
0,108
|
0,000
|
0,012
|
-0,058
|
0,003
|
|
14
|
-0,357
|
1,1
|
-0,392
|
0,127
|
1,210
|
-0,494
|
0,137
|
0,384
|
0,019
|
0,001
|
0,000
|
|
15
|
0,010
|
0,72
|
0,007
|
0,000
|
0,518
|
-0,119
|
0,129
|
12,951
|
0,017
|
0,368
|
0,135
|
|
16
|
0,010
|
0,71
|
0,007
|
0,000
|
0,504
|
-0,109
|
0,119
|
11,960
|
0,014
|
0,368
|
0,135
|
|
17
|
0,030
|
0,66
|
0,020
|
0,001
|
0,436
|
-0,060
|
0,089
|
3,022
|
0,008
|
0,388
|
0,150
|
|
18
|
-1,171
|
1,35
|
-1,581
|
1,372
|
1,823
|
-0,740
|
-0,431
|
0,368
|
0,186
|
-0,813
|
0,661
|
|
19
|
-1,139
|
1,33
|
-1,515
|
1,298
|
1,769
|
-0,720
|
-0,419
|
0,368
|
0,176
|
-0,781
|
0,611
|
|
20
|
-0,868
|
1,27
|
-1,102
|
0,753
|
1,613
|
-0,661
|
-0,206
|
0,238
|
0,043
|
-0,510
|
0,260
|
|
21
|
-0,654
|
0,33
|
-0,216
|
0,428
|
0,109
|
0,266
|
-0,920
|
1,406
|
0,846
|
-0,296
|
0,088
|
|
22
|
-0,693
|
1,23
|
-0,853
|
0,480
|
1,513
|
-0,622
|
-0,071
|
0,103
|
0,005
|
-0,335
|
0,112
|
|
23
|
-0,211
|
0,98
|
-0,207
|
0,044
|
0,960
|
-0,375
|
0,165
|
0,781
|
0,027
|
0,147
|
0,022
|
|
24
|
-0,288
|
1,05
|
-0,302
|
0,083
|
1,103
|
-0,444
|
0,157
|
0,544
|
0,025
|
0,070
|
0,005
|
|
25
|
-0,020
|
0,76
|
-0,015
|
0,000
|
0,578
|
-0,158
|
0,138
|
6,839
|
0,019
|
0,338
|
0,114
|
|
26
|
-0,041
|
0,8
|
-0,033
|
0,002
|
0,640
|
-0,198
|
0,157
|
3,845
|
0,025
|
0,317
|
0,101
|
|
27
|
-0,073
|
0,83
|
-0,060
|
0,005
|
0,689
|
-0,227
|
0,155
|
2,133
|
0,024
|
0,285
|
0,081
|
|
28
|
-0,151
|
0,94
|
-0,142
|
0,023
|
0,884
|
-0,336
|
0,185
|
1,227
|
0,034
|
0,207
|
0,043
|
|
29
|
-0,315
|
1,06
|
-0,334
|
0,099
|
1,124
|
-0,454
|
0,139
|
0,443
|
0,019
|
0,043
|
0,002
|
|
30
|
-0,942
|
1,29
|
-1,215
|
0,887
|
1,664
|
-0,681
|
-0,261
|
0,277
|
0,068
|
-0,584
|
0,341
|
|
31
|
-0,799
|
1,26
|
-1,006
|
0,638
|
1,588
|
-0,651
|
-0,147
|
0,184
|
0,022
|
-0,441
|
0,194
|
|
32
|
-0,545
|
1,19
|
-0,648
|
0,297
|
1,416
|
-0,582
|
0,038
|
0,069
|
0,001
|
-0,187
|
0,035
|
|
итого
|
-11,459
|
30,810
|
-13,983
|
9,933
|
32,656
|
-11,467
|
0
|
56,886
|
2,921
|
0
|
5,830
|
|
в
среднем
|
-0,358
|
0,963
|
-0,437
|
0,310
|
1,021
|
-0,358
|
0
|
1,778
|
0,091
|
0
|
0,182
|
по методу наименьших квадратов (МНК) из решения
системы:
уравнение парной линейной регрессии
Y на x имеет вид:
Ŷх= 0,591 - 0,986х
Выполнив его потенцирование,
получим:
ŷх=е0,591·е-0,986х
или ŷх=1,799·0,375 х
Рассчитаем индекс корреляции:
то есть связь между средними
объемами продаж (у) и ценой товара (х) сильная.
Определим индекс детерминации:
Итак, 49,9% вариации средних объемов
продаж объясняется вариацией цены товара и на 50,1% зависит от других факторов.
Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:
В среднем расчётные значения отличаются от
фактических на 177,8%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно,
с этой точки зрения можно считать выбор уравнения не удачным.
То есть с увеличением (уменьшением)
цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшатся
(увеличатся) на 0,95% от своего среднего уровня.
Проверим значимость уравнения регрессии с
помощью F - критерия Фишера. Выдвигаем гипотезы: Н0: уравнение
регрессии незначимо; Н1: уравнение регрессии значимо; Находим
наблюдаемое значение критерия:
По таблице приложения находим
критическое значение критерия: Fтабл=4,17 где F(a; m; n-m-1)=F(0,05; 1;
31)=4,17.
Так как Fфакт>Fтабл
(29,9>4,17) то гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых
характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и
надежность.
Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:
Предположим, что между х и у связь
полулогарифмическая, тогда уравнение регрессии имеет вид: ŷх=а+blnx,
у=а+bХ, где X=lnx;
Составим расчётную таблицу 3.
По методу наименьших квадратов (МНК) из решения
системы:
уравнение парной линейной регрессии
y на X имеет вид:
ŷХ = 0,715 - 0,436Х
или ŷх = 0,715 - 0,436lnх
Таблица 3. Расчётная таблица
|
№
|
y
|
X
|
Xy
|
y2
|
X2
|
ŷх
|
y-ŷх
|
 (y-ŷх)2 
|
|
|
|
|
1
|
0,35
|
0,285
|
0,100
|
0,123
|
0,081
|
0,591
|
-0,241
|
0,688
|
0,058
|
-0,411
|
0,169
|
|
2
|
0,79
|
0,010
|
0,008
|
0,624
|
0,000
|
0,711
|
0,079
|
0,100
|
0,006
|
0,029
|
0,001
|
|
3
|
0,93
|
-0,163
|
-0,151
|
0,865
|
0,026
|
0,786
|
0,144
|
0,155
|
0,021
|
0,169
|
0,029
|
|
4
|
1,5
|
0,182
|
0,273
|
2,250
|
0,033
|
0,636
|
0,864
|
0,576
|
0,747
|
0,739
|
0,546
|
|
5
|
0,47
|
0,215
|
0,101
|
0,221
|
0,046
|
0,621
|
-0,151
|
0,322
|
0,023
|
-0,291
|
0,085
|
|
6
|
0,36
|
0,278
|
0,100
|
0,130
|
0,077
|
0,594
|
-0,234
|
0,650
|
0,055
|
-0,401
|
0,161
|
|
7
|
1,08
|
-0,580
|
-0,626
|
1,166
|
0,336
|
0,968
|
0,112
|
0,104
|
0,013
|
0,319
|
0,102
|
|
8
|
1,19
|
-1,204
|
-1,433
|
1,416
|
1,450
|
1,240
|
-0,050
|
0,042
|
0,002
|
0,429
|
0,184
|
|
9
|
1,15
|
-0,892
|
-1,025
|
1,323
|
0,795
|
1,104
|
0,046
|
0,040
|
0,002
|
0,389
|
0,151
|
|
10
|
1,1
|
-0,616
|
-0,678
|
1,210
|
0,380
|
0,984
|
0,116
|
0,106
|
0,014
|
0,339
|
0,115
|
|
11
|
0,87
|
-0,083
|
-0,073
|
0,757
|
0,007
|
0,751
|
0,119
|
0,136
|
0,014
|
0,109
|
0,012
|
|
12
|
0,64
|
0,131
|
0,084
|
0,410
|
0,017
|
0,658
|
-0,018
|
0,028
|
0,000
|
-0,121
|
0,015
|
|
13
|
0,66
|
0,122
|
0,081
|
0,436
|
0,015
|
0,662
|
-0,002
|
0,003
|
0,000
|
-0,101
|
0,010
|
|
14
|
0,7
|
0,095
|
0,067
|
0,490
|
0,009
|
0,673
|
0,027
|
0,038
|
0,001
|
-0,061
|
0,004
|
|
15
|
1,01
|
-0,329
|
-0,332
|
1,020
|
0,108
|
0,858
|
0,152
|
0,150
|
0,023
|
0,249
|
0,062
|
|
16
|
1,01
|
-0,342
|
-0,346
|
1,020
|
0,117
|
0,864
|
0,146
|
0,144
|
0,021
|
0,249
|
0,062
|
|
17
|
1,03
|
-0,416
|
-0,428
|
1,061
|
0,173
|
0,896
|
0,134
|
0,130
|
0,018
|
0,269
|
0,072
|
|
18
|
0,31
|
0,300
|
0,093
|
0,096
|
0,090
|
0,584
|
-0,274
|
0,884
|
0,075
|
-0,451
|
0,203
|
|
19
|
0,32
|
0,285
|
0,091
|
0,102
|
0,081
|
0,591
|
-0,271
|
0,846
|
0,073
|
-0,441
|
0,194
|
|
20
|
0,42
|
0,239
|
0,100
|
0,176
|
0,057
|
0,611
|
-0,191
|
0,454
|
0,036
|
-0,341
|
0,116
|
|
21
|
0,52
|
-1,109
|
-0,577
|
0,270
|
1,229
|
1,198
|
-0,678
|
1,305
|
0,460
|
-0,241
|
0,058
|
|
22
|
0,5
|
0,207
|
0,104
|
0,250
|
0,043
|
0,625
|
-0,125
|
0,249
|
0,016
|
-0,261
|
0,068
|
|
23
|
0,81
|
-0,020
|
-0,016
|
0,656
|
0,000
|
0,724
|
0,086
|
0,106
|
0,007
|
0,049
|
0,002
|
|
24
|
0,75
|
0,049
|
0,037
|
0,563
|
0,002
|
0,694
|
0,056
|
0,075
|
0,003
|
-0,011
|
0,000
|
|
25
|
0,98
|
-0,274
|
-0,269
|
0,960
|
0,075
|
0,835
|
0,145
|
0,148
|
0,021
|
0,219
|
0,048
|
|
26
|
0,96
|
-0,223
|
-0,214
|
0,922
|
0,050
|
0,812
|
0,148
|
0,154
|
0,022
|
0,199
|
0,040
|
|
27
|
0,93
|
-0,186
|
-0,173
|
0,865
|
0,035
|
0,796
|
0,134
|
0,144
|
0,018
|
0,169
|
0,029
|
|
28
|
0,86
|
-0,053
|
0,740
|
0,004
|
0,742
|
0,118
|
0,137
|
0,014
|
0,099
|
0,010
|
|
29
|
0,73
|
0,058
|
0,043
|
0,533
|
0,003
|
0,690
|
0,040
|
0,055
|
0,002
|
-0,031
|
0,001
|
|
30
|
0,39
|
0,255
|
0,099
|
0,152
|
0,065
|
0,604
|
-0,214
|
0,549
|
0,046
|
-0,371
|
0,138
|
|
31
|
0,45
|
0,231
|
0,104
|
0,203
|
0,053
|
0,614
|
-0,164
|
0,365
|
0,027
|
-0,311
|
0,097
|
|
32
|
0,58
|
0,174
|
0,101
|
0,336
|
0,030
|
0,639
|
-0,059
|
0,102
|
0,003
|
-0,181
|
0,033
|
|
итого
|
24,350
|
-3,382
|
-4,809
|
21,345
|
5,490
|
24,354
|
0
|
8,986
|
1,842
|
0
|
2,816
|
|
в
среднем
|
0,761
|
-0,106
|
-0,150
|
0,667
|
0,172
|
0,761
|
0
|
0,281
|
0,058
|
0
|
0,088
|
Рассчитаем индекс корреляции:
то есть связь между средними
объемами продаж (у) и ценой товара (х) средняя.
Определим индекс детерминации:
Итак, 34,6% вариации средних объемов
продаж объясняется вариацией дохода потребителя и на 65,4% зависит от других
факторов.
Вычислим среднюю ошибку
аппроксимации:
В среднем расчётные значения
отличаются от фактических на 28,1%, что превышает допустимые пределы 8% - 10%,
следовательно, с этой точки зрения можно считать уравнение не удачным.
Вычислим коэффициент эластичности:
То есть с увеличением (уменьшением)
цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшатся
(увеличатся) на 0,453% от своего среднего уровня.
Проверим значимость уравнения регрессии с
помощью F - критерия Фишера. Выдвигаем гипотезы: Н0: уравнение
регрессии незначимо; Н1: уравнение регрессии значимо; Находим
наблюдаемое значение критерия:
По таблице приложения находим
критическое значение критерия: Fтабл=4,17 где F(; m;
n-m-1)=F(0,05; 1; 32)=4,17. Так как Fфакт>Fтабл
(15,9>4,17) то гипотеза Н0 о случайной природе оцениваемых
характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и
надежность.
Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:
Составим сравнительную таблицу полученных
оценок:
|
Показатели
|
Уравнения
регрессий
|
|
Линейное
ŷх=1,393 - 0,656х
|
Степенное
ŷх= 0,656 · х -0,638
|
Показательное
ŷх=1,799·0,375 х
|
Полулогарифмическое
ŷх = 0,715 - 0,436lnх
|
|
Коэффициент
(индекс) корреляции
|
-0,676
|
0,598
|
0,706
|
0,588
|
|
Коэффициент
(индекс) детерминации
|
0,457
|
0,358
|
0,
499
|
0,346
|
|
Средняя
ошибка аппроксимации
|
21,2%
|
325,7%
|
177,8%
|
28,1%
|
|
Коэффициент
эластичности
|
-0,83%
|
-0,638%
|
-0,95%
|
-0,453%
|
|
Значимость
по F-критерию
|
Значимо
Fфакт= 25,2
|
Значимо
Fфакт=16,729
|
Значимо
Fфакт=29,9
|
Значимо
Fфакт=15,9
|
Уравнение линейной регрессии является лучшим
т.к. средняя ошибка аппроксимации в нём меньше чем в других. Рассчитаем
прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на
5% от его среднего уровня по уравнению линейной регрессии:
ŷх= 1,393 - 0,656х;
;
ŷх= 1,393 - 0,656∙1,011
= 0,73
Если прогнозное значение цены товара
увеличится на 5% от среднего уровня, т.е. станет равной 1,011 руб. то средние
затраты на продукты питания увеличатся и станут составлять 0,73 тыс. руб.