Возраст x (полное число
исполнив-шихся лет)
|
Коэффициент смертности в возрасте
x лет m(x)
|
Вероятность смерти q(x) в
интервале возрастов от x до x+1
|
Число прожитых лет умершими в
возрасте x лет a(x)
|
Число доживших до возраста x лет
l(x)
|
Число умерших d(x) в возрасте x
лет
|
Число живущих L(x) в интервале
возрастов от x до x+1лет
|
Число человеко-лет жизни в
возрастах x лет и старше T(x)
|
Ожидаемая продолжительность
предстоящей жизни e(x) в возрасте x лет
|
18
|
0,00059
|
0,00059
|
0,5
|
98758
|
58
|
98729
|
5696439
|
57,68
|
19
|
0,00070
|
0,5
|
98700
|
69
|
98666
|
5597710
|
56,71
|
20
|
0,00071
|
0,00071
|
0,5
|
98632
|
70
|
98596
|
5499044
|
55,75
|
21
|
0,00073
|
0,00073
|
0,5
|
98561
|
72
|
98525
|
5400448
|
54,79
|
22
|
0,00079
|
0,00079
|
0,5
|
98489
|
78
|
98450
|
5301922
|
53,83
|
23
|
0,00081
|
0,00081
|
0,5
|
98411
|
80
|
98371
|
5203472
|
52,87
|
24
|
0,00088
|
0,00088
|
0,5
|
98331
|
86
|
98288
|
5105101
|
51,92
|
25
|
0,00096
|
0,00096
|
0,5
|
98245
|
94
|
98198
|
5006813
|
50,96
|
26
|
0,00114
|
0,00114
|
0,5
|
98151
|
112
|
98095
|
4908615
|
50,01
|
27
|
0,00129
|
0,5
|
98039
|
126
|
97976
|
4810520
|
49,07
|
28
|
0,00140
|
0,00139
|
0,5
|
97913
|
137
|
97844
|
4712544
|
48,13
|
29
|
0,00158
|
0,00158
|
0,5
|
97776
|
155
|
97699
|
4614700
|
47,20
|
30
|
0,00177
|
0,00177
|
0,5
|
97621
|
173
|
97535
|
4517001
|
46,27
|
31
|
0,00187
|
0,00186
|
0,5
|
97449
|
182
|
97358
|
4419466
|
45,35
|
53
|
0,00619
|
0,00617
|
0,5
|
90572
|
559
|
90293
|
2337064
|
25,80
|
54
|
0,00690
|
0,00688
|
0,5
|
90014
|
619
|
89704
|
2246771
|
24,96
|
55
|
0,00801
|
0,00798
|
0,5
|
89395
|
713
|
89038
|
2157067
|
24,13
|
0,00855
|
0,00852
|
0,5
|
88681
|
755
|
88304
|
2068029
|
23,32
|
57
|
0,00912
|
0,00908
|
0,5
|
87926
|
799
|
87527
|
1979726
|
22,52
|
64
|
0,01476
|
0,01465
|
0,5
|
80925
|
1186
|
80332
|
1386803
|
17,14
|
65
|
0,01684
|
0,01670
|
0,5
|
79739
|
1332
|
79073
|
1306471
|
16,38
|
66
|
0,01841
|
0,01824
|
0,5
|
78407
|
1430
|
77692
|
1227398
|
15,65
|
67
|
0,01776
|
0,01760
|
0,5
|
76977
|
1355
|
76300
|
1149705
|
14,94
|
2.2 Страховые вероятности
На основе данных таблицы смертности нетрудно
получить систему вероятностей дожития, необходимую для расчета соответствующих
страховых показателей. Рассмотрим наиболее важные из таких вероятностей.
Вероятность прожить от возраста х до х + n:
Вероятность прожить еще один год после возраста
х лет:
ПРИМЕР Вероятность мужчине в возрасте 30 лет
прожить еще 10 лет составит:
По данным таблицы смертности находят и
вероятности смерти в определенных возрастах. Например, вероятность умереть в
возрасте от x до x+n:
Вероятность умереть через m
лет (на протяжении года m + 1) для лица в возрасте х лет составит:
В свою очередь вероятность для лица в возрасте х
лет умереть в возрастном интервале от x + m до x + m + n лет определим
следующим путем:
Из последнего выражения вытекает, что:
Иначе говоря, искомая вероятность равна
произведению вероятности дожить до возраста х + m
и вероятности умереть в следующие n лет.
В некоторых актуарных расчетах (например, в
пенсионном страховании) необходимы вероятности дожития супружеских пар. Эти
вероятности также рассчитываются по таблицам смертности. Пусть речь идет о
супругах в возрасте х и у лет и необходимо оценить вероятности прожить еще n
лет для каждого из них. Обозначим эти вероятности как nPx,
nPy. Определим их
следующим образом:
где ly,
ly
- числа доживших до соответствующих возрастов (берутся из таблиц смертности для
мужчин и женщин).
В свою очередь вероятности умереть для каждого
из супругов составят:
Рассчитаем еще две вероятности. Однако
предварительно примем две рабочие гипотезы:
оба супруга достигают возрастов х и y один день;
смерть одного супруга - страховое событие,
независимое от смерти другого супруга.
Вероятность прожить супругам вместе еще п лет
(вероятность "сохранения" супружеской пары) рассчитывается как произведение
вероятностей двух независимых событий:
В актуарной практике фигурирующие в формуле
произведения чисел доживших принято обозначать следующим образом:
Формулу теперь можно записать:
Найдем теперь вероятность того, что супруг
(заключивший договор страхования в возрасте х лет, когда его супруге было у
лет) не доживет до x + n лет, а супруга, напротив, доживет до у + n лет.
Искомая вероятность (обозначим ее как nPx)
равна произведению вероятностей:
ПРИМЕР: Пусть возраст супругов 50 и 45 лет. По
таблицам смертности находим:
. Коммутационные функции
финансовый страхование
аннуитет коммутационный
Для сокращения записи страховых аннуитетов и
упрощения расчетов применяют так называемые коммутационные функции
(commutations functions), или коммутационные числа. Смысл этих чисел трудно,
хотя и возможно, содержательно интерпретировать. Их проще воспринимать как
чисто технические, вспомогательные средства.
Стандартные коммутационные функции делятся на
две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного
возраста, вторых - числа умерших. Кратко остановимся на методике получения
наиболее важных в практическом отношении функций. Основными в первой группе
являются функции Dx и Nx:
где v - дисконтный множитель по сложной ставке
i, w> - предельный возраст, учитываемый в таблице смертности.
По определению:
В некоторых актуарных расчетах необходимы суммы
коммутационных чисел Dx для заданных возрастных интервалов. В этих случаях
можно воспользоваться коммутационными числами Nx:
На практике применяются еще два варианта функции
Nx, к которым обращаются тогда, когда платежи производятся m
раз в году. Так, для платежей постнумерандо с достаточной для практических
расчетов точностью применим следующее выражение:
Для платежей пренумерандо
Наиболее важными коммутационными функциями
второй группы являются Сх и Мх:
Между коммутационными числами обеих групп
существуют определенные взаимозависимости:
Аналогично можно доказать, что
Страховые организации разрабатывают таблицы
коммутационных функций с учетом принятых в них норм доходности.
При страховании супружеских пар возникает
необходимость в коммутационной функции:
Величина lxy определена при расчете nPxy.
Функцию можно получить на основе коммутационных
функций Dx, Dy следующим образом:
В свою очередь
ПРИМЕР: Определим коммутационные числа D50;45
и D55;50
для супружеской пары. Находим:
(х + у) / 2 = (50 + 45) / 2 = 47,5.
Коммутационные числа при условии, что процентная
ставка равна 9%, имеют следующие значения (первая строка - для мужчины, вторая
- для женщины):
D50 =1124,8; D55 = 673,1;45=
1991,9; D50= 1268,8.
Отсюда
D50;45 = 10-3 * 1124,8 *
1991'9 * 1.09475
= 134 30855;50 = D-3 * 673,1 *
1268,8 * 1,095+475 =
78 770.
По аналогии с функцией Nx найдем:
. Стоимость страхового аннуитета
Отправным моментом актуарного анализа является
определение стоимости страхового аннуитета. Для записи формул введем следующие
обозначения для стоимостей годовых аннуитетов постнумерандо:
аx
- для немедленного пожизненного аннуитета,x:t|, - для немедленного
ограниченного аннуитета,
n|ax
- для отложенного пожизненного аннуитета,
n|ax:t|
-
для отложенного ограниченного аннуитета.
Аналогичная символика применяется и для
аннуитетов пренумерандо, однако вместо символа а записывается а.
Пусть
лицу, начиная с возраста х лет, пожизненно в конце каждого года выплачивается
по 1 рублю (аннуитет пожизненный, постнумерандо, немедленный). Тогда
Умножим числитель и знаменатель каждого
слагаемого на v*. После чего можно применить коммутационные функции Dx и Nx для
расчета немедленного, пожизненного аннуитета постнумерандо с ежегодными
выплатами:
Аналогичным образом определим стоимости других
видов аннуитета. Так, для немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо с
ежегодной выплатой по 1 руб. имеем:
Нетрудно убедиться в том, что
Формулы для расчета различных видов годовых
аннуитетов приведены в табл. 2
В таблице 2 приведены формулы для годовых
аннуитетов. Если платежи выплачиваются m раз в году, то в формулах вместо Nx
следует использовать Nx(m)или
Nx(m).Приведем
формулы для соответствующих аннуитетов при условии m=
12.
Таблица 2
Для ежемесячных платежей постнумерандо имеем
следующие выражения. Немедленный
пожизненный аннуитет:
Немедленный ограниченный аннуитет:
Отложенный пожизненный аннуитет:
Отложенный ограниченный аннуитет:
ПРИМЕР: С ежемесячными выплатами, получим:
Для ежемесячных выплат постнумерандо находим
следующие соотношения.
Немедленный пожизненный аннуитет:
Немедленный ограниченный аннуитет:
Отложенный на n лет пожизненный аннуитет:
Отложенный ограниченный (выплаты в течение t
лет) аннуитет:
Современные стоимости регулярных потоков
платежей (обозначим их, как это принято в финансовой математике, через Ах)
определяются элементарно. Если размер годового платежа равен R, то для
немедленного пожизненного потока годовых платежей пренумерандо имеем Ах = R *ax,
а для аналогичного, но отложенного на n лет аннуитета, n|Ax=
R* n|Rx
и т.д.
. Расчётная
часть
Задача № 1: Кредит в размере 110 тыс. руб. выдан
3 марта до 15 декабря под 11% годовых, год не високосный. Определить размер
наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета
простых процентов.
Решение:
) Точные проценты с точным числом дней
ссуды(365/365)
Найдём срок ссуды:
29+30+31+30+31+31+30+31+30+15=288
Найдём размер наращенной суммы:
=PV*(1+t/k*i) =
110000*(1+288/365*0.11) = 119547руб.39коп
2) Обыкновенные проценты с точным числом дней
ссуды(365/360)
=110000(1+288/360*0.11) = 119680руб
3) Обыкновенные проценты с приближенным числом
дней ссуды(360/360)
Найдём срок ссуды:
29+30*8+15=284
Найдём размер наращенной суммы:
=PV*(1+t/k*i) =
110000*(1+284/360*0.11) = 119545руб.
55коп.
Ответ: 119545руб. 55коп.
Задача № 2: Сумма 500 тыс. руб. выплачивается
через 2 года. Необходимо определить ее современную стоимость при условии, что
применяется ставка сложных процентов 11% годовых.
Решение:
Применим формулу:
PV =
Ответ:
Задача № 3: Долговое обязательство приобретено
за 78 тыс. руб., а погашалось по сумме 93 тыс. руб. Срок - 3 года. Определить
величину сложной процентной ставки.
Решение:
Применим формулу:
Ответ 6%
Задача № 4: Облигация номиналом 40 тыс. руб. под
11% годовых погашается по тройному номиналу. На какой срок размещается заем при
условиях наращения по сложной ставке процентов.
Решение:
Ответ: 10 лет
Задача № 5: Сумма обыкновенных процентов по
облигации за год составила 2500 руб. Определить сумму точных процентов, если
год - високосный.
Решение:
Ответ: сумма точных процентов составит 2465.75
руб.
Задача № 6: Определить величину накопленных за 5
лет средств, если размер ежегодного платежа 6,3 тыс. руб., процентная ставка
16% годовых при начислении процентов два раза в год.
Решение:
43876руб 62 коп.
Ответ:43876руб.62коп. Задача № 7: Два платежа: 4 и 6 тыс. руб. со сроками уплаты
110 и 70 дней соответственно объединяются в один со сроком 90 дней. Определить
консолидированную сумму платежей, используя простую учетную ставку 18% годовых.
Решение:
, где
j - размеры объединяемых платежей со сроками nj
< n0,
FKk - размеры
платежей со сроками nk > n0.- срок от момента учета до даты погашения;-
простая учетная ставка.
Ответ: консолидированная сумма платежей равна
10020.60 руб.
Задача № 8: Определить размер периодических
взносов в фонд, предназначенный для погашения кредита в сумме 20 тыс. руб.,
если проценты на вносимые средства начисляются ежемесячно по ставке 17% годовых
в течение 2 лет и 3 месяцев.
Решение:
Ответ: Размер периодических ежегодных взносов руб.
Задача № 9: За 2 месяца до даты погашения
вексель учтен по простой учетной ставке 22% годовых. Определить доходность
учетной операции в виде сложной процентной ставки (ежемесячная капитализация).
Решение:
Формулы эквивалентности ставок можно получить,
исходя из равенства взятых попарно множителей наращения. Для этого следует
применять формулы для определения наращенной суммы, с использованием различных
ставок процентов (ставок наращения и учетных ставок):
= P * (1 + n * is) S = P * 1 / 1 - n
* ds
Приравнивая множители наращения в формулах,
получаем:
+ n * is = 1 / 1 - n * ds
Выражаем
is is = ds / 1 - n* ds, где
n - срок кредита в годах;- простая учетная
ставка.
Подставляем значения в формулы:
= ds
/ 1 - n* ds
= 0,2/ 1 - 1 *0,2 = 0,2 / 0,2 = 0,25
Ответ: доходность учетной операции составит 0,25
%.
Задача № 10: Рассчитать сумму ежегодного погашения
трехлетнего потребительского кредита при покупке бытовой техники на сумму 115
тыс. руб., если проценты по ставке 18% годовых начисляются два раза в год.
Решение:
/ 3 = 64288,83 -
ежегодный платёж
Ответ: 64288,83 - ежегодный платёж
Задача № 11: Суммы в размере 20, 30 и 50 тыс.
руб. должны быть выплачены через 1 год, 230 и 138 дней соответственно.
Определить сумму консолидированного платежа при использовании простой
процентной ставки 14% годовых, если срок равен 2 года.
Решение:
+
Ответ:
Заключение
При страховании аннуитета страхователь
уплачивает единовременно или в рассрочку страховую премию, за счет которой
страховщик обязуется выплачивать застрахованному в течение известного числа лет
или пожизненно определенный годовой доход (ренту или аннуитет, пенсию).
С точки зрения актуарных расчетов и формирования
страховых резервов страхование подразделяется на накопительное (страхование
жизни и пенсий) и рисковое (все остальные виды страхования, кроме страхования
жизни). В основе страхования жизни также лежит неопределенность в отношении
того, сколько лет проживет застрахованное лицо. Для каждого конкретного
застрахованного существует определенный риск (вероятность) не дожить до
окончания действия договора. Данный вид страхования относится к накопительным
видам, так как цель его не только обеспечить себя или иное лицо страховой
защитой, но и накопить за период действия договора страхования определенную
денежную сумму (обеспечение). Накопление страховой суммы происходит за счет
инвестиционного дохода, полученного от размещения резервов по страхованию
жизни, а также взносов тех застрахованных, которые не дожили до конца срока
страхования.
Термин "накопительное страхование"
отражает интерес страхователя, заключающийся в накоплении определенной денежной
суммы целевого характера относительно небольшими страховыми взносами. Этот
интерес в наибольшей степени удовлетворяется договорами смешанного страхования
жизни, поскольку по такому договору выплата полной страховой суммы производится
и при дожитии застрахованного до конца срока страхования, и в случае его смерти
в период действия договора. Страхование
жизни связано с предоставлением страховщиком в обмен на уплату страховых премий
гарантии выплатить определенную сумму денег (страховую сумму) страхователю или
указанным им третьим лицам в случае смерти застрахованного или его дожития до
определенного срока.
При страховании жизни страхуется риск
продолжительности человеческой жизни. Таким образом, риском является не сама
смерть, а время ее наступления. В связи с этим страхуемый риск имеет три
аспекта:
вероятность умереть до срока, установленного в
качестве средней продолжительности жизни;
вероятность умереть или выжить в течение
определенного периода времени;
вероятность дожить до возраста, превышающего
среднюю продолжительность жизни, что требует получения регулярных доходов без
продолжения трудовой деятельности.
Страхование жизни позволяет преодолеть
недостаточность системы государственного социального обеспечения и способствует
увеличению личных доходов населения. Кроме того, полис страхования жизни
представляет собой гарантию или обеспечение при осуществлении целого ряда
финансово-кредитных операций. Таким образом, страхование жизни выполняет
следующие функции: защита семьи в
случае потери кормильца и дохода умершего члена семьи;
обеспечение в случае временной или постоянной
утраты трудоспособности (инвалидности);
обеспечение пенсии в старости;
накопление средств для оказания материальной
поддержки детям при достижении совершеннолетия, для оплаты их образования
(образовательное страхование);
накопление средств (страхование капиталов);
гарантия возврата кредита (страхование жизни
заемщиков кредита, ипотечное страхование);
возможность получения ссуды в страховой компании
на льготных условиях.
Цели курсовой работы выполнены, поставленные
задачи проработаны.
Список использованных источников
. Финансы. Пер.с англ.:
Уч.пос.-М.: Издательский дом "Вильямс", 2011. - 592с.
. Судебно - практический
комментарий к страховому законодательству: Учебник, - В.Ю.Абрамов, С.В.Дедиков
2010.
. Страхование от А до Я.
Книга для страхователей / Под ред. Корчевской Л.И., 2010.
. Страховое право: Учебник, -
М.: МГИУ, 2009. -191с
. Книга начинающего
инвестора. Куда и как вкладывать личные деньги. -Спб.: Питер, 2008. - 224 с.
. Четыркин Е.М. - Финансовая
математика. Учебник 2004
. Шелехов К.В., Бигдаш В.Д.
Страхование: Учебное пособие. - К.: МАУП, 1998.
. Турбиной К.Е. - М.:
ИНФРА-М, 1996.
. База данных Смертность
человека. http://www.mortality.org
. Википедия. Свободная
энциклопедия. http://ru.wikipedia.org