Анализ переходных процессов электрических цепей
Контрольная
работа
Расчет
переходных процессов в линейных электрических цепях
Введение
линейный
электрический цепь переходный
Данная курсовая работа
посвящена изучению переходных процессов.
Основной целью работы является
приобретение навыков использования теоретических знаний на практике, при
расчете переходных процессов, происходящих в линейных электрических цепях.
Данная работа содержит
теоретическую информацию, необходимую для анализа переходных процессов. Среди
всех существующих методов расчета переходных процессов наибольшее внимание в
данной работе уделено классическому и операторному методу анализа.
В результате чего произведено
более глубокое и эффективное изучение материала по теме: Анализ переходных
процессов электрических цепей, а также освоение новых программ и приложений,
требуемых при построении схем, графиков и расчёте формул.
1. Расчет переходных процессов в линейной
электрической цепи классическим и операторным методом
Содержание задания: дана
электрическая цепь, в которой в момент времени 
происходит коммутация, переключение
ключа из положения 1 в положение 2, т.е. цепь от источника тока синусоидального
напряжения 
переключается
к источнику постоянного напряжения 
. Параметры источников и
электрической цепи заданы в таблицах.
Необходимо рассмотреть переходный
процесс в цепи второго порядка и определить закон изменения во времени тока в
одной из ветвей или напряжения на каком-либо элементе после коммутации, решив
задачу двумя методами:
1) классическим;
2) операторным.
На основании полученного
аналитического выражения требуется построить график изменения искомой величины
в функции времени в интервале от до 
, где 
-
меньший по модулю корень характеристического уравнения, используя программы Mathcad или Excel.
Определить 
.
Решение
. Классический метод
1.1 Определяем
независимые начальные условия.
Схема до коммутации.
До коммутации подключен источник
гармонического напряжения 
, поэтому
перейдем к комплексной схеме замещения цепи. Укажем в ней условно положительные
направления для комплексных амплитудных значений токов ветвей.
Запишем параметры комплексной схемы замещения:
;
;
;
;
;
;
;
.
Найдем независимые начальные условия
(ННУ), т.е. определим ток через индуктивность 
и напряжение емкости 
в схеме до
коммутации 
.
Общее сопротивление цепи относительно зажимов
источника:
Ток в ветви с источником:
.
Напряжение параллельного участка
цепи, между узлами 1 и 2 :
Определяем токи в параллельных
ветвях:
Напряжение емкости:
Перед коммутацией ток индуктивности
и напряжение емкости изменялись по законам:
.
.
По законам коммутации:
.
.
Зависимое начальное условие:
.
.
Цепь при 
. Определяем
принужденную составляющую
В цепи после коммутации подключается источник
постоянного напряжения, поэтому индуктивность представляет собой короткое
замыкание ветви, а емкость - разрыв ветви.
.
Составим характеристическое уравнение
Для этого в цепи после коммутации
все источники положим равными нулю, и найдем входное сопротивление цепи 
относительно
любой ветви:
Преобразуем полученное выражение к
отношению двух полиномов:
Подставляя числовые значения,
получим:
Приравняв 
к нулю,
получим корни характеристического уравнения:
.
.
получим корни характеристического уравнения:
.
Здесь: 
-
коэффициент затухания переходного процесса;
- частота свободных колебаний.
Запишем мгновенное значение искомого
тока в общем
виде.
Учитывая, что корни
характеристического уравнения комплексно-сопряженные, переходные процессы в цепи
носят колебательный характер.
Продифференцируем:
Определяем постоянные интегрирования
При из уравнений и 
получим
систему уравнений:
Для определения зависимых начальных
условий: 
и 
составим
систему дифференциальных уравнений для цепи после коммутации:
При (момент коммутации), получим:
По законам коммутации:
.I ННУ
.II ННУ
Из уравнения (4):
(7)
Подставляем (7) в (6):
Отсюда:
IIIЗНУ
Из уравнения (5), с учетом
найденного значения :
IVЗНУ
Теперь продифференцируем систему уравнений (1),
(2), (3):
Из уравнения (8):
Подставляем (11) в (10):
Отсюда:
(12)
Учитывая, что
и 
,
или
Подставляя (13) , (14) в уравнение
(12), получим:
(15)
Для момента , из
уравнения (15), с учетом найденных выше, III ЗНУ и IV ЗНУ,
получим:
V ЗНУ
Возвращаемся к системе для
определения постоянных интегрирования:
Подставляем значения III ЗНУ и VЗНУ:
Из первого уравнения системы:
Подставляем во второе уравнение
системы:
Отсюда:
Из первого уравнения системы:
.
Итак, получаем закон изменения искомого тока
.
2. Операторный метод
Определяем независимые начальные условия.
Выше уже были определены классическим методом
ННУ:
.I ННУ
.II ННУ
Составим операторную схему замещения после
коммутации.
Система уравнений по законам
Кирхгофа в операторной форме:
Подставляем числовые значения:
Эту систему запишем в матричной форме:
Найдем определитель системы и его алгебраические
дополнения:
Определяем искомое изображение тока по формуле
Крамера:
Для нахождения оригинала тока, используем
формулу разложения.
Определим корни полинома
знаменателя:
=> 
.
;
Т.к. корни комплексно сопряженные,
то коэффициенты при экспонентах в случае комплексно-сопряженных корней тоже
будут комплексно-сопряженными, поэтому при суммировании мнимая часть будет
равна нулю и ток можно определить, как удвоенное значение вещественной части
первого или второго слагаемых:
Находим производную 
:
Преобразуем полученное выражение к виду:
, где 
Здесь:
,
,
Итак, получаем:
.
Как видно из полученных результатов,
ток, рассчитанный операторным методом, совпадает с выражением, полученным
классическим методом.
Построим график, в интервале от до .
В случае комплексно-сопряженных
корней:
.
График 1.
Заключение
В ходе выполнения данной я научился по заданной
цепи рассчитывать переходный процесс а, также приобрёл навыки вычисления
искомой величины по трём методам: 1 - классическому; 2 - операторному. В
результате расчётов мне пришлось прибегнуть к пакету программного обеспечения MathСad,
установленного на вычислительной машине, на которой я проводил необходимые
вычисления. Это помогло мне найти неизвестные величины с высокой точностью.
Также в данной работе я научился строить графики установки переходного процесса
при помощи того же программного обеспечения MathCad.
В целом данная работа представляет собой большой
материал для изучения и исследований, а также способствует развитию у студентов
навыков элементарного расчета электрических схем и изучения происходящих в них
процессов.
Список литературы
1. С.Ю Креслина, А.Т.
Аршабекова. Теоретические основы электротехники.
Методические указания и задания к
курсовой работе для студентов специальности 5В070200- Автоматизация и
управление. -Алматы: АУЭС,2013- 12 с.
. Зевеке Г.В., Ионкин П.А.,
Петушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей.= М.:Энергоатомиздат, 1989. -528
с.