Проектирование учебных исследований по теме 'Четырехугольники' на основе использования динамических моделей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Северо-Казахстанский государственный университет

им. М.Козыбаева

Факультет Информационных Технологий

Кафедра «Математика»

Курсовая работа

На тему: «Проектирование учебных исследований по теме «Четырехугольники» на основе использования динамических моделей»

Автор: Исин Т.Ж.

Руководитель: Рванова А.С

Петропавловск 2013г.

Введение

Учебные исследования занимают особое место в обучении математике и выполняют функции открытия новых знаний, углубления изучаемых знаний, систематизации изученных знаний, развития учащихся и обучения их новым видам деятельности [1].

Современные компьютерные технологии дают новые возможности в организации исследовательской деятельности учащихся по геометрии. Использование динамических моделей в процессе обучения позволяет выдвигать гипотезы о свойствах заданной геометрической ситуации. При этом в ходе динамики модели характеристические свойства геометрической ситуации должны оставаться неизменными. Например, если исследуются свойства параллелограмма, то данный четырехугольник изначально должен быть построен так, чтобы при изменении модели он оставался параллелограммом. В основу создания модели параллелограмма могут быть положены его определение или признаки. Выше сказанное определяет актуальность темы исследования.

Объект исследования: процесс обучения геометрии в общеобразовательной школе.

Предмет: проектирование учебных исследований по теме «Четырехугольники» на основе использования динамических моделей.

Цель работы: выявить особенности учебных исследований по теме «Четырехугольники» на основе использования динамических моделей.

Задачи работы:

1.   Выявить роль и место учебных исследований в обучении математике.

2.      Изучить возможности динамической среды в организации учебных исследований.

.        Разработать содержание учебных исследований по теме «Четырехугольники» с использованием динамических моделей.

Структура работы. Основная часть работы состоит из 2 глав. Первая содержит теоретические основы проектирования учебных исследований по математике на основе использования динамических моделей. Во второй главе рассматриваются содержание и методические особенности проектирования учебных исследований по теме «Четырехугольники» на основе использования динамических моделей.

1. Теоретические основы проектирования учебных исследований по математике на основе использования динамических моделей

1.1 Роль и место учебных исследований в обучении математике

Формирование у школьников интереса к решению задач, проведению математических учебных исследований является важнейшим средством не только развития интереса к математике и ее изучению, но и, вместе с тем. эффективным средством приобщения учащихся к учебной математической деятельности творческо-поискового характера

Учебные исследования, развивают интерес к математике, приобщают учащихся к самостоятельной поисковой и творческой деятельности математического характера. В процессе этой деятельности учащиеся овладевают навыками наблюдения, экспериментирования, сопоставления и обобщения фактов, делают определенные выводы. Поэтому необходимо создавать условия, способствующие возникновению у учащихся познавательной потребности в приобретении знаний. в овладении способами их использования и влияющие на формирование умений и навыков исследовательской деятельности.

Развивающая функция исследовательской деятельности по математике заключается в том, что в процессе ее выполнения происходит усвоение методов и стиля мышления, свойственных математике, воспитание осознанного отношения к своему опыту, формирование черт творческой деятельности и познавательного интереса к различным аспектам математики.

Мотивом учебного исследования может служить интерес, внутреннее противоречие, вызывающее потребность, стремление школьника к исследованию неопределенности, содержащей знания, ранее неизвестные ему. При этом проблемная ситуация является условием возникновения у субъекта деятельности внутреннего противоречия. Фиксация проблемной ситуации (вычленение основного противоречия) заканчивается формулированием проблемы - цели исследования. В учебном исследовании целеполагание становится движущей силой только тогда, когда цель субъективно важна и значительна для участника этого процесса [1].

Большое значение исследованиям в обучении математике уделял известный отечественный педагог-математик Л. Л. Столяр [2]. Он предлагал привлекать учащихся к построению маленьких теорий, построение которых основано на модели (рисунок 1), выделяющей три основных аспекта математической деятельности:

). математическое описание конкретных ситуаций или математизация эмпирического материала (МЭМ);

). логическая организация математического материала (ЛОММ), полученного в результате первого аспекта деятельности или построение математической теории;

). применение математической теории (ПМТ ) полученной к результате второго аспекта деятельности.

Рисунок 1 Модель построения математической теории

Представленная модель, разумеется, отражает лишь упрощенно, схематично моделируемый объект, т. е. реальную математическую деятельность.

Математический материал, полученный в качестве описания конкретной ситуации обычно представляет собой конечное множество М={р1,р2,…. рn} предложений. Под ЛОММ следует понимать выявления из М возможно минимального подмножества А (АММ) посылок («локальных аксиом»), из которых можно вывести все остальные предложения М. Следовательно, такая «локальная аксиоматика» ЛОММ (в рамках небольшой темы) и означает построение маленькой теории.

Таким образом, три основных аспекта модели выполняют различные функции: решение проблем первого аспекта дает новые знания; решение проблем второго аспекта приводит эти знания в систему; решение проблем третьего аспекта раскрывает новые возможности применения этой системы знаний.

Необходимо исходить из реальных ситуаций и задач, возникающих как в самой математике, так и вне математики, чтобы ими мотивировать необходимость дальнейшего развития математических знаний. В последнем случае подобные исследования часто начинаются с поиска математического языка для описания рассматриваемой ситуации, изучаемого объекта, построения его математической модели. Построенная модель подлежит затем исследованию с помощью соответствующей теории (если она уже построена). Или для этой цели необходимо дальнейшее развитие теоретических знаний, построение теории изучаемого объекта. И, наконец, построенная теория с помощью различных интерпретаций применяется к новым объектам.

Описание исследований осуществляется в виде решения нескольких серий задач на доказательство, связанных общей идеей ЛОММ. Организованная таким образом работа способствует получению эквивалентных определений изучаемого понятия и систематизации знаний. А. А. Столяр отмечает, что если преподавание нацелено на организацию рассуждений учащихся с тем, чтобы они были в состоянии открывать для себя те факты, которые составляют содержание предложений системы, а затем и логически упорядочить их, то это приводит к более быстрому развитию мышления учащихся и к пониманию изучаемого материала.

Процесс организации, методические особенности работы учителя, пути активизации исследовательской деятельности учащихся, были предметом изучения Е. В. Ларькиной [3]. Ее идея заключается в решении исследовательских заданий, которые предполагают формирование, например, такого элемента исследовательской деятельности как организация полного и сокращенного перебора возможных вариантов решения. Метод решения подобного задания состоит в полном переборе всех возможных вариантов решения. По окончании решения задания учащиеся обобщают полученный результат. Пути активизации деятельности учащихся в ходе решения такого задания предлагаются следующие: учащиеся подбирают вопросы к условию задания с целью поиска метода решения, записывают ход своих рассуждений, аргументируют свои действия; учитель, в свою очередь, организует дискуссию, разбивает задание на подзадачи, выступает в роли оппонента в ходе дискуссии, корректирует действия учащихся, организует повторную дискуссию.

А.А. Окунев [4] полагает, что навыки исследовательской работы формируются в том случае, когда ученик является активным участником поиска нескольких способов решений одной задачи. Это может происходить и на лабораторно-практических занятиях, и в процессе изучения теоретического материала на уроке, и в ходе самостоятельных домашних исследований. При этом исследования организуются с целью обнаружения законе- мерностей, выявления свойств фигур и т. П. Мнение А. А. Окунева разделяют Э. Г. Гетман и 3. А. Скопец [5]. Они считают, что. Решая одну и ту же задачу различными методами, можно лучше исследовать специфику того или иного метода решения, его преимущества и недостатки в зависимости от содержания задачи. Ученые утверждают, что. В ходе решения данной задачи нужно стремиться к тому, чтобы научиться сразу видеть тот или иной способ пригодный для ее решения. Нередко найденный способ решения может быть полезен в дальнейшем для решения более трудных задач. Решение задач, допускающих вариативность решений - увлекательная работа, требующая знания многих разделов школьной математики.

Идею поиска различных способов решений одной задачи продолжают Г. Домкина и Г. Лаптева [6], которые демонстрируют возможность применения почти всей планиметрии (15 способов решения) в одной геометрической задаче.

Н. И. Зильберберг [7] рекомендует в каждой учебной теме выделять отдельным пунктом исследовательские задания школьников и указывает несколько путей привлечения учащихся к исследовательской деятельности: работу с утверждениями следует строить по специальной схеме; полезна работа со статьями из журналов и книг; следует организовывать самостоятельное открытие теорем и получать новые признаки изученной фигуры.

Е. В. Баранова [8] считает, что учебные исследования целесообразно организовывать, во-первых, при выявлении существенных свойств понятий, установлении связей данного понятия с другими; во-вторых, при изучении теоремы: ознакомлении с фактом, отраженном в теореме, доказательстве теоремы (в том числе с разными способами), обобщении теоремы, составлении обратной теоремы и проверке ее истинности, установлении связей данной теоремы с другими.

Анализ научно-методических источников показывает, что учебные исследования целесообразно включать в процесс обучения: а) выявления существенных свойств понятий или отношений между ними; б) установления связей данного понятия с другими; в) выделения частных случаев некоторого факта в математике: г) обобщения различных вопросов: д) классификации математических объектов. Отношений между ними, основных фактов данного раздела математики; е) решения задач различными способами; ж) отличия ошибочных рассуждений от правильных; з) составления новых задач, вытекающих из решения данных; и) работы над формулировкой и доказательством математического утверждения и т. Д.

Работы таких методистов-исследователей, как Э. Г. Готмана, В. А. Далингера, Г. В. Дорофеева, А. А. Окунева, Н. М. Рогановского, Н. В. Толпекиной и других, посвященные привлечению учащихся к исследовательской деятельности в процессе решения задач, подтверждают, что результатом такой работы является не только развитие исследовательских умений и творческой самостоятельности учащихся, но и закрепление полученных знаний, их углубление, систематизация и обобщение.

В настоящее время учебные исследования используются преимущественно для достижения развивающих целей обучения, поскольку они являются мощным инструментом формирования мышления, так как: обладают большими потенциальными возможностями для развития умственных операций; формируют активность и целенаправленность мышления; развивают гибкость мышления; формируют культуру логических рассуждений; способствуют овладению исследовательскими методами математических знаний; развивают творческую самостоятельность.

К основным дидактическим функциям учебных исследований В. А. Далингер и Н. В. Толпекина [9] относят следующие функции:

функцию открытия новых (неизвестных ученику) знаний (т. Е. установление существенных свойств понятий; выявление математических закономерностей; отыскание доказательства математического утверждения и т. П.);

функцию углубления изучаемых знаний (т. Е. получение определений. Эквивалентных исходному; обобщение изученных теорем; нахождение различных доказательств изученных теорем и т. П.);

функцию систематизации изученных знаний (т. Е. установление отношений между понятиями; выявление взаимосвязей между теоремами; структурирование учебного материала и т. П.);

функцию развития учащегося, превращение его из объекта обучения в субъект управления, формирование у него самостоятельности к самоуправлению (самообразованию, самовоспитанию, самореализации);

функцию обучения учащихся способам деятельности.

1.2 Структура учебного исследования по математике

Эффективное использование учебных исследований при обучении математике предполагает знание их структуры и назначения ее основных компонентов. Для этого обратимся к анализу точек зрения психологов, педагогов, математиков и методистов, относящихся к исследуемой нами проблеме.

Обычно в психологических описаниях процесса мышления отмечается, что его началом является постановка вопроса; первая фаза - это выявление задачи (или проблемы); далее человек выдвигает те или иные гипотезы, осуществляет их проверку (практическую или умственную), сопоставляет гипотезы и результаты их проверки, вносит коррекции и т. Д. Завершается мыслительный процесс решения задачи ответом на вопрос. Очень часто завершаемым моментом данного процесса является постановка нового вопроса.

Отметим, что далеко не всегда человек легко и просто «видит» вопросы (проблемы, задачи), которые перед ним ставятся. Его нужно учить умению «видеть» вопросы и тем более формулировать гипотезы и проверять их.

Многими психологами отмечается, что в процессе мышления объект как бы поворачивается разными сторонами, и, это позволяет выявить его скрытые свойства (С. J1. Рубинштейн); в ходе деятельности с объектом возникают не только прямые, но и побочные продукты, обнаружение которых дает толчок к творческому решению задачи (Я. А. Пономарев); важным моментом процесса мышления является умственный эксперимент.

Г. Реверш [10] перечисляет 4 фазы творческого процесса: 1) подготовительная фаза (овладение материалом и концентрация мысли на творческой задаче); 2) инкубационная фаза - неосознанная работа еще неоформленной мысли; 3) творческая интуиция - нахождение принципа решения в еще неясной форме; 4) оформление творческого замысла.

Наиболее отчетливо компоненты учебного исследования были выделены еще Генрихом Пестолоцци, который создал систему обучения, основанную на наблюдении, обобщении этих наблюдений и выработке понятий. Впоследствии эти основные компоненты уточнялись как зарубежными, так и отечественными педагогами и методистами. Например, В. Ю. Ульянинский и К. П. Ягодовский, характеризуя исследовательскую работу в ее школьном применении как самостоятельное решение разного рода вопросов, выделили этапы: 1) непосредственного активного наблюдения, 2) самостоятельного экспериментирования исходного и проверочного, и 3) самодеятельного творческого воспроизведения. Н. В. Новожилова отмечает, что для учебного исследования в научной сфере характерны такие этапы:

)        постановка проблемы;

)        изучение информации по этой проблематике;

)        выбор методов исследования и практическое овладение ими;

)        сбор собственного материала;

)        анализ и обобщение;

)        формулирование выводов.

В работах педагога Б. Е. Райкова определен исследовательский метод как «метод умозаключения от конкретных фактов, самостоятельно наблюдаемых и изучаемых школьниками», и выделены следующие стадии этого процесса:

)        наблюдение и постановка вопросов;

)        построение предположительных решений;

)        исследование предположительных решений и выбор одного из них как наиболее вероятного;

)        проверка гипотезы и окончательное ее утверждение.

Определив сущность исследовательского метода. И. Я. Лернер

выделяет следующие этапы учебного исследования:

)        наблюдение фактов и явлений;

)        выяснение непонятных явлений, подлежащих исследованию;

)        объяснение этих фактов;

)        фактические выводы, требующие приложения знаний о данном факте или явлении.

А. К. Маркова [11] в качестве этапов учебного исследования предлагает следующее:

)        повторение и заучивание известных способов решения задач (репродуктивная деятельность);

)        постановка проблемы;

)        выдвижение гипотез;

)        проверка гипотез и определение выводов;

)        самостоятельный поиск новых проблем и новых способов их решения (творческая, продуктивная мыслительная деятельность).

Несмотря на различную терминологию, употребляемую разными авторами, нетрудно выделить то общее содержание, которое ими раскрывается, то есть схему исследования: наблюдение - проблема - эксперимент - вывод. Но этими авторами процесс познания нового рассматривался применительно к любому школьному предмету. Для нас интерес представляют учебные исследования при изучении математики.

Рассмотрим, какие этапы математических учебных исследований выделяются в методической литературе по математике. Так. М.Д. Касьяненко представляет общую схему математического исследования следующим образом:

а)      изучение связей между рассматриваемыми объектами; поиск других объектов, имеющих общие свойства с данными;

в)      построение новых понятий и гипотез:

г)      проверка гипотез и понятий:

д)      систематизация полученных результатов;

е)      отыскание границ их применимости.

Г. К. Муравин [12] представляет самостоятельные исследования учащихся по математике в виде следующего относительно завершенного исследовательского цикла: наблюдение - гипотеза - проверка гипотезы.

Применительно к процессу обучения математике в средней школе, А. Е. Захарова и Г. Б. Лудина к основным компонентам учебного исследования относят:

постановку проблемы исследования;

осознание его целей:

предварительный анализ имеющейся информации по рассматриваемому вопросу;

условия и методы решения задач, близких к проблеме исследования;

выдвижение и формулировка исходной гипотезы;

анализ и обобщение полученных в ходе исследования результатов;

проверка исходной гипотезы на основе полученных фактов;

окончательная формулировка новых результатов, свойств, закономерностей;

определение места найденного решения поставленной проблемы в системе имеющихся знаний.

О.Б. Епишева выделяет такие этапы проведения учебного исследования:

организация условий для возникновения проблемной ситуации или создание проблемной ситуации;

определение проблемы и ее формулировка:

поиск путей решения проблемы, выделение частных проблем;

выдвижение различных гипотез, коллективное и индивидуальное решение проблемы, проверка его правильности и исправление ошибок.

Анализ научных источников показал, что различия в содержательной стороне выделенных разными авторами этапов учебного исследования и их количестве, объясняются существованием различных видов математических исследований.

Рассматривая исследования определенного вида, каждый автор выделяет этапы, наиболее характерные именно для него. Однако легко заметить, что многие из них отражают одну и ту же суть. Так, например, этапы - наблюдение, изучение связей между данными объектами, анализ имеющейся информации можно объединить в один этап учебного исследования, суть которого в изучении и анализе заданной ситуации. С данным этапом напрямую связана постановка проблемы исследования. В одних случаях с проблемы начинается исследование, а в других проблема есть результат наблюдений за данными объектами.

Проблема, как категория дидактической логики, определяется как «знание о незнании», как некоторую разновидность вопроса, ответ на который не содержится в накопленном знании и поэтому требует соответствующих действии по получению новых знаний ,«Процесс формулировки проблемы, - отмечает М. И. Махмутов, - означает, что ученик понимает возникшую перед ним задачу и в известной мере видит.. пути ее решения» [13, с. 112].

Под учебной проблемой понимается отражение логико-психологического противоречия процесса усвоения, определяющее направление умственного поиска, пробуждающее интерес к исследованию сущности неизвестного и ведущее к усвоению нового понятия или нового способа действия. Проблема в обучении используется в тесной связи с проблемной ситуацией, которая определяет начальный момент мышления, вызывающий познавательную потребность ученика и создающий внутренние условия для активного усвоения новых знаний и способов деятельности [13]. Нередко ; задача, которая является проблемно-поисковой при изучении школьного курса математики (учебной проблемой), когда-то возникала как научная проблема. Проблемная задача отличается от проблемы тем, что в ней заведомо ограничено поле поиска решения.

В качестве психологической основы проблемного обучения обычно … называют сформулированный С. Л. Рубинштейном тезис: «Мышление начинается с проблемной ситуации». Проблемная ситуация, в свою очередь, является базой, источником для построения математических задач.

Однако и не всякая проблемная ситуация порождает процесс мышления. Он не возникает, в частности, когда поиск путей разрешения проблемной ситуации непосилен для учащихся на данном этапе обучения в связи с их неподготовленностью к необходимой деятельности. Это чрезвычайно важно учесть, чтобы не включать в учебный процесс непосильных задач, способствующих не развитию самостоятельного мышления, а отвращению от него и ослаблению веры в свои силы.

Из анализа научных источников, посвященных проблемному обучению, следует, что признаками учебной проблемы являются: 1) порождение проблемной ситуации (в науке или в процессе обучения); 2) определенная готовность и определенный интерес решающего к поиску решения; 3) возможность неоднозначного пути решения, обусловливающая наличие различных направлений поиска.

Проблемная ситуация порождается учебной ситуацией, которая содержит две группы элементов: известные и неизвестные (или новые). Постановка проблемы преследует следующие дидактические цели: привлечь внимание ученика к данному вопросу (задаче); возбудить у него познавательный интерес и другие мотивы деятельности; поставить ученика перед таким посильным познавательным затруднением, преодоление которого активизировало бы его мыслительную деятельность; указать ученику на противоречия между возникшей у него познавательной потребностью, с одной стороны, и невозможностью ее удовлетворения посредством имеющегося запаса знаний, умений и навыков - с другой.

Проблема зарождается только в результате детального анализа ситуации. Ясного расчленения известного и неизвестного. Успех формулировки проблемы, четкость ее постановки зависят, прежде всего, от понимания смысла возникающих вопросов, которые являются логической формой выражения проблемы. В результате большой аналитико-синтетической работы уясняется смысл неизвестного и формулируется (или осознается в готовой формулировке) учебная проблема. В этом заключается суть анализа проблемной ситуации и формулировки проблемы учеником.

Составление плана решения поставленной проблемы зависит от умения и опыта школьника в предвидении следующих шагов. Смутно представляя для себя результат решения, ученик мысленно забегает вперед, фиксируя последовательность своих действий на основе опыта решения проблем вообще, имеющихся знаний, или пытается путем догадки на основе интуитивного мышления добиться частичного или полного решения. В итоге такой попытки возникает идея, предположение о принципе, на котором оно основано. Однако предположение не всегда оказывается приемлемым способом решения возникшей проблемы. Часто только одно из многих предположений может содержать гипотезу.

Гипотезой может считаться, как правило, только обоснованное предположение. В теории обучения гипотеза является психолого-дидактической категорией, которая служит учителю средством активизации мыслительной деятельности ученика, а для ученика она является приемом творческого воображения и принципом решения учебной проблемы [14]. Этап выдвижения гипотезы считается всеми учеными важным и необходимым для учебного исследования, и отмечают, что выдвижение гипотезы возможно только на основе тщательного изучения фактов, явлений, условий задачи (проблемы).

Раскрывая этапы учебного исследования, все авторы единодушны в том, что после выдвижения гипотезы обязательно должен следовать этап ее проверки (подтверждения, доказательства, обоснования или опровержения). Если для строгого доказательства гипотезы у ученика не хватает имеющихся знаний, то иногда ограничиваются ее подтверждением с помощью правдоподобных рассуждений.

Следовательно, для доказательства гипотезы учащиеся должны уметь проводить анализ предложенного учителем учебного материала, выделять в нем главные элементы, сравнивать, сопоставлять, синтезировать, обобщать и делать необходимые выводы. Главное, что ученик должен уметь держать в уме основную цепочку рассуждений и не терять цель анализа фактов (условий). Если ученик нацелено строит цепочку рассуждений, то он «ощущает потребность» (или сразу может заметить) того, чего не хватает в имеющихся фактах или в личном учебном материале для достижения поставленной цели. Тогда ученик будет искать дополнительные факты, прибегать к помощи учителя или самостоятельно добывать необходимую информацию из различных источников.

Таким образом, анализ этапов исследований позволяет сделать вывод, что обязательными из них являются четыре (рисунок 2), которые и образуют основную структуру учебного исследования: 1) постановка проблемы; 2) выдвижение гипотезы; 3) проверка гипотезы; 4) вывод.

Рисунок 2. Структура учебного исследования

При более детальном анализе структуры учебного исследования можно выделить и такие его этапы, как: 1) мотивация учебной деятельности; 2) постановка проблемы исследования; 3) анализ имеющейся информации по рассматриваемому вопросу: 4) экспериментирование (проведение измерений, испытаний, проб и т. Д.) с целью получения фактического материала; 5) систематизация и анализ полученного фактического материала; 6) выдвижение гипотезы; 7) подтверждение или опровержение гипотез: 8) доказательство гипотез.

Очевидно, что различные виды исследований имеют свои особенности, поэтому для каждого из них характерно свое сочетание названных этапов. В контексте нашего исследования немаловажным является рассмотрение вопроса о видах учебных исследований.

Приведем различные подходы ученых. В зависимости от способа выдвижения гипотезы Е. В. Баранова [15] выделяет следующие виды учебных исследований: интуитивно-опытные; опытно-индуктивные; индуктивные; дедуктивные. О. В. Охтеменко [16] выделяет три вида учебных исследований: урок-исследование, мини-исследование, исследовательский комплекс.

«Урок-исследование» - это исследовательское задание, в выполнении которого заняты все учащееся класса, рассчитанное на целый урок и содержащее все или большинство исследовательских компонентов; его выполнение является обязательным для всех учащихся.

«Мини-исследование» выполняется всеми или большинством учащихся, предлагается в качестве домашнего задания, включает лишь отдельные исследовательские компоненты; по усмотрению учителя его выполнение является обязательным или добровольным.

«Исследовательский комплекс» выполняется отдельными учащимися исключительно добровольно: задания может быть предложено как продолжительное домашнее задание, содержит все или большинство исследовательских компонентов.

1.3 Возможности динамической среды в организации учебных исследовании

Динамическая среда может служить инструментальной средой для исследовательской работы учащихся на уроке (или дома) «с чистого листа». При этом перед учениками ставятся проблемы, задачи построения и исследования определенных объектов, в ходе решения которых и должны достигаться те или иные учебные цели.

Использование динамической среды в таком качестве отвечает самым современным педагогическим концепциям. Однако, это предполагает качественную перестройку учебного процесса, в том числе подготовку новых учебников и пособий, рассчитанных на проектную, поисковую деятельность учащихся, переподготовку учителей.

Для образовательных учреждений, имеющих государственную аккредитацию, по условиям лицензионного соглашения допускается установка и одновременное использование одного приобретенного комплекта «1С:Математический конструктор» на нескольких компьютерах образовательного учреждения.

Конструктор может использоваться для создания конкретных моделей-заданий, содержащих объяснение материала, заготовки геометрических объектов, тексты с условиями и чертежи с данными, пошаговые планы построений и т.п. информацию. После чего ученики работают не с конструктором как таковым, а с этими готовыми моделями.

Динамическая среда позволяет создавать анимированные и интерактивные объекты и использовать их в учебном процессе даже при отсутствии интерактивной доски. Обширные функциональные возможности позволяют использовать динамическую среду как виртуальную лабораторию для демонстрации динамических моделей и для самостоятельной работы учащихся по их созданию и исследованию.

Динамические чертежи разделить на три типа в соответствии с характером деятельности учащихся при работе с ними.

·              Чертежи-иллюстрации (и презентации) фактов и рассуждений. Такого рода чертежи, прежде всего, используются при объяснении материала учителем; при этом ученики по отношению к ним выступают, в основном, пассивными потребителями информации. В данном случае преимущества ИГС перед, например, обычными графическими редакторами заключаются в удобстве инструментария, специально предназначенного для создания и демонстрации геометрических конструкций. Весьма важно и то, что один динамический чертеж фактически представляет собой целое семейство однотипных конфигураций. На рисунке 3. Показана иллюстрация к теореме Фейербаха об окружности девяти точек в «развернутом виде», выполненная с помощью МК (при ее демонстрации элементы конструкции и текст появляются по шагам, что позволяет проследить за построением и акцентировать внимание на свойствах фигуры).

Рисунок 3

·              Чертежи-модели, предназначенные для проведения экспериментов, исследования конструкций, которые обычно даются в готовом виде и не предполагают проведения учениками собственных построений. Здесь в полной мере проявляются возможности, заложенные в динамическом характере моделей: наблюдая за изменением картинки при вариации данных, можно выявить как скрытые в ней закономерности, т.е. самостоятельно «открыть» какую-то теорему, так и причины, их обуславливающие, т.е. увидеть идею доказательства. На рисунке 4. Изображена модель, позволяющая обнаружить, что треугольник A1B1C1 является правильным для любого данного треугольника ABC (т.е. «открыть» так называемую теорему Наполеона).

динамический модель математика учебный

Рисунок 4

·              Задания на построение, в которых учащимся предлагается построить те или иные фигуры, пользуясь виртуальными инструментами. Наряду с традиционными задачами на построение циркулем и линейкой, приобретающими в компьютерной версии особую специфику, в частности, требующими от решающего абсолютной четкости и полноты решения, к таким заданиям относятся и, например, задания на «трехмерных» вращающихся изображениях пространственных фигур, задания на построение геометрических мест и др.

Подводя итог, выделим следующие виды учебных исследований по математике на основе динамических моделей:

)        «открытие» математических фактов на основе наблюдений готовых динамических моделей;

)        самостоятельное создание динамических моделей с заданными характеристиками.

Приведем примеры таких моделей:

Модель 1: «Свойства описанного четырехугольника» (таблица 1). Модель предназначена для организации исследовательской работы по открытию свойства описанного четырехугольника.

Исследовательская работа

«Свойство четырехугольника, описанного около окружности»

Цель работы: «открыть» свойство описанного четырехугольника.

Ход работы

. Откройте файл:

. Следуйте инструкциям, которые даны в указанном файле.

. Заполните таблицу:

Вывод: __________________________________________

_____________________________________________

Работу выполнил учащий(ая)ся 7 класса _____________

Таблица 1.

Исследовательская работа «Свойство четырехугольника, описанного около окружности»  Цель работы: «открыть» свойство описанного четырехугольника. Ход работы: 1. Откройте файл:

. Следуйте инструкциям, которые даны в указанном файле.

. Заполните таблицу:

Модель 2. Свойства параллелограмма (таблица 2). Предназначена для организации исследовательской работы по доказательству параллельности прямых в параллелограмме.

Задание для исследовательской работы по теме «Свойства параллелограмма»

Исследовательская работа «Свойства параллелограмма»

Цель работы: доказать параллельность прямых в параллелограмме.

Ход работы:

. Откройте файл:

. Следуйте инструкциям, которые даны в указанном файле.

. Заполните таблицу:

Вывод: __________________________________________

_________________________________________________

Работу выполнил учащий(ая)ся _____________

Образец выполнения задания для исследовательской работы по теме «Свойства параллелограмма»

Таблица 2

Исследовательская работа «Свойства параллелограмма» Цель работы: «открыть» свойство параллелограмма. Ход работы: 1. Откройте файл:

. Следуйте инструкциям, которые даны в указанном файле.

. Заполните таблицу:

№ изменений AB DC AO OC ABC

ADC

BAD

BCD

.2 Методические особенности организации учебных исследований по созданию динамических моделей

Последовательность учебного исследования по созданию динамических моделей четырехугольников:

.        Выявление и доказательство признака данного четырехугольника;

.        Реализация динамической модели на основе данного признака.

Модель 3. «Параллелограмм».

Признак. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD данный четырехугольник, у которого AB=CD, BC=AD.

Доказать: что ABCD - параллелограмм.

Доказательство

∆ABC=∆CDA (по 3 признаку)=> (по признаку параллельности прямых) BC║AD, AB║CD=>ABCD - параллелограмм (рисунок 6)||

Модель. Параллелограмм - четырехугольник противоположные стороны которого попарно равны. Построение (рисунок 7): отрезок AB, строим окружность w1 в центре в точкеА, окружность w2 в центре в точке А, окружности w3, w4 в центре в точке C. ТочкаВ точка пересечения w2 и w3, а точка D, точка пересечения w1 и w4. ABCD - искомый параллелограмм.

Модель 4. «Параллелограмм»

Признак 2. Если в четырехугольник две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Дано: ABCD данный четырехугольник, у которого AB║Cdи AB=CD.

Доказать: что ABCD - параллелограмм.

Доказательство

AB║CD =>BCA=DCA.

Тогда ∆ABC=∆CDA (1 признак)=>BCA=DAC=>BC║AD (по признаку параллельности прямых).║CD, BC║AD=>ABCD - параллелограмм (рисунок 8).

Модель 4. Параллелограмм - четырехугольник противоположные стороны которого попарно равны и параллельны. Построение (рисунок 9): прямая l и параллельная ей прямая k, берем произвольную точку B на прямой l, проводим окружность радиуса n, в центре в точке B. И пересечение w1 с прямойl - точка C. На прямой k берем произвольную точку D,проводим окружность радиуса n, в центре в точке D. Точка A, точка пересечения окружности w2с прямой k. ABCD - параллелограмм.

Рисунок 9

Модель 5. «Ромб»

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Признак. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм - ромб.

Дано: Пусть ABCD - данный параллелограмм и AC BD.

Доказать: что ABCD - ромб.

Доказательство.

Δ AOB = Δ COB по первому признаку равенства треугольников (AOB = BOC, по условию, AO = OC - по свойству диагоналей параллелограмма, BO общая). Следовательно, AB = BC. По свойству противолежащих сторон параллелограмма AB = DC, BC = AD, т.е. все стороны равны, значит ABCD - ромб (рисунок 10).

Рисунок 10

Модель 5. Ромб - параллелограмм с перпендикулярными диагоналями. Параллелограмм можно построить как четырехугольник, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Построение (рисунок 11): отрезок АС; О - середина АС; точкиВ и D- точки пересечения окружности с центром в точке О и прямой, проходящей через точку О перпендикулярно АС.

Модель 6. «Квадрат»

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Признак. Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то он квадрат.

Дано: Пусть ABCD- данный прямоугольник.

Доказать: что ABCD - квадрат.

Доказательство:

Проведем диагонали AB, CD.

Рассмотрим треугольник ABC:

. AO=OC (свойство параллелограмма), следует BO- медиана

2. AOB=BOC=90° (AC перпендикулярна BD), следует BO-высота

Если в треугольнике медиана является высотой, то треугольник ABC- равнобедренный, поэтому сторона AB=BC.

Итак, в прямоугольнике стороны AB=BC=CD=AD, отсюда, по определению, следует, что это квадрат (рисунок 12).

Рисунок 12

Модель 6. Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то он квадрат.

Пусть w-данная окружность с центром в точки О и іаметру R. Через точку О проведем іаметр АС, и к этому іаметру проведем серединный перпендикуляр, который пересечет окружность w в двух точках В и D. Теперь последовательно соединим точки A,B,C и D. ABCD-искомый квадрат (рисунок 13).

Заключение

В ходе исследования поставленные задачи решены, цели достигнуты, получены следующие результаты и выводы:

)        выявлены роль и место учебных исследований в обучении математике;

)        изучены возможности динамической среды в организациях учебных исследований; программы динамической геометрии позволяют быстро создавать высококачественные чертежи и добиваться требуемого расположения их элементов, не перерисовывая чертеж. Но большую ценность, чем быстрое построение и вариации чертежа, составляет то, что наблюдая изменения чертежа, можно выделить те его свойства, которые сохраняются при динамике. Благодаря этому, модели, созданные в динамической среде, становятся инструментом для геометрических открытий и уникальным дидактическим средством. Смоделировав подобный эксперимент заранее, учитель может подвести учеников к открытию «новых» фактов.

)        Разработаны учебные исследования по теме «Четырехугольники» с использованием динамических моделей. Направленная на:

·              «открытие» математических фактов на основе наблюдений готовых динамических моделей;

·              самостоятельное создание динамических моделей с заданными характеристиками.

Продолжение исследования может заключаться в разработке учебных исследований по другим темам.

Список использованной литературы

1. Андреев В. И. Эвристическое программирование учебно-исследовательской деятельности: Методическое пособие. - М.: Высшая шк., 1981. - 240с.

. Столяр А. А. Педагогика математики: Учеб. пособие для физ. - мат. фак. пед. А. А. Столяр 3-е изд., перераб. и доп, - Минск: Высшей шк., 1986. - 413 с

3.     Ларькина Е. В. Методика формирования элементов исследовательской деятельности учащихся основной школы на уроках геометрии: Автореф. дис. канд. пед. наук. - М., 1996. -17 с.

4.      Окунев А. А. Спасибо за урок, дети!: О развитии творческих способностей учащихся: Кн, для учителя: из опыта работы. - М.: Просвещение, 1988. - 128 с.

5.     Готман Э. Г., Скопец 3. А. Задача одна - решения разные. - Киев: Род. шк., 1988. - 173 с.

6.      Домкина Г., Лаптева Т. В одной задаче - почти вся планиметрия/ Математика в школе. - 1983. - №6. - 34-36 с.

.        Зильберберг Н. Л. Урок математики: подготовка и проведение: Кн. для учителя. - М.: Просвещение: АО «Учебная литература», 1995. - 178 с.

.        Антюхина А. В. Игра как социально-исторический феномен: понятие, предпосылки, функции. Автореферат дис. канд. филос. наук. - Ростов-на-Дону, 1984. - 16 с.

.        Далингер В. А., Толепкина Н. В. Организация и содержание поисково- исследовательской деятельности учащихся по математике: Учеб. пособие - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2004. - 263 с.

.        Рассудовская М. М. Домашние задания творческого характера // Математика в школе. - 1984. - №5. - 28-30 с.

11.   Маркова А К. Психология труда учителя. Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1993. - 192 с.

12.  Муравин Г. К. Исследовательские работы в школьном курсе алгебры // Математика в школе. - 1990. - № 1. - С. 43-44.

14.   Богоявленский Д. Н., Менчинская Н. А. Психология усвоения знаний в школе. - М.: РЛП РСФСР, 1959. - 348 с

15.  Баранова Е. В. Методические основы использования учебных исследований при обучении геометрии в основной школе: Автореф. дис. канд. иед. наук. - Саранск, 1999. - 17 с.

16.   Охтеменко О. В. Исследовательские задания как средства познавательного интереса и развития учащихся на уроках алгебры в основной школе: Автореф пед. наук. - М., 2003. - 18 с.