Основы теории вероятности
1. Задание 1
Сколькими способами можно выбрать по
6 карт из колоды, содержащей 36 карт?
Решение
Воспользуемся основными формулами
комбинаторики, точнее Сочетаниями
Выбрать 6 карт из 36
можно способами.
Ответ: 1947792
способами можно выбрать по 6 карт из колоды, содержащей 36 карт.
2. Задание 2
На складе готовой
продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность
того, что при выдаче изделия со склада изделие будет стандартным.
Решение
Будем отталкиваться от
теоремы противоположных событии:
P(A)+P(Ā)=1
Пусть событие А-
«выбрано нестандартное изделие», тогда
Событие - «выбрано стандартное
изделие»
Р(А)=0,05
Р (Ā)=1-0,05=0,95
- вероятность того, что выбрано стандартное изделие
Ответ: 95%
вероятность того, что при выдаче изделия со склада изделие будет стандартным.
3. Задание 3
Через остановку
пролегают автобусные и троллейбусные маршруты. Троллейбусы подходят с
интервалом в 15 минут, а автобусы с интервалом в 25 минут. К остановке подходит
пассажир, какова вероятность того, что в ближайшие 10 минут он уедет на
автобусе или троллейбусе?
Решение
Геометрическая
вероятность события A, являющегося
подмножеством множества Ω
точек на прямой или плоскости - это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:
P(A) = µ(A)/µ(Ω),
Геометрическая вероятность
Вероятность того, что
пассажир дождется троллейбуса или автобуса в течение ближайших 10 минут равна
отношению площадей прямоугольников
=
Ответ: 27%
вероятность того, что в ближайшие 10 минут он уедет на автобусе или
троллейбусе.
. Задание 4
Пусть на трех
предприятиях изготавливают одну и ту же продукцию. При этом в торговую сеть
поступает: 50% продукции с предприятия 1, среди которой 10% брака; 30% с
предприятия 2, среди которой 2% брака; 20% продукции с предприятия 3 среди
которой 15% брака. Вычислить вероятность приобретения покупателем продукции без
брака (событие F).
Решение
Пусть событие В1-продукция
изг. на 1 ом предприятии
В2-продукция
изг. на 2 ом предп-тии
В3 -
Продукция изг. на 3 ем предпр.
Р(В1)=0,5,
Р(В2)=0,3, Р(В3)=0,2
Событие F - «приобретенная продукция без брака»
РВ1(F)=0,9 РВ2 (F)=0,98
РВ3 (F)=0,85 тогда
Р(F)=Р(В1)∙ РВ1 (F)
+ Р(В2)∙РВ2(F)
+ Р(В3)∙РВ3(F)
=
,5∙0,9 +0,3∙0,98
+0,2∙0,85=0,914
Ответ: 91,4%
вероятность приобретения покупателем продукции без брака (событие F).
. Задание 5
Найти асимметрию и
эксцесс эмпирического распределения:
Варианта
|
10.2
|
10.4
|
10.6
|
10.8
|
11.0
|
11.2
|
11.4
|
11.6
|
11.8
|
12.0
|
Частота
|
2
|
3
|
8
|
13
|
25
|
20
|
12
|
10
|
6
|
1
|
Решение
Xi
|
10,2
|
10,4
|
10,6
|
10,8
|
11,2
|
11,4
|
11,6
|
11,8
|
12
|
|
Частота
|
2
|
3
|
8
|
13
|
25
|
20
|
12
|
10
|
6
|
1
|
Всего 100
|
Частота 25-вершина распределения
Одновершинное распределение
; =
- выборочная
средняя
=11,1;
D=2 Ex =
D=
=0,005 As=
== =
=0,049
Ex = =
. Задание 6
Найти условные
математического ожидания двумерной случайной величины, заданной законом
распределения:
X
|
-1
|
0
|
1
|
-1
|
0,2
|
0,1
|
0,3
|
1
|
0,05
|
0,15
|
0,2
|
Решение
Найдем условное распределение случ.
величины X при условии, что случ. величина Y приняла значения yj (j=1; 2) и условное распределение сл. вел.Y при условии, что случ величина X принимает значения xi (i=1; 2; 3).
Составим таблицы распределения
величин X и Y
Y
|
-1
|
0
|
1
|
|
X
|
-1
|
1
|
|
|
|
|
|
P
|
0,6
|
0,4
|
P
|
0,25
|
0,25
|
0,5
|
|
0,25=0,2+0,05;
0,25=0,1+0,15; 0,5=0,3+0,2; 0,6=0,2+0,1+0,3; 0,4=0,05+0,15+0,2
Условные вероятности
πij=P
Π11
= P
Π21=
P
Π12
= P
Π22==0,15: 0,25 = 0,6
Π23= P
Для условного закона
распределения случайной величины X
при условии У получаем.
Х
|
У
|
|
-1
|
0
|
1
|
-1
|
0,8
|
0,4
|
0,6
|
1
|
0,2
|
0,6
|
0,4
|
Условные математические ожидания
М (Х/-1)=-1
М (Х/0)=-1
М (Х/1)=-1
Найдем условные
вероятности
=P
=
=P:0,6=0,5
=P:0,4=0,0,125
=P:0,4=0,375
=
Cоставим
таблицу для условного закона распр-я случ величины У при условии Х.
У
|
Х
|
|
-1
|
1
|
-1
|
0,33
|
0,125
|
0
|
0,17
|
0,375
|
1
|
0,5
|
0,5
|
Условные математические ожидания
М (У/-1)=-1∙0,33+0∙0,17+1∙0,5=0,17
М (У/1)=-1∙0,125+0∙0,375+1∙0,5=0,375.
карта вероятность пассажир способ