Определение вероятности события и статистического распределения

Определение вероятности события и статистического распределения

Задание 1

В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 150 Вт - 8 штук и по 100 Вт - 13. Вынуты из коробки наугад три лампы. Найти вероятность того, что среди них:

а) только одна лампа по 150 Вт; b) две лампы по 150 Вт;

с) не менее двух ламп по 150 Вт; d) хотя бы одна лампа по 150 Вт;

е) все лампы одинаковой мощности.

Решение

a) событие F1 - из трех наудачу взятых ламп только одна будет 150 Вт:

b) событие F2 - из трех наудачу взятых ламп две лампы будут по 150 Вт:

c) событие F3 - из трех наудачу взятых ламп не менее 2 будет по 150 Вт:

d) событие F4 - из трех наудачу взятых деталей будет хотя бы одна лампа 150 Вт:

e) событие F5 - из трех наудачу взятых ламп все три будут одной мощности

Задание 2

По самолету производится три независимых выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором - 0,5, при третьем - 0,6. Для вывода самолета из строя достаточно трех попаданий. При двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,7, при одном попадании - с вероятностью 0,4.

. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

. В результате трех выстрелов самолет не был выведен из строя. Сколько попаданий вероятнее всего произошло в самолет?

Решение

) Рассмотрим гипотезы:

H1 - из трех выстрелов не будет ни одного попадания

H2 - из трех выстрелов будет ровно одно попадание

H3 - из трех выстрелов будет два попадания

H4 - из трех выстрелов будет три попадания

и событие

F - самолет будет выведен из строя.

Тогда

События Hi образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности получим:

=0,12×0+0,38×0,4+0,38×0,7+0,12×1=0,538

) Рассмотрим событие F - самолет не был выведен из строя при трех выстрелах при тех же гипотезах, тогда

Т.к. самолет не был выведен из строя, т.е. событие F произошло, то вероятности гипотез определим по формуле Байеса

=0,12×1+0,38×0,6+0,38×0,3+0,12×0=0,462

Таким образом, вероятнее всего в самолет произошло одно попадание.

Задание 3

Согласно статистическим данным в городе N в среднем 18% открывающихся новых предприятий прекращают свою деятельность в течение года.

1. Какова вероятность того, что из 6 наугад выбранных новых предприятий города N к концу года деятельности останется:

а) ровно 4; b) 4; с) менее 4; d) хотя бы одно предприятие?

. Вычислить вероятность того, что из ста вновь открытых предприятий в городе N к концу года прекратят свою деятельность:

а) 15; b) не менее 15; с) не более 21; d) не менее 13, но не более 23 предприятий.

Решение

)

n=6q=0,18p=1-q=1-0,18=0,82

Значение n<10, поэтому для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:

a) ровно 4 предприятия останется:

b) более 4 предприятий останется:

P(более 4)=P6(5;6)=P6(5)+P6(6)

Тогда

c) менее 4 предприятий останется:

P(менее 4)=1-P(не менее 4)=1-P6(4;6)=1-(0,2197+0,4004+0,304)=0,0759

d) хотя бы одно предприятие останется

P(хотя бы 1)=1-P(ни одного)=1-P6(0)=1-0,186=0,999966

)

n=100p=0,18q=0,82

Значение n=100 достаточно велико, поэтому для расчетов воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа:

a) ровно 15 предприятий прекратят свою деятельность:

,

где , а j(x) - локальная функция Лапласа

По таблице находим, что

j(-0,78)=j(0,78)=0,2943, Þ

b) не менее 15 предприятий прекратят свою деятельность, т.е. от 15 до 100:

Pn(k1;k2)»Ф(x2)-Ф(x1),

где  и , а Ф(x) - интегральная функция Лапласа

,

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-0,78)=-Ф(0,78)=-0,2823, а Ф(21,34)=0,5, Þ P100(15;100)»0,5+0,2823=0,7823

c) не более 21 предприятия прекратят свою деятельность:, т.е. от 0 до 21:

,

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-4,69)=-Ф(4,69)=-0,499999, а Ф(0,78)=0,2823, Þ P100(0;21)»0,2823+0,499999=0,782299

d) не менее 13, но не более 23 предприятий прекратят свою деятельность:

,

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(1,3)=0,4032, Þ

P100(13;23)»0,4032+0,4032=0,8064

Задание 4

Два бухгалтера независимо друг от друга заполняют одинаковые ведомости. Первый бухгалтер допускает ошибки в среднем в 8%, второй - в 12% всех документов. Количество заполненных ведомостей первым бухгалтером равно 1, вторым - 2. Рассматривается случайная величина (с.в.)  - число ведомостей, заполненных двумя бухгалтерами без ошибок.

. Составить ряд распределения с.в.  и представить его графически.

. Найти функцию распределения с.в.  и построить её график.

. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию

D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ().

. Определить вероятности: а) Р; b) Р; c) Р

Решение

) Определим возможные значения случайной величины Х и их вероятности:

Х=0: 0,92×0,882=0,712448

Х=1: 0,08×0,882+0,92×(0,12×0,88+0,88×0,12)=0,256256

Х=2: 0,92×0,122+0,08×(0,12×0,88+0,88×0,12)=0,030144

Х=3: 0,08×0,122=0,001152

Проверка:

,712488+0,256256+0,030144+0,001152=1

Запишем ряд распределения

Изобразим ряд распределения графически в виде полигона

2) Составим функцию распределения:

Построим график функции распределения

) Математическое ожидание и дисперсия находятся по формуле:

D(X)=0,3872-0,322=0,2848

) Найдем требуемые вероятности:

Р(X<MX)=Р(X<0,32)=F(0,32)=0,712448

Р(X³MX+1)=1-Р(X<1,32)=1-F(1,32)=1-0,968704=0,031296

=P(-0,2137<X<0,8537)=0,712448-0=0,712448

Задание 5

Между двумя населенными пунктами, отстоящими друг от друга на расстоянии L = 9 км, курсирует автобус с остановками по требованию в любом месте. Расстояние  (в км), которое проезжает некий пассажир, севший в автобус в начале маршрута, является случайным с плотностью распределения

. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p(x).

. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ().

. Во сколько раз число высадок от начала маршрута до среднего места поездки пассажира превосходит число высадок от этого места до конца маршрута автобуса?

Решение

) Для нахождения постоянной C воспользуемся свойством плотности распределения:

Построим график плотности распределения

) Найдем функцию распределения

а) если x<0, то F(x)=0, т.к. значений, меньших 0, случайная величина не принимает.

б) если 0£x<9, то

в) если x>3, то

 в силу свойства плотности распределения

Окончательно получим:

Построим график F(x):

) математическое ожидание вычисляется по формуле

Дисперсия вычисляется по формуле:

, где

DX=24,3-4,52=4,05

Среднее квадратическое отклонение равно:

)

Р(X<MX)=Р(X<4,5)=F(4,5)=

Р(X³MX)=1-Р(X<MX)=1-0,5=0,5

Т.е. число высадок от начала маршрута до среднего места поездки пассажира и число высадок от этого места до конца маршрута автобуса равны.

Задание 6

При переносе грузов вертолетами используются тросы, которые изготовлены из синтетических материалов на основе новых химических технологий. В результате 25 испытаний троса на разрыв получены следующие данные (в тоннах):

.948, 3.875, 5.526, 5.422, 4.409, 4.314, 5.150, 2.451, 5.226, 4.105, 3.280, 5.732, 3.249, 3.408, 7.204, 5.174, 6.222, 5.276, 5.853, 4.420, 6.525, 2.127, 5.264, 4.647, 5.591

Необходимо:

1.      Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2.      В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

.        На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения исследуемого признака.

.        Вычислить выборочные характеристики признака: среднее, дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

.        Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,01.

.        Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.

.        С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 5С;

б) генеральной дисперсии значению С 2 , где С = 1,09.

Решение

Значения выборки в соответствии с вариантом задания

,21332

,22375

,02334

,90998

,80581

,70226

,6135

,67159

,69634

,47445

,5752

,24788

,54141

,71472

,85236

,63966

,78198

,75084

,37977

,8178

,11225

,41653

,73776

,09419

. Тип признака - непрерывный, т.к. случайная величина может принимать любые значения из некоторого интервала.

. Построим гистограмму относительных частот. Определим количество интервалов:

k=1+1,44×ln n,

где n - количество значений, а k - количество интервалов.

В данном случае имеется 25 значений, поэтому количество интервалов равно:

k=1+1,44×ln 25 » 5,6.

Примем количество интервалов равным 5.

Определим величину одного интервала:

Определим относительные частоты для каждого интервала. Расчеты удобно провести в таблице

Построим гистограмму

. На основе визуального анализа можно выдвинуть гипотезу о распределении признака по нормальному закону.

. Определим выборочные характеристики изучаемого признака.

а) выборочное среднее:

б) выборочная дисперсия:

в) выборочное среднее квадратическое отклонение

. Проверим гипотезу о соответствии выборочных данных нормальному распределению

Определим концы интервалов по формуле , для чего составим таблицу

Найдем теоретические вероятности pi и теоретические частоты . Результаты расчетов запишем в таблицу

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона . Для этого составим таблицу:

=1,441

По уровню значимости a=0,01 и количеству степеней свободы k=n-3=5-3=2 находим  по таблице критических точек: =9,2

Т.к. , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении критической массы на разрыв.

. Построим доверительный интервал для генеральной средней и генеральной дисперсии

Предельная ошибка выборки для средней рассчитывается по формуле:

где t - коэффициент доверия, который зависит от вероятности, с которой делается утверждение.

Коэффициент доверия находится из соотношения 2Ф(t)=p, где Ф(х) - интегральная функция Лапласа.

По условию p=0,99, Þ

Ф(t)=0,99

Ф(t)=0,495=2,58.

Границы, в которые попадает генеральная средняя, задаются неравенствами:

,1225 - 0,7034 £ a £ 5,1225 + 0,7034

,4191 £ a £ 5,5259

Найдем интервальную оценку дисперсии:

По таблице критических точек распределения  находим, что =42,98, а =10,86, тогда доверительный интервал для дисперсии будет:

,0807≤s2≤4,2786

а) проверим гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45.

Выдвигаем гипотезы:: a=5,45: a>5,45

Т.к. дисперсия генеральной совокупности неизвестна, то рассчитываем выражение

По таблице значений критических точек Стьюдента находим критическое значениекр(a;n-1)=tкр(0,01;24)=2,8

Т.к. 1,201<2,8, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45.

б) Проверим гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881.

Выдвигаем гипотезы:: s2=1,1881: s2>1,1881

Рассчитываем выражение

По таблице значений критических точек распределения «Хи-квадрат» находим критическое значение (a;n-1)=(0,01;24)=43

Т.к. 37,5<43, то нет оснований отклонить гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,1881.

Список литературы

вероятность статистический дисперсия математический

1.  Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. - М.: Высшая школа, 2002.

2.      Семёнов А.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс. - Новосибирск: НГАЭиУ, 2003.