Надёжность авиационной техники

Надёжность авиационной техники

Надёжность авиационной техники

1. Задача 1

Выполнить анализ данных эксплуатационных наблюдений за отказами изделий СКВ парка ЛА, для чего:

определить вид случайных величин наработки изделий (реализаций);

построить ранжированную временную диаграмму;

выбрать размах и число интервалов временной диаграммы.

Решение

Т.к. исходные данные варианта не содержат сведений о наработке изделий «ВВР 4487T» до цензурирования, необходимо использовать только данные наработок изделий до отказа (таблица П. 2.3). Поэтому в данном случае выполним построение ранжированной временной диаграммы наработок до отказа τi, i=1, ñ; (смотри Приложение 1).

Проведённые крайние сечения ранжированной диаграммы левее минимального значения t=1025 ч. и правее максимального значения t=1088 ч. дают значение размаха ν=1900-1000=900 (ч), полученное значение которого разбиваем на L=9 неравных интервалов Δti с сечениями, соответствующими границам интервалов, из которых первые 6 интервалов с шагом 75 ч, а последние 3 - с шагом 150 ч. Правое крайнее сечение диаграммы будем считать также границей периода эксплуатационных наблюдений Т=1900 ч.

2. Задача 2

Выполнить оценку показателей безотказности параметрическим методом для однократно цензурированной выборки, для чего:

а. Выполнить оценку и построение статистической плотности распределения f*(t) и статистической интенсивности отказов λ*(t);

б. Выполнить оценку параметров распределения для однократно цензурированной выборки: Тср.*; а* и б*; mt* и σt*; (в зависимости от принятого закона распределения наработки до отказа).

в. Выполнить проверку гипотезы о законе распределения для однократно цензурированной выборки;

г. Выполнить оценку показателей безотказности для принятого закона распределения наработки до отказа.

Решение

. Для оценки показателей безопасности параметрическим методом, выполним построение ранжированной временной диаграммы для однократно цензурированной выборки.

. Выполним построение диаграмм плотности вероятности наработки до отказа f*(t) и интенсивности отказов λ*(t);

Искомые величины определим по формулам:

f*(t)=Δn/(Ni·Δt),

λ*(t)=Δn/([Ni-n(t)]·Δt), где:

Δni - число отказавших изделий в интервале Δti;

Ni - число изделий, наблюдаемых в интервале Δti;i(t) - число отказавших изделий до начала i-го интервала;

Ni= N-Σmi - общее число всех реализаций гистограммы, за исключением неполных реализаций. Результаты расчётов представим в виде таблицы 1 и гистограмм.

Таблица 1.

№ п/п123456789ti(ч)107511501225130013751450160017501900Δti(ч)757575757575150150150Δni111321111Nj20191817141211109f*(t) (·10-4)6,6677,0187,40723,52919,04811,1116,0616,6677,407ni(t)01236891011N202020202020202020mi888888888Ni121212121212121212Ni-ni(t)121110964321λ*(t) (·10-4)11,11112,12113,33344,44444,44433,33322,22233,33366,667

По результатам расчётов строим гистограммы f*(t) и λ*(t):

f*(t)(·10-4)23,52919,04811,1116,667 7,0187,4076,0616,6677,407t

Гистограмма плотности вероятности наработки до отказа f*(t)

λ *(t) (·10-4)66,66744,44444,44433,33333,33322,22211,11112,12113,333t

Гистограмма интенсивности отказов λ*(t)

При сравнении полученных гистограмм с теоретическими кривыми f(t) и λ(t) по их виду, предполагаем, что в нашем случае имеется наибольшее сходство с нормальным законом распределения.

Выполним оценку параметров распределения методом максимального правдоподобия.

Т.е. построим функцию правдоподобия L (τ, θ), зависящую от результатов наблюдений выборки из N изделий и параметра θ неизвестного закона распределения F (τ, θ). Найдём оценку θ* при максимальной вероятности наблюдаемого результата Р {τ, θ}→max, т.е. построим L (τ, θ)=П∙Р {τ, θ} и определим max из условия δL (τ, θ)/δθ=0 и соответствующее θ*.

Для предполагаемого закона распределения определим математическое ожидание mt и среднее квадратическое отклонение σt, для чего воспользуемся выражениями:

σt=(T-Ť1)/[c∙φ(k) - k] и mt=k∙σt+T, где:

T - период наблюдения, Ť1 - среднее арифметическое выборки наработок до отказа,

Ť 1=Σ ti/n, Ť22=Σ ti2/n, С= Σ(Ni-n)/n∙L,

(здесь L-число интервалов группирования L=9).

Используя метод максимума правдоподобия, воспользуемся двумя уравнениями для определения искомых параметров распределения:

1=(Ť2+Ť12)/(Ť-Ť12) и Y2=(1+ckφ(k) - [cφ(k)]2)/[cφ(k) - k]2,

для чего, определив Y1,

приравняем его значение Y2, т.е. Y1= Y2;

В качестве периода наблюдения выберем значение крайней правой границы размаха временной диаграммы ν=1900-1000=900 (ч), т.е. Т=1900 ч. Для определения Y1 определим значения T1, T2 и С, для чего, подставив значения ti, получим:

Ť1=(1025+1110+1180+1250+1275+1280+1310+1340+1405+1560+1720+1880)/12=1361.25;

Ť22=(10252+11102+11802+12502+12752+12802+13102+13402+14052+15602+17202+18802)/12=(1050625+1232100+1392400+1562500+1625625+1638400+1716100+1795600+1974025+2433600+2958400+3534400)/12=1726961.25, откуда Ť2=1314,139;

Тогда Y1=(1314,139+1361,252)/(1900-1361,252)= 1854315.7015/(-1851101.5625)=-1,0017;

Из условия равенства Y1 и Y2, получим:1= Y2=(1+ckφ(k) - [cφ(k)] 2)/[cφ(k) - k] 2= -1,0017;

Или 1+c∙k∙φ(k) - [c∙φ(k)]2 =-1,0017∙[c∙φ(k) - k]2=-1,0017∙{[c∙φ(k)]2-2c∙k∙φ(k)+k2}=-1,0017∙[c∙φ(k)]2+2,0034∙c∙k∙φ(k) - 1,0017∙k2; или, перенося члены полученного уравнения:

1+c∙k∙φ(k) - [c∙φ(k)]2+1,0017∙[c∙φ(k)]2-2,0034∙c∙k∙φ(k)+1,0017∙k2=0;

,0017∙[c∙φ(k)]2-1,0034∙c∙k∙φ(k) +1,0017∙k2+1=0; Так как k-задаваемое значение, полученное выражение представляет собой квадратное уравнение:

[c∙φ(k)]2-716,2857∙c∙k∙φ(k)+ 715,2857∙k2+714,2857=0, подставляя в которое значение с и одно из табличных значений k=1,3 (см. таблицу 2), получим:

[0,2037∙φ(k)]2-716,2857∙0,2037∙1,3∙φ(k)+ 715,2857∙1,32+714,2857=0, или, упрощая выражение, получим: [φ(k)]2-3790∙φ(k)+38470=0, решая которое, получим:

φ(k)1;φ(k)2;=(3790±√3790²-4∙1∙38470)/2∙1=(3790±3769,6445)/2= 3779,8223/10,1778;

С определим, используя данные Таблицы 1:

С=[(20-12)+(19-12)+(18-12)+(17-12)+(14-12)+(12-12)+(11-12)+(10-12)+(9-12)]/12/9=0,2037;

Если округлить значение Y1=-1,0017≈-1 и подставить в выражение для Y2, после преобразования получим:

1+ckφ(k) - [cφ(k)]2 = - [cφ(k)]2+2ckφ(k) - k2 или k2 - ckφ(k)+1=0, откуда: ckφ(k)=k2+1 или φ(k)=(k2+1)/ck;

После подстановки в полученное выражение с=0,2037 и k согласно таблицы 2, получим значения φ(k), близкие по значению с вторым корнем, полученным при решении квадратного уравнения. Следовательно мы можем принять допущение для Y1 и воспользоваться упрощённым уравнением.

Тогда φ(k)=(k2+1)/ 0,2037k;

Для определения Кнач вычислим значение:

0(Кнач)=1-1/Σ(Ni/n∙L)=1-1/(20+19+18+17+14+12+11+10+9)/(12·9)= 0,1692;

Тогда по таблицам 5.1, 5.2 приложения 5 определим Кнач=1,31;

Задавая значения k, близкие Кнач, построим зависимости φр(k)=f(К) и φТ(k)=f0(k)/F0(k);

Для построения воспользуемся Таблицей 2.

Таблица 2.

К1,301,41,51,61,71,81,92,0f0(k)0,90320,91920,93320,94520,95540,96410,97130,9772F0(k)0,17140,14970,12950,11090,09400,07900,06560,0540φр(k)10,157810,379410,636610,923011,233411,563811,911212,2730φТ(k)5,26876,14027,20628,523010,163812,203814,806418,0963По полученным данным построим графики зависимости φр(k)=f(К) и φТ(k)=f(k) (смотри приложение).

Точка пересечение указанных графиков даёт следующие значения:

φ(k)=11,4; k=1,765;

Тогда σt=(T-Ť1)/[c∙φ(k) - k]=(1900-1361.25)/(0,2037∙11,4-1,765)= 538.75/0.55718=966,9227;

Выполним проверку гипотезы о законе распределения для однократно цензурированной выборки по критерию Пирсона χ 2, для чего воспользуемся формулой:

χ 2= L·Σ(Δni-N·Рi)/N·Рi, где:

- число интервалов группирования;

Δni - число наблюдаемых статистических данных, попавших в i-й интервал;i - среднее число данных, попавших в i-й интервал при условии, что гипотеза о законе распределения верна,

i = F(ti) - F(ti-1).

Для подтверждения гипотезы о характере закона распределения необходимо соблюдения условия:

χ2расч ≤ χ21-o.o1α, где:

χ21-o.o1α - левая граница интервала критической области, квантиль χ2 распределения с r=L-1-S степенями свободы, отвечающий вероятности 1-0.01α, где S - число наложенных связей, зависимых от числа параметров предполагаемого закона распределения наработки до отказа. Значения квантилей определим по таблице приложения 5.

α - принятый уровень значимости в%.

Наиболее употребительные уровни значимости - 1; 5; 10%.

Для нормального закона распределения число независимых условных связей, накладываемых на выбранный закон распределения, S=2. Следовательно r=9-1-2=6;

Расчёт критерия Пирсона сведём в Таблицу 3.

Таблица 3

L123456789Δni111321111F(ti) (·10-4)6,6677,0187,40723,52919,04811,1116,0616,6677,407Pi(·10-4)6,6670,3510,38916,122-4,481-7,937-5,050,6060,74NPi133,347,027,78322,44-89,62-158,74-10112,1214,8(Δni-NPi)/NPi-0,993-0,858-0,871-0,9911,0221,0061,01-0,917-0,932χ2расч-22,7161-0.01α (α=1%)0,991-0.01α (α=5%)0,951-0.01α (α=10%)0,9χ21-o.o1α(α=1%)22,5χ21-o.o1α(α=5%)16,8χ21-o.o1α(α=10%)12,6

По данным таблицы можно сделать вывод, что при любом из трёх наиболее употребимых уровней значимости α, выполняется условие: χ2расч ≤ χ21-o.o1α, подтверждающее гипотезу о характере закона распределения, соответствующем нормальному распределению случайных величин.

3. Задача 3

Выполнить оценку показателей безотказности по полным данным, для чего:

а. Определить число невосстанавливаемых изделий N и число отказавших изделий n. Найти доверительные границы для вероятности безотказной работы Рн и Рв при двухсторонней доверительной вероятности α=0,95;

б. Обосновать необходимость определения доверительного интервала (нижнюю Рн и верхнюю Рв границы) для доверительной вероятности α;

Выполнить оценку показателей безотказности по многократно цензурированным выборкам Р(t), Тср., Тγ, для чего:

а. Определить точечные оценки вероятности безотказной работы за непрерывный беспосадочный полёт самолёта t и за период наработки до профилактики t2=300 ч;

б. Вычислить гамма-процентную наработку Тγ при γ=85%.

Решение

Оценку вероятности безотказной работы определим по формуле Р=1-q, где q - оценку вероятности отказа получим методом максимального правдоподобия. Функция правдоподобия будет иметь вид: L(q)=CNn∙qn∙(1-q)N-n; После преобразований функции правдоподобия получены точечные оценки для вероятности отказа при наработке Т:

q*= n/N;

Соответственно для вероятности безотказной работы p*=1 - n/N;

Так как общее число невосстанавливаемых изделий N=20 (в соответствии с объёмом парка и количеством изделий на одном самолёте - согласно таблице П. 2.9), а число отказавших изделий за период наблюдения n=12, то q*=12/20=0,6 и p*=1-0,6=0,4;

Для более точной оценки вероятностей отказа и безотказной работы изделий определим границы доверительного интервала для генеральной характеристики q, т.е. получим выражение: α*= Р(qн≤q≤ qв), где α* - двусторонняя доверительная вероятность, qн и qв - соответственно нижняя и верхняя доверительные границы характеристики.

Для их определения воспользуемся формулами:

qн= n/N∙R1, qв= n/N∙R2,

т.к. в нашем случае n≠0;

Здесь R1 и R2 - коэффициенты, определяемые по таблицам П. 5.5, П. 5.6 приложения(…).

Определяем R1=1,59 и R2=0,76, тогда qн= n/N∙R1=12/20∙1,59=0,3774;

qв= n/N∙R2=12/20∙0,76=0,7895; то есть можно записать α*= Р (0,3774≤q≤ 0,7895) или окончательно оценка доверительных границ вероятности безотказной работы будет представлена так: Рн=1 - qв=1-0,7895=0,2105; Рв=1 - qн=1-0,3774=0,6226, с доверительной вероятностью α=0,95.

В связи с отсутствием в задании данных по многократно цензурированным выборкам рассматриваемого изделия, оценку непараметрическим методом по многократно цензурированным выборкам не выполняем.

безотказность самолет вероятность выборка