Сопротивление материалов

Сопротивление материалов

Задача 1

Определить из условий прочности необходимые размеры диаметров редукторного ступенчатого вала. Схема нагружения вала дана на рис. 1.

Исходные данные:

Мкр=0,2 кН·м.=30 мм.; b=60 мм.; c=100 мм.=70 мм.; D2=120 мм.

[ϭ]p=120 МПа.

Требуется:

. Вычертить в масштабе заданную схему вала с указанием размеров и величин нагрузок.

. Определить окружные Р и радиальные усилия Т, приняв соотношение между ними Т=0.36Р.

. Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

. Построить эпюру суммарных изгибающих моментов.

. Построить эпюру крутящих моментов.

. Используя энергетическую теорию прочности, определить диаметры вала на отдельных участках и округлить их до стандартных размеров.

. Вычертить эскиз.

Решение.

. Заданная схема вала представлена на рисунке 1.

. Определим окружные Р и радиальные усилия Т.

Крутящий момент на валу вызывают силы Р1 и Р2.

Приведем силу P1 к центру тяжести сечения вала: тогда пара сил с моментом

М1 = P1D1/2

вызывает кручение, а сила P - изгиб вала в вертикальной плоскости.

В свою очередь, пара сил с моментом М2 =Р2D2/2 вызывает кручение в противоположную сторону, а сила в центре тяжести сечения вызывает изгиб.

Рис. 1

Найдем окружные силы Р1 и Р2:

Радиальные усилия Т определим по формуле:

. Построим эпюры изгибающих моментов.

Эпюра от действия сил в горизонтальной плоскости.

Определим опорные реакции:

Проверка:

Строим эпюру изгибающих моментов.

-ый участок (0<z<0,1)

=RB·z.

при z=0 M=0,

при z=0,1 M=0,002 кН·м.

-ой участок (0<z<0,06)

=RB·(0,1+z)+Т2·z.

при z=0 M=0,002 кН·м, при z=0,06 M=0,043 кН·м.

-ий участок (0<z<0,03)

=RА·z.

при z=0 M=0,

при z=0,03 M=0,043 кН·м.

Эпюра от действия сил в вертикальной плоскости.

Проверка:

Строим эпюру изгибающих моментов.

-ый участок (0<z<0,1)

=RB·z.

при z=0 M=0,

при z=0,1 M=0,25 кН·м.

-ой участок (0<z<0,06)

=RB·(0,1+z)-Р2·z.

при z=0 M=0,25 кН·м

при z=0,06 M=0,2 кН·м.

-ий участок (0<z<0,03)

=RА·z.

при z=0 M=0,

при z=0,03 M=0,2 кН·м.

Построим эпюру суммарных изгибающих моментов. Для этого нужно рассмотреть несколько сечений вала и определить в них суммарный изгибающий момент по формуле:

Отсюда получаем:

Моменты внутренних сил или крутящих моментов находят методом сечений. Сначала разбивают вал на участки (между соседними шкивами)

затем на каждом участке выбирают произвольное сечение. Крутящий момент в этом сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения. В пределах каждого участка крутящий момент постоянен. Знак крутящего момента определяют по знаку внешних моментов: положительным считается направление против движения часовой стрелки при взгляде на сечение вала вдоль его оси. При этом можно рассматривать любую часть вала по одну сторону от сечения.

) Для вала на рис.2 крутящие моменты по участкам:

-ый участок:

-ой участок:

М=0,2 кН·м.

-ий участок:

М=0.

Полученные эпюры изображены на рисунке 2.

Рисунок 2 - Эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Для подбора сечения применяем энергетическую гипотезу прочности:

Откуда

Принимаем d1=70 мм., d2=120 мм.

Задача 2

Стальной стержень (Е = 5 МПа) находится под действием продольной силы Р и собственного веса (γ = 7,8 т/м3). Найти перемещение сечения I-I (рис 3).

Рисунок 3 - Схема стального стержня

Исходные данные:

a=2,1 м.; b=2,1 м.; c=1,1 м.=11 см2.

Р=1,1 кН.

Решение:

Перемещение сечения I-I стержня при растяжении-сжатии определяется как сумма абсолютных деформаций 2 грузовых участков, заключенных между рассматриваемым и неподвижным (закрепленным) сечениями, т.е.

Для определения требуемых перемещений необходимо построить эпюру продольных сил.

. В данной задаче нет необходимости определять реакцию заделки, так как один конец бруса свободный.

. Разбиваем брус на грузовые участки 1, 2, 3.

. В пределах каждого грузового участка проводим сечения на расстоянии zi от начала участка. (Рисунок 4)

. В каждом сечении записываем функцию продольной силы Ni(zi). При этом рассматриваем свободную часть бруса.

. Собственный вес стержней постоянного сечения учитывается как равномерно распределенная по длине каждого грузового участка нагрузка, направленная вниз. Интенсивность этой распределенной нагрузки равна весу части стержня единичной длины на данном участке.

-ый участок (0≤z1≤1,1 м.)

N1= γFz1=78·103Н/м3·11·10-4м2· z1=85,8 z1;

при z1=0 N1=0

при z1=1,1 м. N1=94,4 Н.

-ой участок (0≤z2≤2,1 м.)

N2= γF·1,1+ γ2F· z2=94,4+171,6 z2;

при z2=0 N2=94,4 Н;

при z2=2,1 м. N2=454,8 Н.

-ий участок (0≤z3≤2,1 м.)

N3= γF·1,1+ γ2F· 2,1+Р+ γFz3=1554,8+85,8z3;

при z3=0 N3=1554,8 Н;

при z3=2,1 м. N3=1734,98 Н.

По вычисленным результатам строим эпюру N (рис. 4)

Рисунок 4 - Эпюра продольных сил

Определим перемещение сечения I-I стержня.

Так как при учете собственного веса на любом грузовом участке эпюра продольных сил имеет вид трапеции, то абсолютную деформацию этого участка можно вычислить по формуле:

где Ni(ср) - средняя линия трапеции.

Задача 3

Для заданной сжатой стойки требуется:

. Вычертить схему стойки.

. Определить допускаемую нагрузку сжатой стойки, если требуемый коэффициент запаса устойчивости [ny] = 2. Материал стойки Ст. 3.

Е = 2,1·106 Па, [ϭ]= 1,4·108 Па.

Исследовать влияние изменения длины стойки на величину допускаемой нагрузки (определить допускаемую нагрузку при длине стойки 0,5l, 1,5l, 2l).

Схема стойки показана на рис. 5. Стойка представляет собой двутавр №10, длиной 2 м.

Рисунок 5 - Схема сжатой стойки.

Решение

Гибкость стержня определяется по формуле:

где μ - коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способов закрепления концов. В данном случае μ=2.

- наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня;- наименьший осевой момент инерции поперечного сечения стержня; Jmin = 198 см4.- площадь поперечного сечения стержня; F = 12 см2.

При гибкости стержня, большей предельной: λ>λпред (для стали Ст.3, λпред = 100) критическую силу вычисляют по формуле Эйлера:

Если гибкость стержня λпред > λ > λ0 (для стали Ст.3 λ0 = 40) критическая сила вычисляется по эмпирической формуле Ясинского:

где а и b - коэффициенты, зависящие от материала. Для стали Ст.3 при гибкостях λ = 40-100, а = 310МПа, b =1,14МПа. Т.к. λпред > λ > λ0 (100 > 98 > 40), критическую силу вычисляем по эмпирической формуле Ясинского:

Ркр = 12(310-1,14·98)=237,9 кН.

Допускаемая нагрузка:

При длине стойки 0,5l = 1 м. гибкость равна:

Критическую силу вычисляем по эмпирической формуле Ясинского:

Ркр = 12(310-1,14·49)=304,9 кН.

Допускаемая нагрузка:

При длине стойки 1,5l = 3 м. гибкость равна:

При гибкости стержня, большей предельной: λ>λпред (147>100) критическую силу вычисляем по формуле Эйлера:

Допускаемая нагрузка:

При длине стойки 2l = 4 м. гибкость равна:

Критическую силу вычисляем по формуле Эйлера:

Допускаемая нагрузка:

На основании проведенных выше расчетов можно сделать вывод о том, что при увеличении длины стойки, величина допускаемой нагрузки уменьшается.

Задача 4

Стальной кубик (рис. 5) находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нулю). Требуется найти:

. главные напряжения и направление главных площадок;

. максимальные касательные напряжения, равные наибольшей полуразности главных напряжений;

. относительные деформации εх, εy, εz;

4. относительное изменение объема;

. удельную потенциальную энергию деформаций.

Исходные данные:

ϭх=10 МПа, ϭy=10МПа, τх=80 МПа.

. Постановка знаков заданных нормальных и касательных напряжений:

σх = σу = 10 МПа, ("плюс" - растяжение),

τу = -80 МПа ("минус" - против хода часовой стрелки).

Рисунок 6

. Вычисление главных напряжений.

Соблюдая условие σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, выпишем числовые значения главных напряжений:

σ max = σ1 = 10 + 80 = 90 МПа,

σ min = σ3 = 10 - 80 = -70 МПа, σ2 = 0 (по условию задачи).

Проверка:

σx +σy =σ1 +σ3 = 10 + 10 = 90 - 70 = 20 МПа.

Определяем угол наклона главных площадок к заданным:

Угол положительный, поэтому заданные площадки должны быть повернуты против хода часовой стрелки и на полученных главных площадках показываем главные напряжения.

. Определение максимального и минимального касательных напряжений на площадках сдвига по формуле:

. Вычислим относительные деформации используя формулы обобщенного закона Гука:

. Изменение объема определяется по формуле:

. Удельная потенциальная энергия определяется по формуле:

Задача 5

Подобрать прочные размеры и оценить экономичность подобранных сечений. Схема балки приведена на рисунке 6.

Исходные данные:

=2 м.; b=3,2 м.; c=1,8 м.; l=10 м.

М=10 кН·м.; Р=16 кН.; q=22 кН/м.

Рисунок 7 - Схема балки

Решение:

Построим эпюры M и Q:

. Определим реакции опор:

Проверка:

Сечения проведем бесконечно близко в начале и в конце грузовых участков, на которых отсутствует распределенная нагрузка q. Дополнительное сечение проведем по середине участка, где имеется q.

-1=RA=37,25 кН.-3=RA-q2=37,25-22·2=-6,8 кН.-4= Q5-5= Q6-6= Q7-7=-RB+P=-23,65+16=-6,8 кН.-8= Q9-9=P=16 кН.-1=0.-2=RA1-q1·0,5=37,25·1-22·1·0,5=26,25 кН·м.

M3-3= M4-4=RA2-q2·1=37,25·2-22·2·1=30,5 кН·м.-5=RA5-q2·4=37,25·5-22·2·4=10,25 кН·м.-6=RВ3,2-Р·5=23,65·3,2-16·5=0,25 кН·м.-7= M8-8=-Р·1,8=-16·1,8=-28,8 кН·м.-9=0.

По полученным результатам строим эпюры М и Q (рисунок 8).

Рисунок 8 - Эпюры Q и M

Эпюру М строим со стороны растянутых волокон, т.е. значения М со знаком "минус" откладываем вверх. Из эпюры Q видно, что экстремальное значение изгибающего момента на 1-м грузовом участке будет в сечении на расстоянии х0, т.е. там, где Q(х0) = 0. Из этого условия находим величину х0:

(х0)=RA-qх0=37,25-22· х0=0. х0=37,25/22=1,7 м.

Вычисляем в этом сечении величину Мэкстр:

Для заданной балки рассмотрим четыре варианта сечений: круглое, прямоугольное(h/b=2), двутавровое и из двух швеллеров, приняв допустимое напряжение [ϭ]=160 МПа.

Из условия прочности по нормальным напряжениям ϭmax=Mmax/Wx≤[ϭ] определяем требуемый момент сопротивления поперечного сечения.

вал балка сечение нагрузка

Wx≥ Mmax/[ϭ]=31,5·103 /160·106=197 см3.

по которому подбираем конкретные сечения.

Круг.

По ГОСТ 6636-69 подбираем нормализованное значение d=130 мм. Тогда А=π d2/4= π·132/4=132,7 см2.

Прямоугольник.=b·(2b)2/6=2b3/3. Отсюда

Принимаем b=67 мм. Тогда А2=2b2=2·6,72=89,78 см2.

Двутавр.

По ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр №22 с Wx=230 см3 и А3=30 см2.

Два швеллера.

По ГОСТ 8240-89 выбираем два швеллера №18 с Wx=2·121=242 см3 и А4=2·20,7=41,4 см2.

Масса балки определяется как произведение плотности материала на ее объем m=ρAl т.е. при прочих равных условиях расход материала зависти только от площади поперечного сечения. Сравнивая массы балок:: m2: m3: m4= А1: А2: А3: А4=1:0,68:0,23:0,31,

заключаем, что самым неэкономичным является круглое сечение. При замене круга другими формами (прямоугольник, двутавр, два швеллера) достигается экономия, равная соответственно 32%, 77% и 69%.