Процесс изучения письменных приёмов сложения и вычитания в математике

Процесс изучения письменных приёмов сложения и вычитания в математике

Содержание

сложение вычитание школа вычисление

Введение

Глава 1. Подходы к изучению письменних приемов сложения и вычитания в начальных классах

1.1 Подход М.И. Моро к изучению письменных приёмов сложения и вычитания в начальных классах

.2 Особенности работы письменных приёмов сложения и вычитания по курсу Аргинской И.И.

Глава 2. Типичные ошибки при выполнении письменных приёмов сложения и вычитания, пути их предупреждения и исправления

.1 Характеристика ошибок, допускаемых учениками, при выполнении письменных заданий на сложение и вычитание

.2 Приемы формирования навыков письменного сложения и вычитания

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Актуальность темы курсовой работы заключается в том, что широкое внедрение в школьную практику новых технологий, авторских программ, концепций, учебников оказало огромное влияние на принятие учителями новой парадигмы образования. Однако нельзя не констатировать тот факт, что большинство учителей оказались не готовыми к реализации идей развивающего обучения.

Особенно остро обозначились противоречия в практике формирования вычислительных умений и навыков. В силу сложившихся традиций, так называемой знаниевой парадигмы, учитель по прежнему ориентируется на отработку частных случаев вычислительных приемов, используя для этой цели показ образца вычисления, однотипные примеры тренировочного характера, не уделяя при этом должного внимания работе по осознанию школьниками взаимосвязи изучаемых понятий и общих способов вычислений, развитию систематичности их мышления.

Основная особенность уроков математики - их многоаспектность. Благодаря этому свойству в сферу учения ребёнка вовлекается не только интеллект, но и эмоции ученика, стремления, нравственные позиции и многие другие свойства личности. Чтобы полноценно использовать эмоциональные переживания, необходима гибкость методики преподавания, которая выступает одним из выражений многоаспектности.

Ежегодные проверки результатов обучения математике в начальной школе свидетельствуют об ухудшении качества вычислений учащихся, обучающихся по развивающим учебникам по сравнению с учащимися, обучающихся традиционно.

Стремление учителей изменить ситуацию приводит к тому, что одни учителя используют в работе два учебника - один выполняет развивающие функции, другой (традиционный) - нацелен на формирование вычислительных умений и навыков; другие предъявляют повышенные требования к подготовке ребенка, поступающего в школу; третьи увеличивают объем домашних вычислительных заданий. Это приводит к перегрузке школьников, провоцирует стрессовые ситуации, снижает интерес к математике, повышает тревожность детей, формирует у них комплекс неполноценности, отрицательно влияет на их здоровье.

На изучение математики в учебном плане начальной школы отводится четвёртая часть всего времени. Также, математика является одним из предметов, который вызывает значительные затруднения у большого количества учащихся. Одна из главных причин такого положения: подмена основной функции изучения математики - формирование математических понятий, установление связей между ними, с которыми встречаются учащиеся как в школе так и вне её - выработкой вычислительных навыков.

Ориентация на формирование вычислительных навыков, как самоцели, приводят к тому, что учащиеся овладевают ими не на основе сформировавшихся математических представлений и понятий, а механически, опираясь, в основном, на память.

Такое построение обучения математики тяжело сказывается на всех детях. Однако учащиеся, поступившие в школу с высоким уровнем школьной зрелости, в значительной степени компенсируют возникающую трудность за счёт собственного высокого интеллектуального потенциала, уровня математических представлений, сложившихся в дошкольный период.

Переориентация методической системы на приоритет развивающей функции по отношению к образовательной, характеризующейся выдвижением на первый план процессуальной стороны обучения, которая выражается в изменении характера деятельности, личностно-ориентированном подходе к обучению, обусловили появление новых проблем, связанных с нарушением сложившейся системы формирования вычислительных умений и навыков.

Анализ развивающих учебников математики для начальной школы (И.И. Аргинская, Л.Г. Петерсон, Э.И. Александрова, В.В. Давыдов, М.И. Моро и др.) позволил сделать вывод, что все они в той или иной степени способствуют развитию познавательной активности учащихся, их творческого потенциала, формированию учебной деятельности, развитию гибкости и критичности мышления, однако способы организации вычислительной деятельности по прежнему сориентированы на показ образца вычислительного приема, отработку частных способов вычислений, использование однотипных тренировочных упражнений репродуктивного характера.

Таким образом, обозначилось противоречие между развивающей направленностью курса математики и способами организации вычислительной деятельности.

Предметом работы выступает процесс образования в начальной школе.

Объектом исследования является процесс изучения письменных приёмов сложения и вычитания в математике в начальной школе.

Цель работы - изучение письменных приемов сложения и вычитания в начальных классах.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

рассмотрены подходы М.И. Моро к изучению письменных приемов сложения и вычитания в начальных классах;

изучены особенности письменных приемов сложения и вычитания по курсу Аргинской И.И.

приведена характеристика ошибок, допускаемых учениками, при выполнении письменных заданий на сложение и вычитание;

предложены приемы формирования навыков письменного сложения и вычитания.

Глава 1. Подходы к изучению письменних приемов сложения и вычитания в начальных классах

.1 Подход М.И. Моро к изучению письменных приёмов сложения и вычитания в начальных классах

В программе Моро М.И. уделяется значительное внимание формированию у учащихся осознанных и прочных, во многих случаях доведенных до автоматизма навыков вычислений, программа предполагает вместе с тем и доступное детям обобщение учебного материала, понимание общих принципов и законов, осознание тех связей, которые существуют между рассматриваемыми явлениями.

Формирование понятий о натуральном числе и арифметических действиях начинается с первых уроков и проводится на основе практических действий с различными группами предметов. Такой подход дает возможность использовать ранее накопленный детьми опыт, их первоначальные знания о числе и счете. Это позволяет с самого начала вести обучение в тесной связи с жизнью. Приобретаемые знания дети могут использовать при решении разнообразных задач, возникающих в их игровой и учебной деятельности, а также в быту [Александрова, 2008, с.89].

Вместе с тем с самого начала обучения у детей формируются некоторые важные обобщения. Так, на примере чисел первого десятка выясняется, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду, устанавливается соотношение между любым числом ряда и всеми предшествующими или последующими числами, учащиеся знакомятся с различными способами сравнения чисел (сначала на основе сравнения соответствующих групп предметов, а затем по месту, которое занимают сравниваемые числа в ряду).

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 дети знакомятся с названиями действий, их компонентов и результатов, терминами равенство, неравенство. При этом имеется в виду, что математические термины должны усваиваться детьми естественно, как усваиваются ими любые новые для них слова, если они часто употребляются окружающими и находят применение в практике. В дальнейшем, во II классе, вводятся термины выражение, значение выражения.

Помимо терминологии, дети усваивают и некоторые элементы математической символики: знаки действий (плюс, минус), знаки отношений (больше, меньше, равно); они учатся читать и записывать простейшие математические выражения вида 5 + 4, 7 - 2, а также более сложные выражения вида 6 + (6 - 2). Вместо привычного "Решение примеров" в речи учителя и учащихся звучит: "Найдем значение выражения", "Сравним выражения" и т.п.

В программе предусмотрено ознакомление с некоторыми свойствами арифметических действий и основанными на них приемами вычислений. Так, в теме "Числа от 1 до 10" дети знакомятся с переместительным свойством сложения, учатся пользоваться приемом перестановки слагаемых в тех случаях, когда его применение облегчает вычисления (например, в случаях вида 2 + 7, 1+6 и т.п.). На основе практических действий с предметами учащиеся знакомятся с тем, что прибавить или вычесть число можно по частям (например, 6 + 3 = 6 + 2+1, 6 - 3 = 6 - 2-1). Таким образом учащиеся практически знакомятся с сочетательным свойством сложения, которое во II классе будет специально рассмотрено и сформулировано. Ознакомление со связью между сложением и вычитанием дает возможность находить разность, опираясь на знание состава чисел и соответствующих случаев сложения [Моро, 2009, 87 с.].

В результате изучения темы "Письменные приёмы сложения и вычитания " учащиеся должны:

) понимать конкретный смысл действий сложения и вычитания, что проявляется в умении правильно выбрать одно из этих действий при решении задач;

) знать взаимосвязь, существующую между этими действиями, о чем может свидетельствовать прежде всего умение проверить правильность сложения с помощью вычитания (и наоборот), а также умение решать уравнения на нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого;

) понимать, что складывать можно сколько угодно чисел и в любом порядке, применяя это при вычислениях;

) знать, как изменяется сумма при изменении одного из слагаемых и разность при изменении уменьшаемого или вычитаемого, т.е. уметь правильно отвечать на вопросы вида: "Одно из двух слагаемых увеличили на 5. Как изменится сумма?"; "Используя равенство 248 + 372 = 620, найдите значение выражения (248 + 90) + 372" и т.п.;

) овладеть навыком сложения и вычитания многозначных чисел, что должно подтверждаться положительной оценкой выполнения письменных и устных вычислений (в соответствии с нормами оценок).

На первом из уроков, посвященных изучению сложения и вычитания многозначных чисел, главной задачей является распространить уже известные учащимся правила (алгоритм) сложения и вычитания трехзначных чисел на числа четырехзначные, пятизначные и т.п. Как правило, этот перенос большинству учащихся дается довольно легко. И если у некоторых из них и появляются затруднения в основном связаны с двумя обстоятельствами:

) с плохим знанием таблицы сложения однозначных чисел;

) с неумением распорядиться суммой разрядных слагаемых в том случае, когда она является двузначным числом.

Поэтому, приступая к работе над новым материалом, следует рассмотреть два-три примера сложения и вычитания трехзначных чисел, подробно вспомнив правила выполнения действий и сопровождая выполнение действий достаточно подробными объяснениями, как это делалось во II классе [Моро, 2009, с.76].

Затем предлагается выполнить с комментированием сложение и вычитание четырех- и пятизначных чисел. Заметим, что сравнительно сложным случаям вычитания, когда, например, уменьшаемое содержит несколько нулей подряд, целесообразно посвятить специальный урок. При этом последовательно можно рассмотреть, например, как выполняются действия в следующих случаях:

200 2000 4 34 197 и т.п.

В каждом из случаев подробно рассматривается процесс "занимания" и замены 1 единицы высшего разряда 10 единицами ближайшего низшего разряда. Например, при решении первого из приведенных примеров можно сказать: "Из нуля единиц вычесть 4 единицы нельзя. Возьмем одну сотню (для памяти над ней поставим точку) и заменим ее 10 десятками. "Займём" 1 десяток, 9 десятков этой сотни оставим в разряде десятков, а 1 десяток заменим 10 единицами. Из 10 единиц вычтем 4 единицы, получится 6 единиц. Записываем их под единицами. Из 9 десятков ничего не вычитается, поэтому число 9 подписываем в результате под десятками".

Учащиеся уже имеют определенные представления о взаимосвязи вычитания и сложения. Они часто использовали их в I и II классах, например, для решения уравнений вида: х + 2 = 7; х - 3 = 5 и т.п.

При этом для нахождения одного из слагаемых им приходилось выполнять вычитание, а при нахождении уменьшаемого - сложение. В III классе, не давая определения вычитания через сложение (оно будет дано позже, в IV классе), можно показать учащимся, как вычитание связано со сложением. Например, обратить внимание детей на то, что вычесть из числа 27 число 15 - значит найти такое число, которое при сложении с числом 15 даст число 27. Это число 12.

- 15 = 12, потому что 15 + 12 = 27.

Выявление этой связи должно быть использовано для проверки вычитания с помощью сложения и наоборот. Нужно приучить детей без специального указания или требования со стороны учителя обязательно выполнять проверку результатов вычислений одним из способов. Проверка должна стать необходимой частью решения вычислительной задачи [Моро, 2009, с.54].

В ходе изучения рассматриваемой темы обобщаются представления об основных свойствах сложения. Необходимо убедиться в том, что переместительное свойство сложения имеет место и для трех и для четырех и для большего числа слагаемых. Для этого достаточно вычислить значение одного и того же выражения (суммы трех или четырех слагаемых), меняя местами рядом стоящие слагаемые. Необходимо рассмотреть достаточно яркие примеры, убеждающие в том, что применение переместительного свойства может упростить вычисления. Например, при нахождении суммы 27 + 92 + 73 учащиеся должны заметить, что если поменять местами слагаемые 92 и 73, то в сумме 27 + 73 + 92 первые 2 слагаемых дадут число 100, а найти сумму 100 и 92 не представляет труда.

Сразу после этого, в связи с изучением порядка действий и применением скобок для записи выражений, необходимо ознакомить учащихся с возможностью группировать слагаемые при вычислении суммы (сочетательное свойство суммы). Наконец, делается вывод, который постепенно усваивается в виде правила: "При сложении трех и более чисел любые два (или больше) числа можно заменить их суммой". Наиболее важным при этом является усвоение не самой формулировки правила, а формирование умений использовать сочетательное свойство суммы в вычислениях, вначале на примерах, а затем и одновременно с применением переместительного свойства, например: 27 + 196 + 33 + 4 = (196 + 4) + (27 + 33) = 200 + 60 = 260.

В связи с такими упражнениями нужно целенаправленно готовить учащихся к выводу, что в выражениях, составленных только с помощью знака "+", наличие или отсутствие скобок не влияет на их значение.

В методике, обеспечивающей правильное и осознанное усвоение детьми порядка выполнения действий, достигается правильное понимание роли скобок наряду с опорой на свойства сложения и вычитания и известных учащимся с I класса некоторых следствий из них (правила "прибавления к числу суммы", "... суммы к числу", "вычитания из числа суммы" и т.п.). Исключительно важную роль при этом играют навыки чтения выражений и составления выражений. Совершенствование этих навыков должно представлять непрерывный процесс с постоянным усложнением требований. Большое значение имеет в этом отношении решение текстовых задач с помощью составления выражений или уравнений. Работа по формированию указанных выше умений, как правило, должна быть тесно связана с совершенствованием вычислительных навыков, с усвоением алгоритмов выполнения сложения или вычитания. Этой цели отвечают, например, упражнения вида: "Запиши с помощью знаков действий и вычисли:

а) сумму числа 1127 и разности чисел 3957 - 2839;

б) выражение, в котором уменьшаемое есть число 20 137, а вычитаемое выражено суммой чисел 7213 и 2931". Примеры такого рода учитель найдёт в учебнике. Следует, однако, предостеречь учителя от необоснованного усложнения формулировок и содержания аналогичных заданий и превышения уровня сложности приведенных выше примеров.

.2 Особенности работы письменных приёмов сложения и вычитания по курсу Аргинской И.И.

Основой первоначального знакомства с действиями сложения и вычитания является работа с группами предметов (множествами) как в виде их изображений на рисунках, так и составленных из раздаточного материала. Сложение рассматривается как объединение двух (или нескольких) таких групп в одну, вычитание - как разбиение группы на две.

Такой подход позволяет, с одной стороны, построить учебную деятельность детей на наиболее близких для данной возрастной группы наглядно-действенном и наглядно-образном уровнях мышления, связать изучаемые действия с образной моделью, а, с другой стороны, с первых шагов знакомства установить связь между сложением и вычитанием [Лавриенко, 2001, с.53].

В дальнейшем понятие о сложении и вычитании становится более разносторонним и глубоким за счет рассмотрения их с других точек зрения: сложение рассматривается как действие, позволяющее увеличить число на несколько единиц; вычитание - как действие, позволяющее уменьшить число на несколько единиц, а также как действие, позволяющее установить количественную разницу между двумя числами, то есть ответить на вопрос о том, на сколько одно число больше (меньше) другого.

Используется и другой аспект расширения понятий об этих действиях - помимо сложения и вычитания натуральных чисел, происходит знакомство с выполнением этих действий с дробными числами с одинаковыми знаменателями, а также сложение и вычитание отрезков, многоугольников, объемных тел [Аргинская, 2005, с.14].

Первоначально дети находят значения сумм и разностей так, как считают нужным. Как правило, это пересчет элементов после объединения заданных множеств или после выделения одного из подмножеств из заданного множества или присчитывания и отсчитывания элементов. Учителю в этот период необходимо побуждать детей сравнивать эти способы так, чтобы и на этой основе дети смогли сделать самостоятельный вывод о том, какой из способов более рационален. Следующим шагом является начало знакомства с общепринятым способом выполнения рассматриваемых действий - таблицей сложения.

Если в классе есть хотя бы один ученик, который не использует счетный материал (палочки, пальцы и т.д.), а записывает результаты действий по памяти, необходимо привлечь внимание остальных учеников к этому способу, предложив такому ученику рассказать, как он получает результат. Объяснение, как правило, одно - ученик помнит результат действий наизусть. Если же таких учеников нет, главным действующим лицом становится сам учитель. Именно он показывает, что не пользуется счетным материалом, и объясняет, почему это так. После этого сообщает, что существует таблица сложения, запомнив которую, можно без счетного материала находить значения сумм и разностей.

составление таблицы сложения без перехода через десяток;

сокращение этой части таблицы до необходимого и достаточного минимума на основе переместительного закона сложения и расположения чисел в натуральном ряду;

составление таблицы сложения с переходом через десяток.

Составление всей таблицы сложения строится на основе состава числа из двух однозначных чисел.

При сокращении таблицы сложения желательно провести занятия так, чтобы они были максимально эмоциональными. Для этого вся таблица должна быть сосредоточена в одном месте (лучше всего отвести в тетради специальную страницу, на которую постепенно заносятся составленные столбики таблицы). Всего на ней окажется 36 равенств. Однако после сокращения останется только 12 равенств, запомнив которые, можно найти значение любой суммы и разности (Таблица 1).

Таблица 1 Taблица сложения

В отличие от подачи материалов в традиционной системе внетабличное сложение и вычитание строятся не на последовательном рассмотрении частных случаев этих действий, а на выделении и осознании положений, лежащих в основе алгоритма их выполнения:

поразрядность выполнения каждой из этих операций;

использование таблицы сложения для вычислений в каждом разряде.

Такой подход позволяет уже на этапе выполнения действий с двузначными числами сформировать общее понятие об алгоритме выполнения сложения и вычитания и в дальнейшем использовать его на любом множестве натуральных чисел, не занимая значительного учебного времени на рассмотрение и изучение этих частных случаев [Зайцев, 2009, с.35].

Необходимо иметь в виду, что мы принципиально стоим на позиции формирования общего понятия о выполнении операций на базе небольших чисел. С ними детям сравнительно легко работать, а операции с ними без значительной затраты сил и времени дети могут выполнить практически, проверив правильность выдвинутых предположений на легко обозримом материале. В этом случае у формируемого понятия есть прочная база личного практического опыта, что не мешает достижению высокого уровня обобщения, а, наоборот, способствует его достижению.

Как и в большинстве случаев, дети должны самостоятельно создать алгоритм выполнения изучаемых операций. Рассмотрим фрагмент урока, на котором появляется алгоритм выполнения действия сложения.

Чтобы узнать значение суммы 34 + 45, Вера и Боря сделали такие рисунки:

) Чей рисунок лучше поможет узнать значение суммы?

) Подумай, какая математическая запись соответствует выбранному тобой рисунку. Сделай такую запись.

) Сравни свою запись с такой:

+ 45 = (30 + 4) + (40 + 5) = (30 + 40) + (4 + 5) = 70 + 9 = 79

У тебя получилась такая же запись?

Если нет, в чем разница? Какая запись тебе кажется более удачной? Почему?

) Рассмотри предложенную запись и ответь на следующие вопросы:

Какими суммами заменили слагаемые? Как такие суммы называются? Что обозначает запись (30 + 40) + (4 + 5)?

) Сделай записи такого же вида и найди значения сумм:

+ 32

+ 31

+ 24

+ 16

+ 42

) Запиши несколько своих сумм и их значения.

) Подумай, правильно ли утверждение: при сложении чисел удобно десятки складывать с десятками, а единицы с единицами.

) Запиши равенства из таблицы сложения, которые помогли тебе найти значения всех сумм.

Дети. Мне кажется, что второй рисунок удобнее - в нем пучки вместе и палочки тоже вместе.

А я думаю, что оба рисунка удобные - ведь и пучков, и палочек немного, их легко сосчитать на каждом рисунке.

Мне кажется, что все-таки Борин рисунок лучше. Конечно, пересчитать пучки и палочки легко на каждом рисунке, а если их будет очень много и все они будут лежать в беспорядке, то пересчитать будет гораздо труднее: можно какую-то палочку пропустить.

У. Подумайте, какое мнение вам кажется верным.

Д. Оба верные.

Нет, все-таки верно, что удобнее второй рисунок, особенно в тех случаях, когда пучков и палочек много.

Я тоже так считаю: ведь когда наведен порядок, всегда удобнее выполнить задание.

У. Какие математические операции и в каком порядке нужно выполнить, чтобы найти значение суммы 34 + 45?

Д. Сначала нужно сложить десятки, потом единицы, а в конце сложить значения этих сумм.

Мне кажется, что сначала слагаемые надо заменить суммами разрядных слагаемых.

У. Молодцы, все сказали правильно. Прочитайте пункт 6 этого же задания и ответьте на поставленный вопрос.

Дети читают и все соглашаются с предложенным утверждением.

А теперь попробуйте самостоятельно сделать математическую запись определения значения данной суммы.

Дети работают самостоятельно, после завершения работы учитель предлагает сравнить получившуюся у них запись с данной в учебнике:

+ 45 = (30 + 4) + (40 + 5) = (30 + 40) + (4 + 5)= = 70 + 9 = 79

Чем отличается ваша запись от данной? Какие вы допустили ошибки?

Д. Я не записала суммы разрядных слагаемых;

А я не ставил скобки, и все равно получился тот же ответ.

Такая запись неверная - ведь важно складывать в нужном порядке, а если скобок нет, порядок будет совсем другой.

Для нахождения результата скобки не важны, для осознания алгоритма сложения скобки важны.

Я сначала складывала единицы, а потом десятки.

Я думаю, это не ошибка - ведь мы знаем переместительный закон сложения.

У. Сейчас мы попробуем найти значения сумм таким же способом и объяснить каждый наш шаг.

Учитель вызывает к доске двух-трех детей, которые допустили ошибки или погрешности при составлении записи. Остальные дети работают самостоятельно с другими суммами.

Гриша, расскажи, как ты нашел значение своей суммы.

Гриша - один из работающих на доске - повторяет шаги алгоритма сложения. Затем учитель приглашает еще четырех учеников и предлагает каждому выбрать одну из табличек: 1-й шаг - разбиение на разрядные слагаемые, 2-й шаг - сложение десятков, 3-й шаг - сложение единиц, 4-й шаг - сложение полученных результатов.

Сейчас я предлагаю Лене, Олегу, Коле и Ире найти значение суммы 65 + 23, выполняя по очереди определенный шаг в соответствии с номером, который у него на груди. Нам с вами предстоит понаблюдать за "живым" решением выражения.

Дети выполняют задание. Коля у доски неверно определил 2-й шаг: он объединил его с 3-м. Лена и другие ученики помогли ему понять, в чем он ошибся.

В целях расширения и углубления представлений детей об изученных операциях рассматриваются случаи их выполнения с геометрическими объектами: сложение и вычитание отрезков и углов, умножение их на натуральное число и деление на равные части. Большую роль в осознании связи между обратными действиями играет знакомство с уравнениями, их решение на основе этих взаимосвязей, которые начинаются в 1-м классе и продолжаются до конца обучения в начальной школе [Истомина, 206, с.154].

Формированию осознанного и прочного навыка выполнения изученных действий способствуют систематические наблюдения за изменением результата изученных операций при изменении одного и (или) двух компонентов. Такие наблюдения проводятся на протяжении всего времени обучения в начальной школе и завершаются их обобщением в 4-м классе.

Глава 2. Типичные ошибки при выполнении письменных приёмов сложения и вычитания, пути их предупреждения и исправления

.1 Характеристика ошибок, допускаемых учениками, при выполнении письменных заданий на сложение и вычитание

Одна из задач математической подготовки младших школьников - формирование вычислительных навыков. Это сложный и длительный процесс, эффективность которого во многом зависит от индивидуальных особенностей ребёнка, уровня его подготовки и способов организации вычислительной деятельности. Письменные вычисления имеют повсеместное применение, являются фундаментом изучения математических и других учебных дисциплин.

Проблеме формирования вычислительных навыков, в том числе навыков письменных вычислений, посвящены публикации М.А. Бантовой, М.Б. Волович, В.В. Давыдова, О.А. Ивашовой, Н.Б. Истоминой, В.Н. Медведской, С.С. Минаевой, П.Б. Ройтмана, Т.М. Чеботоревской, Я.Ф. Чекмарева. Однако, несмотря на простоту алгоритмов письменного сложения и вычитания, учащиеся допускают достаточно много ошибок. Одна из причин - игнорирование особенностей методики изучения материала, предполагающих использование наглядности в виде опорных схем и абака, применение проблемного и практического методов, самостоятельной работы, а также отработки навыка на системе специально подготовленных упражнений тренировочного и творческого характера [Истомина, 2006, с.193].

Целенаправленную деятельность по отработке вычислительных умений и навыков необходимо осуществлять, руководствуясь следующими требованиями:

. Обязательная подготовительная работа к выполнению вычислений на каждом уроке.

. Соблюдение постепенного нарастания сложности в письменных вычислениях (переход через один разряд, два разряда, случаи, когда уменьшаемое содержит нули).

. Проверка полученного результата. В данном случае проверка выступает как прием самоконтроля, который воспитывает у учащихся ответственность и вызывает интерес к выполненной работе.

. Систематический самоконтроль деятельности учащихся и анализ допущенных ими ошибок. Контроль позволяет организовать целенаправленную индивидуальную работу, вовремя обратить внимание ученика на проблемы в его знаниях, умениях и навыках, целенаправленно использовать тренировочные упражнения.

. Соблюдение количественной меры решаемых примеров. Практика показывает, что если ученик решает подряд более 4 - 5 примеров, то количество ошибок возрастает. Это связано с напряжением внимания [Аргинская, 2005, с.15].

Рассмотрим типичные ошибки учеников при выполнении письменных заданий на сложение и вычитание.

) Ошибка в записи чисел в столбик.

С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, а надо числа подписывать так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и т.д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т.д. Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: "К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка."

) Ошибка в постановке знака.

) Знак "плюс", а ученик вычитает.

) Забыли о переполнении десятка; неправильно определили количество единиц, прибавляемых к единицам высшего разряда; не прибавили к единицам высшего разряда:

Ошибки при выполнении письменного сложения, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, например: Предупреждению таких ошибок также помогает обсуждение с учениками неверно решенных примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять себя - не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда. Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением. Заметим, что в некоторых методических пособиях и статьях для предупреждения названных ошибок в письменном сложении с переходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного примера ученик тогда должен рассуждать: "К девяти прибавить пять, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 - четыре, да 2, всего 6" и т.д. Этого делать не следует, потому что некоторые ученики переносят этот прием на письменное умножение, что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 они рассуждают так: "4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, два запоминаем; 2 да 5 - 7, семь умножить на шесть, получится 42" и т.д.

) неправильно определили количество цифр в сумме.

) допустили ошибки при сложении чисел в пределах десяти или с переходом через десять.

2.2 Приемы формирования навыков письменного сложения и вычитания

С целью выявления наиболее эффективных приёмов формирования навыков письменного сложения и вычитания было проведено исследование на базе третьих классов. Были определены экспериментальный класс - 3 "Б" (20 человек) и контрольный класс - 3 "В" (12 человек). Уровень успеваемости в данных классах существенно не отличается. На констатирующем этапе эксперимента была проведена проверочная работа. Она включала следующие задания: на устные внетабличные случаи сложения и вычитания в пределах ста (в экспериментальном классе с заданием справились 71% учащихся, в контрольном - 68%), на умение представить трехзначное число в виде суммы разрядных слагаемых (с заданием справились 56% и 58% учащихся экспериментального и контрольного классов соответственно), на поиск неизвестного компонента при сложении и вычитании (в экспериментальном классе - 54%, в контрольном - 52%), на применение первого шага алгоритма - запись чисел в столбик (в экспериментальном классе - 64%, в контрольном - 65%), на выполнение письменного сложения и вычитания (в экспериментальном классе - 73%, в контрольном - 75%). На основе анализа результатов проверочной работы, можно сделать вывод о том, что учащиеся хуже всего справились с заданиями, предполагающими умения представлять числа в виде суммы разрядных слагаемых, находить неизвестный компонент при сложении и вычитании, применять первый шаг алгоритма - запись чисел в столбик. Между тем, без этих умений нельзя говорить о сформированности навыков письменного сложения и вычитания. Второй этап эксперимента - обучающий. На уроках, посвящённых изучению новых случаев сложения и вычитания, мы применяли наглядный и практический метод с использованием абака, разрядной сетки и пучков палочек. Для этого в разряде единиц предлагали поместить отдельные палочки; в разряде десятков - связанные веревочкой десять палочек; в разряде сотен - десять пучков, по десять палочек в каждом. Это позволило сформировать зрительный образ того, что в традиционной методике называют разрядной единицей. Так, например, сложение чисел 357 и 268 с помощью разрядной сетки выполняли, сопровождая следующими рассуждениями. Сложение чисел начинаем с разряда единиц. В разряде единиц числа 357 представим 7 палочек. В разряде единиц числа 268 представим 8 палочек. В разряде единиц суммы 357+268 надо представить себе 7+8=15 палочек. Поскольку палочек больше, чем 10, надо 10 палочек связать в пучок и перенести в разряд десятков. В разряде единиц суммы останется 5 палочек:

В разряде десятков суммы 357+268 надо представить 1+5+6=12 пучков-десятков. Поскольку пучков-десятков больше, чем 10, надо 10 пучков, в каждом из которых 10 палочек, связать в пучок - сотни и перенести в разряд сотен. В разряде десятков суммы останется 2 пучка - десятка:

В разряде сотен суммы 357+268 надо представить 1+3+2=6 пучков - сотен:

Таким образом, разрядная сетка помогает обеспечить осознанное овладение алгоритмами письменного сложения и вычитания в случае перехода через разряд [Узорова, 2007, с.321].

Одной из причин довольно низкого уровня сформированности навыков письменного сложения и вычитания является однообразие учебных заданий. По результатам первого этапа была разработана и внедрена серия заданий. Приведём примеры некоторых из них.

. Представьте данные числа в виде суммы разрядных слагаемых: 280, 208, 515, 140, 684, 346, 444, 102.

. Проверьте, правильно ли записаны числа в столбик:

681 + 681 - 385

70 17

. Найдите значения выражений, выполняя вычисления в столбик. Найдите разность наибольшего и наименьшего результатов.

+32, 425+320, 79+182, 667-199, 274-78, 600-153.

. Найдите значение выражений: 725-568, 566-549, 960-609, 344-299. Сделайте проверку, выполняя сложение.

. Покажите с помощью стрелок, какие разряды переполняются:

+ 872 872 + 542 - 542

154 350 350

. Вместо звездочек допишите нужные цифры.

+ *7* - **1 + 3*2

** 79* 460

75 8**

. Каждому выражению (342+263, 428+123, 279+513, 562+343, 578+263, 483+329) поставьте в соответствие его значение, не выполняя вычислений (905, 551, 812, 841, 792, 605). Проверьте, выполняя вычисления в столбик.

. Поставьте вместо звездочек подходящие цифры:

+ 79 863 - 376

** ** ***

*** *** **

. Составьте примеры по схеме:

+ ** + ** *** - ***

** ** ** ***

** *** ** ***

На третьем - контрольном этапе - эксперимента нами была проведена проверочная работа, анализ результатов которой свидетельствует о качественном улучшении показателей учащихся экспериментального класса, что подтверждает эффективность обучающего этапа эксперимента. Результаты контрольного класса остались на том же уровне.

Итак, для совершенствования навыков письменных вычислений учащиеся 3-го класса должны не только усвоить алгоритм, овладеть соответствующими вычислительными умениями, но и систематизировать знания о действиях сложения и вычитания, их свойствах, о взаимосвязях между результатами и компонентами действий. И только на основании этого можно говорить о сформированности вычислительных навыков письменного сложения и вычитания.

Заключение

Формирование вычислительных умений и навыков - одна из основных задач начального курса математики. Вычислительное умение - это развёрнутое осуществление действия, в котором каждая операция осознаётся и контролируется. В отличие от умения навыки характеризуются свёрнутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с роспуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат Задача формирования вычислительных навыков является центральной в курсе математики начальных классов. Но было бы ошибкой решать эту задачу только путем зазубривания таблиц сложения и умножения и использования их при выполнении однообразных тренировочных упражнений. Безусловно, количество выполняемых тренировочных упражнений (или, как принято называть их в практике, примеров) играет немаловажную роль в формировании вычислительных навыков. Но не менее важной задачей советской школы является развитие у учащихся в процессе обучения познавательной самостоятельности, творческой активности, потребности в знаниях. Содержание обучения математике в начальной школе направлено на формирование у учащихся математических представлений, умений и навыков, которые обеспечат успешное овладение математикой в основной школе. Учащиеся изучают четыре арифметических действия, овладевают алгоритмами устных и письменных вычислений, учатся вычислять значения числовых выражений, решать текстовые задачи. У детей формируются пространственные и геометрические представления. Весь программный материал представляется концентрически, что позволяет постепенно углублять умения и навыки, формировать осознанные способы математической деятельности. Характерными особенностями содержания математики являются: наличие содержания, обеспечивающего формирование общих учебных умений, навыков и способов деятельности

Изучение и усвоение арифметических действий является неотъемлемой частью обучения математике. Знания арифметических действий, их компоненты в терминологии является одним из основных требований программы математики начальной школы. На их знание и их свойств фактически основывается вся остальная математика, основные ее понятия и программный материал.

Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которые требуют его применения. Смысл действий и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов и на системе соответствующих текстовых задач. На их основе доводится до сознания детей связь между компонентами и результатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения.

Сложение и умножение чисел обладают свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно относительно сложения.

Переместительное свойство умножения широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел. Сочетательный закон в начальной школе в явном виде не рассматривается, но используется вместе с переместительным законом при умножении числа на произведение. Распределительный закон умножения относительно сложения рассматривается в школе на конкретных примерах и носит название правил умножения числа на сумму и суммы на число. Рассмотрение этих двух правил диктуется методическими соображениями.

Учителя начальных классов должны целенаправленно вести работу по формированию свойств арифметических действий. Пример урока по развитию письменных приемов выполнения заданий на сложение и вычитание приведен в приложении.

Также учитель сам должен хорошо уметь анализировать и решать задачи, знать с какой целью, где какая задача должна быть использована для формирования и усвоения теоретических вопросов. Широко использовать наглядный материал, который помогает лучшему усвоению темы урока.

Особый интерес у обучающихся вызывают приемы занимательности. Под занимательностью мы понимаем те виды деятельности на уроке, которые содержат в себе элементы необычного, удивительного, неожиданного, космического вызывают у детей интерес к учебному предмету и способствуют созданию положительной, эмоциональной обстановке.

Список литературы

1.       Александрова Э.И. Математика: Учебник для 1 кл. трехлетн. нач. шк.: В 2 ч., Ч.2.- / Под ред. А.К. Дусавицкого. 4-е изд., дораб. - М.: Дом педагогики, 2008. - 342 с.

2.       Александрова Э.И. Методика обучения математике в начальной школе. 1 класс. (Система Д.Б. Эльконина В.В. Давыдова): Пособие для учителя. - М.: Вита-Пресс, 2007. - 265 с.

4.       Аргинская И.И. Особенности обучения младших школьников математике. Особенности программы и учебных пособий по математике для начальной школы // Начальная школа. 2005. №19. - С. 13-16

.        Артемов А.К., Истомина Н.Б. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах. - М.: Воронеж, 2009. - 257 с.

6.       Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах./ Под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. -М.: 2007. - 311 с.

.        Быкова Т.П. Подготовка младших школьников к обучению доказательству //Актуальные проблемы дошкольного и начального образования. - Ярославль: ЯГПУ, 2000. - 255 с.

8.       Зайцев В. В. Математика для младших школьников: Метод. пособие для учителей и родителей. - М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2009. - 59 с.

9.       Игнатьева Т.В. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1-4): Сборник программ / Т.В. Игнатьева, Л.А. Вохмянина, - М.: Просвещение, 2000. - 93 с.

10.     Истомина Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах. - М.: Просвещение, 2006. - 306 с.

11.     Истомина Н.Б., Шмырева Е.И. и др. Методика преподавания математики в начальных классах. М.: Просвещение, 2006. - 237 с.

12.     Контрольные и проверочные работы по математике. 1-4 класс: / Пособие для начальной школы. / Авт.-сост. Узорова О. В., Нефедова Е. А. - К.: ГИППВ, 2007. - 411 с.

13.     Лавриненко Т. А. Как научить детей решать задачи: Методические рекомендации для учителей начальных классов. - Саратов: "Лицей", 2001. - 86 с.

.        Методическое пособие к учебнику "Математика. 4 класс": пособие для учителя / М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, С. В. Степанова, С. И. Волкова. - М.: Просвещение, 2004. - 154 с.

.        Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3 классах. - М.: Инфра-М, 2009. - 195 с.

.        Узорова О. В. 5500 примеров и ответов по устному и письменному счёту 1-4 класс: / Пособие для начальной школы. - К.: ГИППВ, 1999. - 153 с.

.        Узорова О. В., Нефёдова Е. А. 2500 задач по математике, 1-3: / Пособие для начальной школы. - М.: Аквариум, 1997. - 240 с.

18.     Управление познавательной деятельностью учащегося: Сборник статей. /Под ред. П.Я. Гальперина. М.: Прогресс, 2007. - 327 с.

19.     Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении. М.: Знание, 2007. - 231 с.

Приложение

Урок математики, проведенный в соответствии с требованиями ФГОС НОО во 2 г классе по теме "Сложение и вычитание двузначных чисел"

Тема урока "Сложение и вычитание двузначных чисел"

Цель: создавать условия для формирования у учащихся умений письменного приема сложения и вычитания двузначных чисел.

Задачи: продолжить формирование творческого отношения к процессу обучения;

продолжить развитие логического мышления .памяти ,навыков анализа и синтеза;

закреплять знания устного сложения и вычитания двузначных чисел;

развивать умение самостоятельно оценивать результаты своих действий, контролировать самого себя ,находить и исправлять свои ошибки.

продолжить воспитывать культуру речи и сотрудничества.

Оборудование: …(учебник И.И .Аргинская, Е И.Иванова С.Н. Кормишина, карточки, для индивидуальной работы, компьютер, проэктор, алгоритм, сигнальные карточки ,бабочки ,цветные карандаши)

Планируемые результаты:

Ход урока. Орг. момент..      Актулизация знаний.

а)"Яркий образ".

Я хочу рассказать вам одну историю. Эта история произошла давным-давно в старинном городе, в котором жил великий мудрец. Слава о его мудрости разнеслась далеко вокруг. Но был в городе человек, завидующий его славе. И вот он решил придумать такой вопрос, чтобы мудрец не сумел на него ответить. Он пошел на луг, поймал бабочку. Посадил её между сомкнутых ладоней и подумал: "Спрошу-ка у мудреца:

Скажи, о мудрейший, какая бабочка у меня в руках: живая или мертвая? Если он скажет - живая, я сомкну ладони и бабочка умрет, а если он скажет -мёртвая, я разомкну ладони и бабочка улетит. Вот тогда все поймут, кто из нас умный".

Так всё и случилось. Завистник поймал бабочку, посадил её между ладонями и отправился к мудрецу. И он спросил у того:

"Какая бабочка у меня в руках, о мудрейший, живая или мёртвая?"

И тогда мудрец сказал:

"Всё в твоих руках…"

Как вы понимает выражение.

Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

б) Математический диктант.

Запишите число, в котором 4д. и столько же единиц.

Запишите число, в котором 1д., а единиц на 6 больше.

Запишите число, которое на единицу меньше, чем число, в котором 2д.7ед.

Запишите число, которое на единицу больше, чем число, в котором 7д.9ед.

Запишите число, следующее при счете за числом, в котором 3д.4ед.

Запишите число, предыдущее числу, в котором 5д.4ед.

Запишите число, в котором 2ед., а десятков на 4 больше.

Запишите число, в котором 7д.1ед.

Возьмите в руки карандаш красного цвета и проверьте свои результаты. Если ответ верный, то на полях ставьте "+", если есть ошибки, исправьте и на полях ставьте "- "

Прочитайте полученный числовой ряд.

Можно ли эти числа объединить в 1 группу?

(двузначные числа; сумма цифр в записи двузначных чисел равна 8)

Найдите в этой группе "лишнее" число.

(44 - записано одинаковыми цифрами; 80 - число, оканчивающееся 0)

Ниже расположите данные числа в порядке возрастания.

Сравните свои записи с записью на доске. Оцените результаты.

Увеличьте каждое число на 2 единицы

Сравните и оцените свои вычисления.

Увеличьте каждое полученное число на 1д.

Сравните и оцените свои результаты. У вас получилось? ( сигналят смайликами)

в) Повторение.

Отработка устных приемов сложения и вычитания.

Индивидуальные карточки

+42 51+33 62+ 12 25+24 67+32

Остальные решают примеры с комментированием

+36 47+32

-24 39-23

-45 52+47

Вывод: Единицы складываем с единицами, десятки складываем с десятками.

Из единиц вычитаем единицы, из десятков вычитаем десятки.

Физ. минутка для глаз.

III. Открытие нового знания.

+36 98-45

Обратите внимание на эту запись?

Что вы можете сказать?

Как записаны числа? ( в столбик, единицы под единицами, десятки под десятками)

Где стоят знаки -,+?

Чем запишем знаки?

Где записано знаками?

Вывод: Складывать и вычитать числа можно в столбик.

Что самое важное при решении примеров в столбик? (записывать десятки под десятками, единицы под единицами)

Как вы считаете, что нужно вначале складывать или вычитать десятки или единицы?

(Записывать десятки под десятками, единицы под единицами. Складываем единицы с единицами, десятки с десятками)

А вычитать?Давайте ваш вывод сравним с правилом алгоритмом решения. Алгоритм - это порядок действий.

Памятка:

Ребята у вас на парте памятка с алгоритмом. Возьмите красный карандаш и работая в парах найдите и подчеркните в ней опорные слова.( Записываю, складываю единицы, складываю десятки, читаю.)

А где в повседневной жизни мы используем алгоритм - порядок действий?

IV Формирование темы урока.

Проанализируйте задания, которые мы выполняли и сформируйте тему нашего урока. Какая наша цель.

(учиться решать и записывать примеры в столбик)

Закрепление

Работа с учебником( стр.83 №178\4)

Давайте решим и запишем в столбик эти примеры, применяя алгоритм.

+32 34+33 49-37

Самостоятельная работа (стр82 № 178)

Составьте и решите 1 пример сами.

Как выполнить сложение в столбик?

Как выполнить вычитание в столбик?

Просигнальте мне смайликом: трудно вам было или нет? Все понятно? Есть затруднения?

Работа над задачей в парах(стр. 83 №180)

Рассмотрите задачи. Что вы можете сказать об условиях задач( одинаковые)

А вопросы? (разные)

Решение задач будет одинаковым или разным? Проверьте и сравните ваши решения.

V. Итог урока.

Какую цель мы ставили перед собой?

Что вы можете сказать о своей работе на уроке?

Дополните фразы

На уроке я узнал……

Я смог самостоятельно…..

Я пока затрудняюсь…..

VI. Домашнее задание будет для девочек и для мальчиков отдельно.

Стр.83, № 181.

Посмотрите на нашу бабочку. Помните историю про мудреца.

Что он сказал? Вы согласны с ним? Все сегодня было в наших руках и у вас все получилось. Хотя вам еще многому придется учиться. На память об этом уроке я хочу подарить вам бабочку, как символ вашего успеха в вашей жизни.