О нанотехнологии. Средняя длина свободного пробега молекул

О нанотехнологии. Средняя длина свободного пробега молекул

О нанотехнологии. Средняя длина свободного пробега молекул

Физические и эксплуатационные характеристики тонкопленочных покрытий и нанослоев, полученные методами вакуумного испарения напрямую зависят от условий напыления, и, в первую очередь чистоты и степени вакуума. Современные системы откачки остаточных газов позволяют получить разряжение на уровне 10^-12 Па в лабораторных условиях. В условиях серийного производства такой вакуум недостижим и приходиться работать с вакуумом 10^-4 - 10^-6 Па. Спрашивается, насколько эти условия пригодны для получения качественных и технологически воспроизводимых покрытий. Можно предположить, что не последнюю роль в этом играет длина свободного пробега, которая, в свою очередь связана с частотой столкновения отдельной молекулы газа с другими молекулами. Кроме того, молекулы, испаряемые из мишени, тоже будут сталкиваться между собой и молекулами остаточного газа, в условиях некоторого снижения степени вакуума. Точный расчет длины свободного пробега невозможен ввиду многочисленных факторов, влияющих на ее величину, например степень вакуума, предварительная подготовка объема камеры и материала мишени, физико-химические свойства температуры мишени, температуры проведения технологического процесса и др.. В равновесных условиях поведение молекул разряженного газа подчиняется молекулярно-кинетической теории идеального газа.

Расстояние между центрами двух сталкивающихся молекул называют эффективным диаметром. А площадь сечения такой молекулы называют эффективным сечением:

d = r₁ + r₂ , и  ²,

тонкопленочный покрытие нанослой молекула

Примем за длину свободного пробега молекулы газа величину перемещения от одного столкновения до другого. Тогда для N-столкновений получим среднюю длину свободного пробега:

< l > = ( l₁ + l₂ + l₃ + …… + l_n )/ N, м

Определим приближенно среднее число столкновений молекулы в единицу времени. Пусть сначала движется одна молекула, а другие неподвижны. После каждого соударения направление вектора скорости молекулы изменяется, и тогда траектория движения молекулы представляет собой ломаную линию. Каждый участок этой линии есть путь свободного пробега. Длина пути по этой траектории за единицу времени равна средней арифметической скорости < V_a>. В этом случае, объем ломаного цилиндра равен:

_ц =  ² < V_a>.

Если концентрация молекул известна, то число столкновений будет:

N = V_ц n =  ² < V_a> n.

Среднеарифметическая скорость определяет скорость одной молекулы относительно других неподвижных молекул, т.е. относительно стенок сосуда. В самом же деле, двигаются все молекулы, поэтому следует брать среднею относительную скорость молекулы <V_отн >. Относительная скорость двух молекул равна:

V_отн = V₂ - V₁

После возведения в квадрат:

| V_отн |² = | V₂ - V₁ |² = V₁² + V₂² - 2 V₁ V₂ Cos

Среднее значение суммы равно среднему значению слагаемых, поэтому:

< V ²> = < V₁² > + < V₂² > - < 2V₁ V₂ Cos >

Угол между векторами скоростей двух молекул равновероятно принимает значения от 0⁰ до 180⁰, поэтому величина < 2 V₁ V₂ Cos > = 0. Принимая скорости одинаковых молекул равными между собой, получим:

< V_отн² > = 2 < V²_кв > или < V_отн > =  < V_а >, учитывая пропорциональность < V_кв > и < V_а >, получим:

< V_отн > =  < V_а >

В лабораторной системе, т.е. относительно стенок сосуда, суммарный импульс молекул не равен нулю. В системе центра масс (система - С) суммарный импульс равен нулю:

Р_с = _сп = _n - _c = 0 , тогда : V_c = _n / _n

Для двух сталкивающихся частиц скорость центра масс:

V_c = ( m₁ V₁ + m₂ V₂ )/( m₁ + m₂ )

правилу сложения скоростей (преобразование Галилея) скорость молекул составляет:

В лабораторной системе: _n = V_cn + V_c

В системе центра масс:

V_cn = V_n + V_c , или_c1 = V₁ - V_c = V₁ - ( m₁ V₁ + m₂ V₂ )/ ( m₁ + m₂ ) = m₂ ( V₁ - V₂ )/ ( m₁ + m₂ )_c2 = V₂ - V_c = m₁ ( V₂ - V₁ )/ ( m₁ + m₂ )

Импульс в системе центра масс:

_cn = m_n V_cn , тогда:_c1 = m₁ m₂ ( V₁ - V₂ )/ ( m₁ - m₂ ) = M_прив ( V₁ - V₂ ) и_c2 = m₁ m₂ (V₂ - V₁ )/ ( m₁ + m₂ ) = - M_прив ( V₁ - V₂ ).

Импульсы двух молекул в системе центра масс равны по модулю и противоположны по направлению, т.е. сумма импульсов равна нулю.

В системе центра масс приведенная масса равна: M_пр =m₁ m₂ /{ m₁ + m₂ ) _, это значит, что вместо двух сталкивающихся молекул можно рассматривать всего одну молекулу, но с приведенной массой.

В случае равенства масс двух молекул получим: М_пр = m/2 и функция распределения для относительной скорости имеет вид:

f{ V_отр } = 4πV²_отн {m/4πkT}^3/2 e^{-mV2/4k T} и тогда средняя относительная скорость молекулы будет:

<V_отн > = _отн f{V_отн } dV_отн =  =  <V_a>,

где T - абсолютная температура, К

k - постоянная Больцмана, k = 1,38*10^-23 Дж/К

R - газовая постоянная, R = 8,31 Дж/моль*К

М - молярная масса, кг/моль

< l > = < V_а >/ N = < V_а >/( π d² n < V_а >) = 1/ π d² n),

Так как значение концентрации пропорционально давлению газа, то < l > тем меньше, чем больше давление. С другой стороны, с ростом температуры < l > немного увеличивается:

< l > = kT/ π d² P), с учетом P =n k T.

Проведем оценку средней длины свободного пробега молекул остаточного газа при температуре 300К для разных давлений. Пусть эффективный диаметр всех молекул составляет приблизительно 3 ангстрема (3 * 10^-10 м). Тогда по формуле:

< l > = kT/( d² P) = 1,38*10^-23 300 /(1,41* 3,14* 9*10^-20 * P) = 10,4*10^-3 / P получим:

Для Р = 10⁵ Па, < l > = 1,04*10^-7 м

Р = 1,0 Па, < l > = 1,04* 10^-2 м

Р = 0,1 Па, < l > = 0,1 м

Р = 10^-2 Па, < l > = 1,04 м

Р = 10^-3 Па, < l > = 10,4 м

Число столкновений в единицу времени для некоторых газов можно оценить по формуле:

N =  d² <Va>P/kT = 1,41*3,14*9*10^-20 P <Va >/(1,38*10 ^-23 *300 ) = 11,0 P<V_a >

Или по формуле: = < V_a >/< l >.

Среднеарифметическая скорость молекул водорода, азота, кислорода и атомов аргона соответственно равны: 1784м/с, 477м/с, 446м/с, 398,5м/с.

Средняя длина свободного пробега при давлении Р = 10⁵ Па и температуре 300К составляет 1,04*10^-7 м.

Тогда число столкновений молекул Н₂ , N_{2 ,} О_2, и атомов Ar соответственно равны: 1,7*10¹⁰ , 4,6*10⁹ , 4,3*10⁹ и 3,8*10⁹ за одну секунду

При давлении 0,1Па число столкновений соответственно составляет: 1,7*10⁴ , 4,6*10³ , 4,3*10³ , 3,8*10³

При давлении Р = 10^-2 Па число столкновений будут соответственно равны: 1,7*10³ , 4,6*10² , 4,3*10² , 3,8*10²

При давлении Р = 10^-4 Па число столкновений соответственно составят: 17, 4,6 , 4,3, 3,8.

Следует указать, что в реальности данный материал лучше подходит для описания поведения атомов инертных газов, нежели молекул, которые с большой натяжкой могут быть приняты за одиночный атом. Кроме этого, начальная скорость молекул изменяется по величине в результате последовательного соударения с другими молекулами, если речь идет о термическом испарении из нагретого испарителя, а не равновесного состояния системы.