Определение параметров вала и балки
1. Расчеты на прочность
статически определимых систем растяжения - сжатия
Дано:
2 м, м,
500
кН, ,
МПа,
МПа.
Решение:
1. Рассмотрим равновесие
каждого жесткого стержня в отдельности
: , кН.
: ,
кН.
2. Подберем из условия
прочности сечения стержней
а) для стержня 1: ,
где .
Тогда
м.
Принимаем мм.
Уточненная площадь стержня 1
см2.
б) для стержня 2: .
Тогда см2.
Принимаем двутавр №36 с см2.
3. Определим изменение длины
каждого стержня.
а) удлинение стержня 1
м=1,4 мм.
б) удлинение стержня 2
м=0,63 мм.
. Найдем
перемещение т..
мм, , мм.
мм.
2. Геометрические
характеристики плоских сечений
Дано:
см
- Прямоугольник 24
см, см.
- Прямоугольник см,
см.
- Прямоугольный
треугольник см,
см.
Решение:
1. Рассмотрим сложную фигуру,
состоящую из прямоугольника 1, прямоугольника 2 у которого удалили треугольник
3.
Выбираем вспомогательные
оси, совпадающие с центральными осями прямоугольника 2.
Определяем центр тяжести фигуры
см.
см.
см.
см2.
см2.
см2.
см.
см,
см.
2. Определяем моменты инерции
относительно центральных осей
Осевые моменты:
787015 см4
см,
см,
см,
см4
см4
см4
=2675883 см4
см,
см,
см.
см4
см4
см4
Центробежный момент:
=256828 см4
см4
3. Определим угол поворота
главных осей относительно центральных.
Ось х необходимо
повернуть против часовой стрелки на угол до совмещения с главной
осью U.
4. Рассчитаем моменты инерции
сложного сечения относительно главных центральных осей.
752717 см4
2710181 см4
=3462898
Радиусы инерции:
см,
см.
3. Анализ напряженного
состояния
Дано: 100
МПа, -65
МПа, 35
МПа, 0,26,
.
Решение:
1. Определим положение главных
площадок и величину действующих на них главных напряжений.
.
МПа
107,1 МПа, 72,1МПа.
Из условия 107,1
МПа, ,
72,1
МПа.
. Определим
напряжения на взаимно перпендикулярных площадках, повернутых относительно
исходных на угол .
МПа,
МПа,
МПа.
3. Определим максимальные
касательные напряжения.
МПа.
4. Определим главные
деформации.
5. Вычислим относительное
изменение объема.
6. Вычислим эквивалентные
напряжения и определим коэффициент запаса прочности.
а) Пластичный материал.
По теории наибольших касательных
напряжений
МПа МПа.
Коэффициент запаса . Прочность детали
обеспечена
По теории потенциальной
энергии изменения формы
МПа МПа.
Коэффициент запаса . Прочность детали
обеспечена.
б) Хрупкий материал.
По теории наибольших
линейных деформаций
МПа МПа.
Коэффициент запаса . Прочность детали не
обеспечена.
По теории Мора
МПа МПа
.
Коэффициент запаса . Прочность детали не
обеспечена.
4. Расчет вала на
прочность и жесткость
Дано:
0,3 м, 85
Н∙м, 270
Н∙м, 260
Н∙м, 150
Н∙м/м, 0,6,
1,5,
1,4,
МПа,
град/м.
Решение:
. Определим из
условия равновесия вала крутящий момент
: ,
Н∙м.
Рассчитаем значения
крутящихся моментов по участкам вала.
В сечение : ,
.
Н∙м, Н∙м.
В сечение :
Н∙м.
В сечение :
Н∙м.
Наибольший крутящий
момент: Н∙м.
2. Определим диаметр вала из
условия прочности и жесткости.
Условие прочности .
Условие жесткости ,
.
а) Круглое сплошное сечение
. Тогда м.
. Тогда м.
Наибольшее значение
диаметра получилось из условия жесткости. Из ряда нормальных линейных размеров
принимаем мм.
МПа.
б) Прямоугольное сечение
, где 0,231.
Тогда м.
, где 0,196.
Тогда м.
Наибольшее значение
диаметра получилось из условия жесткости. Из ряда нормальных линейных размеров
принимаем 40
мм, 60
мм.
МПа,
в) Трубчатое сечение
. Тогда м.
.
Тогда м.
Наибольшее значение
диаметра получилось из условия жесткости. Из ряда нормальных линейных размеров
принимаем 56
мм.
МПа.
3. Оценим рациональность
сечений с позиции прочности и жесткости.
а) Круглое сечение
с позиции прочности ,
с позиции жесткости .
б) Прямоугольное сечение
с позиции прочности ,
с позиции жесткости .
в) Трубчатое сечение
с позиции прочности ,
с позиции жесткости .
Наиболее рациональным
является трубчатое сечение, наименее - прямоугольное.
Отношение весов валов:
Вес вала с трубчатым
сечением в 1,14 раз легче вала с круглым сплошным сечением и в 1,52 раза легче
вала с прямоугольным сечением.
4. Рассчитаем значения углов
закручивания вала с трубчатым сечением.
рад,
рад, рад.
Эскиз опасного сечения вала и эпюра
касательных напряжений
5. Расчет балки на
прочность по нормальным напряжениям
Дано:
5,8 м, 1,6
м, 24
кН, 25
кН/м, 12
кН∙м, ,
,
МПа.
Решение:
1. Запишем уравнения статики и
определим опорные реакции:
: ,
кН∙м.
: ,
кН.
. Определим
внутренние усилия ,
с
помощью метода сечений.
Запишем для каждого выделенного
участка балки выражения внутренних усилий и найдем их значения на границах
участков.
1. м.
, кН, кН.
,
кН∙м,
кН∙м.
2. м.
кН.
,
кН∙м,
кН∙м.
3. м.
, ,
кН.
,
кН∙м, кН∙м.
3. Дифференциальные
зависимости
На первом и третьем
участках действует распределенная нагрузка , поэтому поперечная
сила должна быть линейной функцией от координаты, а изгибающий момент должен
менять по закону квадратной параболы. Второй участок свободен от распределенной
нагрузки, поперечная сила постоянна на данном участке, а эпюра изгибающего
момента описывается прямой наклонной линией.
В сечениях А и D, где балка нагружена сосредоточенными внешними силами на эпюре должно
скачком меняться значение ординаты на величину этой силы с учетом ее
направления. Аналогичные скачки имеются и на эпюре в
сечениях А и C.
4. Определим размеры сечения
балки из условия прочности.
Наиболее опасным
является сечение ,
в котором изгибающий момент достигает максимального по модулю значения кН∙м.
Из условия прочности при
изгибе определим
максимальную величину момента сопротивления: , м3.
а) Двутавр
По ГОСТу 8239-89
выбираем двутавр №70 с моментом сопротивления 3840 см3 и
площадью сечения 176
см2.
Определяем наибольшее
напряжение: МПа.
б) Прямоугольное сечение
.
, м=174
мм
Принимаем 180
мм, 360
мм, площадь сечения м2.
Определяем наибольшее
напряжение: МПа.
в) Квадратное сечение .
, м=277
мм
Принимаем 280
мм, площадь сечения м2.
Определяем наибольшее
напряжение: МПа.
г) Круглое сечение .
, м=262
мм.
Принимаем 280
мм, площадь сечения
м2.
д) Кольцевое сечение .
, м=287
мм.
Принимаем 300
мм площадь сечения
м2.
Определяем наибольшее
напряжение: МПа.
5. Оценим экономичность
подобранных сечений.
Двутавр: ,
Прямоугольник: ,
Квадрат: ,
Круг: ,
Кольцо: .
Наиболее рациональными
при изгибе являются тонкостенные сечения - двутавр, кольцевое сечение.
8. Определение
перемещения в балках
Дано:
2,8 м, 0,5
м, 14
кН/м, 42
кН∙м, МПа.
Решение:
1. Запишем уравнения статики и
определим опорные реакции:
: ,
кН.
: ,
кН
Проверка: :
.
. Определим
внутренние усилия ,
с
помощью метода сечений.
Запишем для каждого выделенного
участка балки выражения внутренних усилий и найдем их значения на границах
участков.
1) м.
кН.
, ,
кН∙м.
2) м.
, кН, кН.
,
кН∙м, кН∙м,
3) м.
, , кН.
,
кН∙м,
кН∙м.
. Опасное сечение
,
где изгибающий момент принимает максимальное по модулю значение кН∙м.
Из условия прочности при
изгибе определим
максимальную величину момента сопротивления: ,
м3.
Принимаем двутавр №24 с см3,
см4.
4. Определим перемещения на
конце консоли и посередине пролета методом Мора.
a. Составим схему единичного
нагружения, прикладывая к т D безразмерную силу.
Строим эпюру моментов (М1).
Записываем для каждого участка
выражения изгибающих моментов M1 от единичной нагрузки.
м , ,
м , ,
м , .
Записываем интегралы
Мора на каждом участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения D.
кН∙м3.
м.
b. Составим схему единичного
нагружения, прикладывая к т С безразмерную силу. Строим эпюру моментов (М2).
Записываем для каждого участка
выражения изгибающих моментов M2 от единичной нагрузки.
м , ,
м , ,
м , .
Записываем интегралы
Мора на каждом участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения С.
кН∙м3.
м.
c. Составим схему единичного
нагружения, прикладывая к т D безразмерный момент.
Строим эпюру моментов (М3).
Записываем для каждого участка
выражения изгибающих моментов M3 от единичной нагрузки.
м , ,
м , ,
м , .
Записываем интегралы Мора на каждом
участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения D.
.
рад.
d. Составим схему единичного
нагружения, прикладывая к т С безразмерный момент. Строим эпюру моментов
(М4).
Записываем для каждого участка
выражения изгибающих моментов M4 от единичной нагрузки.
м , ,
м , .
Записываем интегралы Мора на каждом
участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения С.
.
рад.
5. Определим перемещение на
конце консоли и посередине пролета способом Верещагина
На первом участке:
- треугольник кН∙м2,
На втором участке эпюры
разбиваем на три фигуры:
- дуга кН∙м2,
треугольник кН∙м2,
треугольник кН∙м2,
На третьем участке эпюры
разбиваем на три фигуры:
дуга кН∙м2,
треугольник кН∙м2,
треугольник кН∙м2.
Составим схему единичного
нагружения, прикладывая к т D безразмерную силу.
Строим эпюру моментов (М1).
Значение ординат под
соответствующими площадями:
м, м,
м,
м,
м,
м,
м.
м.
Составим схему
единичного нагружения, прикладывая к т С безразмерную силу. Строим эпюру
моментов (М2).
Значение ординат под
соответствующими площадями:
м, м,
м,
м,
м,
м,
м.
м.
Составим схему
единичного нагружения, прикладывая к т D безразмерный момент. Строим эпюру моментов (М3).
Значение ординат под
соответствующими площадями:
м, м,
м,
м,
м,
м,
м.
м.
Составим схему
единичного нагружения, прикладывая к т С безразмерный момент. Строим
эпюру моментов (М4).
Значение ординат под
соответствующими площадями:
м, м,
м,
м,
м,
м,
м.
м.
6. Проверим балку на жесткость
в пролете и на консоли
м. Условия прочности
выполнены.
м. Условие прочности не
выполнено.
Необходимо подобрать другой двутавр.
см4.
Выбираем №33 с 597
см3, 9840
см4
9. Расчет на
устойчивость центрально сжатого стержня
сечение вал балка
Дано: 6,2
м, 560
кН.
Решение: 2.
Первое приближение
см2.
см2.
Принимаем швеллер №27 с 35,2
см2, 4160
см4.
Момент инерции
относительно оси х составного стержня
см4.
Радиус инерции
относительно оси х составного стержня
см.
Гибкость относительно
оси х для составного стержня
,
Допускаемое напряжение 79,9
МПа.
Действительное
напряжение 79,5
МПа.
Профиль не догружен на .
При ослаблении сечения
заклепками на 12% получаем МПа.
Перегрузка составляет .
Необходимо усилить
сечение окончательно приминаем швеллер №30 с 40,5 см2, 5810
см4, 12 см, 327
см4, 2,84
см, 2,52
см.
Найдем расстояние а.
,
Получаем см.
т.к. ,
то критическое напряжение для стали Ст. 3 можно определить как
МПа.
Фактический коэффициент
запаса