Сопротивление материалов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Контрольная работа

по дисциплине: Сопротивление материалов

РГР №1.

Исходные данные:

Е = 2∙10⁵ МПа, А = 10 см²,

F = 20 кН, [у] = 100 МПа,

F₁ = F, F₂ = -4F, F₃ = 0,5F,

F₄ = F, l₁ = 1м, l₂ = 2м, l₃ = 3м,

l₄ = 1м, l₅ = 2м.

. Построить эпюру нормальной силы.

. Построить эпюру нормальных напряжений.

. Построить эпюру абсолютных удлинений (укорочений).

. Проверить стержень на прочность.

*Если действующие напряжения, больше допускаемых, то подобрать площадь поперечного сечения бруса.

Решение.

УF(x) = 0 (рис. 1);

. На участке 1-1:

N₁ + 0 = 0; N₁ = 0.

На участке 2-2:

N₂ + F₁ = 0; N₂ = F₁ = 20 кН.

На участке 3-3:

N₃ + F₁ + F₂ = 0; N₃ = F₁ + F₂ = 20 +80 = 100 кН.

На участке 4-4:

N₄ + F₁ + F₂ - F₃ = 0; N₄ = F₁ + F₂ - F₃ = 20 + 80 - 10 = 90 кН.

На участке 5-5:

N₅ + F₁ + F₂ - F₃ - F₄ = 0; N₅ = F₁ + F₂ - F₃ - F₄ = 20 + 80 - 10 - 20 = 70 кН.

На всей длине стержня - растяжение, так как силы растяжения больше сил сжатия.

2.

На участке ВС максимальная у - опасный участок.

. В жесткой заделке перемещение равно нулю.

l₁” = 0

л₁ = l₁’ + l₁”

л₁ = l₁’ = 4,7 · 10^-4 м

л₂ = л₁ + l₂’

л₂ = 4,7 · 10^-4 + 3 · 10^-4 = 7,7 · 10^-4 м

л₃ = л₂ + l₃’

л₃ = 7,7 · 10^-4 + 7,5 · 10^-4 = 15,2 · 10^-4 м

л₄ = л₃ + l₄’

л₄ = 15,2 · 10^-4 + 2 · 10^-4 = 17,2 · 10^-4 м

л₅ = л₄ + l₅’

л₅ = 17,2 · 10^-4 + 0 = 17,2 · 10^-4 м

. Для проверки на прочность стержня необходимо максимальное значение действующего напряжения сравнить с допускаемым.

у_max = 60 МПа.

[у] = 100 МПа.

у_max < [у] - брус выдерживает действующие нагрузки.

Вывод:

В результате проведенного расчета выявлено, что стержень подвергается деформации растяжения.

На участке ВС действует максимальное напряжение.

Стержень под действием приложенных нагрузок испытывает удлинение, причем точка Е испытывает максимальное удлинение относительно номинального положения.

Проведя проверку на прочность, выявлено, что стержень выдерживает возникающие напряжения. напряжение удлинение стержень прочность

РГР №2.

Исходные данные:

М = 40 кН·м, d = 5 см,

G = 1·10⁵ МПа, [ф] = 290 МПа,

M₁ = -2M, M₂ = -M, M₃ = M,

l₁ = 1,5м, l₃ = 2,5м, l₄ = 1м.

. Построить эпюру крутящих моментов.

. Построить эпюру касательных напряжений.

. Проверить вал на прочность.

*Если действующие напряжения, больше допускаемых, то подобрать размеры поперечного сечения.

Решение.

. На участке 1-1 (рис. 2):

М_К1 = 0.

На участке 2-2:

М_К2 = М₁ = 80 кН·м.

На участке 3-3:

М_К3 = М₁ - М₂ = 80 - 40 = 40 кН·м.

На участке 4-4:

М_К4 = М₁ - М₂ - М₃ = 80 - 40 - 40 = 0.

2.

На участке ВС максимальные касательные напряжения - опасный участок.

. В жесткой заделке угол закручивания равен нулю.

ц₁ = 0

ц₂ = ц₁ + ц₂’

ц₂ = 0

ц₃ = ц₂ + ц₃’

ц₃ = 1,6 рад

ц₄ = ц₃ + ц₄’

ц₄ = 1,6 + 0,2 = 1,8 рад

ц₅ = ц₄ + ц₅’

ц₅ = 1,8 рад

Рис. 2

. Для проверки на прочность необходимо максимальное значение действующего напряжения сравнить с допускаемым.

ф_max = 1600 МПа.

[ф] = 290 МПа.

ф_max > [ф] - вал перегружен, необходимо подобрать размеры поперечного сечения.

Так как ф₂ = 400 МПа > [ф] = 290 МПа, рассмотрим еще раз второй участок:

<[ф] = 290 МПа

РГР №3.

Исходные данные:

М₁ = 20 кН·м, q = 5 кН/м,

F = 10 кН, [у] = 150 МПа,

M = M, F = F, q = q,

l₁ = 2м, l₂ = 2м, l₃ = 2м, l₄ -.

. Построить эпюру поперечных сил.

2. Построить эпюру изгибающих моментов.

. Подобрать рациональное сечение.

Решение.

Для построения эпюр Q и M определяем реакции опор R_A и R_B.

УM(A) = 0

F∙2 + M - q∙2∙3 + R_B∙4 = 0

R_B = (-F∙2 - M + q∙2∙3)/4 = (-10∙2 - 20 + 5∙2∙3)/4 = -2,5 кН

УM(B) = 0

F∙6 + M + q∙2∙1 - R_A∙4 = 0

R_A = (F∙6 + M + q∙2∙1)/4 = (10∙6 + 20 + 5∙2∙1)/4 = 22,5 кН

УF(y) = 0

R_A + R_B - F - q∙2 = 0

,5 - 2,5 - 10 - 5∙2 = 0

. Q_y1 = -F = -10 кН (рис. 3)

Q_y2 = -F + R_A = -10 + 22,5 = 12,5 кН

Рис. 3

Q_y3 = -F + R_A - q·(x) = 0; Q_y3 = -10 + 22,5 = 12,5 кН

x = 2; Q_y3 = -10 + 22,5 - 5·2 = 2,5 кН

На участке АС действуют максимальные поперечные силы.

. М_х1 = -F·x₁

при х₁ = 0; М_х1 = 0

при х₁ = 2; М_х1 = -10·2 = -20 кН·м

М_х2 = -F·x₂ + R_A(x₂ - 2)

при х₂ = 2; М_х2 = -F·x₂ = -10·2 = -20 кН·м

при х₂ = 4; М_х2 = -F·x₂ + R_A(x₂ - 2) = -10·4 + 22,5·2 = 5 кН·м

М_х3 = -F·x₃ + R_A(x₃ - 2) - M - (q(x₃ - 4)(x₃ - 4))/2

при х₃ = 4; М_х3 = -F·x₃ + R_A(x₃ - 2) - M = -10·4 + 22,5·2 - 20 = -15 кН·м

при х₃ = 6; М_х3 = -F·x₃ + R_A(x₃ - 2) - M - (q(x₃ - 4)(x₃ - 4))/2 =

= -10·6 + 22,5·4 - 20 - (5·2·2)/2 = 0

В точке А действует максимальный изгибающий момент.

Найдем значение х при котором эпюра моментов пересекает ось х.

М_х2 = -F·x₂ + R_A(x₂ - 2) = 0₂ = 2R_A/(R_A - F) = 2·22,5/(22,5 - 10) = 3,6 м

3. Для подбора рационального сечения необходимо сравнить площади поперечного сечения. Сечение с минимальной площадью и есть рациональное.

;

Для круга:

Для прямоугольника:

;

;

При горизонтальном расположении прямоугольного сечения, круглое сечение рациональнее.

Вывод

В результате проведенного расчета выявлено, что на участке СА действует максимальная поперечная сила, а точка А испытывает максимальный изгибающий момент.

Проведя подбор рационального сечения, выявлено, что круглое сечение рациональнее, расположенного горизонтально прямоугольного сечения.