Расчет и исследование динамики непрерывных и цифровых систем регулирования

Расчет и исследование динамики непрерывных и цифровых систем регулирования

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Казанский государственный технологический университет»

Нижнекамский химико-технологический институт

Кафедра АТПП

Факультет УиА

Специальность АСОиУ

Курсовая работа

По дисциплине «Теоретические основы автоматизированного управления»

На тему: «Расчет и исследование динамики непрерывных и цифровых систем регулирования»

Студент группы 3801

Никитина О.В.

Научный руководитель

Гетман В.В.

Нижнекамск 2012

Содержание

Постановка задачи

Введение

. Теоретические основы

.1 Расчет настроек регулятора методом расширенных характеристик

.2 Расчет комбинированной системы автоматического управления

.3 Цифровые системы автоматического регулирования

. Практическая часть

.1 Расчет настроек регулятора методом расширенных характеристик

.1.1 Расчет настроек П-регулятора

.1.2 Расчет настроек ПИ-регулятора

.1.3 Расчет настроек ПИД-регулятора

.2 Расчет комбинированной системы автоматического регулирования

.3 Расчет цифровой АСР

Заключение

Литература

Постановка задачи

Для передаточных функций

рассчитать:

1.      настройки П, ПИ, ПИД регуляторов методом расширенных частотных характеристик.

2.      каскадную систему автоматического управления.

. цифровую систему автоматического управления.

Введение

Управление - это процесс формирования и реализации управляющих воздействий, направленных на достижение некоторой цели. Такой целью может быть поддержание некоторой физической величины на заданном уровне, изменение некоторого параметра по определенному алгоритму, получение желаемого вида переходных процессов и т.д.

Системой автоматического управления называется совокупность объекта управления и управляющего устройства, взаимодействие которых обеспечивает процесс управления без участия человека. Частным случаем системы автоматического управления является система автоматического регулирования, в которой в качестве управляющего устройства используется регулятор.

Пример автоматической системы регулирования приведен на рис.1:

Рис.1. Структурная схема автоматической системы регулирования.

Регулируемой величиной y(t) является параметр, характеризующий работу объекта и который необходимо изменять в соответствии с целью управления (например, поддерживать на заданном уровне).

Регулирующее воздействие u(t) представляет собой изменение материальных или энергетических потоков (расходы теплоносителей, хладагентов и т.д.), с помощью которых регулятор влияет на состояние объекта управления для достижения цели управления.

Входным сигналом системы является задающее воздействие (задание) y₀(t), соответствующее желаемому значению регулируемого параметра.

Разность между заданным и измеренным значением регулируемой величины называется рассогласованием ε(t):

Принцип работы замкнутой системы автоматического регулирования следующий. Текущее значение регулируемой величины измеряется датчиком. Сигнал с выхода датчика подается в регулятор, где сравнивается с заданным значением. При наличии разности (сигнала рассогласования) регулятор вырабатывает регулирующее воздействие, направленное на уменьшение сигнала рассогласования.

В качестве примера рассмотрим систему автоматического регулирования температуры технологического потока на выходе из теплообменного аппарата (рис. 2).

Текущее значение температуры t измеряется датчиком 1. Сигнал с выхода датчика, соответствующий измеренному значению температуры t_изм, подается в управляющее устройство (регулятор) 2, где сравнивается с заданным значением температуры t_зд. При наличии разности температур управляющее устройство вырабатывает управляющее (регулирующее) воздействие (изменение расхода греющего пара F_п), направленное на уменьшение сигнала рассогласования. Это воздействие стремится устранить отклонение независимо от причин, вызвавших это отклонение, будь то возмущающее воздействие, изменение свойств систему управления или несоответствие между рассчитанным и фактическим управляющим воздействием.

Рис. 2. Пример регулирования температуры в теплообменнике.

- датчик температуры; 2 - управляющее устройство; 3 - исполнительное устройство.

1. Теоретические основы

.1 Расчет настроек регулятора методом расширенных характеристик

Практическое требование к АСР, диктуемое свойствами реальных объектов, заключается в том, что автоматическая система регулирования должна обладать определенным запасом устойчивости. Запас устойчивости гарантирует работоспособность системы при отклонениях в некоторых пределах ее параметров и изменении ее характеристик со временем или при изменении режима работы. Требование запаса устойчивости вводит ограничение на область расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Условие устойчивости линейной САУ формулируется следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми (т.е. находились в левой комплексной полуплоскости). Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю, а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Границей устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования является мнимая ось комплексной плоскости. Если в качестве меры запаса устойчивости выбирают степень колебательности m, то границей расположения корней становятся два луча ОА и ОВ, расположенные под углом arctg m к мнимой оси (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к введению запаса устойчивости.

Обычно в расчетах в качестве граничных принимают значения степени колебательности m = 0.221 или m = 0.366. Расчет АСР на заданный запас устойчивости по степени колебательности производится по расширенной амплитудно-фазовой характеристике (РАФХ) разомкнутой системы. В этом случае критерий запаса устойчивости можно сформулировать следующим образом: если расширенная АФХ устойчивой или нейтральной разомкнутой системы W_р.с(m,iω) при изменении частоты от 0 до ∞ проходит через точку с координатами [-1, i0], не охватывая ее на более низких частотах (рис. 4), то пара комплексно-сопряженных корней будет расположена на лучах, проведенных под углом arctg m к мнимой оси в левой полуплоскости, а все остальные корни характеристического уравнения замкнутой системы будут расположены левее этих лучей.

Рис. 4. Пример годографов АФХ и РАФХ разомкнутой системы.

,

где W_р.с(m,iω), W_об(m,iω), W_рег(m,iω) - РАФХ разомкнутой системы, объекта и регулятора.

Выполнение этого условия обеспечивается при определенных значениях параметров настройки регуляторов.

Поэтому на основании последнего выражения получаются уравнения для определения значений параметров настройки регулятора, при которых обеспечивается заданное ограничение на расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы и, следовательно, заданный запас устойчивости для АСР:

. П - регулятор. П - регулятор имеет один параметр настройки С₁. Его расширенные частотные характеристики совпадают с обычными, т.е.

В этом случае уравнения (*) принимают вид:

Рабочая частота ω_р определяется из второго уравнения системы, а затем из первого находится оптимальная настройка С₁.

2. ПИ - регулятор. ПИ - регулятор - регулятор с двумя параметрами настроек С₁ и С₀. Его расширенные частотные характеристики выводятся из передаточной функции подстановкой :

(с учетом того, что ).

После подстановки полученных выражений в уравнения (*) выводятся формулы для настроек регуляторов в следующем виде:

.

Поскольку в формулы для настроек входит неизвестная переменная ω, то, следовательно, существует бесчисленное множество настроек С₁ и С₀, обеспечивающих заданную степень колебательности в данной АСР, причем каждой паре настроек соответствует своя рабочая частота.

Если в плоскости параметров С₁, С₀ построить геометрическое место точек, соответствующих определенной степени колебательности m, получим кривую, называемую кривой равной колебательности (рис. 5)

Рис. 5. Плоскость параметров настроек ПИ-регулятора.

Принимая различные значения m, можно построить семейство кривых равной колебательности, каждая из которых разбивает плоскость параметров на две области: настройки, лежащие под кривой m* = сonst, обеспечивает себе степень колебательности, больше m*; область, расположенная под этой кривой, соответствует степени колебательности, меньшей, чем m*. Очевидно, что кривая m = 0 разбивает плоскость параметров настроек регулятора на области устойчивой и неустойчивой работы АСР.

На практике рекомендуется выбирать рабочую частоту из соотношения:

,

где ω_п - частота, соответствующая П - регулятору (точка 1); ω* - частота, соответствующая вершине кривой равной колебательности.

Таким образом, методика расчета оптимальных настроек ПИ - регулятора сводится к следующему:

расчет расширенных частотных характеристик объекта для заданной степени колебательности m*;

расчет и построение кривой равной колебательности m = m* в плоскости параметров С₁ и С₀ по формулам;

выбор рабочей частоты ω_р и соответствующих ей оптимальных настроек.

3. ПИД - регулятор. ПИД - регулятор имеет три параметра настроек С₁, С₀, С₂ и поэтому его расчет по методу расширенных частотных характеристик несколько сложнее, чем расчет регуляторов с двумя параметрами.

Расширенные частотные характеристики ПИД - регулятора:

;

;

;

где .

Решение системы уравнений с учетом последних формул дает выражения для расчета двух настроек как функции третьей настройки, например:

;

,

где .

Для ПИД - регулятора вместо плоскости параметров настроек мы имеем трехмерное пространство. В этом случае определение оптимальных настроек производится в следующем порядке.

Задаваясь различными значениями настройки С₂, по последним формулам рассчитываются кривые равной колебательности в плоскости С₁, С₀ (рис. 6). Характер этих кривых аналогичен рассмотренной ранее кривой для ПИ - регулятора, который получается как частный случай из ПИД - регулятора при С₂ = 0. Условно оптимальные настройки находятся также как и для ПИ - регулятора.

Рис. 6. Плоскость параметров настроек ПИД - регулятора.

Сравнение между собой оптимальных процессов регулирования для разных значений С₂ показывает, что введение дифференциальной составляющей в закон регулирования (по сравнению с ПИ - регулятором) существенно улучшает качество переходных процессов.

Однако, начиная с некоторых значений С₂, дальнейшее его увеличение малоэффективно, поэтому окончательный выбор оптимального значения С₂* и соответствующих ему С₁* и С₀* должен производиться на основе непосредственного сравнения качества процессов регулирования по интегральному квадратичному критерию.

.2 Расчет комбинированной системы автоматического управления

Комбинированные системы регулирования применяют при автоматизации объектов, подверженных действию существенных контролируемых возмущений.

Существует два способа построения комбинированных АСР (рис. 7а, б)

а)

б)

Рис. 7. Структурная схема комбинированной АСР

а - при подключении выхода компенсатора на вход объекта;

б - при подключении компенсатора на вход регулятора.

Обе схемы регулирования обладают общими особенностями: наличием двух каналов воздействия на выходную координату объекта и использованием двух контуров регулирования - замкнутого (через регулятор) и разомкнутого (через компенсатор). Отличие состоит лишь в том, что во втором случае корректирующий импульс от компенсатора поступает не на вход объекта, а на вход регулятора.

Основой расчета подобных систем является принцип инвариантности: отклонение выходной координаты системы от заданного значения должно быть тождественно равным нулю при любых задающих или возмущающих воздействиях.

Выведем условие инвариантности для комбинированной АСР. Для случая, когда сигнал от компенсатора подается на вход объекта (рис. 5а), структурная схема комбинированной АСР преобразуется к последовательному соединению разомкнутой системы и замкнутого контура (рис. 6а), передаточные функции которых соответственно равны:

,

.

При этом условие инвариантности записывается в виде:

.

Если при этом и , должно выполняться условие:

,

откуда

. (1)

Аналогично выводится передаточная функция динамического компенсатора для случая, когда сигнал от компенсатора подается на вход регулятора (рис. 8б):

. (2)

Одной из основных проблем, возникающих при построении комбинированных систем регулирования, является реализуемость компенсатора.

а)

б)

Рис. 8. Преобразованная структурная схема комбинированной АСР

а - при подключении выхода компенсатора на вход объекта.

б - при подключении выхода компенсатора на вход регулятора;

«Идеальный» компенсатор физически нереализуем в двух случаях.

1. Если время чистого запаздывания по каналу регулирования больше, чем по каналу возмущения: .

В этом случае идеальный компенсатор должен содержать звено упреждения.

. Если в передаточной функции компенсатора степень полинома в числителе больше, чем степень полинома в знаменателе. В этом случае компенсатор должен содержать идеальные дифференцирующие звенья.

1.3 Цифровые системы автоматического регулирования

Поскольку выходной сигнал АЦП представляет собой последовательность импульсов с амплитудами y(kT), то его можно описать выражением:

,

где предполагается, что сигнал y(t) существует для t > 0.

Преобразовав это выражение по Лапласу, получим:

.

Рис. 9. Одноконтурная цифровая система управления

Если ввести переменную , можно определить новое преобразование, называемое z - преобразованием:

.

Для простых случаев изображение Y(z) легко найти по определению. Пусть

y[k]=δ[k] = 1 - единичный дискретный импульс, тогда

.

Далее в качестве примера рассмотрим дискретный единичный ступенчатый сигнал (рис. 10):

Рис. 10. Единичная ступенчатая функция.

При , соответствующий ряд сходится и представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая вычисляется в замкнутом виде:

.

В теории дискретных систем используются также операторы обратного и прямого сдвига на один такт.

Оператор обратного сдвига (z^-1) позволяет получить предыдущий элемент последовательности {e[k]}:

z^-1e[k] = e[k-1], или .

Этот оператор соответствует запаздыванию на один такт и является физически реализуемым в том смысле, что его применение не дает будущих значений сигнала. Для того, чтобы найти остальные предшествующие элементы последовательности, надо применить оператор обратного сдвига несколько раз:

z^-me[k] = e[k-m].

Если найти z - преобразование для входного Y(z) и выходного U(z) сигналов системы, то можно найти передаточную функцию системы в z - области:

.

Реализация цифровых регуляторов

Рассмотрим непрерывный ПИД-регулятор с передаточной функцией:

.

Цифровую реализацию этого регулятора можно получить, если использовать дискретную аппроксимацию операций дифференцирования и интегрирования.

Для производной по времени используется правило обратной разности:

.

Применив к этому выражению z - преобразование, получим:

.

Операцию интегрирования можно аппроксимировать с помощью формулы прямоугольников:

,

где u(kT) - выходной сигнал интегрирующего звена в момент времени

t= kT.

Применив к этому выражению z - преобразование, получим:

,

откуда передаточная функция интегрирующего звена:

.

Таким образом, передаточная функция цифрового ПИД-регулятора имеет вид:

.

Или для регулятора со взаимозависимыми настройками:

.

Поскольку в большинстве случаев объект является устройством непрерывного типа, то для того, чтобы смоделировать переходные процессы в исследуемой системе необходимо либо объект представить в цифровой форме, либо получить эквивалентную передаточную функцию регулятора, отвечающую цифровой реализации его алгоритма. Для этого проводится замена  и добавляется передаточная функция демодулятора.

Поскольку в качестве демодулятора используется фиксирующая цепь нулевого порядка с передаточной функцией:

,

то передаточные функции регуляторов со взаимозависимыми настройками при цифровой реализации алгоритмов определяются по формулам:

П-регулятор:

;

ПИ-регулятор:

; (*)

ПИД-регулятор:

.

Расчет настроечных параметров цифрового регулятора можно проводить аналогично расчету настроек аналогового регулятора.

Расчет значений параметров методом расширенных частотных характеристик также проводится по расширенным амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристикам объекта регулирования. Линия m = const строится в области положительных значений настроек С₁ и С₀, где ,

.

При цифровой реализации ПИ-алгоритма расширенная амплитудно-фазовая характеристика (РАФХ) в соответствии с выражением (*) определяется выражением:

.

После замены , получаем следующую зависимость:

.

;

Линии заданного запаса устойчивости, рассчитанные по приведенным формулам, подобны линиям m = const для аналогового регулятора. При этом следует учитывать, что чем больше значение интервала квантования Т, тем меньше по сравнению с непрерывным алгоритмом область заданного запаса устойчивости и тем ниже динамическая точность АСР.

2. Практическая часть

.1 Расчет настроек регулятора методом расширенных характеристик

.1.1 Расчет настроек П-регулятора

Найдем расширенные амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики:

Найдем рабочую частоту и оптимальную настройку регулятора.

>> [num,den]=pade(3,2)

>> z=tf([num],[den])

>> w1=tf([1],[1,4,1])

>> Wop=w1*z

>> wp=1,452

>> step(feedback(Wop*wp,1)

Показатели качества:

1) у_ст=1-0.592=0.408

) у_дин=0.912-0.592=0.32

) Тпп=31.5 с

4)

)

.1.2 Расчет настроек ПИ-регулятора

Построим плоскость с1, с0 и найдем оптимальные настройки ПИ-регулятора.

.

>> wpi=tf([1.13,0.326],[1,0])

>> step(feedback(Wop*wpi,1)

Показатели качества:

1) у_ст=1-1=0

) у_дин=1.54-1=0.54

) Т_ПП=43.5 с

4)

)

.1.3 Расчет настроек ПИД-регулятора

Для того, чтобы найти с2, мы найдем АЧХ и ФЧХ методом незатухающих колебаний:

;

;

;

; ; ;

=0,65; ; =0,4;

=2,6; ; =0,81;

Таким образом получаем три набора настроек ПИД-регулятора. Строим переходные процессы.

>> wp1=tf([1.3,1.69,0.51],[1,0])

>> wpid1=feedback(Wop*wp1,1)

>> wp2=tf([0.65,1.42,0.4],[1,0])

>> wpid2=feedback(Wop*wp2,1)

>> wp3=tf([2.6,2.11,0.81],[1,0])

>> wpid3=feedback(Wop*wp3,1)

>> step(wpid1,wpid2,wpid3)

Как видно из графиков переходных процессов, оптимальным набором настроек для ПИД - регулятора являются настройки, при с2=1.3.

Показатели качества:

1) у_ст=1-1=0

) у_дин=1.67-1=0.67

4)

)

2.2 Расчет комбинированной системы автоматического регулирования

настройка регулятор цифровой автоматический

Рассмотрим случай когда выход компенсатора подключен ко входу объекта.

Для того, чтобы перейти от данной передаточной функции к передаточной функции вида

необходимо найти k и T. Для этого строим годограф.

[a,b]=pade(7,2)=tf(a,b)

[c,d]=pade(3,2)=tf(c,d)

Wov1=tf([2],[1,2.6,1.8,1])=tf([1],[1,4,1])=z1*Wov1=z2*Wop1=Wov/Wop

nyquist(Wdk)

По годографу мы можем определить:

k=2, ω=0,35 рад/сек.

Чтобы найти Т необходимо решить уравнение:

Возьмем φ=-45⁰.

Тогда

.

Значит, передаточная функция компенсатора имеет вид:

Построим переходные процессы.

wpi=tf([1.13,0.32],[1,0])

wraz=Wop*wpi=feedback(1,wraz)=Wov*wz(w12)

wdk1=tf([2],[2.85,1])=Wov-wdk1*Wop

step(W5)

W10=W5*wz(W10)

Схемы регулирования обладает следующими особенностями: наличием двух каналов воздействия на выходную координату объекта и использованием двух контуров регулирования - замкнутого (через регулятор) и разомкнутого (через компенсатор). Корректирующий импульс от компенсатора поступает на вход регулятора

2) Рассмотрим случай когда выход компенсатора подключен ко входу регулятора.

Для того, чтобы перейти от данной передаточной функции к передаточной функции вида

необходимо найти k и T. Для этого строим годограф.

Wdk=Wov/(Wop*wpi)

nyquist(Wdk)

По годографу мы можем сразу определить:

k/Т=1,96

ω=0,156 рад/сек.

Π/2-arctgTw= Π/2

,156 T=1

T=6,4

К=12,5

Значит, передаточная функция компенсатора имеет вид:

Построим переходные процессы.

wraz=Wop*wpi

wz=feedback(1,wraz)=Wov*wz

step(w12)

wdk1=tf([12.5, 0],[6.4,1])=Wov-wdk1*Wop*wpi=W5*wz(W10,100)

2.3 Расчет цифровой АСР

Получение цифрового П-регулятора с помощью встроенной функции MatLab

>> wp=tf([1.452],[1])

>> T1=1

>> Wp1=c2d(wp,T1,'tustin')

>> T2=4

>> Wp2=c2d(wp,T2,'tustin')

>> [nWp2,dWp2]=tfdata(Wp2,'v')

>> T3=8

>> Wp3=c2d(wp,T3,'tustin')

>> [nWp3,dWp3]=tfdata(Wp3,'v')

График изменения выходного сигнала:

График изменения управляющего сигнала:

Получение цифрового ПИ-регулятора с помощью встроенной функции MatLab

>> wpi=tf([1.13,0.326],[1,0])

>> T1=1

>> Wpi1=c2d(wpi,T1,'tustin')

>> [nWpi1,dWpi1]=tfdata(Wpi1,'v')

График изменения выходного сигнала:

График изменения управляющего сигнала:

>> T2=2

>> Wpi2=c2d(wpi,T2,'tustin')

>> [nWpi2,dWpi2]=tfdata(Wpi2,'v')

>> T3=3

>> Wpi3=c2d(wpi,T3,'tustin')

>> [nWpi3,dWpi3]=tfdata(Wpi3,'v')

График изменения выходного сигнала:

График изменения управляющего сигнала:

Получение цифрового ПИД-регулятора с помощью встроенной функции MatLab

>> wpid=tf([1.3,1.69,0.51],[1,0])

>> T1=1

>> Wpid1=c2d(wpid,T1,'tustin')

>> [nWpid1,dWpid1]=tfdata(Wpid1,'v')

График изменения выходного сигнала:

График изменения управляющего сигнала:

>> T2=2

>> Wpid2=c2d(wpid,T2,'tustin')

>> [nWpid2,dWpid2]=tfdata(Wpid2,'v')

>> T3=3

>> Wpid3=c2d(wpid,T3,'tustin')

>> [nWpid3,dWpid3]=tfdata(Wpid3,'v')

График изменения выходного сигнала:

График изменения управляющего сигнала:

Заключение

Сравнивая характеристика регуляторов мы приходим к тому, что П-регулятор превосходит ПИ-регулятор по показателям динамической ошибки, степени затухания, кроме того П-регулятор наиболее прост конструктивно и дешев, однако он, в отличие от ПИ- и ПИД-регуляторов, имеет статическую ошибку. Таким образом, П-регулятор может использоваться в системах, не требующих точности регулирования.

Если же наличие статической ошибки недопустимо, то необходимо использовать ПИ- или ПИД-регуляторы. Наиболее оптимальным по показателям качества регулирования является ПИД-регулятор, но его следует выбирать в случае крайней необходимости, так как он наиболее сложный по конструкции и дороже в эксплуатации.

Комбинированная система с подключением динамического компенсатора на вход регулятора лучше отрабатывает возмущения.

Цифровая система отличается от аналоговой тем, что функции регулятора в ней выполняет цифровой компьютер. Линии заданного запаса устойчивости подобны линиям m = const для аналогового регулятора. При этом следует учитывать, что чем больше значение интервала квантования Т, тем меньше по сравнению с непрерывным алгоритмом область заданного запаса устойчивости и тем ниже динамическая точность АСР.

Литература

1.   В.В. Гетман. Лекции по ТОАУ.

2.      Методические указания к курсовому и дипломному проектированию по теории автоматического управления.