Основы статистической теории радиолокации

Основы статистической теории радиолокации

Реферат

Основы статистической теории радиолокации

Если о сигнале все известно , то нет необходимости в его приеме, если о нем ничего не известно, то его невозможно отличить от помех, и прием его невозможен.

Поэтому, как правило, информацию содержат создаваемые объектом наблюдения и средой, неизвестные в месте приема, изменения параметров сигнала, т.е. в месте приема существует некоторая априорная информация об исходных значениях информационных параметров.

Прием сигнала должен увеличивать сведения о нем. Сведения после приема называют апостериорными и используются для принятия решения.

Неизбежные помехи и искажения в радиолиниях приводят к ошибкам в принимаемых решениях. Задача состоит в построении такой радиосистемы, которая бы уменьшала эти ошибки до минимума.

Эта задача может решаться на двух уровнях:

- для каждого заданного вида сигнала ищут приемник, сводящий ошибки к теоретическому минимуму. Такой приемник называется оптимальным для данного вида сигнала, а даваемый им минимальный уровень искажения, содержащейся в сигнале информации, определяет потенциальную помехоустойчивость, причем помехоустойчивость любого реального приемника не может ее превысить.

- полагая, что каждый сигнал обрабатывается оптимальным для него приемником, ищут пару сигнал - оптимальный приемник, для которой ошибки минимальны.

Таким образом, если на первом уровне оптимизируется только приемник, то на втором - вся радиосистема.

Для систем извлечения информации характерен системный подход к задаче оптимизации, соответствующей второму из указанных уровней.

Типовая схема прохождения сигнала в одноканальной радиолинии измерения приведена на рисунке 1.

Рисунок 1

 - измеряемый параметр (дальность, скорость, угловые координаты и т.д.);

 - электрический параметр (частота, фаза, амплитуда и т.д.);

 - радиосигнал, зависящий не только от времени  и информативного параметра , но и от неинформативных параметров;

 - неинформативные параметры;

 - внешняя помеха, воздействующая на радиолинию;

 - внутренние шумы в приемном устройстве;

Различают три характерных частных случая сигналов:

 - сигнал известен точно;

 - сигнал со случайной начальной фазой;

 - сигнал со случайной начальной фазой и амплитудой;

 - результирующее воздействие на входе приемника, в общем случае сложная функция сигнала и обеих помех, в простейшем случае - аддитивная сумма;

 - решающий алгоритм обработки этого искаженного помехами сигнала, позволяющий принять то самое решение.

Традиционно используют два этапа обработки :

- этап первичной обработки, обеспечивающий выделение из входного воздействия полезного сигнала, его демодуляцию и измерение параметров;

- этап вторичной обработки, обеспечивающий определение траекторий движения объекта;

В последнее время в связи с развитием сложных комплексов систем извлечения информации, разнесенных в пространстве и (или) времени, из этапа вторичной обработки выделяют как самостоятельный этап, обеспечивающий совместную обработку данных об избранных целях, полученных от разных систем в различное время. Решение должно быть выработано и передано в наиболее удобном для использования виде в индикаторное или регистрирующее устройство, либо ЭВМ или линию связи.

По виду принимаемого решения различают 5 основных задач:

. Различение n сигналов и обнаружение. Возможны  сигналов  с априорными вероятностями , причем всегда на вход приемника поступает один из  сигналов, т.е.:

Необходимо по результирующему входному воздействию  за время наблюдения  определить с минимальной ошибкой, какой из сигналов принят. При  задача различения сигналов вырождается в более простую - задачу обнаружения, сводящуюся к принятию решения о том, есть сигнал  или его нет.

2. Оценка параметров сигнала. Электрический параметр  сигнала  имеет априорное распределение вероятностей  и изменяется столь медленно, что , т.е. за время наблюдения .

Необходимо по  за время  определить с минимальной ошибкой переданное значение .

Принято различать точечное оценивание, осуществляемое по результатам единичного замера, и следящее, при котором оценка уточняется путем учета результатов предыдущих замеров.

3. Фильтрация параметра сигнала. Электрический параметр  сигнала  представляет собой случайный процесс с известными статистическими характеристиками, претерпевающий за период наблюдения  существенные изменения. Необходимо по  за время  определить с минимальной ошибкой, какая из реализаций  или самого сигнала  передана.

Следящее оценивание параметра может трактоваться как один из вариантов его фильтрации. В частном случае, когда  фильтрация вырождается в точечную оценку параметра .

4. Разрешение сигналов. Возможен прием сигналов  с вероятностями , причем несколько сигналов могут поступать на вход приемника одновременно, т.е. . При этом в предельном случае:

Необходимо  по  за время  с минимальной ошибкой разделить все поступившие на вход приемника сигналы , а в ряде случаев и оценить их параметры.

5. Отождествление данных. Несколько разнесенных в пространстве и (или) во времени радиосистем принимают искаженные помехами сигналы одной и той же цели: . Необходимо за время  с минимальной ошибкой объединить полученные от разных систем данные об яркой цели. Кроме того, можно оптимизировать совместное решение двух и более видов задач и, в частности, задач обнаружения и оценки или фильтрации параметров сигнала.

Некоторые соотношения теории вероятностей

Моментные функции

а) Среднее значение:

 - постоянная составляющая случайного процесса.

б) Средний квадрат:

Удобнее пользоваться центральной моментной функцией второго порядка, которая дает величину дисперсии случайной функции относительно среднего значения:

 - средняя мощность флуктуаций.

Характеристики  и  не дают достаточно полного представления о характере случайного процесса. Для дополнительной характеристики вводят понятие смешанной моментной функции второго порядка - корреляционной функции.

 - двумерная функция распределения случайного процесса .

Наряду с усреднением по совокупности реализаций широко пользуются усреднением по времени.

Стационарный процесс - процесс, для которого функция распределения инвариантна к началу отсчета времени, т.е.:

Т.е. статистические свойства неизменны во времени. Такие процессы называются стационарными в “узком смысле”. Процессы, у которых инвариантны к началу отсчета математическое ожидание и корреляционные функции, называются стационарными в широком смысле.

Эргодический процесс - это стационарный процесс, для которого усреднение по совокупности реализаций дает тот же результат, что и усреднение по времени.

Для эргодических процессов (а стационарные процессы в большинстве являются эргодическими):

 - постоянная составляющая;

 - мощность случайного процесса;

 - автокорреляционная функция;

 - коэффициент корреляции.

Связь между корреляционной и спектральной характеристиками:

 - энергетический спектр (прямое преобразование Фурье);

 - обратное преобразование Фурье;

 - дисперсия.

 - совместная плотность вероятностей.

 и  независимые случайные величины.

. Функционально связанные величины: .

Если известно распределение , то функция распределения  - производную нужно брать по абсолютному значению, т.к. функция распределения всегда неотрицательна.

. Условные распределения - т.е. решается задача определения вероятности того, что случайная величина  будет находиться в интервале  и при этом случайная переменная  будет заключена в интервале .

где:  - двумерный закон распределения случайных переменных  и ,  - соответствующие одномерные законы.

. Белый шум - это стационарный случайный процесс , функция корреляции которого равна  - функции, умноженной на  - спектральную плотность.

Этот процесс характеризуется тем, что значения  в любые два, сколь угодно близкие моменты времени некоррелированы.

Спектральная плотность: . Спектральная плотность постоянна на всех частотах.

Примеры функций распределения:

 - нормальный закон распределения (закон Гаусса);

 - закон Релея.

Обнаружение сигналов как статистическая задача

радиолокация сигнал статистический помеха

Решение статистической задачи обнаружения сигнала в шуме имеет следующую последовательность:

) Выбор и обоснование критериев оптимальности.

) Нахождение математического правила решения задачи оптимального обнаружения.

) Реализация правила решения с помощью радиотехнических средств (нахождение структурной схемы).

) Исследование характеристик оптимального обнаружителя.

) Сравнение оптимального и реального обнаружителей.

Как уже отмечалось, реальный сигнал всегда является не только функцией времени, но и случайных, в месте приема, параметров. В общем случае он может быть представлен в виде:

где:  - неизвестные в месте приема параметры,  - информативный параметр.

Неизвестные величины рассматриваются как случайные, имеющие априорное распределение: .

В дальнейшем предполагаем, что зависимость сигнала от времени и параметров точно известна.

В теории обнаружения и оценки параметров пользуются определенными моделями сигналов. Модель должна удовлетворять требованию близости к реальному сигналу, с другой стороны позволять достаточно просто производить теоретический анализ, результаты которого можно распространить на более общие случаи. В зависимости от того, какое из требований является наиболее важным, используют ту или иную модель сигнала.

Простейшей моделью является сигнал с полностью известными параметрами:

Более сложной моделью является сигнал с неизвестной начальной фазой:

где:  - случайная величина, равномерно распределенная в интервале .

Модель сигнала со случайной амплитудой и начальной фазой можно записать в виде:

где:  - случайная величина, распределение которой во многих случаях можно считать релеевским:

Известно, что используются сигналы в виде пачек радиоимпульсов. Поэтому, используют импульсные модели:

модель некогерентной пачки импульсов, в которой начальные фазы импульсов  - случайные независимые величины; амплитуда - не флуктуирует. Если все начальные фазы , то имеет место когерентная пачка импульсов:

Если вместе с фазой флуктуирует и огибающая сигнала, то:

;

Если , то могут быть два случая:

- амплитуды импульса флуктуируют независимо,

- флуктуация амплитуд импульсов зависима.

Качественные показатели и критерии оптимального обнаружения

Пусть на входе приемника имеется шум  с известными статистическими характеристиками, а от цели может поступать сигнал , известный точно. Шум по отношению к сигналу аддитивен. Необходимо по результирующему входному воздействию  определить, есть сигнал цели или нет.

Возможны 4 вида решения:

- правильное обнаружение с условной вероятностью:

где:  - входное воздействие,  - оценка , т.е. решение о том , что на входе

действительно существует воздействие у

- правильное необнаружение с условной вероятностью:

где:  - сообщение отсутствует,  - оценка этого параметра , т.е. решение об отсутствии входного воздействия

- пропуск цели с условной вероятностью:

- ложная тревога с условной вероятностью:

Эти решения могут быть представлены следующей схемой (рисунок 2):

Рисунок 2

Из схемы видно, что , , т.е. условные вероятности попарно образуют полную группу событий. Это позволяет ограничиться определением только двух из них, чаще всего правильного обнаружения и ложной тревоги, которые должны удовлетворять требованиям:

, ;

где:  - предельно допустимые  и .

Если всякий раз независимо от принятой реализации решать, что цель есть, то получим: , но . Если при обратном решении для всех реализаций (всегда считаем, что цели нет), то: , но . Таким образом, требования сложения  и  противоречат одно другому, в связи с чем появляется возможность оптимизации решения.

Критерии оптимального обнаружения

Перед тем, как находить оптимальное решение, необходимо определить критерий, согласно которому оно должно быть оптимизировано. Ввиду случайного характера анализируемых процессов, оптимум определяется не по отдельным их реализациям, а в среднем, по многим реализациям.

Рассмотрим наиболее распространенные критерии оптимальности обнаружения:

. Критерий минимума среднего риска (критерий Байеса). Выявляется полная группа всех возможных сочетаний событий и решений, т.е. в данном случае:  - безусловные совместные вероятности.

.

Далее назначается плата (риск)  для ошибок каждого вида (для безошибочных решений плата равна 0):

Определяется средний риск:

Безусловные вероятности ошибочных сочетаний могут быть выражены через их условные вероятности:

С учетом этого можно определить средний риск:

На основании этого соотношения определяется порог чувствительности приемного устройства, при котором  минимален.

Характерным для этого и более частного критериев является этап назначения платы для каждого вида ошибок, который является результатом не строгого логического обоснования, а волевого эвристического определения коэффициента риска на основе предшествующего опыта и инженерной интуиции разработчика.

Все другие критерии оптимального обнаружения могут рассматриваться как частные случаи критерия минимального среднего риска.

. Критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова)

Предполагает равенство минимальных ошибок: . При этом: ,  и  должны быть известны.

В частном случае равенства априорных вероятностей наличия и отсутствия сигнала , средний риск представляет собой среднеарифметическую ошибку: .

Этот критерий чаще применяется в системах передачи информации.

. Критерий Неймана-Пирсона

Задают предельно допустимое значение вероятности ложной тревоги  и при условии  определяют порог чувствительности приемного устройства, при котором обеспечивается максимальная вероятность правильного обнаружения .

Для иллюстраций сказанного рассмотрим рисунок 3. Приведены 4 реализации случайного колебания: первые две изображают шум на выходе согласованного фильтра, а две другие - сумму сигнала и шума. При этом установлен некоторый порог приемного устройства - . Шум в первой реализации не превышает порога. Во второй реализации, хотя сигнала и нет, однако выброс шума превышает порог. В третьей реализации сумма сигнала и шума превышает порог, в четвертой - не достигает порога.

Из рассмотренных случаев в первом и третьем случае будет принято правильное решение, а во втором и четвертом - нет. Если взять другой порог, то ситуация может измениться.

Рисунок 3

Кроме перечисленных, используются также критерии:

минимальной взвешенной вероятности ошибки;

минимум вероятности полной ошибки, и т.д.

Отсюда:

Отсюда следует, что оптимальный приемник должен вычислять величину:

 - отношение правдоподобия

Где:  и  - функции правдоподобия.

Если  сравнить с некоторым порогом , то принимается решение:

при   - сигнал есть;

 - сигнала нет.

Все критерии дают оптимальное решение задачи обнаружения, основанное на вычислении отношения правдоподобия, и сравнении его с порогом. Отличаются критерии лишь выбором порога.

Для критерия min среднего риска: . Для критерия min взвешенной вероятности ошибки . Для критерия Неймана-Пирсона задается  и минимизируется значение .

Отношение правдоподобия показывает, на сколько больше вероятность того, что принятый сигнал X содержит  по сравнению с вероятностью приема сигнала X, состоящего из чистого шума.

Литература

1.Волынский В.А. и др. Электротехника /Б.А. Волынский, Е.Н. Зейн, В.Е. Шатерников: Учеб. пособие для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 2007. - 528 с., ил.

.Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника: Учеб. пособие для вузов. - 4-е изд., перераб. - М.: Энергоатомиздат, 2007. - 440 с., ил.

.Основы промышленной электроники: Учебник для неэлектротехн. спец. вузов /В.Г. Герасимов, О М. Князьков, А Е. Краснопольский, В.В. Сухоруков; под ред. В.Г. Герасимова. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2008. - 336 с., ил.

.Электротехника и электроника в 3-х кн. Под ред. В.Г. Герасимова Кн.1. Электрические и магнитные цепи. - М.: Высшая шк. - 2009 г.

.Электротехника и электроника в 3-х кн. Под ред. В.Г. Герасимова Кн.2. Электромагнитные устройства и электрические машины. - М.: Высшая шк. - 2007 г.