Определение устойчивости нелинейной системы

Определение устойчивости нелинейной системы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КАРАГАНДИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА «ЭЛЕКТРОПРИВОД И АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине

«ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ»

Вариант №6

Выполнил:

ст. группы зАиУ-10С

Югай М.С.

г. Темиртау 2013 г.

Задача 1. Составить нелинейные дифференциальные уравнения следящей системы (рисунок 1)

Рис. 1. Структурная схема следящей системы.

Исходные данные:

Т₀=Nв/10=6/10=0,6;

k₁=Nв=6;

k₂=Nв*2=6*2=12;

k₃=Nв/2=6/2=3

k₀=Nв*1,5=6*1,5=9;

k_oc=Nв*2,5=6*2,5=15.

Решение

Уравнение чувствительного элемента:

aw₁=k₁*v;

v=v₁-v_2;

aw₁=k₁*(v₁-v₂)

Уравнение релейного усилителя:

u=F(aw); при k_oc = 0=aw₁-aw_oc

Уравнение линейного усилителя:

αp=k₂u;

Уравнение исполнительного механизма:

φ=k₃*α

Уравнение редуктора:

(T₀p+1)*v₂=k₀*φ

Уравнение обратной связи (тахогенератор):

aw_oc=k_oc*φ

Выражаем относительно выходной переменной aw:

 =

Задача 2. Построить фазовый портрет системы

Рисунок 2.

Данные:

Т₁²=N_вар/10=6/10=0,6с;

Т₂= N_вар/2=6/2=3с;

k= N_вар=6;

с=2.

Уравнения замкнутой нелинейной системы:

 при х₂>0                                                  (1)

 при х₂<0                                                  (2)

Заменяем: x₂ = x

(0,6²p² + 3p +1) * x = -6 * 2

(0,36р² + 3р + 1) * x = -12   

Заменяем:

p =

( +1) x = -12        

Заменяем:

 ; .

ydy + 3y + x = -12 => 0,36  + 3y + x = -12

Переносим x на правую сторону:

 + 3y = -12 - x   

Переносим dy на правую сторону:

dx =

x =  ln (- 3 - 12 - x) + C₁

x =  ln (- 3 + 12 - x) + C₂

Упрощаем:

x = 0,18 y² ln (- 3 - 12 - x) + C₁= 0,18 y² ln (- 3 + 12 - x) + C₂

Рисунок 5. Фазовый портрет

Вывод: согласно фазовому портрету, данная система является устойчивой, т.к. изображающая точка, независимо от ее начального положения, двигаясь по фазовой траектории, приходит к точке покоя (точкой покоя считается изолированная особая точка с координатами у = 0, dу/dt = 0).

Задача 3. Проверить выполнение достаточного условия абсолютной устойчивости системы при следующих значениях параметров системы: Т₁=N_В с, Т₂=N_В/2 с, ξ₁= N_В/1,5, ξ₂=N_В/10, коэффициент передачи линейной части системы k_л=4, коэффициент усиления нелинейного звена k_н=c/b=N_В/5 (рисунок 6). Определить граничное значение коэффициента k=k_лk_н, где N_В - номер варианта.

Рисунок 6.

Исходные данные:

Т₁=Nв=6с;

Т₂=Nв/2=6/2=3с;

ξ₁=Nв/1,5=6/1,5=4;

ξ₂=Nв/10=6/10=0,6;_л=4;_н=c/b=N_В/5=6/5=1,2

Решение

Коэффициент передачи разомкнутой системы:

k=k_л*k_н=4*0,4 = 4,8 отнесём к нелинейному звену.

Точка на вещественной оси:

/k=1/1,6=0,625

Тогда частотная передаточная функция разомкнутой системы будет равна:

Подставляем значения и перемножаем:

В знаменателе раскрываем скобки, чтобы избавиться от j в знаменателе (вычисления опущены). Результат:

Разделяем вещественную и мнимую части:

Для построения видоизмененной частотной характеристики (модифицированный годограф), необходимо умножить мнимую часть на ωT₀, где T₀ =1с - нормирующий множитель:

Вычисляем ряд значений в Excel и строим модифицированный годограф таким образом, чтобы крайняя левая точка вещественной оси соответствовала -1/k=-1/4,8=-0,2 (рисунок 8). Через эту точку можно провести прямую Попова так, что вся построенная характеристика будет располагаться справа от неё. Следовательно, данная система будет абсолютно устойчивой при заданном k =4,8, если статическая характеристика нелинейного звена целиком располагается в секторе (0, k). Этот сектор заштрихован на рисунке 9.

Рисунок 8. Характеристика М^*(ω)=f(В^*(ω)).

Рисунок 9.

Граничное значение коэффициента передачи k_гр=1/0,8=1,25.

Задача 4. Исследовать устойчивость состояния равновесия системы (рис. 10), если заданы параметры линейной части системы k₁=N_B с^-1, Т₁=N_B/10 с и статическая характеристика нелинейного звена, для которой b₁=N_B/10, b₂=N_B/7, k=tgα=N_B, где N_В - номер варианта.

Рисунок 10.

Исходные данные:₁=N_В=6 c^-1;

Т₁=Nв/10=6/10=0,6 с;

b₁= Nв/10=6/10=0,6;

b₂= Nв/7=6/7=0,86;=tgα=N_В=6

Решение

Амплитудно-фазовая характеристика линейной части:

Избавляемся от j в знаменателе:

Разделяем вещественную и мнимую части:

Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена, согласно приложению, равна:

при a ≥ b₂.

-Z(a) = 3.82()

Z(a) = -  (a) =

Рисунок 11.

Из рисунка 11 следует, что годографы не пересекаются в одной точке, что свидетельствует об отсутствии в системе автоколебаний и ее устойчивости.

Задача 9. Исследовать устойчивость состояния равновесия нелинейной системы (рис. 12). Параметры линейной части системы: Т₁=N_В с, Т₂=N_В-2,5 с, Т₃=N_В·1,1 с, k₁= N_В /10, k₂=N_В·2. Для статической характеристики нелинейного звена: b=1, k₃=N_В, где N_В - номер варианта.

Рисунок 12.

Исходные данные:

Т₁=Nв=26с;

Т₂=Nв-2,5=6-2,5=3,5с;

Т₃=Nв*1,1=6*1,1=6,6с;₁= Nв/10=6/10=0,6;₂= Nв*2=6*2=12;

Решение

Амплитудно-фазовая характеристика линейной части:

Умножаем на комплексно-сопряженные числа:

Разделяем вещественную и мнимую части:

Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена, согласно приложению, равна:

 при a>=b.

Z(a) =

Z(a) =

Получаем объединенный график годографов линейной и нелинейной частей:

Рисунок 13.

Из рисунка 13 следует, что годографы не пересекаются в одной точке, что свидетельствует об отсутствии в системе автоколебаний и ее устойчивости.

дифференциальный уравнение устойчивость нелинейный

Список используемой литературы

1.   Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т. 2. Нелинейные системы. - 2-е изд. испр. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 312 с.

2.      Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. Учеб. пос. - СПБ.: Питер, 2006. - 272 с.

.        Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М, Наука, 1972. - 767 с.

.        Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления. Под. ред. Е.А. Санковского, Минск, ВШ, 1973. - 384 с.

.        Иващенко Н.Н. Автоматического регулирование. Теория и элементы систем. М, Машиностроение, 1978. - 592 с.