Анализ линейной электрической цепи во временной и частотной областях

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Техническое задание

.        Спектральный анализ

.1.     Вычисление переходной характеристики цепи

.2.     Определение реакции цепи на импульс заданной формы с помощью интеграла Дюамеля

.3.     Вычисление спектра сигнала на входе и на выходе цепи

.4.     Связь между импульсной характеристикой и передаточной функцией цепи

.        Временной анализ

.1.     Вычисление дискретного сигнала на выходе цепи U2(n)

.2.     Спектральные характеристики дискретизированного сигнала

.3.     Синтез схемы дискретной цепи

.4.     Корректор

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной курсовой работы является систематизация и закрепление знаний, полученных при изучении классического, операторного и спектрального методов расчета процессов в линейных электрических цепях, а также теоретических основ анализа дискретных сигналов и линейных дискретных систем.

В ходе курсовой работы нам необходимо провести анализ линейной электрической цепи во временной и частотной областях.

Для этого нужно определить реакцию цепи при импульсном воздействии; определить спектральные характеристики аналогового и дискретного сигнала; составить схему дискретной цепи, а так же схему корректора, который будет компенсировать искажения, вносимые заданной цепью.

ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

                                 L

                           R                   R

                                            R

       Рисунок 1. Схема анализируемой цепи

Рисунок 2. Входной импульс

Задание на курсовую содержит схему анализируемой цепи и входной сигнал в виде одиночного импульса, параметры которого указаны на рисунке. Все резисторы схемы имеют сопротивление R=1КОм, индуктивность катушек L=1Гн, ёмкость конденсаторов С= 1 мкФ.

В процессе выполнения работы необходимо получить следующие результаты:

. Рассчитать и построить график напряжения на выходе цепи u2(t);

. Вычислить передаточную функцию цепи H(jω), спектральную плотность сигнала на входе и выходе цепи, построить соответствующие графики;

. используя импульсную характеристику цепи, получить выражение для передаточной функции;

. провести дискретизацию входного сигнала и импульсной характеристики цепи, вычислить отсчёты дискретного сигнала на входе и построить графики спектра дискретизированного сигнала и АЧХ дискретизированной цепи;

. по отсчётам входного сигнала вычислить его спектральную плотность;

. составить схему дискретной цепи, выполнив Z-преобразование дискретизированной импульсной характеристики;

. определить передаточную функцию цепи, корректирующей искажения дискретного сигнала, вносимые сконструированной дискретной цепью, рассчитать дискретный сигнал на выходе корректора.

. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

1.1 Вычисление переходной характеристики цепи

Вычисляется переходная характеристика цепи, как реакция на входное воздействие в виде единичной функции 1(t).

  (1.1)

(1.2)  при t→0-

рисунок 1.1. Схема в момент времени t = 0-

IL(0-)= IL(0+)=0

В момент времени t=0- индуктивность заменяем на провод.

при t=0+

рисунок 1.2. Схема в момент времени t = 0+

В момент времени t=0+ индуктивность заменяем на разрыв. Тогда напряжение на выходе:

IR3=  = =0.5 мА

UR2=0

UR3=0.5 В

При t=∞

рисунок 1.3. Схема в момент времени t = ∞

Rэкв= + R3=  +1 = 1.5 кОм

IR3= =  = 0.667 мА=IR2=0.5*IR3=0.3335 Ма2=0.3335 В

UR3=0.667 В

p=  = -1500

U2= g(t)=Uпр+Uсв = Uпр +(U(0+)-Uпр)=1 - 0.5

Далее, используя переходную характеристику, находим реакцию цепи с помощью интеграла Дюамеля.

1.2 Определение реакции цепи на импульс заданной формы с помощью интеграла Дюамеля

Весь отрезок времени 0≤t<∞ разбивается на два интервала. Границы интервалов приходятся на моменты времени t0 = 0,  t1 = 4мс.

                   U11,  0≤t<t1

U(t) = 

                     U12,  t≥t2

                   -2500t+5,  0≤t<t1

U(t) =    

              0,  t≥t2`= -2500 ;  U12`= 0.

 U21(t) = U11(0)*g(t) + =5*(1 - 0.5 + =5 - 2.5 -

2500 = 5 - 2.5 - 2500t +  ( - ) = 5 - 2500t - 2.5 + 0.833 - 0.833 =

.833 - 2500t - 3.333(t) = U11(0)*g(t) +  + (U12(t2) - U11(t­2)) * g(t - t2) + += 5(

Таблица 1.1. Результаты вычислений методом интеграла Дюамеля

Рисунок 1.4. График зависимости выходного сигнала от времени

Результаты расчета приведены в таблице и по ним построен график U2(t).

Выполним проверку:

t=1 мс

U21=

t=4 мс

U22=

.3 ВЫЧИСЛЕНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛА НА ВХОДЕ И НА ВЫХОДЕ ЦЕПИ

Для нахождения спектральной плотности входного сигнала функция U1(t) представляется в виде суммы четырех “простейших” функций:

Рисунок 1.5. Входной импульс

Рисунок 1.6. Разложение входного сигнала на простейшие

f1(t) = 5 → F1(p) =  ;  

f2(t) = ;                      f2(t)  → F2(p) = - ;

f3(t) =   ;                   f3(t) → F3(p) = ;(t) =  ;          f4(t) → F4(p) =

Изображение входного сигнала записывается как сумма изображений “простейших” функций:

F(p) = F1(p) + F2(p) + F3(p) + F4(p) =  +  + =

 U1(jω) =  =  =

=       (1.3)

Амплитудная характеристика спектральной плотности входного сигнала:

U1(ω) =      (1.4)

Фазовая характеристика спектральной плотности входного сигнала:

φ1(ω) =arctg (    (1.5)

Передаточная функция по напряжению цепи

Рисунок 1.7. Схема анализируемой цепи

H(jω)=  (1.6)(jω) =  =   (1.7)

Амплитудно-частотная характеристика:

H(ω) =    (1.8)

Фазо-частотная характеристика:

Ф(ω) =  (1.9)

Амплитудная характеристика спектральной плотности сигнала на выходе цепи записывается в виде:

U2(ω) = U1(ω)*H(ω)  (1.10)

Фазовая характеристика спектральной плотности сигнала на выходе цепи записывается в виде:

φ2(ω) = φ1(ω)*Ф(ω) (1.11)

Вычисление модулей и аргументов спектральных плотностей на входе и выходе цепи, а так же АЧХ и ФЧХ ее производится с помощью программы “FREAN”.

Таблица 1.2. Результаты вычислений с помощью программы “FREAN”

Рисунок 1.8. Амплитудная характеристика на входе цепи

Рисунок 1.9. Фазовая характеристика на входе цепи

Рисунок 1.10. Амплитудно-частотная характеристика цепи

Рисунок 1.11. Фазо-частотная характеристика цепи

импульс цепь дискретный сигнал

Рисунок 1.12. Амплитудная характеристика на выходе цепи

Рисунок 1.13. Фазовая характеристика на выходе цепи

Выполним проверку:

F=1 кГц  ==>   ω=6280 рад/с

U1(ω) =   

H(ω) =

U2(ω) = U1(ω)*H(ω) = 1,603*0,539 = 0,864 мВ*с

1.4 Связь между импульсной характеристикой и передаточной функцией цепи

Временные и частотные характеристики цепи связаны между собой формулами преобразования Фурье.

Вычислим импульсную характеристику цепи:

h(t) = g(o)*δ(t) + g`(t)   (1.12)

h(t) = 0.5*δ(t) + 750   (1.13)

H(jω) = dt    (1.14)

H(jω) = )dt = 0.5  =  

=   (1.15)

Полученный результат совпадает с результатом, полученным в пункте 1.3.

. ВРЕМЕННОЙ АНАЛИЗ

2.1 Вычисление дискретного сигнала на выходе цепи U2(n)

Максимум модуля спектральной плотности среди значений U1(n):

U1max = 8,302 мВ·с.

Мы выбрали верхнюю границу спектра входного сигнала fв = 2,5 кГц. Тогда  частота дискретизации берется равной fд = 5кГц. Соответственно период дискретизации Тд =  = 0,2 мс.

Составляем аналитическое выражение для U1(t)

               0, t < 0

                  5 - 2500t, 0 ≤ t < t1

U1(t) =     - 2500(t - t1), t1 ≤ t < t2

               0, t > t2

Подставляя вместо t последовательность моментов дискретизации, вычисляем значения дискретных отсчетов входного сигнала U1(n). Аналогичным образом вычисляются значения дискретных отсчетов импульсной характеристики цепи H(n) на интервале времени 0 ≤ t < t2.

Дискретные значения импульсной характеристики вычисляются по формуле:

H(n) = 0.5*δ(n) + Т*750  (2.1)

Таблица 2.1. Дискретные значения функции входного сигнала и импульсной характеристики

U2(m) =   (2.2)

Таблица 2.2. Дискретные значения функции выходного сигнала

Рисунок 2.1. Значение дискретного сигнала на входе цепи

Рисунок 2.2. Значение дискретного сигнала на выходе цепи

Рисунок 2.3. Значение дискретных отсчетов импульсной характеристики цепи

Сопоставление результатов расчета с данными таблицы 1.1 показывает, что различие в значениях U2(t), вычисленные с помощью интеграла Дюамеля и путем дискретизации сигнала и импульсной характеристики отличаются на несколько десятых, что является допустимым отклонением.

2.2 Спектральные характеристики дискретизированного сигнала

Спектральные характеристики дискретизированного сигнала U1(n) рассчитываются по формуле:

U1(jω) = T* (2.3)

На частотах:

ω = 0                                      => f = 0

ω = π/4Т = 3925 рад/с;          => f = 0.625 кГц

ω = π/2Т = 7850 рад/с;          => f = 1,250 кГц

ω = π/Т = 15700 рад/с           => f = 2,5 кГц

Таблица 4.3.  Спектральная плотность дискретизированного сигнала

Рисунок 2.4 График спектральной плотности дискретизированного сигнала

Сравнив полученные результаты с результатами расчета плотности входного сигнала на данных частотах, полученные в пункте 1.3, можно сделать вывод, что они отличается незначительно на всех частотах.

2.3 Синтез схемы дискретной цепи

- преобразование импульсной характеристики цепи записывается в виде:

H(z) = 0.5 +  =   (2.4)(z) = X(z)*H(z) = X(z) *

Y(z) *() = X(z) * ((z) = 0.65X(z) - 0.37X(z) + 0.74Y(z)= 0.65;  a1 = - 0.37; b1 = 0.74.

Рисунок 2.5. Схема дискретной цепи

X(n)                                                                     Y(n)

Рисунок 2.6. Канонический вид схемы дискретной цепи

Коэффициенты передачи масштабных усилителей a0, а1, b1 те же, что и в предыдущей схеме. T - элемент памяти с задержкой на один период дискретизации.

Передаточная функция дискретной цепи

H(jω) =   (2.5)

АЧХ дискретной цепи имеет вид:

H(ω) =  (2.6)

Таблица 2.4. Значения АЧХ дискретной цепи

Рисунок 2.5. Амплитудно-частотная характеристика дискретной цепи

Компенсация искажений сигнала, вносимых заданной цепью может быть выполнена с помощью корректора, подключаемого к входу или выходу цепи. При этом передаточная функция всей схемы должна быть постоянной величиной, не зависящей от частоты.

2.4 Корректор

Z - преобразование передаточной функции корректора H’(Z) находится как величина, обратная H(Z) исходной цепи, вычисленной в пункте 4.3.

H`(z) =   (2.7)`(z) =  =   (2.8)

Y(z) = 1.538X(z) - 1.138X(z) + 0.569Y(z)0 = 1.538;  a1 = - 1.138;  b1 = 0.569.

Дискретные значения сигнала на выходе корректора вычисляются с помощью дискретной свертки:

U2`=  (2.9)

Отсчеты импульсной характеристики корректора находятся путем деления полинома числителя H'(Z) на его знаменатель.

Таблица 2.5. Дискретные значения импульсной характеристики корректора и сигнала на выходе

Схема дискретной цепи, реализующая функцию корректора в соответствии с формулой H`(z) =   в канонической форме имеет вид:

X(n)                                                                     Y(n)

Рисунок 2.6. Канонический вид схемы дискретного корректора

Рисунок 2.7. Дискретные значения импульсной характеристики корректора

Рисунок 2.8. Дискретные значения сигнала на выходе корректора

Амплитудно-частотная характеристика корректирующей цепи

H`(jω) =    (2.10)

H`(ω) =   (2.11)

Таблица 2.6. Значения АЧХ корректирующей цепи

Ослабление, вносимое корректором, должно дополнять ослабление, вносимое цепью, до постоянной величины. В нашей курсовой работе это условие выполняется.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения курсовой работы мы провели анализ линейной электрической цепи  во временной и частотной областях.

Этот анализ заключался в следующем:

Мы вычислили переходную характеристику и рассчитали с ее помощью интеграл Дюамеля.

Получили аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ цепи, спектральных плотностей входного и выходного сигналов, а так же вычислили их значения и получили их графическое изображение при помощи программы “FREAN”.

Применили формулу преобразования Фурье,  чтобы проверить связь между временными и частотными характеристиками, при этом результат вычисления совпал с формулой Н(jω) полученной при нахождении передаточной функции цепи.

Определил частоту и период дискретизации входного сигнала. Затем при помощи теоремы свертки определил дискретный сигнал на выходе цепи. Далее используя аналогию между Z - преобразованием и преобразованием Фурье вычислил значения спектральной плотности входного дискретного сигнала. При этом результат расчета практически совпал с результатами спектральной плотности аналогового сигнала.

Получили выражение для Z - преобразования импульсной характеристики цепи, в соответствии с ней построили схему дискретной цепи и привели ее к каноническому виду.

В результате мы закрепили знания, полученные при изучении классического, операторного и спектрального методов расчета процессов в линейных электрических цепях, а также теоретических основ анализа дискретных сигналов и линейных дискретных систем. Значения, рассчитанных разными способами, характеристик говорят  о правильном расчете электрической цепи и анализе дискретного сигнала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихобаев В.Г. Расчет электрических цепей при импульсном воздействии (методические указания к курсовой работе). Новосибирск: СибГУТИ, 2001

2. Шебес М.Р. Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. М.: Высшая школа, 1990

. Бакалов В.П. Игнатов А.Н. Крук Б.И. «Основы теории электрических цепей и электроники». М.: Радио и связь, 1989