Функции нескольких переменных. Ряды. Обыкновенные дифференциальные и разностные уравнения
Контрольная работа №3 (3 семестр)
Темы: Функции нескольких переменных.
Ряды Обыкновенные дифференциальные и разностные уравнения
Задача 1.
Задана
функция . Найти:
а)
наименьшее и наибольшее значение функции в
ограниченной области Д,
б)
вектор - градиент функции в точке
А. Область Д и вектор изобразить на чертеже.
.10.
; а) Д: ; б) .
Решение
а)
наименьшее и наибольшее значение функции в
ограниченной области Д .
Построим
область Д.
Найдем стационарные точки:
функция ряд интеграл дифференциальный
М(0; 0) - стационарная точка
∆
= АС - В2 = 2∙2 - 02 = 4 > 0
В
т. М(0; 0) минимум функции Z. Zmin = 02 + 02 + 4 = 4
Рассмотрим
по отдельности три отрезка:
1) АВ: y = 2 + x, -4 ≤ x ≤ 0. = x2 +
(2 + x)2 + 4 = 2x2 + 4x + 8
В
т.x = -1 - min функции
z(-1) = 2∙(-1)2 + 4(-1) + 8 = 6
2) ВС: y = 2 - 2x, 0 ≤ x ≤ 2. = x2 +
(2 - 2x)2 + 4 = 5x2 - 8x + 8
В
т.x = 0,8 - min функции
z(0,8) = 5∙0,82
- 8∙0,8 + 8 = 4,8
3) AC: y = -2, -4 ≤ x ≤ 2.
z = x2 + (-2)2 + 4 = x2
+ 8
Данная
точка уже исследовалась.
Найдем
значения функции в граничных точках:
z(A) = z(-2;
-4) = (-2)2 + (-4)2 + 4 = 24
z(B) = z(0;
2) = 0 + 22 + 4 = 8
z(C) = z(2;
-2) = 22 + (-2)2 + 4 = 12
Таким
образом, получим, что наименьшее значение функции z достигается в
точке (0; 0) zнаим = 4,
а наибольшее значения функции в точке А(-2; -4) zнаиб = 24.
б)
вектор - градиент функции в
точке А(1; -1).
Задача 2
Исследовать на сходимость данный ряд:
.
Решение
Воспользуемся интегральным признаком Коши:
Так
как интеграл расходится, то и ряд тоже расходится.
Задача 3
Найти область сходимости данного ряда.
.10. .
Решение
Общий
член ряда
Для
исследования ряда на абсолютную сходимость применим признак Даламбера.
Таким
образом, при , то есть при -1 < x < 1
исходный ряд сходится абсолютно.
Выясним
вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
При
х = -1 заданный ряд принимает вид:
Это
числовой знакочередующийся ряд. Его общий член по абсолютной величине монотонно
убывает и стремится к нулю при . Таким
образом, оба условия признака Лейбница выполнены и ряд сходится.
При
х = 1 заданный ряд принимает вид:
Ряд
расходится как гармонический.
Область
сходимости исходного степенного ряда: . Вне
этого интервала ряд расходится.
Задача 4
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:
.
Решение
Подставим
в исходное уравнение
Подберем
функцию v = v(x) так, чтобы выражение, содержащееся в скобке было
равно нулю.
Для
определения функции u(x) имеем
Таким
образом, общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:
Задача 5.
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее
заданным начальным условиям.
,,.
Решение
Находим общее решение Y
однородного уравнения с теми же коэффициентами, что и в левой части заданного
уравнения.
Составим
характеристическое уравнение
k2 - 3k + 2 = 0
Общее
решение однородного уравнения имеет вид:
Подбираем
частное решение исходного неоднородного уравнения.
Подставим
в исходное уравнение.
Общее
решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
Найдем частное решение дифференциального уравнения.
Подставляя начальные условия в общее решение и его производную, получим
систему уравнений относительно С1 и С2.
Частное
решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: