Решение матричных уравнений
Чувашский Государственный
Университет имени И. Н. Ульянова
Кафедра высшей математики
Курсовая работа на тему:
Решение матричных
уравнений
Выполнил: студент
группы ИВТ-41-12
Яковлев Дмитрий
Принял: Доц. Селиверстова Л.В.
Оглавление
Введение
Базовые
действия над матрицами
Обратная
матрица
Матричные
уравнения
Уравнение
вида АХ=В
Уравнение
вида ХА=В
Уравнение
вида АХВ=С
Уравнение
вида АХ+ХВ=С
Уравнение
вида АХ=ХА
Список
использованной литературы
Введение
Матричные уравнения - это уравнения, которые в качестве
неизвестной содержат матрицу. Матричные уравнения, как и все остальные, бывают
разных видов. В данной курсовой работе рассматриваются лишь некоторые виды
матричных уравнений, а именно АХ=В, ХА=В, АХВ=С, АХ+ХВ=С, АХ=ХА.
Часто, задачей является не решение матричного уравнения как
такового, а системы линейных алгебраических уравнений (сокращенно СЛАУ),
которое впоследствии сводится как раз к решению матричного уравнения.
Что касается методов решения матричного уравнении, то их
несколько. Простейшие уравнения, такие как АХ=В, ХА=В и АХВ=С, можно решать как
с помощью обратной матрицы, так и с помощью элементарных преобразований.
Относительно уравнений АХ+ХВ=С и АХ=ХА, то они решаются поэлементно, то есть в
качестве неизвестных выступают элементы неизвестной матрицы Х, а не сама
матрица.
Перед тем как перейти непосредственно к разбору уравнений.
Следует вспомнить базовые действия над матрицами, а также вспомнить понятия
обратной матрицы и транспонированной матрицы.
Базовые действия над матрицами
Определение 1. Две матрица
называются равными, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие
элементы совпадают.
Определение 2. Суммой
двух матриц 
(
) и 
() одинаковых порядков 
называется матрица 
() того же порядка, элементы которой равны 
.
На письме это действие может быть записано так: 
. Операция сложения обладает, очевидно,
обычными свойствами: перестановочным 
; сочетательным 
.
Определение 3. Произведением матрицы на число 
называется матрица , элементы которой равны 
.
Умножение матрицы на число может быть записано: 
или 
.
Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательным
относительно числового множителя 
; распределительным относительно суммы матриц 
; распределительным относительно суммы
чисел 
.
После первых двух действий необходимо отметить, что вычитание
матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на число может быть
определено как умножение на обратное число.
Определение 4. Произведением матрицы 
(
), имеющей порядок 
, на матрицу 
(
), имеющую порядок 
, называется матрица (
), имеющая порядок , элементы которой равны 
, где .
Записывается это действие так 
. Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента 
, в произведении 
необходимо попарно перемножить все
соответствующие элементы 
-ой строки матрицы 
на элементы 
-го столбца матрицы 
, а затем все это сложить. Из определения
также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов
матрицы было равно числу строк матрицы . Отсюда следует, что одновременно
произведение и 
существует только лишь в том случае, когда число столбцов равно числу строк , а число столбцов равно числу строк . В этом случае и будут квадратными матрицами, но разных порядков. Чтобы оба
произведения были одинакового порядка, необходимо, чтобы и были квадратными матрицами одинакового порядка.
Произведение матриц имеет свойства:
Сочетательное:
Распределительное:
.
Перестановочным свойством в общем случае произведение матриц не
обладает. Оно выполняется лишь в некоторых случаях.
Среди квадратных матриц необходимо выделить важный класс
диагональных матриц.
Определение 5. Диагональной
называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной
диагонали, равны 0:
.
В том случае, если 
, то для любой квадратной матрицы порядка 
справедливо 
. Действительно, для 
получаем 
. Для 
- 
. Отсюда, 
.
Среди диагональных матриц с равными друг другу элементами особое
место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы 
, обозначается она - 
, у нулевой 
, обозначается она - 
.
Как было показано 
, 
. Перемножив эти матрицы, можно убедиться,
что 
; 
.
Таким образом, матрицы и выполняют ту же роль, что и 1 и 0 среди
чисел. Вообще нулевой называют любую матрицу, элементы которой равны нулю.
Обратная матрица
Кроме действий над матрицами как сложение, вычитание,
умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу есть также операция
делении на матрицу. Она эквивалентна умножению на обратную матрицу. Рассмотрим,
что же это такое.
Определение 1. Матрица 
, удовлетворяющая вместе с матрицей 
равенствам 
, где 
- единичная матрица, называется обратной к и обозначается 
.
Поскольку и обладают в произведении перестановочным свойством, то обе матрицы
должны быть квадратными и одного порядка.
Прежде чем рассматривать вопрос о существовании обратной матрицы,
введем некоторые понятия.
Определение 2. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то
матрица называется невырожденной. В противном случае она называется вырожденной.
Определение 3.
Пусть дана квадратная матрица
.
Матрицей союзной или присоединенной к матрице называется матрица
,
где 
алгебраические дополнения элементов 
данной матрицы.
Необходимо обратить внимание на то, что в матрице 
алгебраические дополнения к элементам 
-ой строки расположены в -ом столбце.
Теорема 1. Определитель
произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то есть 
.
Теорема 2. Матрица
имеет обратную только в том случае, если она
невырожденная.
Доказательство.
Пусть для матрицы существует обратная , тогда 
. Отсюда следует, что
,
иначе единицы справа быть не может.
Теорема 3.
У каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная .
Доказательство. Пусть имеет две обратные матрицы 
и 
. Тогда
и 
.
Теорема 4. У
каждой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, равная 
.
Докажем эту теорему, вычисляя 
. Очевидно, что мы должны получить при этом матрицу 
, элементы которой находятся по формуле
.
В полученном выражении, если 
, то 
. Действительно,
похоже на выражение для вычисления величины определителя. При этом
элементы -ой строки умножаются на алгебраические
дополнения 
-го столбца. Но так как эти дополнения
содержат в себе -ую строку, то получается, что мы
вычисляем определитель с двумя одинаковыми строками. Значит, он равен нулю.
Итак, если , то . Если же 
, то полученное выражение в точности
соответствует формуле для вычисления определителя. Значит,
Но определяет диагональные элементы. Значит,
в полученной матрице по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы -
нули. Это единичная матрица . Следовательно,
и 
.
Отсюда следует правило вычисления обратной матрицы:
. находим 
(он должен быть не равен нулю)
. транспонируем матрицу
. заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его
алгебраическим дополнением
. делим каждый полученный элемент на .
Обратную матрицу матрицы 2х2 удобно находить по формуле:
Матричные уравнения
Основные определения:
Определение 1.
Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит
матрицу.
Определение 2.
Простейшими матричными уравнениями называются равенства вида
AX=B, XA=B, AXA=B, AX=XB, AX+XB=C
где A,B,C - данные матрицы, X - матрица, которую
необходимо найти.
Определение 3.
Некоторую матрицу называют решением матричного уравнения, если при её подстановке
вместо 
матричное уравнение превращается в
тождество.
матричное уравнение решение
Уравнения вида АХ=В
Рассмотрим уравнение вида AX=B, где A,B - известные
матрицы, причём матрица A квадратная и невырожденная, а матрица B
имеет тоже количество строк, что и матрица A.
Такое уравнение можно решить двумя способами:
. Вычисляется обратная матрица любым из известных способов. Тогда
решение матричного уравнения будет иметь вид:
2. При помощи элементарных преобразований строк блочной матрицы
(A|B) к виду 
, где E - единичная матрица. Тогда
матрица 
будет решением уравнения.
Пример.
Найдём решение матричного уравнения АХ=В, имеющего вид
. Найдём матрицу, обратную матрице А по правилу нахождения
обратной матрицы 2-го порядка:
. Запишем матрицу (A|B) и выполним элементарные преобразования,
чтобы получить слева единичную матрицу:
В обоих случаях получили
Уравнение вида ХА=В
Матричное уравнение ХА=В также можно решить двумя
способами:
. Вычисляется обратная матрица любым из известных способов. Тогда
решение матричного уравнения будет иметь вид: 
. Транспонированием левой и правой частей уравнения получим
После введения новой неизвестной матрицы 
получаем уравнение вида
которое можно решить методом элементарных преобразований, составив
блочную матрицу 
.
Пример.
Найдём решение матричного уравнения ХА=В, имеющего вид
. Так как обратная матрица была найдена нами в предыдущем примере,
то находим
2. Транспонируем обе части уравнения
Составим блочную матрицу и при помощи элементарных преобразований
получим слева единичную
Итак,
что совпадает с решением, полученным первым способом.
Уравнения вида АХВ=С
При решении этого уравнения необходимо обе части уравнения
умножить на 
слева и на 
справа. Учитывая, что
,
мы получаем, что указанное уравнение решается по формуле
Пример.
Решить уравнение вида АХВ=С, где
, 
и 
Уравнение принимает вид
Х
=
Найдем матрицу 
Таким образом,
:
Далее, применяя формулу 
получаем:
Итак,
Х=
.
Уравнение вида АХ+ХВ=С
Для решения уравнений вида АХ=ХВ, АХ+ХВ=С описанные выше
методы не подходят. Они не подходят также для решения уравнений, в которых хотя
бы один из сомножителей при неизвестной матрице Х является вырожденной
матрицей.
В таких случаях матрицу Х выписывают поэлементно (т.е.
неизвестными будут элементы матрицы Х, а не матрица в целом), проводят
указанные в уравнении действия над матрицами и равенство двух частей уравнения
записывают поэлементно. В результате получают систему линейных уравнений, решив
которую, находят возможные значения элементов матрицы Х. Если система
оказывается несовместной, то исходное матричное уравнение не имеет решений.
Пример.
Решить матричное уравнение АХ+ХВ=С, где
, 
, 
Запишем матрицу Х поэлементно:
Тогда в подробной записи матричное уравнение примет вид:
Вычислив произведения в левой части уравнения и сложив эти
произведения, придем к уравнению
Записывая это матричное уравнение по элементам, получим систему
уравнений:
Решив эту систему, найдем х=2, у=3, z=3, v=4.
Следовательно, искомая матрица имеет вид:
.
Уравнение вида АХ=ХА
Уравнения вида АХ=ХА решаются так же, как и в предыдущем
случае, то есть поэлементно. Решение здесь сводится к нахождению
перестановочной матрицы. Подробнее рассмотрим на примере.
Пример.
Найдите все матрицы, перестановочные с данной матрицей А:
Решение.
Наша цель - найти все матрицы В такие, что
Для того, чтобы существовала левая часть этого равенства нужно,
чтобы длина строки матрицы В равнялась двум. Для существования правой части
равенства надо, чтобы высота столбца матрицы В равнялась двум. Итак, матрица В
должна быть квадратной матрицей второго порядка:
Теперь условие задачи запишется в виде равенства:
или иначе:
Но равенство матриц означает равенство их элементов, занимающих
одинаковые места. Значит
Эти равенства дают нам систему четырех уравнений с четырьмя
неизвестными:
Получили общее решение системы линейных уравнений. Значит, общий
вид матрицы В будет таков:
,
где х2 и х4 - любые действительные числа.
Ответ.
где х2 и х4 - любые действительные числа.
Использованная литература
1. Ф.Р.
Гантмахер «Теория матриц».
. Х.Д.
Икрамов «Численное решение матричных уравнений».
. Курс
лекций Б.М. Верникова, А.Я. Овсянникова.
. Высшая
математика (Учеб. пособие). Никулина Л.С., Степанова А.А.