Расчет вероятности событий
Контрольная
работа
по
курсу Теория вероятностей
Задача 1
Вероятность
появления поломок на каждой из соединительных линий равна . Какова
вероятность того, что хотя бы две линии исправны?
Решение: В данном
случае имеется последовательность испытаний по схеме Бернулли, т.к. испытания
независимы, и вероятность успеха (соединительная линия будет исправна) р=1-0,25=0,75 одинакова
во всех испытаниях. Тогда по формуле Бернулли при n=4, р=0,75,
q=1-p=1-0,75=0,25 найдем вероятности того, что исправны две, три и четыре
линии:
4(4) = pn
= 0.754 = 0.3164
По условию задачи
=
Тогда найдем вероятность того, что
исправных линий будет не меньше двух (хотя бы две), по формуле:
Задача 2
вероятность гипергеометрический
дискретный величина
В одной урне белых шаров
и черных
шара, а в другой - белых и черных. Из
первой урны случайным образом вынимают шара и опускают во вторую урну.
После этого из второй урны также случайно вынимают шара. Найти
вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.
Решение:
Введем следующие обозначения для
событий:
из первой урны переложили два белых
шара
из первой урны переложили один белый
шар и один черный
из первой урны переложили два черных
шара
Так как других вариантов вытащить из
первой урны два шара нет, эти события составляют полную группу событий, и они
несовместны. Найдем вероятности этих событий по формуле гипергеометрической
вероятности:
Введем событие А - после
перекладывания из второй урны вытащили 2 белых шара. Вероятность этого события
зависит от того, что во вторую урну переложили из первой. Найдем условные
вероятности:
Теперь найдем вероятность события А
по формуле полной вероятности:
Задача 3
В типографии имеется печатных
машин. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент,
равна . Построить
ряд распределения числа работающих машин, построить функцию распределения этой
случайной величины, найти математическое ожидание, дисперсию, а также
вероятность того, что число работающих машин будет не больше .
Решение:
В этой задаче x - дискретная
случайная величина, принимающая значения 0,1,2,3,4,5. Чтобы построить ряд
распределения х, требуется найти вероятности, с которыми она принимает эти
значения. В данном случае имеется последовательность испытаний по схеме
Бернулли, т.к. испытания независимы, и вероятность успеха р=0,2 одинакова во
всех испытаниях (успех - печатная машина работающая). Тогда по формуле Бернулли
при n=5, р=0,2, q=1-p=1-0.2=0.8:
5(0) = (1-p)n
= (1-0.2)5 = 0.32775(1) = np(1-p)n-1 =
5(1-0.2)5-1 = 0.4096
5(5) = pn
= 0.25 = 0.00032
Теперь построим ряд распределения:
Значения
012345
|
|
|
|
|
|
|
вероятность
|
0,3277
|
0,4096
|
0,2048
|
0,0512
|
0,0064
|
0,00032
|
Найдем математическое ожидание по формуле:
Найдем дисперсию:
Выпишем в аналитическом виде функцию
распределения:
Найдем вероятность того, что число
работающих машин будет не больше 3:
Задача 4
Непрерывная случайная величина
задана ее функцией распределения:
.
Найти параметр С, функцию
распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания
случайной величины в интервал и квантиль порядка
Решение:
Найдем параметр С из уравнения . Так как
плотность на разных интервалах задана разными функциями, разбиваем область
интегрирования на соответствующее количество интервалов.
, тогда
Найдем функцию распределения по
формуле: . Так как
плотность распределения задается разными выражениями в зависимости от
интервала, функция распределения так же будет задаваться разными выражениями на
этих интервалах:
если
если
если .
Таким образом, можно записать
Найдем математическое ожидание по
формуле:
.
Дисперсию находим по формуле:
Вероятность попадания случайной
величины в интервал найдем по
формуле
.
В нашем случае
Найдем квантиль порядка 0,6: это
решение уравнения : этот корень
не попадает в интервал, где функция распределения принимает значения от 0 до 1.
Квантиль один:
Задача 5
Суточное потребление электроэнергии
исправной печью является случайной величиной, распределенной по нормальному
закону со средним 1000 кВт/ч и СКО . Если суточное потребление превысит
1100 кВт, то по инструкции печь отключают и ремонтируют. Найти вероятность
ремонта печи. Каким должно быть превышение по инструкции, чтобы вероятность
ремонта печи была равна 0,02?
Решение:
Пусть - суточное потребление
электроэнергии исправной печью. По условию задачи надо найти .
Сначала найдем вероятность того, что
суточное потребление не превысит 1100 кВт. Вероятность того, что Х примет
значение, принадлежащее интервалу , найдем по формуле
.
Тогда
т.к. функция Ф - нечетная
Тогда вероятность того, что суточное
потребление превысит 1100 кВт, и печь отключат, и будут ремонтировать, равна
Для решения второй части задачи
обозначим переменной t величину превышения суточного потребления электроэнергии
по инструкции, чтобы вероятность ремонта печи была равна 0,02.
Тогда вероятность того, что суточное
потребление электроэнергии не превысит величину (1000+t) равна 1- 0,02=0,98.
Для нахождения t нам надо решить
уравнения вида:
т.к. функция Ф(х) - нечетная
найдя значение функции Лапласа в
таблице, имеем:
Таким образом, чтобы вероятность
ремонта печи была равна 0,02, суточное потребление должно превысить 1092,7 кВт.