Тип оборудования
|
Затраты времени на обработку одного изделия вида
|
Общий фонд рабочего времени оборудования, ч
|
|
А
|
В
|
|
Фрезерное
|
3
|
4
|
120
|
Токарное
|
1
|
6
|
200
|
Сварочное
|
6
|
4
|
190
|
Шлифовальное
|
7
|
6
|
260
|
Прибыль, руб.
|
10
|
12
|
|
Плановое задание на изготовление
изделия А составляет не менее 20. Требуется определить, сколько изделий следует
изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.
Решение
) Составим математическую
модель.
Введем следующие обозначения: х1
- количество изделий видаА, х2 - количество изделий вида В. Тогда
прибыль от изделий А - 10х1, а от изделий В - 12х2, таким
образом, необходимо максимизировать целевую функцию:
(x) = 10х1+ 12х2
→ max
Ограничения задачи имеют вид:
3х1 + 4х2 ≤
120
х1 + 6х2 ≤
200
х1 + 4х2 ≤
190
х1 + 6х2 ≤
260
х1≥ 20
При этом х1 ≥ 0 и х2
≥ 0.
) Решим задачу графическим способом.
Прямая 3х1 + 4х2
= 120 проходит через точки (0; 30) и (40; 0).
Прямая х1 + 6х2
= 200 проходит через точки (200; 0) и (20; 30).
Прямая6х1 + 4х2
= 190 проходит через точки (5; 40) и (15; 25).
Прямая7х1 + 6х2
= 260 проходит через точки (0; ) и (; 0).
Прямая х1 = 20 проходит
через точку (20; 0) параллельно оси ОY.
Для определения направления движения
к оптимуму построим вектор-градиент v, координаты которого являются частными производными целевой
функции, т.е.v= (10; 12)
Чтобы построить такой вектор, нужно
соединить точку (10; 12) с началом координат. При максимизации целевой функции
необходимо двигаться в направлении вектора-градиента
Движение линии уровня будем
осуществлять до ее выхода из области допустимых решений. В точке А достигается
максимум целевой функции.
Найдем координаты точки А:
х1 + 4х2 = 190
х1 + 4х2 =120
тогда х1 = , х2 = .
Таким образом, max f(х) = и достигается прих1 = , х2 = .
) Решим задачу в MSExcel
Запишем условие задачи в MS Excel:
Заполним диалоговое окно Поиск
решения (учитывая, что х1 и х2 - целые):
Получим результат:
Ответ: максимальная прибыль составит
376 руб. при производстве 22 изделий вида А и 13 изделий вида В.
2. Составить
экономико-математическую модель задачи
Управляющему банка для выделения
кредита были представлены 5 проектов. Доступная наличность банка, потребности
проектов в каждом квартале и прибыль по ним приведены в таблице (тыс. руб.).
Проект
|
Квартал
|
Прибыль
|
|
I
|
II
|
III
|
IV
|
100
|
90
|
60
|
90
|
350
|
П2
|
120
|
80
|
90
|
60
|
320
|
П3
|
80
|
70
|
90
|
120
|
300
|
П4
|
90
|
100
|
50
|
80
|
280
|
П5
|
130
|
90
|
40
|
70
|
310
|
Ресурс банка
|
420
|
430
|
300
|
400
|
|
Какие проекты следует финансировать
и какое количество наличности необходимо в течение каждого квартала, чтобы
максимизировать прибыль?
прибыль excel цена спрос
Решение
Пусть хi - финансирование проект
Пi. Переменная хi может принимать только два значения: 1 - проект финансируется и 0
- проект не финансируется.
Тогда прибыль от финансирования
проектов составит
f (x) = 350x1+320х2+300х3+280х4+310х5→
max
- целевая функция
Функциональные ограничения по
ресурсам банка
x1+120х2+80х3+90х4+130х5
≤ 420
x1+80х2+70х3+100х4+90х5
≤ 430
x1+90х2+90х3+50х4+40х5
≤ 300
x1+60х2+120х3+80х4+70х5
≤ 310
хi≥ 0.
хi≤ 1
хi - целое
3. Для заданной функции
спроса g и предложения s определить равновесную цену p спроса-предложения на
товар
Функция спроса . Функция предложения .
Решение
Равновесная цена находится из
условия g=s,
тогда ,
D
= 121+8∙14=121+112=233
таким образом,
4. Определить нижнюю и
верхнюю цену матричной игры, заданной платежной матрицей
прибыль excel цена спрос
Решение
|
|
|
|
min
|
|
11
|
2
|
3
|
2
|
|
4
|
9
|
12
|
|
7
|
4
|
2
|
2
|
max
|
11
|
9
|
12
|
|
-
нижняя цена игры
-
верхняя цена игры
5. Для сетевого
ориентированного графа расставить нумерацию, составить матрицы смежности и
инцидентности, найти кратчайший и критический пути
Решение
Матрица смежности ориентированного
графа D − квадратная матрица A(D)=[aij] порядка n, где
Составим матрицу смежности для
заданного графа:
Матрица инцидентности −
матрица B(D)=[bij]
порядка n´m, где
Составим матрицу инцидентности для
заданного графа:
Определим полный путь:
→ 2 → 3→
7, его вес 4 + 3 + 6 = 13
→ 2 → 5 →
7, его вес 4+ 5 + 7 = 16
→ 2 → 3→
5→ 7, его вес 4 + 3 + 2 + 7 = 16
→ 4 → 3→
7, его вес 6 + 2 + 6 = 14
Определим кратчайший
путь - путь с наименьшим весом: 1 → 2 → 3 → 7, и критический
путь - путь с наибольшим весом: 1 → 4 → 3 → 5 → 7.