Применение теория вероятности при анализе сотовой связи
Федеральное
агентство по образованию
ГОУ ВПО
ВСЕРОССИЙСКИЙ
ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Факультет
непрерывного обучения
Специальность
«Финансы и кредит»
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА №4
по дисциплине
теория вероятности и математическая статистика
Вариант 7
Студентки Бекмеметьева Е.А.
Личное дело № 09ФФ941717
Преподаватель Коропец А.А
Орел 2010
Задание 1
Данные о продолжительности телефонных разговоров, отобранные по схеме
собственно-случайной бесповторной выборки, приведены в таблице:
Время, мин
|
1,5--2,5
|
2,5--3,5
|
3,5--4,5
|
4,5--5,5
|
5,5--6,5
|
6,5--7,5
|
7,5--8,5
|
8,5--9,5
|
9,5- 10,5
|
Итого
|
Число разговоров
|
3
|
4
|
9
|
14
|
37
|
12
|
8
|
8
|
5
|
100
|
Найти:
а) границы в которых с вероятностью 0,9973 заключена средняя
продолжительность телефонных разговоров всех абонентов (число которых очень
велико);
б) число телефонных разговоров, при котором с вероятностью 0,97 можно
было утверждать, что доля всех разговоров продолжительностью не более 6,5 минут
отличается от доли таких разговоров в выборке не более, чем на 0,1 (по
абсолютной величине);
в) вероятность того, что отклонение той же доли в выборке от генеральной
доли (см. п. б)) не превзойдет 0,05 (по абсолютной величине).
Решение
а) Найдем выборочную среднюю и выборочную дисперсию используя формулы:
К-
длина интервала (1) С- середина среднего интервала (6)
Результат
оформим в таблице.
№
|
интервал
|
средний интервал
|
m
|
U1
|
U1m
|
U1^2
|
U1^2m
|
1
|
1,5-2,5
|
2
|
3
|
-4
|
-12
|
16
|
48
|
2
|
2,5-3,5
|
3
|
4
|
-3
|
-12
|
9
|
36
|
3
|
4
|
9
|
-2
|
-18
|
4
|
36
|
4
|
4,5-5,5
|
5
|
14
|
-1
|
-14
|
1
|
14
|
5
|
5,5-6,5
|
6
|
37
|
0
|
0
|
0
|
0
|
6
|
6,5-7,5
|
7
|
12
|
1
|
12
|
1
|
12
|
7
|
7,5-8,5
|
8
|
8
|
2
|
16
|
4
|
32
|
8
|
8,5-9,5
|
9
|
8
|
3
|
24
|
9
|
72
|
9
|
9,5-10,5
|
10
|
5
|
4
|
20
|
16
|
80
|
Итого
|
-
|
-
|
100
|
-
|
16
|
-
|
330
|
-
выборачная средняя
по
таблице критических точек Лапласа t=3
предельная
ошибка выборки
границы:
; 6.16-0.542Х06.16+0.542; 5,618 Х06.702
Таким образом с надежностью 0,9973 средняя продолжительность телефонных
разговоров всех абонентов заключена в границах от 5,618 до 6,702
б) В качестве неизвестного значения генеральной доли р возьмем ее
состоятельную оценку w,
которая определяется по формуле:
m - число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;
n - общее число единиц в совокупности.
Учитывая, что у=Ф(t) =
0,97 и t=2,17, найдем объем бесповторной
выборки по формуле:
-
известна из пункта а).
При
Р = 0,9545 коэффициент доверия t = 2 (по
таблице значений функции Лапласа Ф(t)).
разговоров
Вывод.
Для того, чтобы обеспечить долю всех разговоров продолжительностью не более
6,5 минут необходимо отобрать в выборочную совокупность 104 разговоров.
в) Средняя квадратичная ошибка (из предыдущих расчетов) рассчитаем по
формуле:
Теперь
искомую доверительную вероятность находим по формуле:
= Ф=Ф(1,06)=0,7109
Т.е.
искомую вероятность того, что отклонение той же доли в выборке от генеральной
доли не превзойдет 0,05 (по абсолютной величине), равна 0,7109
Задание 2
По
данным задачи 1, используя -критерий
Пирсона, уровне значимости α = 0,05
проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - продолжительность
телефонных разговоров - распределена по нормальному закону. дисперсия гистограмма корреляция регрессия
Построить
на одном чертеже гистограмму и соответствующую нормальную кривую.
Решение
Для решения используем следующие формулы:
; ;
Результаты
расчетов представим в таблице
Xi-xi+1
|
hi
|
Wi=hi/n
|
Zi
|
Zi+1
|
Pih,i=n*Pi
|
|
|
|
|
1,5-2,5
|
3
|
0.03
|
--2.01-1-0.95560.0222.220.0067
|
|
|
|
|
|
|
2,5-3,5
|
4
|
0.04
|
-2.01
|
-1.46
|
-0.9556
|
-0.8557
|
0.05
|
5
|
|
3,5-4,5
|
9
|
0.09
|
-1.46
|
-0.91
|
-0.8557
|
-0.6372
|
0.109
|
10.9
|
0.339
|
4,5-5,5
|
14
|
0.14
|
-0.91
|
-0.36
|
-0.6372
|
-0.2812
|
0.178
|
17.8
|
0.812
|
5,5-6,5
|
37
|
0.37
|
-0.36
|
0.19
|
-0.2812
|
0.1507
|
0.216
|
21.6
|
10.9796
|
12
|
0.12
|
0.19
|
0.74
|
0.1507
|
0.5407
|
0.195
|
19.5
|
2.8846
|
7,5-8,5
|
8
|
0.08
|
0.74
|
1.29
|
0.5407
|
0.8029
|
0.131
|
13.1
|
1.99
|
8,5-9,5
|
8
|
0.08
|
1.29
|
1.84
|
0.8029
|
0.9342
|
0.066
|
6.6
|
0.3191
|
9,5-10,5
|
5
|
0.05
|
1.84
|
-0.934210.0333.3
|
|
|
|
|
|
Сумма
|
100
|
1
|
|
|
|
|
|
|
17.33
|
Найдем число степеней свободы
К=r-l-1 , где r -
число интервалов с учетом объединенных крайних.
К
= 7-2-1=4 Х2кр(0,05;4) = 9,49
Так
как , то гипотеза о нормальности данного распределения
отвергается. Таким образом, случайная величина - Х - стоимость компьютера не
может быть распределена по нормальному закону.
Гистограмма
продолжительности телефонных разговоров и нормальная кривая Гаусса.
Задание 3
Распределение 100 новых видов тарифов на сотовую связь всех известных
мобильных систем X (ден. ед.) и
выручка от них Y
(ден. ед.)
приводится в таблице:
y x
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
35
|
Итого
|
20
|
4
|
2
|
|
|
|
|
6
|
30
|
|
5
|
3
|
|
|
|
8
|
40
|
|
|
5
|
45
|
5
|
|
55
|
50
|
|
|
2
|
8
|
|
17
|
60
|
|
|
0
|
4
|
7
|
3
|
14
|
Итого
|
4
|
7
|
10
|
57
|
19
|
3
|
100
|
Необходимо:
1)
Вычислить групповые средние и
построить эмпирические линии регрессии;
2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на
одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую
интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и
сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить
среднюю выручку от мобильных систем с 20 новыми видами тарифов.
Решение:
а) Находим групповые средние
Для каждого значения хi,
т.е. для каждой строки корреляциооной таблицы вычислим групповые средние
, где
nij-частоты
пар (xi,yj) и ni=
m-число
интервалов по переменной Y.
, где
Групповые
средние:
1=(4*10+2*15)/6
= 11.67 2=(5*15 + 3*20)/8 = 16.88
3=(5*20+45*25+5*30)/55
= 25 4=(2*20+8*25+7*30)/17= 26.47
5=(0*20+4*25+7*30+3*35)/14=
29.64
Вычисленные
групповые средние поместим в последнем столбце корреляционной таблицы и
изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии Y по X.
1=(4*20)/4= 20 2=(2*20+5*30)/7=
27.14
3=(3*30+5*40+2*50+0*60)/10= 36 4=(45*40+8*50+4*60)/57=
42.81
5=(5*40+7*50+7*60)/19=51.05 6=(3*60)/3=60
х/у
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
35
|
Итого
|
среднее у
|
20
|
4
|
2
|
|
|
|
|
6
|
11,66667
|
30
|
|
5
|
3
|
|
|
|
8
|
16,875
|
40
|
|
|
5
|
45
|
5
|
|
55
|
25
|
50
|
|
|
2
|
8
|
7
|
|
17
|
26,47059
|
60
|
|
|
0
|
4
|
7
|
3
|
14
|
Итого
|
4
|
7
|
10
|
57
|
19
|
3
|
100
|
|
среднее х
|
20
|
27,14286
|
39
|
42,80702
|
51,05263
|
60
|
|
|
Эмпирическую
линию регрессии ух строим по точкам , i = 1,2,…,6.
2030405060
|
|
|
|
|
|
11.6716.882526.4729.64
|
|
|
|
|
|
Эмпирическую
линию регрессии ху строим по точкам , j = 1,2,…,6.
2027,143942,8151,0560
|
|
|
|
|
|
|
101520253035
|
|
|
|
|
|
|
а) найдем уравнения регрессии Y по Х и Х по Y:
хi
|
ni
|
xi*ni
|
xi^2*ni
|
yj
|
nj
|
yj*nj
|
yj^2*nj
|
20
|
6
|
120
|
2400
|
10
|
4
|
40
|
400
|
30
|
8
|
240
|
7200
|
15
|
7
|
105
|
1575
|
40
|
55
|
2200
|
88000
|
20
|
10
|
200
|
4000
|
50
|
17
|
850
|
42500
|
25
|
57
|
1425
|
35625
|
60
|
14
|
840
|
50400
|
30
|
19
|
570
|
|
|
|
|
35
|
3
|
105
|
3675
|
|
100
|
4250
|
190500
|
|
100
|
2445
|
62375
|
20*6+30*8+40*55+50*17+60*14=4250
202*6+302*8+402*55+502*17+602*14=190500
10*4+15*7+20*10+25*57+30*19+35*3=2445
102*4+152*7+202*10+252*57+302*19+352*3=62375
4*10*20+2*15*20+5*15*30+3*20*30+5*20*40+2*20*50+45*25*40+8*25*50+4*25*60+5*30*40+7*30*50+7*30*60+3*35*60=
107850
Находим
выборочные характеристики и параметры уравнений регрессии:
76:100*10*5-(42,5-40)(24,45-25)=39,38
Уравнения
регрессии у на х:
Уравнения
регрессии у на х:
Полученные
уравнения характеризуют изменение выручки (Y) при изменении
тарифов на сотовую связь всех известных мобильных систем (Х) и наоборот.
Находим
коэффициент корреляции
, берем
радикал с положительным знаком, так как коэффициенты положительны. Связь между
рассматриваемыми переменными прямая, существует корреляционная зависимость.
Оценим
значимость коэффициента корреляции:
Сравниваем
tтаб и t0,95;98
=> 12,3>1,98, коэффициент корреляции между видами тарифов на сотовую
связь х и выручкой от них У значимо отличимы от нуля. Из уравнения регрессии У
по Х следует, что при увеличении стоимости тарифов на сотовую связь Х на 1
ден.ед. выручка от них увеличится в среднем на 0,4 ден.ед.. Уравнение регрессии
Х по У показывает, что для увеличения выручки Y на одну
ден.ед. необходимо в среднем увеличить виды тарифов Х на 1,52 ден.ед.
(свободные члены в уравнениях регрессии не имеют реального смысла)
в) ,при х = 20 ден. ед.
При
20 видов тарифов на сотовую связь мобильных систем в среднем выручка составит
15,45 ден.ед.