№ п\п
|
Тема факультативных занятий
|
Кол-во часов
|
1
|
Применение множеств значений функций в уравнениях с параметрами
|
1
|
2
|
Задачи с параметрами на свойства функции
|
2
|
3
|
Инверсия, применение графиков в решении задач с параметрами
|
2
|
4
|
Производная в задачах с параметрами
|
2
|
5
|
Применение производной при решении уравнении третьей и четвертой
степени с параметрами
|
1
|
6
|
Интеграл и задачи с параметрами
|
1
|
7
|
Контрольная работа
|
1
|
|
ИТОГО:
|
10
|
Занятие
1
(1 час)
Тема:
Применение множеств значений в уравнениях с параметрами
Цели: -
изучить основные понятия уравнении с параметрами и алгоритм
решения данных уравнении с применением множеств значении;
добиться осознанной
работы над этими уравнениями, осознанного применения алгоритма решения данных
уравнений;
воспитать волю и
настойчивость для достижения конечных результатов;
Ход
урока
I. Организационный момент
- Здравствуйте,
ребята! Сегодня на занятии мы изучим основные понятия уравнении с параметрами и
алгоритм решения данных уравнении с применением множеств значении.
II. Изучение нового материала
Запишем
основные понятия уравнений с параметрами и рассмотрим соответствующие задачи
Определение:
В уравнении F (x; y)=0 с двумя переменными х и у фиксированному значению соответствует
частное уравнение с
переменной у. Если -
все решения частного уравнения , то -
все решения уравнения F
(x; y)=0 с первой
координатой, равной .
Изменяя значения и
решая соответствующие частные уравнения , получим другие решения
исходного уравнения F (x; y)=0.
Пример 1.В уравнении частные
уравнения не определены для (краткая запись:),
и -
область допустимых значений параметра).
В общем случае область
допустимых значений параметра уравнении F
(а; х)=0 есть множество всех значений параметра, для которых частные уравнения
определены.
Аналогично, в уравнении частные
уравнения не определены для значений параметров, принадлежащих множествам и
.
(рис. 1)
Область допустимых
значений параметров - .
Рис. 1
В уравнении с
параметром возможны ограничения, как на множество значений параметра, так и на
множество значений переменной.
Пример. В уравнении ,
где для допустимого значения параметра область определения
частного уравнения имеет вид . В связи с этим имеет
смысл говорить об области определения уравнения F
(а; х)=0 как о множестве всех упорядоченных пар ,
где принадлежит
области допустимых значений параметра, а х принадлежит области определения
соответствующего частного уравнения . В данном случае
область определения имеет вид , а в упомянутом ранее
иррациональном уравнении область определения - .
Определение: Уравнение
F (а; х)=0 есть бесконечная совокупность
частных уравнений для
допустимых значений параметра .
Его решения
осуществляется в два этапа:
1) разбиение
совокупности всех частных уравнений на непересекающиеся типы;
2) поиск общих
решений частных уравнений каждого типа.
В процессе
разбиения частных уравнений выделяются:
- совокупность особых
частных уравнений типа 0 - все ложные числовые
равенства;
совокупность особых
частных уравнений типа - все истинные числовые
равенства;
тип неособых частных
уравнений, не имеющих решений;
типы (один или
несколько) частных уравнений с одинаковыми общими решениями.
Определение. В
уравнении F
(а; х)=0 с параметром а и переменной х функция называется
общим решением на множестве значений параметра,
если для любого
значение является
решением частного уравнения.
В определении важен не
только вид функции ,
но и множество соответствующих
значений параметра. Для уравнения F
(a; b; x) с двумя параметрами в качестве общих решений выступают функции x=f (a; b) на множестве /
Теперь на базе
выделенных понятий определим общую схему решения всякого уравнения F (а; х)=0 с параметром а (для случая двух
параметров схема аналогична).
Общая схема решения
уравнения F
(а; х)=0
- устанавливается
область допустимых значений параметра и область определения;
определяются контрольные
значения параметра, разбивающая область допустимых значений параметра на
области однотипности частных уравнений;
для контрольных значений
параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;
находятся общие решения
уравнения F
(а; х)=0 на соответствующих множествах значений параметра;
составляются модель
общих решений, контрольных значений параметра в следующем виде;
на модели выделяются
промежутки значений параметра с одинаковыми общими решениями (области
однотипности);
- для контрольных
значений параметра и выделенных областей однотипности записываются
характеристики всех типов частных уравнений.
III.
Решение задач
Задача 1.
В линейном уравнении значению
а=0 и а=2 соответствуют особые частные уравнения типа 0, для а=-2
частное уравнение является
особым типа .
Значениям параметра из множества соответствует тип
неособых частных уравнений с общим решением .
В результате получаем
ответ, который запишем компактно следующим образом:
.
Задача 2.
В линейном уравнении (a-2b) (ab-1)
x=(a-2b) (2a+3b) всем точкам прямой a=2b соответствуют частные уравнения типа ,
точкам гиперболыab=1,
отличным от точек прямой a=2b, соответствует тип 0 особых частных уравнений с
отличной от нуля правой частью. (рис. 2)
Рис. 2
Для остальных точек
плоскости Oab соответствующие частные уравнения имеют единственное решение,
вычисляемое по формуле .
Итак:
Задача 3.
В квадратном уравнении ни
одно из частных уравнений не является особым типа 0 и .
Дискриминант обращается
в нуль для значений а=-1 и а=4, причем для и
для
.
Тогда совокупность всех частных уравнений разбивается на три типа:
тип J неособых частных уравнений, не имеющих решений в множестве всех
действительных чисел и соответствующих значениям параметра из ;
тип K неособых частных уравнений, имеющих двукратные корни вида и
соответствующих множеству ;
тип L неособых частных уравнений, имеющих различные общие решения и
на
множестве
Ответ: .
Задача 4.
В рациональном уравнении функция
является
общим решением для тех значений параметра, для которых .
Поскольку
то -
общее решение на .
Функция есть
общее решение уравнения на множестве .
На модели выделяем все
типы частных уравнений:
.
На данных задачах
рассмотрены основные понятия уравнений с параметрами: область допустимых
значений, область определения, общие решения, контрольные значения параметров,
типы частных уравнений. Способы их нахождения будут устанавливаться в каждом
виде уравнений отдельно.
III.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Решить уравнение с
параметром а и переменной х. Найти множество решений с переменными а и х:
а) ;
б) ;
в);
. Решить уравнение с
параметрами а и b и переменной х. Найти
множество решений с тремя переменными:
а) ;
б) ;
в) .
Занятие 2
Тема: Множество значений
функций в задачах с параметрами.
Цели: - изучить способы решения задач с параметрами с применением
аппарата математического анализа: монотонность функции, наибольшее и наименьшее
значение функции;
развитие умения решать задачи с
параметрами с осознанным применением понятий монотонность функции, наибольшее и
наименьшее значение функции;
воспитать интерес к математике;
Ход урока
I. Организационный момент
- Здравствуйте, ребята! Сегодня мы
изучим способы решения задач с параметрами с применением аппарата
математического анализа: монотонность функции, наибольшее и наименьшее значение
функции.
II. Подготовка к изучению материала.
1. Дайте определения понятию функция.
Ответ: Пусть даны два
непустых множества X и У. Соответствие , которое каждому
элементу сопоставляет
один и только один элемент , называется
функцией и записывается , или
.
2. Какая функция
называется числовой?
Ответ: Пусть задана
функция .
Если элементами множеств и являются
действительные числа (т.е.
и ),
то функцию называют
числовой функцией. Переменная называется
при этом аргументом или независимой переменной, а -
функцией или зависимой переменной (от ).
3. Что называется графиком функции y=f(x)?
Ответ: Графиком функции называется
множество всех точек плоскости , для каждой из которых является
значением аргумента, а -
соответствующим значением функции.
4. Какими способами можно задать
функцию?
Ответ: Наиболее
часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный,
графический.
Аналитический
способ: функция задается в виде одной или
нескольких формул или уравнений. Например:
1) ; 2)
3)
.
Графический способ:
задается график функции Табличный способ: функция задается
таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например,
известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.
III. Изучение нового материала
- Ребята! Какая
функция называется сложной?
Ответ: Пусть
заданы функции и
,
причем множество значений функции принадлежит области
определения функции :
.
Тогда можно определить сложную функцию
,
называемую также
композицией функций и
.
Рассмотрим задачи с
параметрами сложной функции.
Решение задач с
параметрами
Задача 1. Найдите все значения а, при которых имеет решение
уравнение
Решение.
После замены приходим
к уравнению
Функция возрастает,
значит, она достигает своего наибольшего значения при наибольшем значении .
Но имеет
наибольшее значение, равное 1. Тогда . Таким образом,
множеством значений функции является промежуток (0;
2), а функции -
промежуток (-1; 1/2). Следовательно, исходное уравнение имеет решение для тех и
только для тех значений а, которые удовлетворяют неравенствам;
.
Задача 2.
Решение. Пусть .
В таком случае х=у2+а и данное уравнение приводится к виду
График функции z=
и z=
в прямоугольной системе координат уOz
даны на рисунке
Они имеют единственную
общую току ,
следовательно, у=0 - единственное решение уравнения. Отсюда х=а при любых
действительных значениях а.
Мы с вами рассмотрели
задачи с параметрами сложной функции. Теперь рассмотрим задачи с параметрами на
монотонность функции. Повторим основные понятия:
Какая функция называется
возрастающей (убывающей)?
Ответ: Пусть функция у
= f(x)
определена на множестве D и пусть .
Если для любых значений аргументов из
неравенства вытекает
неравенство: ,
то функция называется возрастающей на множестве если
,
то функция называется неубывающей на
множестве если
,
то функция называется убывающей на множестве, если
,
то функция называется невозрастающей на
множестве .
- Какие функции
называются монотонными?
Ответ: Возрастающие,
невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются
монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие
- строго монотонными. Интервалы, в которых функция
монотонна, называются интервалами монотонности.
- Повторили основные понятия, теперь решим соответствующие задачи.
Решение задач с
параметрами
Задача 3.
Найдите все значения параметра , при которых
неравенство
выполняется при всех .
Решение.
Замена приводит
неравенство к виду
.
Функция возрастает
на всей оси, так как
и
для всех .
Следовательно, можно перейти к равносильному неравенству
, ,
так как ,
то
при устанавливаем,
что
,
но .
Значит, исходное
неравенство выполняется при:
Задача 4. При каких значениях параметров b функция
f(x)=bx2-20x3+5 (b+9) x-7
монотонна при всех
Условию задачи
удовлетворяют те значения b, при которых уравнение
bz2
- 12 z +b + 9 =0
не имеет решений или
имеет два отрицательных корня.
Первое условие
выполняется при 36 - b (b+9)<0,
т.е.
b2+9b-36>0.
Представив неравенство b2+9b-36>0 в виде (b+12) (b-3)>0, получим b<-12 или b>3.
Второе условие
выполняется при
В итоге мы получим:
Повторили основные
понятия сложной функции, монотонность функции, решили соответствующие задачи с
параметрами. Повторим понятия наибольшего и наименьшего значения функции и
решим задачи с параметрами.
Какая точка называется
точкой минимума (максимума)?
Ответ: Точка x0 называется точкой минимума функции f, если ее значение в
точке x0, меньше всех других ее значений, принимаемых в некоторой
окрестности этой точки.
.
Значение функции в
точке х0 называют минимумом и обозначают
.
Точка х0 называется
точкой максимума функции , если ее значение в
точке х0 больше всех других ее значений, принимаемых в некоторой
окрестности этой точки.
.
Значение функции в
точке называют
максимумом и обозначают
Какие точки называются
точками экстремума?
Ответ: Точки минимума и
максимума называются точками экстремума (от латинского extremum - крайнее), а значения функции в этих точках - экстремумами.
Какие значения могут
принимать функции?
Ответ: Наибольшие и
наименьшие значения
Дайте определения
наибольшего и наименьшего значения.
Ответ: Самое большое
среди всех значений, которое функция принимает на заданном
промежутке I, называется наибольшим значением функции на
промежутке и обозначается
.
Самое маленькое среди
всех значений, которое функция принимает на заданном
промежутке I, называется наименьшим значением функции на
промежутке I и обозначается
.
Решение
задач с параметрами
Задача
5. Решить уравнение
.
Решение.
Воспользовавшись очевидными неравенствами
,
заключаем, что обе части
уравнения должны равняться 1, что приводит к системе
и, следовательно, ,
если и
,
если .
Задача 6.
Найти все значения а, при каждом из которых имеется хотя бы одна пара чисел (х,
у), удовлетворяющая условиям:
Система имеет хотя бы
одно решение, если имеет хотя бы одно решение неравенство х2+(ах2-2)2<1,
а это возможно, если наименьшее значение функции f(t)=t+(at-2)2, где t>0,
меньше 1.
При а=0 f(t)=t+4 и наименьшее значение
f(t) равно 4 (при t=0).
Пусть Графиком
f(t) служит парабола, ветви которой направлены вверх, -абсцисса
вершины. Если т.е.
то
при f(t) монотонно возрастает и поэтому . Таким образом,
наименьшее значение f(t) может быть меньше 1 только при , т.е. если а>0,25.
При этом
Искомое значение а
должно удовлетворять системе
решением которой служит
IV.
Упражнения для самостоятельной работы
1. Найдите все
значения а, при которых имеет ровно три корня уравнение
.
. Найдите все значения а,
при которых имеет решение неравенство
.
3. Найти те вещественные
значения а, при которых неравенство + верно при всех
значениях х, удовлетворяющих условию .
. При каких значениях а
функция является
возрастающей.
. При каком значении
параметра а наибольшее на промежутке значение функции является
наименьшим?
. При каких значениях
параметра а функция убывает
при всех значениях х?
Занятие
3
(2 часа)
Тема:
Инверсия, применение графиков в решении задач с параметрами
Цели: - изучить понятия инвертная точка, инверсия, свойства инверсии;
воспитать интерес к
математике и аккуратность при построении графиков;
Ход
урока
I. Организационный момент
- Здравствуйте, ребята! Сегодня мы
изучим способы решения задач с параметрами применением графиков.
II. Подготовка к изучению материала
Построите графики следующих
функций:
1);
4) ;
7) ;
) -1;
5) ;
8)
) ;
6) ;
2. Постройте графики
следующих функций:
) ;
3) ;
5)
2) ;
4)
III.
Изучение нового материала
- Запишем основные
определения.
Определение:
Точка B называется инвертной точке A
относительно прямой (оси) l,
если 1) эти точки лежат по одну сторону относительно l; 2) отрезок, их соединяющий, перпендикулярен оси l; 3) произведение расстояний от этих точек до l равно
1.
У точек оси инвертных
точек нет.
Определение:
Преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в инвертную ей
относительно данной прямой, называется инверсией. Для точек этой прямой
преобразование не определяется.
Замечание:
При инверсии относительно оси Ox
точка A с координатами (), переходит
в точку B с координатами (), где и
.
В самом деле, ,
так как отрезок AB перпендикулярен
оси Ox, и
должны
быть одного знака, так как A
и B лежат в одной полуплоскости относительно оси Ox, наконец, ,
так как произведение расстояний от A
и B до оси равно единице, т.е. .
. Свойства инверсий
.A (x; y) - неподвижная точка инверсии относительно оси Ox тогда и только тогда, когда , т.е. ;
B (x; y) - неподвижная точка инверсии относительно оси Oy тогда и только тогда, когда , т.е. x=;
.Чем дальше от оси
инверсии точка, тем ближе к ней инвертная ей.
Теорема. График
функций получается
из графика функции y=f(x) инверсией относительно оси Ox.
Доказательство:
Достаточно доказать, что условие , равносильно условию .
Пусть .
Можем записать:
(D(f) - область определения функции f).
Пример1.
Построить график функции
Строится ,
отмечаются точки с ординатой, равной 1, замечается, что искомый график имеет
асимптоты х=1 и у=0, так как график функции при абсциссах, «близких»
к х=1, все ближе подходит к оси инверсии, а при «больших» абсциссах уходит от
нее неограниченно далеко. Необходимо, от точки (0; 1) «вести вправо и вверх» к
прямой х=1 и «влево и вниз» к прямой у=0. (рис. 1)
Теорема. получается
из преобразованием
инверсии относительно оси Oy.
Доказательство.
Достаточно доказать, что условие , равносильно условию .
Пусть .
Можем записать:
Пример 2. Построить
План построения. Строим
график функции ,
отмечаем, что точки А (0; 1) и В (-1; 2) неподвижные (рис. 2). Строим образ
интервала АС (рис. 3). Каждая из точек этого интервала должна перейти в точку с
такой же ординатой и лежащую тем далее от оси Оу, чем ближе к ней исходная
точка. Так как расстояние от точек интервала АС до оси Оу при приближении их к
С становится столь угодно малым, искомый график имеет асимптоту у=1.
Аналогично, строим образы луча AD, интервала ВС, луча ВЕ
(рис. 4).
Список использованных
источников
математический
факультативный календарный задача
1. Журнал «Математика в
школе»
2. Письменный Д.
«Конспект лекций по высшей математике» М-2004
. Дорофеев Г.В.,
Потапов М.К., Розов Н.Х. «Пособие по математике». М.: Наука, 1970
. Чаплыгин В.Ф.,
Чаплыгина Н.Б. «Задачи с параметрами по алгебре и анализу». Ярославль, 1998.
. Ястребинецкий
Г. А «Задачи с параметрами» М. - 1986.
. Ястребинецкий
Г. А «Уравнения и неравенства, содержащие параметры» М., Просвещение, 1972
. Карп А.П.» Даю
уроки математики». М.: Просвещение, 1992
. Оганесян В.А.
«Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика» М.:
Просвещение, 1980
. Амелькин В.В.,
Рабцевич В.Л. «Задачи с параметрами» - Мн.:ООО» Асар», 2002