Основы математического анализа
Контрольная работа №2 (мат. анализ)
Задание 1(8). Найти частные производные:
а)
б)
Задание
2(16). Найти градиент функции в точке
Градиент
- вектор, указывающий направление наискорейшего возрастания функции и состоящий
из ее частных производных:
Найдем
частные производные:
Таким
образом, градиент функции в любой ее точке имеет вид:
,
а
в точке :
Задание
3 (24). Вычислить интеграл по
области
Построим
чертеж области
Координаты
точки :
Координаты
точки :
Координаты
точки
Решая
уравнение третьей степени, получим решение с радикалами или тригонометрическими
функциями, но судя по чертежу, обе функции проходят через точку . Действительно:
Т.е.
область словесно можно описать следующим образом: «В то время
как пробегает значения от до , пробегает
значения от до ». Это и
есть пределы интегрирования при переходе от двойного интеграла к
последовательному:
Задание
4(32). Найти общее решение дифференциального уравнения и построить графики двух различных частных решений
этого уравнения.
Решим
уравнение
Проверим
Таким
образом, общее решение уравнения:
Положив
, получим частное решение
Положив
, получим частное решение
Отобразим
графики этих функций
Задание
5(50). Найти общее дифференциального уравнения и
частное решение, удовлетворяющее условию .
Будем
искать решение в виде
Тогда
Потребуем,
чтобы функция была такова, что выражение в скобках будет равно
нулю. Тогда получим систему уравнений:
Решим
первое ее уравнение:
(в
выражении для функции константу не добавляем, а добавляем далее, в )
Решим
второе уравнение системы, подставив в него найденную :
Тогда
общее решение исходного уравнения :
Проверим:
Таким
образом, общее решение:
Найдем
значение константы , соответствующее условию :
Т.е.
частное решение, соответствующее заданному условию:
производная
функция интегрирование уравнение
Задание 6 (58). Найти общее и частное решение дифференциального уравнения
второго порядка, удовлетворяющее данным условиям:
Это
уравнение с правой частью специального вида. Его общее решение следует искать в
виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения:
Найдем
решение однородного уравнения:
Характеристические
корни этого уравнения:
Т.к.
корни действительные и не равны друг другу, то решение однородного уравнения:
Найдем
частное решение исходного уравнения. Для правой части вида его следует искать в таком же виде:
Чтобы
найти константы и ,
подставим это решение в исходное уравнение:
Следовательно,
Таким
образом, общее решение исходного уравнения:
Найдем
значения констант , соответствующие условиям . Для этого необходимо вычислить :
Тогда,
исходя из условий:
Итак,
частное решение, соответствующее заданным условиям:
Ответ:
(общее)
(при
заданных условиях)
Задание
7 (66). Исследовать на сходимость ряд
Прежде
всего, проверим необходимый признак сходимости:
-
необходимое условие выполняется
Далее
применим признак Даламбера:
Т.к.
, то согласно признаку Даламбера, ряд сходится.
Задание
8(74). Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда и исследовать его
сходимость на концах интервала:
) Радиус
сходимости найдем по признаку Даламбера - ряд сходится при
Таким
образом,
при
ряд сходится;
при
ряд расходится.
) При
получим ряд
Проверим
необходимый признак сходимости. При этом воспользуемся формулой Стирлинга,
позволяющей при предельном переходе при заменять
на
-
условие выполняется
Проверим
сходимость ряда с помощью интегрального признака (как и прежде предварительно
заменив член ряда на преобразованный по формуле Стирлинга ):
Разложим
дробь на простейшие
Следовательно
Т.е.
несобственный интеграл сходится к конечному числу.
А
значит и ряд тоже сходится.
)
При получим ряд
Члены
данного ряда, взятые по модулю, образуют ранее рассмотренный ряд , который сходится. Следовательно, и этот
знакочередующийся ряд тоже сходится.
Ответ:
ряд
сходится при .