Построение эконометрических моделей
МИНОБРНАУКИ
РОССИИ
Федеральное
государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего
профессионального образования
«Челябинский
государственный университет»
(ФГБОУ
ВПО «ЧелГУ»)
ФАКУЛЬТЕТ
ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
Вариант
№ 3
Челябинск
Задача 1
Имеются данные о сменной добыче угля
(тонн) на
одного рабочего и мощности пласта (в метрах).
Таблица 1.1. Исходные данные.
Номер
региона, Мощность
пласта, (метров). Сменная
выработка угля на одного рабочего, (тонн).
|
|
|
1
|
22,7
|
5,4
|
2
|
25,8
|
7,2
|
3
|
20,8
|
7,1
|
4
|
15,2
|
7,9
|
5
|
25,4
|
7,5
|
6
|
19,4
|
6,7
|
7
|
18,2
|
6,2
|
8
|
21,0
|
6,4
|
9
|
16,4
|
5,5
|
10
|
23,5
|
6,9
|
11
|
18,8
|
5,4
|
12
|
17,5
|
6,3
|
ЗАДАНИЕ
Исследовать зависимость сменной добычи угля на
одного рабочего от мощности пласта путем построения уравнения парной линейной
регрессии
.
Для исходных данных, приведенных в
задаче, требуется:
. Построить поле корреляции и
сформулировать гипотезу о форме связи.
. Найти оценки параметров
модели парной линейной регрессии . Записать полученное уравнение
регрессии.
. Проверить значимость оценок
коэффициентов с
надежностью 0,95 с помощью статистики Стьюдента и сделать
выводы о значимости этих оценок.
. Определить интервальные оценки
коэффициентов с надежностью
0,95.
. Проверить при уровне значимости
0,05 значимость уравнения регрессии с помощью статистики Фишера и сделать выводы о
значимости уравнения регрессии.
. Определить коэффициент
детерминации и
коэффициент корреляции . Сделать
выводы о качестве уравнения регрессии.
. Рассчитать среднюю ошибку
аппроксимации и сделайте выводы о качестве уравнения регрессии.
. Рассчитать прогнозное значение
результата , если
значение фактора X будет больше на 15% его среднего уровня .
. Дать экономическую интерпретацию
коэффициентов парной регрессии.
РЕШЕНИЕ
. Построим поле корреляции и
сформулируем гипотезу о форме связи.
Анализируя поле корреляции, можно
предположить, что примерные Х и У связаны линейной зависимостью t = +x, т.к.
точки располагаются близко к прямой , причем с возрастанием Х значения У то
увеличиваются, то уменьшаются.
. Найдём оценки параметров
модели парной линейной регрессии . Запишем полученное уравнение
регрессии.
Составим расчётную таблицу.
Параметры линейного уравнения парной
регрессии найдём по формулам
, .
Составим расчётную таблицу 1.2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
1
|
22,7
|
5,4
|
122,58
|
515,29
|
29,16
|
6,671
|
-1,271
|
1,615
|
0,2354
|
2
|
25,8
|
7,2
|
185,76
|
665,64
|
51,84
|
6,822
|
0,378
|
0,143
|
0,0525
|
3
|
20,8
|
7,1
|
147,68
|
432,64
|
50,41
|
6,565
|
0,535
|
0,286
|
0,0754
|
4
|
15,2
|
7,9
|
120,08
|
231,04
|
62,41
|
6,251
|
1,649
|
2,719
|
0,2087
|
5
|
25,4
|
7,5
|
190,5
|
645,16
|
56,25
|
6,822
|
0,678
|
0,460
|
1,0904
|
6
|
19,4
|
6,7
|
129,98
|
376,36
|
44,83
|
6,486
|
0,214
|
0,046
|
7
|
18,2
|
6,2
|
112,84
|
331,24
|
38,44
|
6,419
|
-0,219
|
0,048
|
0,0353
|
8
|
21,0
|
6,4
|
134,40
|
441,00
|
40,96
|
6,576
|
-0,176
|
0,031
|
0,0275
|
9
|
16,4
|
5,5
|
90,20
|
268,96
|
30,25
|
6,318
|
-0,818
|
0,669
|
0,1487
|
10
|
23,5
|
6,9
|
162,15
|
552,25
|
47,61
|
6,716
|
0,140
|
0,020
|
0,0203
|
11
|
18,8
|
5,4
|
101,52
|
353,44
|
29,16
|
6,453
|
-1,053
|
1,109
|
0,1950
|
12
|
17,5
|
6,3
|
110,25
|
306,25
|
39,69
|
6,380
|
-0,080
|
0,006
|
0,0127
|
Сумма
|
244,7
|
78,5
|
1607,94
|
5119,2
|
521,01
|
|
|
7,152
|
1,1338
|
Среднее
|
6,54
|
134,00
|
426,61
|
43,42
|
|
|
|
|
= ;=; = ; =;
= 134,00-20,4*6,54 / 426,61-20,4² =
0,056
Тогда линейное уравнение регрессии
запишется так:
Для вычисления значений t нужно в
уравнении (*) представлять соответствующие значения xt , данные в условии и
полученные результаты внести в графу (t ) расчетной таблицы.
. Проверить значимость оценок коэффициентов
с
надежностью 0,95 с помощью статистики Стьюдента и сделать
выводы о значимости этих оценок.
Для оценки статистической значимости
параметров регрессии и коэффициента корреляции воспользуемся статистикой
Стьюдента.
Для этого предварительно рассчитаем
стандартную ошибку регрессии S и - стандартную ошибку параметра , используя
формулы
и , причём
При n =12, используя результаты
таблицы 2, получим :
,
тогда
Число степеней свободы равно числу
наблюдений без двух, т.е. n = 12 - 2 = 10
Для этого числа степеней свободы и
уровня доверия q = 0,95 из таблицы Стьюдента найдем критическое значение t =
2,228
Расчетное значение t-статистики
параметра есть
Значение <, отсюда
следует , что параметр не является
значимым , значит , и уравнение регрессии (*) не является значимым
. Определить интервальные оценки
коэффициентов с
надежностью 0,95.
Т.К. доверительный интервал
неизвестного нам коэффициента рассчитывается по формуле : -T кр * S<< + Т кр ,Sβ
Где на уровне доверия q = 0.95 T кр
= 2,228
= 0,056; Sβ = 0,0755
0,056- 2,228* 0,0755< β <
0.056+2,228*0,0755
,056 - 0,1682< β < 0,056 +0,1682
-0,11 < β < 0,2242 - доверительный
интервал параметра β
(для
q=0,95)
Аналогично находят доверительный
интервал для параметра λ
= 1,5602
Доверительный интервал λ находится
так
- T кр *Sλ <
λ <
+ Ткр *Sλ
,40 - 2,228 * 1,5602 <λ <
5,40+2,228*1,5602
5,40 - 3,476 < λ < 5,40+3,476
,924 < λ < 8,876 - доверительный
интервал для q= 0,95
. Проверим при уровне значимости
0,05 значимость уравнения регрессии с помощью статистики Фишера и сделаем выводы о
значимости уравнения регрессии.
Расчётное значение статистики Фишера
определим по формуле
,
где - коэффициент парной линейной
корреляции(его можно находить по разным формулам и результаты при этом могут не
совпадать)
Используя формулу
,
где и - стандартные отклонения
представляющие собой корень квадратный из выбранных дисперсий переменных. х и у
соответственно.
;
В нашем случае
расч = 0,0505* (12-2) / 1-0,0505 =
0,532
При значимости 0,05 и степенях
свободы K1 = m=1
И K2 = n-m-1=12-1-1 =10 в таблице
найдем F табл = 4,96
Т.к. F факт = 0,532 < F табл
=4,96 , то уравнение регрессии (*) на уровне значимости 0,05 не является
значимым
. Определим коэффициент детерминации
и
коэффициент корреляции . Сделаем
выводы о качестве уравнения регрессии.
= 0,0737 Это говорит о том, что на
7,37% дисперсия зависимой переменной у объясняется изменение переменной Х , а
92,63% изменения у
объясняется влиянием других
факторов, не учтенных в задаче. И, следовательно, значение = 0,0737
свидетельствует о том, что найденное уравнение регрессии не является значимым
На основе полученного коэффициента
детерминации можно
рассчитать коэффициент парной линейной корреляции ху = = 0,2715.
Это значение говорит о незначительной тесноте связи между переменными Х и У
Из этого следует, что связь между
мощностью пласта и выработкой угля на одного рабочего в целом прямая
Так, при изменении Х на 1 единицу
(1м) выработка угля на одного рабочего вырастет на 0,056 единицы( тонны)
. Рассчитаем среднюю ошибку
аппроксимации и сделаем выводы о качестве уравнения регрессии.
А = 1/12 * 1,1338=0,0945=9,45%
Очень близка к 10% .Это говорит о
качестве подгонки недостаточно хороший, т.к. в среднем расчетные значения
отличаются от фактической на 9,45%
. Рассчитать прогнозное значение
результата , если
значение фактора будет
больше на 15 % его среднего уровня .
Имеем = 20,4 ( 100% + 15% =115% = 1,15)
Х=1,15 * =
1,15*20,4=23,46
Этому значению согласно полученной
математической модели будет соответствовать = 5,40+0,056*23,46=5,40+1,314=6,714
Итак, (23,46) = 6,714
. Дадим экономическую интерпретацию
коэффициентов парной регрессии. По приведенным в условии данным получили
линейное уравнение регрессии Хt. Значение = 0,0735
говорит о том, что изменения переменной у зависит от изменения фактора х только
на 7,35
На уровне значимости 0,05
доверительные интервалы параметров
-0,1122 <β< 0,2242
ху = 0,2715 говорит о прямой
зависимости между х и у и незначительной тесноте связи между переменными Х и У
При изменении х на 1 единицу ,
значение У увеличивается на 0,056 единиц . Смысл параметра λ - это значение
при х=0
Библиографический список
Айвазян
С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для
вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.
Айвазян
С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях: Учебник
для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 270 с.
Афанасьев
В. Н., Юзбашев М. М., Гуляева Т. И. Эконометрика: Учебник / В. Н. Афанасьев, М.
М. Юзбашев, Т. И. Гуляева; под ред. В. Н. Афанасьева. - М.: Финансы и
статистика, 2005. - 256 с.
Доугерти
К. Введение в эконометрику: Учебник / Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 2004. - 432
с.
Магнус
Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. -
М.: Дело, 2004. - 576 с.
Практикум
по эконометрике: Учеб. пособие / И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Н. М.
Гордеенко и др.; Под ред. И. И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2007. -
192 с.
Эконометрика:
Учебник / И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Т. В. Костеева и др.; Под ред. И. И.
Елисеевой. - М.: Проспект, 2010. - 576 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
линейная регрессия корреляция
аппроксимация