Построение регрессионной модели по панельным данным с помощью Excel

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра экономической кибернетики и теории вероятностей

Курсовая работа

Построение регрессионной модели по панельным данным с помощью Excel

Исполнитель: студентка группы ЭК-41

Е.Е. Атаманчук

Научный руководитель: доцент кафедры ЭК и ТВ;

кандидат технических наук, доцент

Л.Н. Марченко

Гомель 2012

Содержание

Введение

1. Построение регрессионной модели по панельным данным

1.1 Панельные данные

1.2 Скрытые переменные и индивидуальные эффекты

1.3 Модель с фиксированными эффектами

1.4 Модель со случайными эффектами

2. Построение регрессионной модели по панельным данным с помощью Excel

2.1 Постановка задачи

2.2 Построение панельной модели

2.3 Проверка адекватности построенной модели

Заключение

Список использованных источников

Введение

На практике часто встречаются экономические данные, которые имеют два измерения. Одно измерение  соответствует принадлежности отдельным экономическим единицам, а другое  - принадлежности тому или иному моменту времени. В таких случаях одномерные данные за разные временные периоды составляют один большой набор данных. Можно выделить два частых случая такого объединения одномерных данных:

1)      независимое объединение (разные единицы, независимые выборки);

)        панельные данные (одни и те же единицы в динамике).

Целью курсовой работы являются моделирование и прогнозирование основных экономических показателей при использовании панельных данных. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1)      изучить теоретико-методологического подхода к построению множественных регрессионных моделей;

2)      провести анализ экономических показателей объём продаж работы пяти предприятий с течением времени.

Структура работы представлена двумя разделами, введением и заключением. В первой главе раскрываются теоретические основы построения регрессионной модели по панельным данным. Во второй главе проводится построение множественной модели по панельным данным. Построенные модели проверены на адекватность.

1. Построение регрессионной модели по панельным данным

1.1 Панельные данные

Панельные данные можно представить в виде таблицы «объект-признак». При этом придерживаются следующего соглашения. Признаки располагаются по столбцам, по строкам - данные о первом объекте за Т периодов (строки 1, 2, 3, ...,7), затем о втором объекте (строки Т+1, Т+ 2, ...,) и т. д.

Панель бывает сбалансированная и несбалансированная. Если данные присутствуют по всем объектам за все периоды времени, то панель называется сбалансированной (рисунок 1).

Рисунок 1 - Сбалансированная панель

Достаточно часто из-за технических, организационных или иных причин в некоторые периоды времени не удается собрать сведения для всех объектов, включенных в выборку первоначально (смерть, отъезд, болезнь и т. п.). Чтобы сохранить репрезентативность, отсутствующие объекты приходится заменять другими. В результате получим несбалансированную панель (рисунок 2).

При исследовании проблем занятости и безработицы в международной практике распространены так называемые ротационные панели. Объект (человек трудоспособного возраста) участвует в шести последовательных ежеквартальных опросах, а затем исключается из панели. Таким образом, 1/6 часть всей выборки обновляется (рисунок 3).

Рисунок 2 - Несбалансированная панель Рисунок 3 - Ротационная панель

Возможны и иные модификации панельных данных. Но наибольшее распространение получили сбалансированные и несбалансированные панели.

1.2 Скрытые переменные и индивидуальные эффекты

Пусть к = 1, 2, ... К - соответствует номеру пары, у = 1,2 - номеру близнеца. Тогда общее число наблюдений N = 2К.

Модель зависимости текущей заработной платы от образования имеет вид

где- заработная плата, - уровень образования (число лет обучения), - способности индивида.

Так как, по предположению, способности у близнецов совпадают, то для любого :

Хотя способности не поддаются непосредственному измерению, естественно допустить, что более талантливые люди получают лучшее образование:

Допустим, что в некоторых парах близнецы по каким-либо причинам получили разное образование. Тогда модель можно переписать в виде

Заметим, что способности индивида не поддаются прямому измерению, т. е. мы не располагаем сведениями о величинах . Так как уравнение включает ненаблюдаемую переменную, мы не можем оценить все коэффициенты модели.

Наиболее простой вариант состоит в том, чтобы вообще исключить переменную из рассмотрения:

Из полученного уравнения следует, что повышение уровня образования на один год приводит в среднем к повышению почасовой оплаты. Эта оценка будет смещена, скорее всего завышена, из-за того, что неучтенная переменная «способности»  сильно коррелированна с объясняющей переменной «образование» .

Использование панельных данных позволяет устранить это смещение. Введём  фиктивных переменных:

В этом случае:

Если включить в уравнение регрессии все  фиктивных переменных и свободный член , будет строгая мультиколлениарность. Поэтому один из параметров следует исключить из модели, например, свободный член . Перепишем уравнение регрессии без свободного члена:

Получим модель с  независимой переменной:

Обозначим . Тогда неизвестные величины - включаются в уравнение как часть параметров подлежащих оценке:

В результате модель не содержит неизменяемых переменных. Оценив коэффициенты модели методом наименьших квадратов, получим несмещенную оценку параметра

Коэффициент при каждой фиктивной переменной соответствует влиянию способностей каждой отдельной пары близнецов на их доход. А его произведение на фиктивную переменную - индивидуальный эффект, соответствующей паре:

Поэтому предыдущее уравнение эквивалентно введению в модель К индивидуальных эффектов:

Данный подход получил название модели с фиксированными эффектами (fixed effects model). Использование панельных данных позволило ввести в модель индивидуальные эффекты для того, чтобы избавиться от влияния ненаблюдаемой переменной (постоянной во времени) и получить несмещенную оценку интересующего нас параметра.

Введение фиктивных переменных вовсе не единственная возможность. Того же результата можно добиться и иным путем. Запишем исходную модель для каждой пары близнецов:

Найдем разность между ними:

Полученное уравнение содержит лишь одну объясняющую переменную (s) - уровень образования.

Для преобразованного уравнения можно получить несмещенную оценку интересующего нас параметра , методом наименьших квадратов. Этот прием оценивания обычно называют переходом к первым разностям (first differences).

В общем виде получили:

Найдём МНК-оценку:

Найдем МНК-оценку:

Следовательно, оценка не смещена. Таким образом, использование панельных данных позволяет элиминировать эффект ненаблюдаемых переменных и получить несмещенную оценку отдачи от образования.

Оценки коэффициента , метода первых разностей и фиксированных эффектов совпадают.

Обсудим число степеней свободы для каждой из оценок.

Для метода первых разностей число наблюдений . Соответственно число степеней свободы равно К минус число оцениваемых параметров:

Для модели фиксированных эффектов число наблюдений равно  Однако число параметров  Число степеней свободы:

Итак, число степеней свободы для методов первых разностей и фиксированных эффектов совпадает. То есть в рассматриваемом примере оценки, полученные путем перехода к разностям и фиксированных эффектов, полностью эквивалентны.

Когда панель строится по времени, часто удается обосновать, что некоторые скрытые параметры не изменяются от периода к периоду. Пусть, например, цель исследования состоит в оценке влияния налоговых скидок на инвестиции (ПС) на стоимость акций. Исходная модель формулируется следующим образом:

где - цена одной акции, - номер фирмы,  - номер года (1 или 2); - фиктивная переменная, равная 1, если фирма получала скидку в текущем году, 0 - в противном случае; - внутренние скрытые факторы прибыльности (качество менеджмента, и т. д.);  - прочие наблюдаемые характеристики фирмы или рынка (например, число конкурентов и т. п.).

Проблема состоит в том, что величины. неизвестны и их нельзя оценить по данным отчетности. Кроме того, только те фирмы, которые имели прибыль, могут получить налоговые скидки. Поэтому

Допустим мы хотим оценить склонность домохозяйств к сбережению. Запишем исходную модель

где  - сбережения -го домохозяйства в год, t;  - доход -го домохозяйства в год,  - ненаблюдаемые характеристики -го домохозяйства в год,  (склонности, способность к предвидению и т. д.);  - прочие характеристики -го домохозяйства в год,  (возраст главы семьи, количество детей и т. п.).

Величины не поддаются непосредственному измерению и коррелированны с доходом:

Перейдя к первым разностям, получим:

Полученное уравнение не содержит ненаблюдаемых переменных. Используя метод наименьших квадратов, можно найти несмещенную оценку склонности к сбережению , Альтернативный метод оценивания - введение в исходную модель фиктивных переменных - приведет к аналогичному результату.

Если допустить, что пропущенные переменные не коррелированны с остальными регрессорами, тогда их влияние можно учесть иначе - рассматривать как компоненты ошибок наблюдения. Тогда для панельных данных используют модели со случайными эффектами (random effects models). Основанием такого допущения могут быть положения экономической теории или особенности организации выборки. Если пропущенные переменные являются одной из составляющих ошибок, получим:

где , - суммарная ошибка ; , - ошибка, характерная для -го объекта и не зависящая от времени;  - случайная ошибка регистрации.

Это модель линейной регрессии при гетероскедастичности ошибок. Дисперсия ошибок зависит от номера объекта. Поэтому для оценивания следует использовать обобщенный метод наименьших квадратов.

1.3 Модель с фиксированными эффектами

Рассмотрим модель линейной регрессии для панельных данных, включающую индивидуальные уровни для каждого объекта:

 (1)

Для каждого объекта  индивидуальный эффект, остается постоянным в течение всех периодов . Вектор регрессоров  не включает свободного члена. Таким образом, в (1) - неизвестные параметры, которые необходимо оценить.

Уравнение (1) можно записать в векторной и матричной форме. Обозначим  - вектор размерности  значений независимых переменных;  - матрица значений регрессоров для i-го объекта размерности  и пусть  - вектор ошибок размерности . Тогда (1) можно переписать в виде

где  - вектор, состоящий из единиц, размерности Т.

Объединяя уравнения в единую систему, получим:

=*+

или

 (2)

где - фиктивная переменная, соответствующая i-му объекту.

Если обозначить - матрица размером , получим матричную запись:

 (3)

Матрица  содержит j-столбцов, матрица D - -столбцов, всего модель содержит  оцениваемых параметров. Если число объектов N невелико, то оценки параметров  можно получить с помощью стандартных формул регрессионного анализа. Система нормальных уравнений имеет вид

Для того чтобы было возможно найти решение системы уравнений, необходимо, чтобы матрица системы имела полный ранг. Это означает, что регрессоры не должны быть коллинеарные с фиктивными переменными

Но если число единиц наблюдения составляет несколько сотен или тысяч, вычисление обратной матрицы потребует слишком больших затрат времени и объемов оперативной памяти. Чтобы избежать этого, учитывают, что матрица D состоит из значений N фиктивных переменных, а регрессионная модель является моделью регрессии с фиктивными переменными.

Для моделей с фиктивными переменными известно, что МНК-оценку b для вектора параметров можно найти из линейной регрессии для преобразованных переменных

Рассмотрим, что означает предварительное преобразование переменных. Так как столбцы матрицы D ортогональны, то матрица является блочно-диагональной:

где - матрица вида   где  - единичная матрица размером  - вектор размерности T, все элементы которого равны единице.

Для любого вектора z, размерности умножение на , означает вычитание из каждого его элемента среднего значения:

.

То есть преобразование  и  означает вычитание из каждого элемента вектора у и матрицы среднего значения: , где  - среднее значение зависимой переменной для -го объекта,  - вектор средних значений независимых переменных для -го объекта.

После того как по формуле (4) найдены оценки , легко получить и оценки индивидуальных эффектов а из уравнения:

Формула (5) означает, что для каждого объекта индивидуальный эффект можно найти по формуле

То есть индивидуальный эффект а, равен среднему остатку в i-й группе. Оценка ковариационной матрицы вектора b может быть получена по обычной формуле

 (7)

Оценки выборочных дисперсий индивидуальных эффектов можно получить по формуле

Как мы видели, оценки модели с фиксированными эффектами можно получить, переходя к отклонениям от групповых средних. Рассмотрим, как взаимосвязаны оценки трех различных регрессий.

Во-первых, с единственным свободным членом:

Во-вторых, построенной по отклонениям от групповых средних:

В-третьих, по групповым средним:

Каждая из этих возможностей играет важную роль при анализе панельных данных и используется напрямую либо на промежуточных этапах. В (10а) перекрестные произведения находятся от общих средних, у и х:

В случае модели (10b) данные представлены в виде отклонений от групповых средних, поэтому выборочные средние  и  равны нулю. Матрицы перекрестных произведений рассчитываются по отклонениям групповых средних и отражают внутригрупповые суммы квадратов:

Наконец, в (10с) среднее групповых средних является общим средним. Матрицы моментов равны:

Легко проверить, что выполняются равенства

Найдём оценки неизвестных параметров  каждым из трёх способов. Оценки стандартной регрессии:

Основываясь на отклонениях от групповых средних, получим оценки:

эта формула соответствует модели с фиксированными эффектами.

Оценки наименьших квадратов для уравнения (10с), рассчитываемые по N групповым средним:

и называют between оценками, или межгрупповыми (between-groups estimator).

Из выражений (12) и (13) следует, что:

Включая их в (11), мы видим, что МНК-оценка есть взвешенная сумма внутригрупповых и межгрупповых оценок:

 (15)

Фиктивные переменные могут использоваться и для учета временного фактора. Это необходимо, если средний уровень явления существенно изменяется во времени. Тогда модель может быть расширена следующим образом:

где  - эффект специфический для каждого периода. Эта модель получена из предыдущей включением дополнительных (Т - 1) фиктивных переменных. Из-за строгой коллинеарности нельзя включить все Т-эффекты для каждого периодов времени. На практике обычно исключают эффект для первого  или последнего периода .

Обозначив  множества из (N-1) и (Т- 1) фиктивных переменных, получим матричную запись:

При этом матрица  должна иметь ранг N+T+K- 1. Это накладывает ограничения на состав регрессоров. Использование прямых формул предполагает вычисление обратной матрицы  что при большом числе объектов может потребовать слишком много времени. Однако вместо этого можно использовать свойства модели с фиктивными переменными и перейти к отклонениям от групповых средних. Для этого вычислим:

(1.17)

где

Найдем коэффициенты регрессии  В результате получим оценку вектора . Оценки коэффициентов при фиктивных переменных рассчитаем по формулам

 (18)

При исчислении групповых средних необходимо использовать соответствующие размеры групп

Матрица перекрестных произведений  заменяется суммой матриц сумм квадратов и перекрестных произведений:

Оценки коэффициентов регрессии получаются из уравнения  Within-оценка по-прежнему совпадает с МНК-оценкой, вычисленной по отклонениям от средних:

1.4 Модель со случайными эффектами

Иногда есть основания предполагать, что индивидуальные эффекты не коррелированны с регрессорами. Например, если данные являются случайной выборкой из большой популяции. Тогда индивидуальные эффекты можно рассматривать как одну из составляющих ошибки.

Переформулируем модель, включающую K-регрессоров, в виде

Компонента и, является случайным отклонением (случайной ошибкой), соответствующей i-му объекту и постоянной во времени. Эта величина может соответствовать, например, суммарному влиянию факторов, специфических для отдельной фирмы, семьи, индивидуума и т. п. и не включенных в число регрессоров. Допустим, что

Рассмотрим T-наблюдений, соответствующих i-му объекту. Обозначим суммарную ошибку

Тогда

Ковариационная матрица наблюдений для i-го объекта  равна:

Где I-единичная матрица , i-единичный вектор размерности . Там как ошибки для объектов i и j независимы, ковариационная матрица всех NT наблюдений будет иметь ввиду

Таким образом, модель случайных эффектов соответствует молол и линейной регрессии при гетероскедастичности ошибок.

Эффективными, как известно, являются оценки обобщенного метода наименьших квадратов (GLS-оценки). Для уравнения регрессии  GLS-оценки рассчитываются по формуле

Для использования обобщенного метода наименьших квадратов (GLS), необходимо найти матрицу , где  - символ произведения Кронекера. Следовательно, нам необходимо найти матрицу . Матрица имеет достаточно простую структуру. Если допустить, что дисперсии  и  известны, можно выписать явное выражение для : где  параметр, зависящий от  и :

Умножение  на  означает следующее преобразование

 (23)

Можно показать, что оценки обобщенного метода наименьших квадратов, подобно МНК-оценкам, могут быть вычислены как матричные взвешенные межгрупповых и внутригрупповых:

Формула (24) позволяет проанализировать, к чему сводятся GLS-оценки в зависимости от параметра .

Если, то GLS-оценки совпадают с оценками простой регрессии. Из формулы (24) видно, что это возможно, когда , равно нулю, т.е. индивидуальных эффектов вовсе не существует. Но, если, то МНК-оценки становятся неэффективными. По сравнению с обобщенным обычный метод наименьших квадратов придает слишком большой вес вариации между объектами. Он объясняет ее целиком изменениями независимых переменных, вместо того чтобы допустить, что некоторые колебания значений признака объясняется случайной ошибкой .

Если , получим within-оценки (фиксированных эффектов). Если число периодов наблюдения Т конечно, то, чтобы параметр  равнялся нулю, необходимо, чтобы дисперсия  была равна нулю, т. е. все различия между объектами объяснялись случайными величинами , которые постоянны во времени. Другой возможный случай, когда число периодов наблюдения стремится к бесконечности:  и оценка модели со случайными эффектами стремится к оценке фиксированных эффектов.

Запишем исходное уравнение

 и уравнение для групповых средних

Вычитание из каждого уравнения среднего по группе позволяет избавиться от неоднородности:

Это модель within-регрессии, и она не содержит значений индивидуальных эффектов  Следовательно, оценку  можно найти на основании остатков модели с фиксированными эффектами:

Рассмотрим далее средние ошибки для каждой группы:

Средние ошибки для объектов взаимно независимы, их дисперсия равна:

Несмещенную оценку для величины  можно найти из between -регрессии:

где  - остатки between-peгpeccuи.

Это приводит к следующей оценке дисперсии:  (30) Оценка дисперсии (30) является несмещенной, но на практике может быть отрицательной, что необходимо учитывать.

Для проверки гипотезы

 (31)

где  - остатки в стандартной регрессионной модели.

При нулевой гипотезе LM подчиняется закону распределения Хи-квадрат с одной степенью свободы. Тогда

2 Построение регрессионной модели по панельным данным с помощью Excel

2.1 Постановка задачи

множественный регрессионный модель панельный

Имеются данные об объёмах продаж (Y, тыс.шт.), затратах на рекламу (X1, тыс. ден. ед.) и затраты на сырье (X2, тыс. ден. ед.) для пяти условных предприятий за три последовательных периода времени (таблица 1).

Таблица 1 - Исходные данные

Требуется построить уравнение регрессии зависимости объемов продаж У от факторов Х1 и Х2 .

2.2 Построение панельной модели

Модель имеет вид

Выбираем линейную модель

Найдем ее параметры и оценим качество с использованием средств ППП “Excel”

Запишем исходные данные в Excel:

С помощью Анализа данных рассчитываем функцию Регрессия и получаем результат моделирования:

Получили отчет о результатах регрессионного анализа.

Рассмотрим регрессионную статистику:

Множественный R - это  где  - R - квадрат (коэффициент детерминации).  свидетельствует о том, что изменения зависимой переменной Y на 76.1% можно объяснить изменениями включенных в модель объясняющих переменных.

Нормированный R - квадрат - скорректированный коэффициент детерминации

где n - число наблюдений, k- число объясняющих переменных.

Статистическая ошибка регрессии , где  - необъясненная дисперсия.

Наблюдения - число наблюдений n

В таблице представлены параметры модели и результаты их проверки на статистическую значимость. Следовательно, уравнение модели:

 получена делением коэффициентов на стандартные ошибки. Если расчетное значение  превосходит критическое, полученное из теоретического распределения Стьюдента с параметром ,то они статистически значимы. В данном примере . В пакете анализа предусмотрен другой инструмент оценки

 - величина, применяемая при статистической проверке гипотез. Представляет собой вероятность того, что критическое значение статистики используемого критерия превысит значение, вычисленное по выборке. Решение о принятии или отклонении нулевой гипотезы принимается в результате сравнения  с выбранным уровнем значимости . Если  , то нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная о статистической значимости рассматриваемого параметра. В данном примере параметр  статистически незначим так как , а параметр  статистически значим так как

Нижние 95% - Верхние 95% - доверительные интервалы для параметров модели. Доверительные интервалы строятся только для статистики значимых величин. В данном случае для параметра :

т.е. с надежностью 95% истинное значение параметра лежит в указанном интервале.

Таблица 2 - Таблица дисперсионного анализа

Df- число степеней свободы связано с числом единиц совокупности  и с числом определенных по ней констант .- обозначение полных сумм квадратов. В этом столбце в строке «Регрессия» строится факторная сумма отклонений  в строке «Остаток» - остаточная сумма отклонений , а в строке «Итого» - общая сумма отклонений

2.3 Проверка адекватности построенной модели

F и Значение F позволяют проверить значимость уравнения регрессии. По эмпирическому значению статистики  проверяется гипотеза равенства нулю одновременно всех коэффициентов модели. Уравнение регрессии значимо на уровне , если , где - табличное значение  с параметрами  В нашем примере значимость  то уравнение регрессии статистически значимо в сравнении с 95%. Модель признается адекватной и надежной с вероятностью 95%.

Заключение

Панельными называют данные, содержащие сведения об одном и том же множестве объектов за ряд последовательных периодов времени. Этот метод используют при изучении потребительского поведения, занятости, безработицы, доходов и заработной платы, производственных функций и политики дивидендов фирм, в международных и межрегиональных сопоставлениях. Традиционно выборочные данные представляют в виде таблиц «объект-признак»: по строкам располагают объекты, по столбцам - признаки. Для панельных данных добавляется еще одно измерение - время. Преимущества панельных данных следующие. Во-первых, большее число наблюдений обеспечивает большую эффективность оценивания параметров эконометрической модели. Во-вторых, появляется возможность контроля над неоднородностью объектов. В-третьих, возможностью идентифицировать эффекты, недоступные в анализе пространственных данных.

В работе рассмотрены методы построения регрессионной модели по панельным данным. Изучены панельные данные. Приведены и исследованы объёмы продаж 5 предприятий с течением времени. Модель проверена на адекватность. Результаты исследований могут быть использованы на практике.

Список использованных источников

1    Айвазян С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. - М.: Юнити-Дана, 2001. - 432 с.

2       Бабешко Л. О. Основы эконометрического моделирования: Учеб. пособие. - 2-е, исправленное. - М.: КомКнига, 2006. - 432 с

         Берндт Э. Практика эконометрики: классика и современность. - М.: Юнити-Дана, 2005. - 848 с

         Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 1999. - 402 с.

         Кремер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика. - М.: Юнити-Дана, 2003-2004. - 311 с.

         Леонтьев В. В. Экономические эссе. Теория, исследования, факты и политика: Пер. с англ. - М.: Политиздат, 1990. - 324 с.

         Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 2007. - 504 с.

         Моргенштерн О. О точности экономико-статистических наблюдений. - М.: Статистика, 1968. - 324 с.

         Суслов В. И., Ибрагимов Н. М., Талышева Л. П., Цыплаков А. А. Эконометрия. - Новосибирск: СО РАН, 2005. - 744 с.

10     Тутубалин В.Н. <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%83%D1%82%D1%83%D0%B1%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD,_%D0%92%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87> Границы применимости (вероятностно-статистические методы и их возможности). - М.: Знание, 1977. - 64 с.

         Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И. И. - 2-е изд. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 576 с.