Основные статистические показатели

ЗАДАЧА I

Имеются следующие отчетные данные 23 заводов одной из отраслей промышленности:

Таблица 1

Номер завода	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Продукция в сопоставимых ценах, млн. руб.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23	12,7 6,9 7,3 2,9 4,5 12,8 7,8 0,8 4,1 4,3 5,5 4,3 9,1 1,4 7,6 3,6 4,4 6,9 4,6 5,8 11,7 7,4 10,9	16,6 7,6 11,2 3,2 4,9 15,0 12,0 0,7 5,3 4,8 5,7 4,8 10,9 1,2 8,6 3,6 6,7 8,4 6,9 6,7 17,9 10,4 15,5

С целью изучения зависимости между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов и фондоотдачей произведите группировку заводов по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав четыре группы заводов с равными интервалами составив рабочую таблицу.

По каждой группе и совокупности заводов подсчитайте:

1.      число заводов;

2.      среднегодовую стоимость основных производственных фондов - всего и в среднем на один завод;

3.      стоимость валовой продукции - всего и в среднем на один завод;

4. размер валовой продукции на один рубль основных производственных фондов (фондоотдачу).

Результаты представьте в виде групповой аналитической таблицы. Напишите краткие выводы.

Решение:

В качестве группировочного признака возьмем размер среднегодовой стоимости основных производственных фондов. Образуем четыре группы заводов с равными интервалами. Величину интервала определите по формуле:

 

Обозначим границы:

1 группа: 0,8-3,8

2 группа: 3,8-6,8

группа: 6,8-9,8

4 группа: 9,8-12,8

Таблица 1.1

Рабочая таблица

Номер завода	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.			Продукция в сопоставимых ценах, млн. руб.
Группа 1, интервал 0,8-3,8
8	0,8			0,7
14	1,4			1,2
4	2,9			3,2
16	3,6			3,6
Итого (4)	8,7			8,7
Группа 2, интервал 3,8-6,8
9	4,1			5,3
10	4,3			4,8
12	4,3			4,8
17	4,4			6,7
5	4,5			4,9
19	4,6			6,9
11	5,5			5,7
20	5,8			6,7
Итого(8)	37,5			45,8
Группа 3 , интервал 6,8-9,8
2			6,9		7,6
18			6,9		8,4
3			7,3		11,2
22			7,4		10,4
15			7,6		8,6
7			7,8		12
13			9,1		10,9
Итого (7)			53		69,1
Группа 4, интервал 9,8-12,8
23		10,9			15,5
21		11,7			17,9
1		12,7			16,6
6		12,8			15
Итого (4)		48,1			65
Всего (23)			147,3		188,6

Далее отберем показатели, которые характеризуют группы, и определим их величины по каждой группе. Показатели, характеризующие заводы, разносятся почетырем вышеуказанным группам и подсчитаем групповые итоги. Они заносятся в заранее составленную окончательную групповую таблицу и подсчитываются общие итоги.

Фондоотдача определяется по формуле:

Где Q- среднегодовая стоимость основных производственных фондов

- продукция в сопоставимых ценах.

Общая средняя фондоотдача:

Среднегодовая стоимость ОПФ по всем группам:

Среднегодовая стоимость продукции по всем группам:

Таблица 1.2

Групповая аналитическая таблица

№ груп Пы	Группы заводов по стоимости ОФ, млн. руб.	Всего заводов	Среднегодовая стоимость ОПФ, млн. руб.		Продукция в сопоставимых ценах, млн. руб		Фондо отдача, руб.
			всего	В среднем	всего	В среднем
1	0,8-3,8	4	8,7	2,18	8,7	2,18	1
2	3,8-6,8	8	37,5	4,69	45,8	5,73	1,22
3	6,8-9,8	7	53	7,57	69,1	9,87	1,3
4	9,8-12,8	4	48,1	12,03	65	16,25	1,35
∑	-	23	147,3	6,4	188,6	8,2	1,23

Из данных табл. 1.2 следует, что с ростом среднегодовой стоимости основных производственных фондов увеличивается стоимость продукции и соответственно увеличивается фондоотдача. Всего 23 завода с общей стоимостью основных фондов-147,3 млн.руб. и общего объема продукции -188,6 млн.руб. Больше всего предприятий со стоимостью от 3,8 до 6,8 млн. руб.-8 заводов й с объемом продукции в среднем 5,73 млн. руб. и фондоотдачей 1,22 руб., а меньше от 0,8 до 3,8 млн. руб. и от 9,8 до 12,8 млн. руб. по 4 завода с объемом продукцией в среднем 2,18 млн.руб. и 16,25 млн.руб. и соответственно фондоотдачей 1 руб. и 1,35 руб.

ЗАДАЧА II

Имеются следующие данные о численности рабочих в бригадах, перешедших на арендную форму работы, в двух отраслях народного хозяйства одного из районов области за отчетный год:

Таблица 2

	Промышленность		Строительство
Номер группы	численность рабочих в одной бригаде, чел.	число бригад, единиц	численность рабочих в одной бригаде, чел.	общая численность рабочих всех бригад, чел.
1 2	15 18	1200 1500	19 23	9500 18400

 

Вычислите среднюю численность рабочих одной бригады: 1) в промышленности; 2) в строительстве.

Укажите, какой вид средней надо применять для вычисления этих показателей. Сравните полученные средние.

Решение:

Численность рабочих в одной бригаде равна:

Где Ч_i- численность рабочих в одной бригаде,

К- число бригад

1)      Средняя численность рабочих одной бригады в промышленности найдем по формуле средней арифметической взвешенной, поскольку в данном случае известно число бригад, но неизвестна общая численность рабочих всех бригад:

2)      Средняя численность рабочих одной бригады в строительстве найдем по формуле средней гармонической взвешенной, поскольку в данном случае известна общая численность рабочих всех бригад, но неизвестно число бригад:

На основе полученных данных можно сделать вывод, средняя численность рабочих одной бригады в промышленности ниже, чем в строительстве и составляет 17 чел., в строительстве средняя численность рабочих одной бригады составила 22 чел.

 

ЗАДАЧА III

Производство молока в хозяйствах населения Читинской области за период с 2005 по 2009 гг. характеризуется следующими данными:

Таблица 3

ГОДЫ	Производство молока, тыс. тонн
2005 2006 2007 2008 2009	257,0 270,8 276,3 283,3 286,3

Для анализа динамики производства молока вычислите:

1.      абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2005 г, абсолютное содержание одного процента прироста;

.        среднегодовое производство молока за этот период.;

.        среднегодовой абсолютный прирост;

.        среднегодовой темп роста и прироста.

Все полученные данные представьте в таблице.

Постройте график динамики производства молока.

Выявите модель тренда за этот период, и спрогнозировать на два последующих года. Сделайте вывод.

Решение:

1)      Абсолютный прирост по годам:

А) цепной определяется по формуле:

 - уровень ряда динамики в i-й момент или за i-й период времени;

 - уровень ряда в (i-1)-й момент или за (i-1)-й период времени.

Б) к базисному году:

А) цепной:

: = 270,8- 257 = + 13,8 тыс. т

: = 276,3- 270,8 = + 5,5тыс. т

: = 283,3 - 276,3= + 7 тыс. т

: = 286,3 - 283,3 = + 3тыс. т

Б) к базисному году:

: = 270,8 - 257 =+ 13,8 тыс. т

: = 276,3- 257 = + 19,3тыс. т

: = 283,3 - 257 = + 26,3 тыс. т

: = 286,3 - 257= + 29,3 тыс. т

Темпы роста:

А) цепной:

А) цепной:

2006: = 270,8/ 257 *100= 105,4%

: = 276,3/270,8 *100 = 102%

: = 283,3 / 276,3*100 = 102,5%

: = 286,3 / 283,3 *100 = 101,1%

Б) к базисному году:

: = 270,8/257 *100= 105,4%

: =276,3/257 *100= 107,5%

: =283,3/ 257 *100= 110,2%

: =286,3/ 257*100= 111,4 %

Темпы прироста:

А) цепной:  

Б) к базисному году:

А) цепной:

 = 105,4-100=5,4 %

 = 102-100=2 %

 = 102,5-100=2,5 %

 = 101,1-100=1,1%

Б) к базисному году:

 = 105,4-100=5,4%

 = 107,5-100=7,5%

 = 110,2-100=10,2%

 = 111,4 -100=11,4%

Абсолютное содержание 1% прироста:

2006: A₁=

: A₁=

: A₁=

: A₁=

Таблица 3.1

Год	Производство молока, тыс. тонн	Абсолютный прирост, тыс. тонн		Темп роста,%		Темп прироста,%		Абсол.со-держание 1% прироста
		цепной	базисный	цепной	базисный	цепной	базисный
2005	257	-	-	100	100	-	-	-
2006	270,8	13,8	13,8	105,4	105,4	5,4	5,4	2,57
2007	276,3	5,5	19,3	102,0	107,5	2,0	7,5	2,71
2008	283,3	7	26,3	102,5	110,2	2,5	10,2	2,76
2009	286,3	3	29,3	101,1	111,4	1,1	11,4	2,83
∑	1373,7	-	-	-	-	-	-	-

Среднегодовое производство молока определяется по средней арифметической:

 -средняя арифметическая простая.

 

Среднегодовой абсолютный прирост:

 тыс.тонн.

Среднегодовой темп роста:

Среднегодовой темп прироста

.

График динамики производства молока Читинской области за 2005-2009 гг.

Модель тренда. Линейное уравнение тренда имеет вид:

=а₁t + a₀(при∑ t=0)

Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.

Система уравнений МНК:

a₀=₁=

Таблица 3.2

год	t	t 2	y	t *y	(y-yt)2
2005	-2	4	257	-514	12.39
2006	-1	1	270,8	-270,8	10.05
2007	0	0	276,3	0	2.43
2008	1	1	283,3	283,3	2.1
2009	2	4	286,3	572,6	7.08
∑	0	10	1373,7	71,1	34.05

На основе табл. 3.2 определим параметры уравнения:

a₀== 274,74₁== 7,11

Уравнение тренда:

= 7,11* t + 274,74

На основе уравнения регрессии: y = 7,11* t + 274,74 спрогнозируем на 2 последующих года:

В 2010 году: Y₃= 7,11* t + 274,74=7,11* 3 + 274,74= 296 тыс. тонн

В 2011 году: Y₄ = 7,11* t + 274,74=7,11* 4+ 274,74= 303 тыс. тонн

Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

= 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда.

= y_n+L ± K

где

- период упреждения;

у_n+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; _табл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2.

По таблице Стьюдента находим T_табл:

_табл (n-m-1;α/2) = (3;0.025) = 3.182

- 13.46 = 282,54; 296+ 13.46 = 309,46

Интервальный прогноз:

= 3: (282,54; 309,46)

- 15.55 = 287,45; 303 + 15.55 = 318,55

Интервальный прогноз:

= 4: (287,45; 318,55)

На основе полученных данных можно сделать вывод, что с 2005 года по 2009 год динамика производства молока в Читинской области имеет тенденцию к увеличению. В среднем производства молока в год в Читинской области около 274,74 млн.тонн, среднегодовой абсолютный прирост составляет 7,33 тыс.тонн или 2,7%. Точечный прогноз на 2010 год составляет от 296 тыс. тонн, а интервальный от 282,54 до 309,46тыс.тонн , в 2011 году точечный прогноз 303 тыс. тонн., а интервальный от 287,45 до 318,55тыс.тонн.

 

ЗАДАЧА IV

Имеются следующие данные о товарных запасах непродовольственных товаров торговой организации, тыс. руб.:

На 1 января - 4,5

На 1октября - 4,5

На 1 апреля - 4,6

На 1 января следующего года - 4,2.

На 1 июля - 4,8

Вычислите средние товарные запасы торговой организации:

1.     за I полугодие;

.       за II полугодие;

.       за год.

Поясните, почему методы расчета средних уровней рядов динамики в задачах III и IV различны.

Решение:

Поскольку данные известны за равные промежутки времени на начало периодов, используем формулу средней хронологической:

1.      Средние товарные запасы непродовольственных товаров торговой организации за I полугодие торговой организации:

2.      Средние товарные запасы непродовольственных товаров торговой организации за II полугодие торговой организации:

 

3.      Средние товарные запасы непродовольственных товаров торговой организации за год торговой организации:

 

Методы расчетов различны, так как в четвертой задаче данные не за конкретный период, а на определенную дату.

ЗАДАЧА V

Динамика себестоимости и объема производства продукции характеризуется следующими данными:

Таблица 5

Вид продукции	Выработано продукции, тыс. ед.		Себестоимость единицы, продукции, руб.
	базисный период	отчетный период	базисный период	отчетный период
Завод №1 ЛР-34 АВ-50 Завод №2 АВ-50	2,7 4,0  2,0	2,9 4,8  1,2	130 140  120	135 139  110

На основании имеющихся данных вычислите:

1.     Для завода №1 (по двум видам продукции вместе):

1 общий индекс затрат на производство продукции;

2 общий индекс себестоимости продукции;

3 общий индекс физического объема производства продукции.

Определите в отчетном периоде изменения суммы затрат на производство продукции и разложите по факторам (за счет изменения себестоимости и объема выработанной продукции). Сделайте вывод.

Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.

2.     Для двух заводов вместе (по продукции АВ-50):

4 индекс себестоимости переменного состава;

5 индекс себестоимости постоянного состава;

6 индекс влияния изменения структуры производства продукции на динамику средней себестоимости.

Сделайте вывод по каждому индексу.

Решение:

Таблица 5.1

Вид продукции	Выработано продукции за период, тыс.ед.		Себестоимость единицы продукции за период, руб.
	Базисный, q0	Отчетный, q1	Базисный, z0	Отчетный, z1
ЛР-34	2,7	2,9	130	135
АВ-50	4	4,8	140	139

Используя в качестве соизмерителя неизменную себестоимость, получим следующую формулу для определения общего индекса физического объема произведенной продукции:

Общий индекс затрат произведенной продукции определяется по формуле:

Отсюда, используя взаимосвязь индексов, вычислим общий индекс себестоимости продукции:

Сумма изменения затрат в отчетном периоде по сравнению с базисным составила:

∆= тыс. руб.

Разложим теперь эту сумму изменения затрат по факторам. Сумма изменения затрат в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения себестоимости составила:

∆= тыс. руб.

Сумма изменения затрат в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения физического объема продукции составила:

∆=тыс. руб.

.Рассмотрим теперь оба завода вместе (по продукции АВ-50). Сформируем для них из исходных данных следующую таблицу:

Таблица 5.2

Номер завода	Выработано продукции за период, тыс.ед.		Себестоимость единицы продукции за период, руб.
	Базисный, q0	Отчетный, q1	Базисный, z0	Отчетный, z1
1	4	4,8	140	139
2	2	1,2	120	110

Индекс себестоимости переменного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних величин с переменными весами, характеризующее изменение индексируемого (осредняемого) показателя:

фондоотдача бригада товарный торговый

Индекс себестоимости постоянного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних величин с одними и теми же весами:

Индекс изменения структуры равен:

Затраты завода 1 увеличились на 16,2%(116,2-100), за счет изменения физического объема продукции уменьшились на 15,1% (115,1-100), за счет изменения себестоимости увеличились на 0,9%(100,9-100).

По двум заводам, за счет изменения выработанной продукции затраты уменьшились на 0,1%(99,9-100), а за счет изменения себестоимости затраты уменьшились на 2,1%(97,9-100). За счет структурных сдвигов затраты увеличились на 2%(102-100).

 

ЗАДАЧА VI

Имеются следующие данные о товарообороте магазина потребительской кооперации:

Таблица 6

Товарная группа	Продано товаров в фактических ценах, тыс. руб.
	базисный период	отчетный период
Картофель Фрукты и цитрусовые	62,5 48,2	70,9 51,6

В отчетном периоде по сравнению с базисным цены на картофель повысились в среднем на 7%, а на фрукты и цитрусовые остались без изменения.

Вычислите:

1.      общий индекс товарооборота в фактических ценах;

.        общий индекс цен и сумму дополнительных расходов населением в отчетном периоде при покупке картофеля в данном магазине;

.        общий индекс физического объема товарооборота, используя взаимосвязь индексов.

Решение

1.      Индекс цен:

- Картофель: i=(100+7)/100=1,07

- Фрукты и цитрусовые: i=(100+0)/100=1

Общий индекс товарооборота в фактических ценах равен:

=

2)      общий индекс цен:

с весами базисного периода (по Ласпейресу):

 =

отсюда  

с весами отчетного периода (по Пааше):

 или 104%

Общий индекс физического объема товарооборота, используя взаимосвязь индексов, определим как:

Выводы:

За отчетный год по сравнению с базисным товарооборот в фактических ценах вырос на 10,7%(110,7-100), за счет изменения цен увеличился на 4%(104-100), а за счет изменения физического объема увеличился на 6,5%(106,5-100).

 

ЗАДАЧА VII

Для определения срока службы металлорежущих станков было проведено 10%-ное выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные:

Таблица 7

Срок службы станков, лет	Число станков
До 4 4-6 6-8 8-10 Свыше 10	6 23 38 26 7
Итого	100

 

Определите:

1.      По способу моментов:

а) средний срок службы станков;

б) дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

.        Коэффициент вариации.

.        С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых ожидается средний срок службы металлорежущих станков

(t = 3).

.        С вероятностью 0,954 предельную ошибку репрезентативности для доли и пределы удельного веса станков со сроком службы свыше 8 лет (t = 2)

Решение.

Среднее значение изучаемого признака по способу моментов.

где m₁ - момент первого порядка

где А - условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой)=7

h - шаг интервала=2

Середина интервала,x	fi
3	6	-2	-12	24
5	23	-1	-23	23
7	38	0	0	0
9	26	1	26	0
11	7	2	14	26
-	100	-	5	101

=*2+7=7,1 лет

Средний срок службы станков 7,1 год.

Дисперсия:

*2²-(7,1-7)²=4,03

Средний квадрат отклонений по способу моментов.

σ= ==2,01

Коэффициент вариации (V) характеризует степень однородности совокупности в отношении изучаемого признака, т.е. показывает насколько типична вычисленная средняя () для данной совокупности. Коэффициент вариации определяется по формуле:

Совокупность однородна.

При следующих исходных данных: N =100/10*100=1000; n =100;  средняя ошибка выборки товарооборота составит:

 

При определении срока службы в среднем на 1 станок в выборочной совокупности средняя ошибка выборки (ошибка репрезентативности) при бесповторном - 0,19%

Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью 0,997 (гарантийный коэффициент) составит

 

Значение генеральной средней определяется

Пределы, в которых находится средний процент выполнения норм:

 

Средний срок службы в среднем на 1 станок генеральной совокупности находится в следующих пределах:

 или .

С вероятностью 0,954 возможные пределы доли удельного веса станков со сроком службы свыше 8 лет .

Вычисление пределов при установлении доли осуществляется по формуле:

 

где p - доля единиц в генеральной совокупности, обладающих данным признаком.

Доля станков в выборочной совокупности, у которых товарооборот сроком службы свыше 8 лет.

Предельная ошибка доли с вероятностью 0,954.

 

N =100/10*100=1000

при бесповторном отборе:

С вероятностью 0,954 доля станков со сроком службы свыше 8 лет.

 

С вероятностью 0,954 можно сказать, что срок службы колебаться от 6,53 года до 7,67 лет , а доля станков со сроком службы свыше 8 лет колеблется от 24 до 42 %.

 

ЗАДАЧА VIII

На основе данных ЗАДАЧИ I оценить тесноту связи между стоимостью основных фондов и фондоотдачей, рассчитав эмпирическое корреляционное отношение

Эмпирическое корреляционное отношение характеризует степень тесноты связи между факторным (группировочным) и результативным признаками

 

где  - общая дисперсия результативного признака.

Межгрупповая дисперсия  вычисляется по формуле:

,

где  -групповые средние,

 - общая средняя,

-число единиц в j-ой группе,

σ²=δ²+σ_i²

Таблица 8.1

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы заводов по стоимости основных фондов, тыс. руб.	Число предприятий, Среднее значение фондоотдачи  в группе
0,8-3,8	4	1	-0,23	0,21
3,8-6,8	8	1,22	-0,01	0,001
6,8-9,8	7	1,3	0,07	0,03
9,8-12,8	4	1,35	0,12	0,06
Итого	23	-		0,30

Общая средняя фондоотдача:

Межгрупповая дисперсия:

Фондоотдача определяется по формуле:

Таблица 1.4

№	Среднегод. стоимость ОПФ, млн. руб.	Продукция в сопоставимых ценах, млн. руб.	Фондоотдача, руб.,у	у2
1	12,7	16,6	1,31	1,71
2	6,9	7,6	1,10	1,21
3	7,3	11,2	1,53	2,35
4	2,9	3,2	1,10	1,22
5	4,5	4,9	1,09	1,19
6	12,8	15	1,17	1,37
7	7,8	12	1,54	2,37
8	0,8	0,7	0,88	0,77
9	4,1	5,3	1,29	1,67
10	4,3	4,8	1,12	1,25
11	5,5	5,7	1,04	1,07
12	4,3	4,8	1,12	1,25
13	9,1	10,9	1,20	1,43
14	1,4	1,2	0,86	0,73
15	7,6	8,6	1,13	1,28
16	3,6	3,6	1,00	1,00
17	4,4	6,7	1,52	2,32
18	6,9	8,4	1,22	1,48
19	4,6	6,9	1,50	2,25
20	5,8	6,7	1,16	1,33
21	11,7	17,9	1,53	2,34
22	7,4	10,4	1,41	1,98
23	10,9	15,5	1,42	2,02
Итого	-	-	-	35,59

В результате эмпирическое корреляционное отношение будет равно:

Вывод: Рассчитанное значение эмпирического корреляционного отношения свидетельствует о средней статистической связи между среднегодовой стоимости основных производственных фондов и фондоотдачи.

Список используемой литературы

1.     Громыко. Г.Л. Теория статистики [Текст]: Практикум / Г.Л. Громыко. - М.: ИНФРА-М, 2009. - 240 с.

2.      Елисеева, И.И. Общая теория статистики [Текст]: Учеб. / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев; под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 480 с.

.        Ефимова, М.Р. Практикум по общей теории статистики [Текст]: Учеб пособие / М.Р. Ефимова, О.И. Ганченко, Е.В. Петрова. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 280 с.