Методика розв’язання рівнянь і нерівностей у середній школі

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Дніпропетровський національний університет

іменi Олеся Гончара

Механіко-математичний факультет

Дипломна робота

за освітньо-кваліфікаційним рівнем спеціаліста

на тему:

Методика розв’язання рівнянь і нерівностей у середній школі

Дніпропетровськ 2013 р.

РЕФЕРАТ

Дипломна робота 150 с., рис.46, табл. 6, джерел 57

Об’єкт дослідження: методологія викладення розділу „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри в загальноосвітній школі

Мета роботи: узагальнення сучасного учбового матеріалу шкільного курсу алгебри в розділі „Рівняння та нерівності” та розробити пропозиції щодо впровадження інноваційних методів викладання розділів „Рівняння та нерівності” з застосуванням комп’ютерних програмних комплексів.

Одержані висновки та їх новизна: доведена ефективність використання програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 для впровадження інтегрованих інноваційних методологій викладання тем „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи.

Результати дослідження можуть бути використані в якості спеціалізованого посібника курсу «Методика розв’язання рівнянь та нерівностей у середній школі» для вчителів математики у 7-10 класах середньої школи.

Перелік ключових слів: рівняння; нерівність; тотожність; лінійні, квадратичні, ірраціональні, показові, логарифмічні, тригонометричні рівняння та нерівності.

RESUME on diploma work

METHOD OF SOLUTION Equations and InequalitiesIn the Schools

The diploma work’s present the student of five-year training. The work is done in DNU, Faculty of Mechanics and Mathematics, Department of Mathematics.work contains 57 sources, 46 illustration, 6 tables, composed on 150 pages.work’s results can be used as a specialized guide the course "Methods of solving equations and inequalities in high school" for teachers of mathematics in grades 7-10 high school.: equations, inequality, identity, linear, quadratic, irrational, shows, logarithmic, trigonometric equations and inequalities.

АНОТАЦІЯ

Дипломна робота спеціаліста на тему: «Методика розв’язання рівнянь та нерівностей у середній школі» - 150 с., 6 табл., 46 рис., 57 джерел.

Мета дипломного дослідження - узагальнення сучасного учбового матеріалу шкільного курсу алгебри в розділі „Рівняння та нерівності” та розроблення пропозиції щодо впровадження інноваційних методів викладання розділів „Рівняння та нерівності” з застосуванням комп’ютерних програмних комплексів.

. В першому розділі на типових прикладах розв’язання рівнянь проведено узагальнення учбових програм та традиційних методологій викладення тем „Рівняння та системи рівнянь” в курсах алгебри 7-10 класів;

. В другому розділі на типових прикладах розв’язання нерівностей проведено узагальнення учбових програм та традиційних методологій викладення тем „Нерівності та системи нерівностей” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи;

. В третьому розділі при практичному розв’язанні складних рівнянь та нерівностей доведена доцільність, наочність та практична цінність впровадження програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 в інноваційних методологіях викладання тем „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи.

. В четвертому розділі викладені основи організації охорони праці та безпеки в надзвичайних ситуаціях в середній школі. Теоретичний матеріал в кожному підрозділі супроводжується розв’язанням типових прикладів, що робить дипломну роботу практичним спеціалізованим посібником курсу «Методика розв’язання рівнянь та нерівностей у середній школі» для вчителів математики у 7-10 класах середньої школи.

Ключові слова: рівняння; нерівність; тотожність; лінійні, квадратичні, ірраціональні, показові, логарифмічні, тригонометричні рівняння та нерівності.

ABSTRACT

Thesis entitled "Methods of solving equations and inequalities in high school" - 150 p., Table 6., 46 fig., 57 sources.aim of graduate study - a synthesis of contemporary educational material school algebra course in "Equations and Inequalities" and develop proposals for the introduction of innovative teaching methods sections "Equations and Inequalities" using computer software.

. In the first chapter on typical examples of solving equations summarize conducted educational programs and traditional methodologies for presenting topics "equation and the equation system" courses in algebra classes 7-10 secondary school;

. In the second section on typical examples of solving inequalities held generalization curricula and traditional methodologies for presenting topics "inequalities and systems of inequalities" in the know algebra grades 7-10 secondary school;

. In the third section, the practical solution of complex equations and inequalities proved the feasibility, clarity and practical value of implementing complex graphical software Microsoft Mathematics 4.0 in innovative teaching methodologies topics "Equations and Inequalities" in the know algebra grades 7-10 secondary school.

. In the fourth section sets out the basics of health and safety in emergencies in high school.theoretical material in each section is accompanied by a resolution of typical examples, which makes the thesis practical tool specialized course "Methods of solving equations and inequalities in high school" for teachers of mathematics in grades 7-10 high school.: equations, inequality, identity, linear, quadratic, irrational, shows, logarithmic, trigonometric equations and inequalities.

ЗМІСТ

ВСТУП

Розділ 1. Рівняння та методологія їх розв’язання у середній школі

.1 Лінійні рівняння з однією змінною (7 клас)

.2 Система лінійних рівнянь з двома змінними (7 клас)

.3 Квадратні рівняння (8 клас)

1.4 Ірраціональні рівняння (10 клас)

.5 Показникові рівняння(10 клас)

.6 Логарифмічні рівняння(10 клас)

.7 Тригонометричні рівняння (10 клас)

Розділ 2. Нерівності та методологія їх розв’язання у середній школі

.1 Лінійні нерівності з однією змінною (9 клас)

.2 Системи лінійних нерівностей з однією змінною (9 клас)

2.3 Квадратні нерівності (9 клас)

2.4 Ірраціональні нерівності (10 клас)

.5 Показникові нерівності (10 клас)

.6 Логарифмічні нерівності (10 клас)

.7 Тригонометричні нерівності (10 клас)

Розділ 3. Інноваційні методології розв’язання рівнянь та нерівностей у 10 класі середньої школи

.1 Інноваційна методологія розв’язання рівнянь і нерівностей з аналізом нетотожних перетворень в стандартних методах розв’язків (10 клас)

3.2 Інноваційна методологія інтерактивно-графічного розв’язання рівнянь та нерівностей вищих рівнів складності з використанням комп’ютерно-графічного калькулятора Microsoft Mathematics 4.0 (10 клас)

Розділ 4. Охорона праці та безпека в надзвичайних ситуаціях в загальноосвітній школі

.1 Законодавчі основи організації охорони праці в галузі освіти та безпеки

життєдіяльності в загальноосвітній школі

4.2 Аналіз стану охорони навчання і праці та безпеки в надзвичайних ситуаціях в приміщенні кабінету математики та інформатики 10 класу

.3 Обґрунтування заходів щодо покращення санітарно-гігієнічних умов навчання учнів в кабінеті математики та інформатики 10 класу загальноосвітньої школи

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ДОДАТКИ

ВСТУП

Швидкозмінність сучасного суспільства відбувається під впливом багатьох факторів, серед яких чільне місце займають:

а) процеси глобалізації, що виявляються в економіці, міграційних процесах, розподілі світових трудових ресурсів, обміні інформації (зокрема, через Інтернет), створенні міжнародних проектів;

б) розвиток тенденції переважання ринкових стосунків у суспільстві, в якому знання людини стали товаром;

в) утворення інформаційного суспільства, зокрема, бурхливий розвиток інформаційно-комп’ютерних технологій та їх застосування у всіх життєвих сферах життя суспільства.

Всі наведені фактори впливають на встановлення нових вимог та форматів для системи освіти загалом та математичної освіти в школі зокрема.

Традиційні погляди в освіті на формування в учнів знань, умінь і навичок вже не задовольняють суспільство. Сучасному суспільству потрібні не просто добросовісні виконавці, що мають певні знання, уміння й навички, а особистості. Це вимагає відкритості системи освіти до змін, що відбуваються в суспільстві, постійного перегляду й адаптування нормативної бази в освіті, розробки й впровадження в педагогічний процес нових методів і форм навчання та виховання. Як наслідок − з’явилися поняття “традиційне навчання” та “інноваційне навчання”.

Традиційність навчання пов’язана з нормами освіти, що розробляються різними органами освіти, науковцями, педагогами-новаторами. Саме досягнення норм освіти є основним завданням традиційного навчання. Традиційне навчання покликане сформувати в учнів певну базу знань, умінь і навичок, без яких формування особистості проблематичне. Тому традиційне навчання є важливим аспектом підготовки учнів до самостійного життя. Однак традиційне навчання як система володіє певною замкнутістю, консервативністю й часто “не встигає” за швидкозмінним розвитком суспільства. Саме тому в науці виникла інша стратегія навчання - інноваційне навчання.

Актуальність теми дипломної роботи полягає в необхідності впровадження інноваційних форм викладення курсів математики в загальноосвітній школі на основі інтегрованих процесів інформатизації методологій викладання математики з застосуванням наочності комп’ютерних програмно-графічних систем.

Об’єкт дипломного дослідження - методологія викладення розділу „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри в загальноосвітній школі

Предмет дипломного дослідження - інноваційні підходи до викладення розділу „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри в загальноосвітній школі.

Мета дипломного дослідження - провести узагальнення сучасного учбового матеріалу шкільного курсу алгебри в розділі „Рівняння та нерівності” та розробити пропозиції щодо впровадження інноваційних методів викладання розділів „Рівняння та нерівності” з застосуванням комп’ютерних програмних комплексів.

Завдання дипломного дослідження:

. Провести узагальнення учбових програм та традиційних методологій викладення тем „Рівняння та системи рівнянь” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи;

. Провести узагальнення учбових програм та традиційних методологій викладення тем „Нерівності та системи нерівностей” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи;

. Проаналізувати інноваційні напрямки розробки методологій та наочності викладання тем „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи;

. Довести доцільність та практичну цінність впровадження програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 в інноваційних методологіях викладання тем „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи.

Методами дипломного дослідження були методи порівняння та узагальнення історичних методів алгебри рівнянь та нерівностей, методи практичного розв’язання характерних математичних завдань, методи практичного комп’ютерного розв’язання та побудови графічних наочних матеріалів.

Інформаційною основою дипломного дослідження були програмні стандарти Міністерства освіти та науки України щодо обсягів та тематики курсів алгебри в 7-11 класах загальноосвітньої школи, сучасні (2007-2012 рр.) та історичні (1963-1992 рр.) підручники та посібники з курсу алгебри для 7-11 класів загальноосвітньої школи, методологічні документи НПУ ім. М.П. Драгоманова, Кіровоградського РВВ КДПУ ім. В. Винниченка, Науково-методичного центру вищої освіти (м. Київ).

Практична цінність отриманих результатів дипломного дослідження полягає в доведенні ефективності використання програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 для впровадження інтегрованих інноваційних методологій викладання тем „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи.

РОЗДІЛ 1. РІВНЯННЯ ТА МЕТОДОЛОГІЯ ЇХ РОЗВ’ЯЗАННЯ У СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ

.1 Лінійні рівняння з однією змінною (7 клас)

Алгебра багато століть розвивалась як наука про рівняння.

Рівняння - це рівність, яка містить невідомі числа, позначені буквами та інші числові дані. Невідомі числа в рівнянні називають змінними. Змінні найчастіше позначають буквами , хоч можна застосувати і інші букви латинь-кого або грецького алфавіту [47].

Приклад рівняння: . Якщо в ньому замість змінної  написати число 5, матимемо правильну числову рівність 13*5-30=7*5. Говорять, що число 5 задовольняє дане рівняння.

Число, яке задовольняє рівняння, називається його коренем, або розв’язком.

Рівняння  має тільки один корінь .

Рівняння  має три корені:.

Рівняння  не має жодного кореня, бо при кожному значенні  число  на 7 більше від .

Розв’язати рівняння - це означає знайти всі його корені, або показати, що їх не існує.

Найпростіші рівняння можна розв’язувати на підставі відомих залежнос-тей між доданками та сумою, між множниками і добутком тощо.

Приклад 1.1.1 Розв’яжіть рівняння  [2].

Розв’язок. Тут невідомий від’ємник. Щоб знайти його, слід від зменшуваного відняти різницю:

, або

Тут невідомий множник . Щоб знайти його, треба добуток поділити на відомий множник:

Відповідь: .

Кожне рівняння має ліву і праву частину. Наприклад, у рівнянні  різниця  - це ліва частина, а число 13 - права частина. Разом  та 13 - члени цього рівняння.

Рівносильні рівняння.

Розглянемо два рівняння:  і . Кожне з них має один і той самий розв’язок: . Такі рівняння називаються рівносильними.

Два рівняння називаються рівносильними, якщо кожне з них має ті самі розв’язки, що й друге. Рівносильними вважають і такі рівняння, які не мають розв’язків, наприклад:  та .

Щоб розв’язувати складніші рівняння, слід вміти замінювати їх простіши-ми і рівносильними даним.

З розподільного закону множення випливає, що при будь якому значенні , числа  та  рівні. Тому рівносильні такі, наприклад, рівняння:  та .

З розподільного закону випливає, що при кожному значенні  числа  і  рівні. Тому рівносильні і такі рівняння:

 та

Взагалі, якщо в будь-якій частині рівняння звести подібні доданки або розкрити дужки, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Додавши до обох частин правильної числової рівності одне й те саме число, отримаємо також правильну рівність. З цього випливає, що коли, наприклад, до обох частин рівняння  додати по , то отримане рівняння , рівносильне даному. А додати по  - це те саме, що перенести з правої частини рівняння в ліву його член  з протилежним знаком. Взагалі, якщо з однієї частини рівняння в іншу перенести будь-який його член з протилежним знаком, то дістанемо рівняння, рівносильне даному [2].

Згадаємо також, що обидві частини числової рівності можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля. Тому й коли обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля, то дістанемо рівняння, рівносильне даному рівнянню.

Завжди правильні такі основні властивості рівнянь [2]:

. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки.

. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.

У результаті таких перетворень завжди дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Лінійні рівняння [2].

Рівняння виду , де  і  - задані числа, називається лінійним рівнянням із однією змінною . Числа  і  - називаються коефіцієнтами лінійного рівняння:  - коефіцієнт при змінній ,  - вільний член рівняння.

Якщо , то рівняння  називають рівнянням першого степеня з однією змінною. Його корінь . Кожне рівняння першого степеня з однією змінною має тільки один корінь. Лінійне рівняння може не мати коренів, мати один корінь, або безліч коренів.

Так, рівняння  не має жодного кореню, а рівняння  має безліч коренів.

Розв’язуючи рівняння, його спочатку намагаються звести до лінійного. Роблять це декількома способами [2]:

1.  Позбуваються знаменників (якщо вони є);

2.      Розкривають дужки (якщо вони є);

.        Переносять члени з змінними в ліву частину рівняння, а інші - в праву.

.        Зводять подібні доданки.

У результаті такого перетворення отримують рівняння, рівносильне даному, а його корені є також коренями даного рівняння.

Приклад 1.1.2. Розв’яжіть рівняння [2]

Розв’язок

Щоб розв’язати задачу з допомогою лінійних рівнянь спочатку треба скласти відповідно до умов задачі лінійне рівняння. Тобто треба перекласти задачу із звичайної мови на мову алгебраїчну.

Задача 1.1.3 На двох токах 1000 т зерна. Скільки зерна на кожному току, якщо на першому його на 200 т менше, ніж на другому?

Розв’язок. Нехай на першому току  т зерна. Тоді на другому його

(), а на обох токах . Складаємо рівняння за умовами задачі:

Відповідь: 400 т та 600 т.

Розв’язуючи задачі на рух, бажано пам’ятати, що при рівномірному русі пройдена тілом відстань дорівнює добутку швидкості на час (

Якщо тіло рухається при наявності течі, то його швидкість руху за течією (проти течії) дорівнює сумі (різниці) його власної швидкості і швидкості течі.

Задача 1.1.4 Катер пройшов відстань між пристанями за течією за 2 год., а назад - за 3 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки 2 км/год.

Розв’язок. Нехай власна швидкість катера  км/год. Тоді

 км/год - його швидкість за течією;  км/год - його швид-кість проти течії;  км - катер пройшов відстань за течією;  км - катер пройшов відстань проти течії.

Відстані  та  рівні. Отже маємо рівняння:

= звідки ,  Відповідь. 10 км/год.

.2 Система лінійних рівнянь з двома змінними (7 клас)

Рівняння виду , де  - задані числа, називається лінійним рівнянням з двома змінними  та . Якщо  і , його називають рівнянням першого степеня з двома змінними [2].

   - приклади лінійних рівнянь, два перших із них - рівняння першого степеня з двома змінними.

Пара чисел  і  задовольняють рівняння , бо . А пара чисел  і  цього рівняння не задовольняють, бо .

Кожна пара чисел, яка задовольняє рівняння з двома змінними називається розв’язком цього рівняння (при цьому коренями їх не називають).

Щоб знайти розв’язки рівняння з двома змінними слід підставити в рівняння довільне значення першої змінної  та, розв’язавши отримане лінійне рівняння з однією змінною , знайти його значення [2].

Приклад 1.2.1. Знайдемо кілька розв’язків рівняння .

. Якщо , то . Відповідно пара чисел  є одним із розв’язків цього рівняння, його коротко записують як (1;-2).

. Якщо , то . Відповідно пара чисел  є другим із розв’язків цього рівняння, його коротко записують як (3;4).

. Якщо , то . Відповідно пара чисел  є третім із розв’язків цього рівняння, його коротко записують як (15;40).

Таким чином, кожне рівняння першого степеня з двома змінними має безліч розв’язків.

Два рівняння з двома змінними називають рівносильними, якщо кожне з них має такі самі розв’язки, що і друге. Рівняння, які не мають розв’язків також вважаються рівносильними. Обидві частини рівняння з двома змінними можна помножити або поділити на одне й те саме відмінне від нуля число. Будь який член такого рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний. У результаті дістанемо рівняння, рівносильне даному [2].

Наприклад, рівняння  можна перетворити так:

,  Кожне з цих рівнянь рівносильне іншому.

Як тільки між змінними  та  задається друге додаткове рівняння зв’язку, то розв’язок може бути тільки одним, що доведемо прикладом.

Приклад 1.2.2. Серед розв’язків рівняння , знайдіть таку пару розв’язків, яка складалась би з однакових чисел.

Розв’язок. Нехай - шукана пара чисел. Оскільки вона повинна задовольняти задане рівняння, то

, звідки

Відповідь: (9;9)

Системи рівнянь

Рівносильні перетворення лінійних рівнянь з двома змінними використовують при пошуку рішень в системах двох рівнянь з двома змінними. В таких системах необхідно знати таку пару чисел (розв’язків), які задовольняли б і перше і друге рівняння при умові що вони не є рівносильними.

Враховуючи, що кожне окреме лінійне рівняння з двома змінними має безліч розв’язків, розв’язком системи лінійних рівнянь називається спільний розв’язок усіх її рівнянь [2]. Тобто розв’язати систему лінійних рівнянь з двома змінними:

 (2)

при заданих коефіцієнтах  - це знайти множину значень (), які задовольняють кожному рівнянню.

Найпоширенішими способами Розв’язок системи рівнянь з двома змінними є спосіб підстановки та спосіб додавання.

Спосіб підстановки [4].

Щоб розв’язати систему (2) способом підстановки, треба:

) виразити з якого-небудь її рівняння одну змінну через другу змінну та коефіцієнти, наприклад із системи (2):

 (3)

) підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної здобутий вираз;

 (4)

) розв’язати утворене лінійне рівняння (4) з однією змінною ;

) знайти відповідне значення (3) другої змінної .

Приклад 1.2.3. Нехай треба розв’язати способом підстановки систему:

Виразимо з другого її рівняння змінну  через .

Через те, що перше рівняння системи повинне задовольняти тіж самі значення змінних, що й друге, підставимо знайдений вираз  замість  у перше рівняння. Дістанемо рівняння з однією змінною:

Звідки

Підставивши знайдене значення  в рівняння , дістанемо відповідне значення змінної :

Отже, розв’язком системи є пара чисел (3;2).

Способом підстановки зручно користуватись тоді, коли коефіцієнт при якій-небудь змінній в рівняння дорівнює 1. Та цим способом можна розв’язува-ти і будь-яку систему лінійних рівнянь з двома змінними.

Приклад 1.2.4 Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язок. Замінимо дані рівняння лінійними, дістанемо систему:

Із першого рівняння виразимо змінну  через

та підставимо це значення у друге рівняння системи:

 та після перетворень

 і, відповідно,

Відповідь: (2; -3)

Спосіб додавання [4].

При розв’язанні системи рівнянь способом додавання:

) Виконуємо рівносильними перетвореннями зрівнювання коефіцієнтів перед однією парою однакових змінних в першому та другому рівнянні;

 (5)

Для цього перше рівняння (праву і ліву частину) домножуємо на , друге рівняння (праву і ліву частину) на .

Отримуємо рівносильну систему з рівними коефіцієнтами з різними знаками перед змінною :

 (6)

) Додаючи одне рівняння від другого по частинам, отримуємо рівняння з однією змінною, яке розв’язуємо.

 (7)

 (8)

3) підставляючи отримане значення в одне з рівнянь системи (5), отримуємо рівняння з однією змінною, яке розв’язуємо, таким чином знаходячи розв’язок системи.

Приклад 1.2.5. Нехай задано систему рівнянь:

Розв’язок. При додаванні по частинам першого рівняння до другого отримуємо рівносильні ліву та праву частину:

  звідки

 Відповідь: (5; 2)

Так розв’язують системи, в яких коефіцієнти при якій-небудь змінній - протилежні числа. А до такого вигляду можна звести будь-яку систему лінійних рівнянь з двома змінними.

Приклад 1.2.6 Нехай задано систему рівнянь:

Розв’язок. Домножимо всі члени 1 рівняння на 2, а всі члени другого рівняння на -3, отримаємо рівносильну систему рівнянь:

Додаючи по частинам перше рівняння до другого отримаємо:

Відповідно:

Відповідь. (15; -2)

.3 Квадратні рівняння (8 клас)

Квадратним називають рівняння другого степеня з однією змінною виду

, де  - змінна, а  - дані числа, причому  [3].

Числа  - коефіцієнти квадратного рівняння: - перший коефіцієнт,  - другий,  - вільний член.

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю. Якщо хоч один коефіцієнт  або  дорівнює нулю, то квадратне рівняння називають неповним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів [3]:

)  2)  3)

) рівняння виду  рівносильне рівнянню  і тому воно завжди має тільки один корінь .

) рівняння виду  рівносильно рівнянню  і завжди має два корені .

Приклад 1.3.1 Розв’яжіть рівняння .

Розв’язок. Винесемо змінну  за дужки: .

Отже, , або , звідки .

Відповідь.

) рівняння виду  рівносильне рівнянню . Якщо , воно має два розв’язки, якщо  - жодного розв’язку.

Якщо знаки коефіцієнтів  і  різні, то число  додатне і Розв’язок має два корені, якщо знаки коефіцієнтів  і  однакові, то число  від’ємне і рівняння  не має коренів.

Приклад 1.3.2 Розв’яжіть рівняння .

Розв’язок. Перетворимо дане рівняння до виду . Тоді  - це квадратний корінь з . Квадратних коренів з числа  є два:

 та .

Відповідь. .

Формула коренів квадратного рівняння

Приклад 1.3.3 Розв’яжемо для прикладу рівняння . Якщо до виразу  додати та відняти 9, то достанемо квадрат двочлена  та додаткове число -9:

 еквівалентне

Отже, , звідки два корені .

Відповідь:

Такий спосіб розв’язування квадратного рівняння називають способом виділення квадрата двочлена.

Розв’яжемо подібним способом рівняння .

Помноживши обидві частини рівняння на  (по визначенню ), отримаємо:

Вираз  називають дискримінантом даного квадратного рівняння і позначають буквою .

Якщо , то дане рівняння не має коренів, не існує такого дійсного значення , при якому б значення виразу  було б від’ємним.

Якщо , то , звідки  - єдиний корінь рівняння.

Якщо , то дане квадратне рівняння рівносильне рівнянню:

звідки два розв’язки:

,

або

,

У цьому випадку дане рівняння має да корені, які відрізняються тільки знаками перед коренем з дискримінанту . Коротко розв’язок формули коренів квадратного рівняння  записують:

, де

Користуючись нею, можна розв’язати будь-яке квадратне рівняння.

Приклад 1.3.4. Розв’язати квадратні рівняння:

а)

б)

в)

Розв’язок

а)

Відповідь:

б)

Відповідь:

в)

Відповідь: Коренів немає.

Теорема Вієта [3]

Квадратне рівняння називають зведеним, якщо його перший коефіцієнт дорівнює одиниці.

Теорема Вієта. Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток - вільному члену.

Доведення. Якщо рівняння  має корені , то їх можна знаходити по формулам:

 і  (1)

Додамо і перемножимо ці корені:

Отже , що і треба було довести.

Примітка. Якщо , то рівняння  має два однакові корені .

Кожне квадратне рівняння виду  (при ) рівносильне зведеному квадратному рівнянню . Тому якщо таке рівняння має два корені , то:

 та

Теорема (обернена до теореми Вієта). Якщо сума і добуток чисел  і  дорівнюють відповідно -  і , то  і  - корені рівняння .

Доведення. Нехай  і . За цих умов рівняння  рівносильне рівнянню .

Підставимо в це рівняння замість  значення  і .

Як видно з Розв’язок цих рівнянь числа  і  - корені рівняння, що і потрібно було довести.

При розв’язанні квадратних рівнянь застосовують знання формул скороченого множення многочленів [4]:

1.

.

.

За допомогою квадратних рівнянь можна спростити розв’язування багатьох задач.

Задача 1.3.5. Знайдіть довжини сторін прямокутника, периметр якого дорівнює 42 см, а площа 108 см².

Розв’язок. Півпериметр прямокутника дорівнює сумі його основи та бокової сторони (висоти) - 21 см. Якщо основу прямокутника позначити  см, то висоту прямокутника можна розрахувати як (21-) см. Площа прямокутника дорівнює добутку основи та висоти прямокутника:

 або  або

Розв’яжемо це рівняння

Відповідь:

.4 Ірраціональні рівняння (10 клас)

Рівняння називається ірраціональним, якщо невідоме входить під знаком чи радикала невідоме зводиться в ступінь із дробовим показником [23]. Розв’язок ірраціонального рівняння зводиться до звільнення від ірраціональності і розв’язанню отриманого рівняння. При зведенні рівняння в ступінь можуть з'явитися сторонні корені. Тому необхідно робити перевірку, чи є знайдені корені. Розв’язок вихідного рівняння. Основним методом Розв’язок ірраціональних рівнянь є зведення обох частин рівняння в ступінь. Приведемо основні способи Розв’язок ірраціональних рівнянь.

. Метод рівняння на область допустимих значень (ОДЗ) [52].

Знаходимо ОДЗ з умов того, що підкоренева функція  вираження  задовольняє умові . При розв’язанні ірраціонального рівняння перевіряємо, чи входять знайдені корені в ОДЗ.

Приклад 1.4.1 Розв’яжемо рівняння

.

Зведемо обидві частини рівняння в квадрат

.

Корінь  не задовольняє рівнянню, тому що під коренем будуть негативні вираження.

Приклад 1.4.2 Розв’яжемо ірраціональне рівняння

ОДЗ значень  визначаються додатним чи нульовим значенням виразу під коренем , відповідно до чого ОДЗ визначається як .

У рівняння 3 розв’язки, які знаходяться при розв’язанні рівнянь

Відповідно розв’язок:

Корені ,  не входять в ОДЗ  і не задовольняють рівнянню.

Приклад 1.4.3 Розв’яжемо рівняння

.

ОДЗ цього рівняння визначається додатним чи нульовим значенням виразу під коренем

З рівнянь  знаходимо корені , , . Корінь  не входить в ОДЗ  і є стороннім.

Приклад 1.4.4 Розв’яжемо рівняння

ОДЗ цього рівняння визначається додатним чи нульовим значенням виразу під коренем .

Рівняння має очевидний корінь , що не входить в ОДЗ і є стороннім. Після скорочення на  одержимо рівняння

, ,

Варто оцінити значення лівої і правої частин рівняння в ОДЗ. Якщо вони не можуть бути рівними в ОДЗ, то рівняння не має розв’язків.

Приклад 1.4.5 Розв’яжемо рівняння

Знаходимо ОДЗ . В ОДЗ для  виконується нерівність

,

Тому рівняння не має розв’язків.

Приклад 1.4.6. Розв’яжемо рівняння

Знаходимо ОДЗ із нерівностей

Рівняння рішень не має.

Приклад 1.4.7 Розв’яжемо рівняння

Знаходимо ОДЗ: . В ОДЗ права частина рівняння негативна, а ліва частина не негативна. Рівняння не має розв’язків,  (пуста множина значень).

. Метод зведення рівняння в квадрат[52]

Приклад 1.4.8 Розв’яжемо рівняння

Зведемо рівняння в квадрат

Приклад 1.4.9. Розв’яжемо рівняння

.

Виділимо обох частин рівняння в квадрат

Після приведення подібних членів одержимо

.

Приклад 1.4.10 Розв’яжемо рівняння

ОДЗ для цього рівняння визначається двома нерівностями

 та , тобто загальна ОДЗ

Перетворимо рівняння

Зводимо обох частин рівняння в квадрат

Цей розв’язок не задовольняє ОДЗ рівняння, тобто  (пуста множина).

Приклад 1.4.11. Розв’яжемо рівняння

ОДЗ для цього рівняння визначається двома нерівностями

 та , тобто загальна ОДЗ

Зведемо обидві частини рівняння в квадрат. Одержимо

Зведемо рівняння в квадрат

Розв’язок  задовольняє ОДЗ, але не задовольняють рівнянню.

Відповідь:

Приклад 1.4.12 Розв’яжемо рівняння

ОДЗ для цього рівняння визначається двома нерівностями

 та

Зведемо обидві частини рівняння в квадрат

,

чи .

. Метод заміни [52].

Заміна підкореневого вираження спрощує зведення ірраціонального рівняння до раціонального.

Приклад 1.4.13 Розв’яжемо рівняння

.

Позначимо . Одержимо рівняння за зведемо дві його частини в квадрат

Одержимо рівняння та його корені

.

Приклад 1.4.14 Розв’язати рівняння

Позначимо . Одержимо рівняння та його корені

Відповідно вставлюючи отримане значення  в підстановку, отримуємо

 та його корені

.

Приклад 1.4.15 Розв’язати рівняння

.

Позначаючи , одержимо рівняння . . Розв’язуємо рівняння

;

.

Приклад 1.4.16 Розв’язати рівняння

.

Проводячи заміну . Одержимо рівняння та його корені

.

З рівняння

.

Приклад 1.4.17 Розв’язати рівняння

Проводимо заміну

.

Розв’язуємо рівняння:

.

Звідси знаходимо

.

Приклад 1.4.18 Розв’язати рівняння

Проводимо заміну . Одержимо рівняння

.

. Виділення повного квадрата [52]

При розв’язанні ірраціональних рівнянь часто використовують прийом виділення повного квадрата.

Приклад 1.4.19 Розв’язати рівняння

.

Виділимо під радикалами повний квадрат

чи

Розв’язуємо рівняння на інтервалах  і знаходимо корені , .

Приклад 1.4.20 Розв’язати рівняння

.

Позначимо  й одержимо рівняння

Одержимо розв’язок .

Приклад 1.4.21 Розв’язати рівняння

.

Запишемо рівняння

чи

чи

чи .

Приклад 1.4.22 Розв’язати рівняння

Під знаком кореня - повний квадрат

Знаходимо ОДЗ

З першої системи знаходимо . Корінь  - сторонній.

З другої системи знаходимо .

Корінь  - сторонній.

Приклад 1.4.23. Розв’язати рівняння

.

Виділимо повний квадрат

Покладемо . Одержимо рівняння

Позначимо  й одержимо рівняння

Якщо покладемо , то одержимо систему

.

Віднімаючи рівняння, одержимо

.

Розв’язуємо рівняння

Оскільки

.

. Множення на сполучене вираження [52]

Приклад 1.4.24 Розв’язати рівняння

 (1)

Помножимо обох частин рівняння на сполучене вираження

.

Одержимо рівняння

. (2)

Маємо корінь рівняння . З рівнянь (1), (2) знаходимо

Зводимо обох частин рівняння в квадрат.

Корінь  не задовольняє рівнянню.

Приклад 1.4.25. Розв’язати рівняння

Ліву і праву частини рівняння множимо і ділимо на сполучені вираження

Одержимо рівняння

Є загальний множник .

Приклад 1.4.26 Розв’язати рівняння з кубічними ірраціональностями

.

Помножимо на сполучене вираження .

Одержимо різницю кубів

.

Одержимо більш просте рівняння

.

Покладемо , . Одержимо

, , ; ,

. Метод однорідних ірраціональних рівнянь [52]

Рівняння виду

називається однорідним. Воно зводиться до квадратного рівняння заміною

Приклад 1.4.27 Розв’язати рівняння

.

Уведемо позначення

і приходимо до рівняння

, , .

З рівняння

,

Приклад 1.4.28 Розв’яжемо рівняння

 чи .

Думаючи,

, ,

, , , .

Корінь  не задовольняє рівнянню.

. Метод розкладання на множники[52]

Приклад 1.4.29 Розв’язати рівняння

Знайдемо спочатку ОДЗ із нерівностей

Винесемо загальний множник

Зведемо обидві частини рівняння до квадрату

,

Або

, .

Приклад 1.4.30 Розв’язати рівняння

Винесемо корінь четвертого ступеня за дужки

, , , .

Приклад 1.4.31 Розв’язати рівняння

Винесемо корінь за дужки

, ;

, , , .

. Метод заміни радикалів новими невідомими [52].

Основним способом Розв’язок складних ірраціональних рівнянь є заміна кожного радикала новим невідомої. Це дозволяє звести ірраціональне рівняння до системи алгебраїчних рівнянь.

Приклад 1.4.32 Розв’яжемо рівняння

.

Уведемо позначення

,

і при цьому приходимо до системи алгебраїчних рівнянь

У першу чергу виключаємо невідоме .

Звідси знаходимо розв’язок , ,

1.5 Показникові рівняння (10 клас)

Приведемо деякі властивості показників функції  [27].

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

При  показникова функція  зростає при всіх значеннях х, при  показникова функція убуває при всіх значеннях х

Способи розв’язку показникових рівнянь[27].

. Спосіб прирівнювання показників при одній підставі

З рівняння  знаходимо .

Приклад 1.5.1

,

;

.

Приклад 1.5.2

.

Прирівнюємо показники при основі 5.

Корінь  не задовольняє рівняння.

. Спосіб логарифмування рівняння.

Приклад 1.5.3

Логарифмуємо рівняння по основі 3.

,

.

Приклад 1.5.4

.

Оскільки , то можна логарифмувати рівняння.

.

. Спосіб позначень

Приклад 1.5.5. .

Позначимо .

.

.

Приклад 1.5.6

.

Позначимо

. При цьому ; .

.

Приклад 1.5.7

.

Позначимо

:

. Спосіб однорідних рівнянь

Рівняння , можна переписати у вигляді

Вважаючи , отримаємо рівняння .

Приклад 1.5.8

.

Перепишемо рівняння у вигляді

,

Приклад 1.5.9

х = 1,18681439

Приклад 1.5.10

.

Запишемо рівняння у вигляді

;

.

. Спосіб розкладання рівняння на множники.

Рівняння  намагаємося подати у вигляді  і прирівнюємо до нуля кожний множник.

Приклад 1.5.11

.

Покладемо  і розкладемо рівняння  на множники . Приходимо до рівняння:

; .

і знаходимо корінь .

Приклад 1.5.12

.

Покладемо  і згрупуємо члени з множниками

.

) , 2) , ;

. Корінь  не задовольняє рівняння.

1.6 Логарифмічні рівняння (10 клас)

Логарифмічна функція  є функція зворотна до показникової функції  [52].

При  логарифмічна функція зростає при , при  логарифмічна функція убуває при .

Логарифмом числа b по основі а називається степінь, в яку потрібно звести основу а, щоб отримати число b

.

Звичайно думають .

Основні тотожності для визначення логарифмів

Приведемо деякі властивості логарифмів [52]:

.

.

.

.

. .

. .

. Формула переходу до нової основи

.

. .

. .

.

. .

. .

Способи Розв’язок логарифмічних рівнянь [52].

. Спосіб переходу до загальної основи. Якщо в рівнянні є логарифми з різними основами, то переходимо до загальної основи.

Приклад 1.6.1

,

,

.

Приклад 1.6.2

Переходимо до основи 5.

,

.

. Спосіб потенціювання. Якщо під знаком логарифма є сума або різниця, то рівняння потенціюють. Розв’язок обов’язково перевіряють.

Приклад 1.6.3

. Перейдемо до основи 2.

.

Потенціюємо рівняння

.

Корінь  не задовольняє рівняння.

Приклад 1.6.4

.

Корінь  не задовольняє рівняння.

. Спосіб логарифмування. Якщо в показнику при невідомому є логарифми невідомого, то звичайно рівняння логарифмується.

Приклад 1.6.5 ,

Логарифмуємо рівняння по основі 10.

.

Приклад 1.6.6

,

. Спосіб позначень, , .

Логарифмічне рівняння зводиться до алгебраїчного рівняння.

Приклад 1.6.7

, ,

.

Приклад 1.6.8

. Позначимо .

. Спосіб розкладання на множники. Рівняння розкладається на множники  і кожний множник прирівнюється до нуля.

Приклад 1.6.9

,

,

.7 Тригонометричні рівняння (10 клас)

Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння [28].

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння - означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення  тригонометричної функції.

Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, Розв’язок яких визначається стандартними формулами.

. Основні співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу:

2. Формули додавання аргументів:

. Формули подвійного і потрійного аргументів:

. Формули зниження степеня:

. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму:

. Формули перетворення суми і різниці однойменних тригонометричних функцій:

. Формули, які дають раціональний вираз тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу:

. Формули тригонометричних функцій половинного аргументу:

Знак перед радикалом в останніх трьох формулах залежить від того, в якій кординатній чверті знаходиться кут .

Крім основних формул тригонометрії, при розвязуванні прикладів часто використовують метод введення допоміжного кута для виразів виду

 де  

Цей вираз можна перетворити у добуток у такий спосіб:

(такий кут  існує, оскільки

)

Таким чином,

, де

 (інакше ).

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

. Рівняння

Оскільки, то рівняння  має розв’язки тільки при . Корені рівняння  можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди  з прямою (рис. 1.7.1)

Рис. 1.7.1 До рівняння  [27]

Нехай .Тоді при   и  - точки перетину синусоїди  і прямої . Абсциси цих точок мають координати  і . Враховуючи періодичність функції , дістанемо дві серії (дві множини) розв’яків:

,

Серії (групи) коренів  і  можна показати однією формулою

Дійсно, якщо

(серія коренів );

якщо  

(серія коренів).

Таким чином, остаточно дістаємо

Приклад 1.7.1 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Відповідь .

Приклад 1.7.2 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Відповідь .

Приклад 1.7.3 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Відповідь .

. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при . Використовуючи рис.3.17, і провівши міркування, аналогічно при розв’язанні рівняння , остаточно дістаємо:

Для окремих випадків

А)

Б)

В)

Відповідні геометричні ілюстрації наведені на рис. 1.7.2.

Рис. 1.7.2 До рівняння  [27]

Приклад 1.7.4 Розв’язати рівняння

Необхідно відзначити, що

Дуже часто наводиться помилковий запис Тому бажано перевіряти себя на деяких етапах Розв’язок рівнянь.

Зокрема,

оскільки ,

Відповідь:

Приклад 1.7.5 Розв’язати рівняння

Відповідь:

. Рівняння

Використовуючи рис. 1.7.3, неважко довести, що всі корені рівняння задаються формулою

Для окремих випадків, коли  дістаємо:

Рис. 1.7.3 До рівняння  [27]

Приклад 1.7. 6. Розв’язати рівняння

Розв’язок

Відповідь

Приклад 1.7.7 Розв’язати рівняння

Розв’язок.

Відповідь:

. Рівняння

Використовуючи рис. 1.7.4, неважно довести, що всі корені рівняння  визначаються співвідношенням

Для окремих випадків, коли  дістаємо:

Рис. 1.7.4 До рівняння  [27]

Приклад 1.7.8 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Відповідь:

Приклад 1.7.9 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Відповідь:

Приклад 1.7.10 Розв’язати рівняння

Розв’язок

, якщо

Відповідь:

Завершуючи розгляд найпростіших тригонометричних рівнянь наведемо таблицю розв’язків найпростіших тригонометричних рівнянь табл. 1.7.1 [27].

Таблиця 1.7.1

В усіх наведених формулах таблиці

Способи розв’язку тригонометричних рівнянь з комбінацією тригонометричних функцій наведені в наступних прикладах.

Приклад 1.7.11 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Початкове рівняння рівносильне системі

Звідси

 тобто підходять тільки Таким чином,

Відповідь:

Приклад 1.7.12 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Звідси  підходять тільки парні  тобто Таким чином, .

Відповідь:

Приклад 1.7.13 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Відповідь:

Приклад 1.7.14 Розв’язати рівняння

Розв’язок.

Звідси

 підходять тільки парні тобто

Таким чином,

Відповідь:

Розв’язування тригонометричних рівнянь із застосуванням комбінованих способів ґрунтується на використанні властивостей тригонометричних функцій і основних співвідношень між ними [6].

Розглянемо основні методи розв’язку тригонометричних рівнянь. Ці рівняння в загальному підсумку зводяться до найпростіших, розв’язок яких уже розглянуто.

. Розв’язок тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники.

Застосування цього методу засновано на тому, що рівняння  рівносильне сукупності рівнянь  в області визначення рівняння .

Приклад 1.7.15 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Відповідь:

Приклад 1.7.16 Розв’язати рівняння

Розв’язок.

Відповідь:

Приклад 1.7.17 Розв’язати рівняння

Розв’язок. За формулою зниження степеня  дістаємо

Відповідь:

При розв’язанні рівнянь методом розкладання на множники воно може виявитися не рівносильним дістаній сукупності рівнянь, оскільки можлива поява сторонніх коренів.Щоб уникнути помилок у відповіді, бажано знаходити ОДЗ (якщо ОДЗ- множина дійсних чисел, то про ОДЗ звичайно не згадується)і при записі відповіді виключити розв’язки, які не задовольняють ОДЗ.

Приклад 1.7.18 Розв’язати рівняння

Наведемо дві форми запису розв’язку вихідного рівняння.

форма запису розв’язку.

ОДЗ:

Знаходимо значення , що задовольняють рівнянням  і

якщо якщо

Оскільки через ОДЗ , то серія розв’язків  непридатна, вона не входить в ОДЗ, і відповіддю є тільки друга серія розв’язків

Відповідь:

форма запису розв’язку.

Відповідь:

. Спосіб зведення тригонометричних рівняння до однієї з функції.

Якщо рівняння, що містять дві або більше тригонометричних функцій, вдається звести до якоїсь однієї (тощо), то після відповідної замінної тригонометричне рівняння перетворюється в алгебричне відносно зробленої заміни змінної.

Якщо алгебричне рівняння вдається розв’язати, то тим самим початкове рівняння зводиться до одного або до сукупності кількох найпростіших рівнянь

Особливо відзначимо тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь.

Тут часто використовується основна тригонометрична тотожність

Приклад 1.7.19 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Замінюючи  через  дістаємо  

Поклавши  дістаємо квадратне рівняння

Розв’язуючи це рівняння, знаходимо

Отже, або Якщо,то

Якщо  то

Відповідь:

Приклад 1.7.20 Розв’язати рівняння

Розв’язок

З огляду на те,що і позначивши  дістанемо

корені якого

Рівняння  коренів не має, а рівняння  можна

розв’язати двома способами.

спосіб.

спосіб.

Можна показати, що серії коренів. отримані другим способом, збігаються із серією, отриманою першим способом.

Відповідь:

Приклад 1.7.21 Розв’язати рівняння

ОДЗ:

Оскільки то після заміни  приходимо до квадратичного рівняння звідки

Звідки  знаходимо

З рівняння  знаходимо

Очевидно що всі серії коренів входять в ОДЗ.

Відповідь:

. Розв’язування тригонометричних рівнянь однорідних відносно синуса і косинуса, а також зводяться до одноріних

Однорідними тригонометричними рівняннями називаються рівняння виду:

(однорідні рівняння 1-го степеня);

(однорідні рівняння 2-го

степеня);

(однорідні

рівняння 3-го степеня);

(однорідні рівняння к-го степеня);

Бачимо, що у всіх доданих однорідних рівнянь сума показників степенів однакова.

Рівняння  при  не є однорідним, але його можна звести до однорідного рівняння 2-го степеня, замінивши число  тотожно рівним йому виразом

Для розв’язування однорідних рівнянь у випадку  розглянемо такі значення , для яких . Тоді з початкового однорідного рівняння випливає, що при тих самих значеннях  має бути , а це неможливо, оскільки суперечить основній тригонометричній тотожності  Звідси розв’язками однорідного рівняння (при ) можуть бути тільки такі значення , для яких .

Звідси однорідне тригонометричне рівняння можна звести до рівняння відносноякщо всі його члени поділити на  і при цьому (якщо ) таке ділення не приведе до втрати розв’язків, оскільки значення , при яких , не задовольняють початковому рівнянню.

Якщо ж , то таке ділення приведе до втрати коренів і,значить, у відповідь варто включити розв’язок рівняння

, тобто

Приклад 1.7.22 Розв’язати рівняння

Розв’язок. Поділивши обидві частини початкового рівняння на

Дістаємо

Відповідь:

Приклад 1.7.23 Розв’язати рівняння

Розв’язок. Поділивши обидві частини початкового рівняння на дістаємо

звідси

Відповідь:

Приклад 1.7.24 Розв’язати рівняння

Розв’язок. Початкове рівняння не є однорідним, однак воно легко зводиться до однорідного 2-го степеня після заміни Тоді дістанемо

Відповідь:

. Розв’язування тригонометричних рівняннь за допомогою універсальної підстановки

При використанні універсальної підстановки функції  нескладно виражаються через  за такими формулами:

Оскільки використання універсальної підстановки можливо лише при  то потрібно перевіряти, чи не є числа виду  розв’язками початкового рівняння.

Приклад 1.7.25 Розв’язати рівняння

Розв’язок. Виконавши у початковому рівнянні підстановку , дістаємо рівняння

З рівняння  дістаємо

З рівняння

Залишається перевірити, чи не задавольняють початковому рівнянню числа

Підставляючи  у початкове рівняння, маємо:

значить,числа  не є розв’язками початкового рівняння.

Відповідь:

. Метод введення допоміжного аргументу

Іноді при розв’язуванні тригонометричних рівнянь корисно скористатися формулою

де .

У цьому випадку  називається допоміжним аргументом або допоміжним кутом.

Приклад 1.7.26 Розв’язати рівняння

Розв’язок.

Оскільки  то

У процесі розв’язування ми врахували той факт, що то  покласти таким,що дорівнює

Відповідь:

Зауваження 3. Приклад 14 можна розв’язати ще, наприклад, такими способами:

А)

Відповідь:

Б) Застосовуючи універсальну тригонометричну підстановку , дістанемо

Необхідно перевірити ще серію коренів

Перевіркою переконуємося, що значення  задовольняють початковому рівнянню, тобто є розв’язками.

Відповідь:

Зазначимо, що відповідь  збігається з отриманими способами а) і б), якщо покласти  і .

При цьому в обох серіях розв’язків цілочисловий параметр буде позначений однією буквою .

Приклад 1.7.27 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Допоміжний кут можна вввести в такий спосіб:

 тоді  Звідси

Відповідь:

. Розв’язок рівнянь перетворенням суми (різниці) тригонометричних функцій у добуток.

Приклад 1.7.28 Розв’язати рівняння

Розв’язок.

Відповідь:

. Розв’язок рівнянь перетворенням добутку тригонометричних функцій у суму

Приклад 1.7.29 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Застосовуючи формулу перетворення добутку тригонометричних функцій у суму, дістаємо:

Відповідь:

. Тригонометричні рівняння,що розв’язуються із застосуванням формул зниження степеня.

При розв’язанні подібного роду рівнянь користуються формулами зниження степеня

Приклад 1.7.30 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Застосовуючи формулу зниження степеня дістаємо

Застосовуючи до перших двох доданків формулу перетворення суми однойменних тригонометричних функцій у добуток дістаємо:

Відповідь:

. Розв’язування рівнянь із застосуванням формул подвійного і потрійного аргументів

Приклад 1.7.31 Розв’язати рівняння

Розв’язок. У лівій частині застосуємо формулу Поділити обидві частини отриманого рівняння на  не можна, оскільки це приведе до втрати розв’язків,що є коренями рівняння Дістаємо

Відповідь:

Приклад 1.7.32 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Перетворимо початкове рівняння, використовуючи формулу

Відповідь:

РОЗДІЛ 2. НЕРІВНОСТІ ТА МЕТОДОЛОГІЯ ЇХ РОЗВ’ЯЗАННЯ В СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ

.1 Лінійні нерівності з однією змінною (9 клас)

Два математичних вирази, з’єднані знаком «більше» >, «менше» <, «не більше»  або «не менше» , називаються нерівностями [22].

Запис  позначає, що або  або .

Нерівності бувають чисельні і буквені. Якщо в нерівність входять перемінні, то нерівність називається з перемінними. Якщо нерівність виконується при всіх значеннях перемінних, то воно називається тотожньою нерівністю. Нерівність називається алгебраїчною, якщо з перемінними виконуються алгебраїчні дії. Інші нерівності називаються неалгебраїчними або трансцендентними.

Властивості числових нерівностей[22].

Якщо: а < b і b < с, то а < с;

а < b і с - довільне число, то а + с < b + с;

а < b і с > 0, то ас < bс;

а < b і с < 0, то ас > bс;

а < b і c < d, то а + с < b + d;

а < b, c < d і а, b, с, d - числа додатні, то ас < bd.

а + с < х + у < b + d, a - d < х - у < b - с,

ас < ху < bd, a: d < х: у < b: c.

Дві останні подвійні нерівності правильні за умови, якщо числа а і с - додатні.

Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або показати, що їх немає. Множини розв’язків найчастіше утворюють проміжки [22].

Нерівності зі змінними мають багато властивостей, аналогічних до властивостей рівнянь [22]:

. Якщо з однієї частини нерівності перенесемо в іншу доданок з протилежним знаком, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

. Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме додатне число, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

. Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

Якщо а і b - дані числа, а х - невідома змінна, то кожна з нерівностей ах < b, ах > b, ах ≤ b, ах ≥ b (2.1.1) називається лінійною нерівністю першої степені з однією змінною х (невідомим).

Залежність розв’язків лінійної нерівності від значення коефіцієнтів при змінній і знака нерівності наведено в табл. 2.1.1 [27].

Таблиця 2.1.1

Якщо а = 0, то кожна з нерівностей (2.1.1) або не має розв’язків, або множиною її розв’язків є множина всіх дійсних чисел.

Приклад 2.1.1. Розв’яжемо нерівність

. (2.1.2)

Розв’язок.

. Переносимо однорідні члени нерівності зі змінною  до лівої частини нерівності із зміною знака, а числа - вправу частину нерівності із зміною знака.

При такому перенесені знак нерівності не міняється:

,

Провівши групування, отримуємо відповідь: .

Відповідь: .

Приклад 2.1.2. Розв’яжіть нерівність

(2 - х) ≤ 3х + 44. (2.1.3)

Розв’язок. Розкриваємо дужки в лівій частині:

- 7х ≤ 3х + 44,

1. Переносимо однородні члени нерівності зі змінною  до лівої частини нерівності із зміною знака, а числа - вправу частину нерівності із зміною знака.

При такому перенесені знак нерівності не міняється:

х - 3х ≤ -14 + 44,

Провівши групування, отримуємо: -10x ≤ 30,

Ділимо ліву та праву частину нерівності на -10, відповідно змінюючи знак нерівності на протилежний, отримуємо відповідь: х ≥ -3.

Відповідь. х ≥ -3.

Приклад 2.1.2 Розв’яжіть нерівність

 (2.1.4)

Розв’язок.

. Помножимо обидві частини нерівності на число 6 (НСК)

. Розкриваючи дужки у лівій частині та групуючи змінні та вільні члени в різних частинах нерівності без зміни знаку отримуємо

. Ділимо ліву та праву частину нерівності на -12, відповідно змінюючи знак нерівності на протилежний, отримуємо відповідь:

Відповідь:

Приклад 2.1.3. Розв’яжіть нерівність з модулем

 (2.1.5)

Розв’язок.

. Нерівність з модулем  рівносильна сукупності (не системі !) нерівностей. Сукупність нерівностей відрізняється від системи нерівностей тим, що кожна нерівність сукупності виконується окремо одна від одної (можливо на різних проміжках числової осі).

 або  звідси

Відповідь: Нерівність має 2 проміжка, на яких виконуються умови нерівності модуля  та . На проміжку числової осі  розв’язок відсутнє.

.2 Системи лінійних нерівностей з однією змінною (9 клас)

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, яке задовольняє кожну з нерівностей даної системи.

Система двох нерівностей зводиться до одного з наступних випадків [22].

1.  2.  3.  4. .

Якщо , то розв’язком системи нерівностей будуть:

. 2. 3. 4.

Множиною розв’язків системи нерівностей буде переріз множин розв’язків нерівностей, що входять до неї.

Приклад 2.2.1. Розв’яжемо систему нерівностей

 (2.2.1)

Розв’язок.

. Після перетворень кожної з нерівності системи (2.2.1), система нерівностей приймає вигляд

. Відповідно розв’язком буде подвійна нерівність , яка задовольняє обидві нерівності.

Відповідь: Перерізок множин розв’язків

Приклад 2.2.2 Розв’яжемо систему нерівностей

 (2.2.2)

Розв’язок.

. Після перетворень кожної з нерівності системи (2.2.2), система нерівностей приймає вигляд

. Як показує аналіз нерівностей областю множин рішень для першої нерівності є проміжок  зліва по числовій осі від точки , а областю множин рішень для другої нерівності є проміжок  справа по числовій осі від точки . Таким чином області множин рішень для обох нерівностей мають єдину точку перетинання .

Відповідь:

Приклад 2.2.3. Знайти цілі розв’язок системи нерівностей

 (2.2.3)

Розв’язок.

. Після перетворень кожної з нерівності системи (2.2.3), система нерівностей приймає вигляд

. Як показує аналіз нерівностей областю множин рішень для першої нерівності є проміжок  справа по числовій осі від точки , а областю множин рішень для другої нерівності є проміжок  зліва по числовій осі від точки . Таким чином області множин рішень для обох нерівностей мають проміжок перетинання у вигляді подвійної нерівності

.

Відповідь: , тобто ряд цілих чисел (-4,-3,-2,-1,0,1).

Приклад 2.2.4. Знайти цілі розв’язок системи нерівностей

 (2.2.4)

Розв’язок

. Після перетворень кожної з нерівності системи (2.2.3), система нерівностей приймає вигляд

. Як показує аналіз нерівностей:

областю множин рішень для першої нерівності є проміжок  справа по числовій осі від точки ;

областю множин рішень для другої нерівності є проміжок  справа по числовій осі від точки ;

областю множин рішень для третьої нерівності є проміжок  зліва по числовій осі від точки ;

Таким чином області множин рішень для трьох нерівностей (перша та треття нерівності не має жодної точки перетинання) не мають загальних проміжків перетинання, тобто система не має рішень

Відповідь: Система не має рішень.

2.3 Квадратні нерівності (9 клас)

Розглянемо квадратні нерівності [22]

. (2.3.1)

Якщо , то нерівність (2.3.1) виконується при всіх  при  і нерівність (2.3.1) не виконується ні в одній точці при .

Якщо , то нерівність (2.3.1) завжди виконується в точці . Нерівність (2.3.1) виконується при  при  і не виконується при  при .

При  знаходимо корні рівняння

, . (2.3.2)

При  нерівність виконується при .

При  нерівність виконується при .

Можна сформувати просте правило.

Якщо квадратна нерівність (2.3.1) виконана при великих значеннях , то воно виконується поза відрізка, обмеженого коренями рівняння . Якщо нерівність (2.3.1) не виконано при великих значеннях , то воно виконується на відрізку, обмеженими коренями рівняння (2.3.2).

Приклад 2.3.1 Розв’яжемо нерівність .

Оскільки нерівність не виконується при великих значеннях , то вона виконується між коренями рівняння

, ,

Таким чином, нерівність виконується в проміжку між коренями при .

Приклад 2.3.2 Розв’яжемо нерівність

Нерівність  виконується при великих значеннях модуля то воно буде виконуватись поза інтервалом, обмеженим коренями рівняння

,

Тобто в проміжку поза коренями (зліва та справа) при

.

Метод інтервалів застосовується при розв’язанні любих нерівностей, але простіше всього застосовується при розв’язанні раціональних нерівностях вигляду

. (2.3.3)

 - натуральні показники степені. Для Розв’язок нерівностей знаходять корні лівої частини нерівностей і наносять на числову вісь. Потім приводять криву так, що крива вище найбільшого кореня лівої частини нерівності. При переході через корінь  лівої частини нерівності (2.3.3) крива залишається з тієї ж сторони від вісі х, якщо показник -парний і переходить на другу від вісі х, якщо показник - непарний.

Приклад 2.3.3 Розв’яжемо нерівність

Наносимо корені  на вісь х і малюємо криву, визначаючу знаки лівої частини нерівності.

Рис. 2.3.1

Нерівності мають розв’язок .

Приклад 2.3.4 Розв’яжемо нерівність

.

Розкладемо ліву частину нерівності на множники

.

Можна поділити ліву частину на множники , які завжди позитивні

Відкладаємо на числовій осі  точки

Рис. 2.3.2

Розв’язком нерівності є тільки значення .

Приклад 2.3.5 Розв’яжемо більш складніші раціональні нерівності

.

Відкладемо на числовій вісі точки , , в яких ліва частина нерівності може змінити свій знак.

Рис. 2.3.3

Точки , в яких нерівність не виконується відмічаємо пустим кружечком. Утворюється розв’язок нерівності

.

.4 Ірраціональні нерівності (10 клас)

Як правило, ірраціональні нерівності зводяться до однієї з наступних нерівностей [52]

 (2.4.1)

Нерівність (2.4.1) виконується в одному з двох випадків

.

Нерівність

 (2.4.2)

виконується, якщо виконані нерівності

Приклад 2.4.1 Розв’яжемо рівняння

. (2.4.3)

Маємо нерівність вигляду (2.4.1). Складемо та розв’яжемо 2 системи нерівностей:

. Перша система 2-х нерівностей передбачає, що ліва частина нерівності (2.4.3) більше/дорівнює нулю, а права частина менше/дорівнює нулю

. Друга система 3-х нерівностей передбачає, що ліва і права частини нерівності (2.4.3) більше/дорівнює нулю та одночасно ліва частина більше/дорівнює правій частині.

Остаточно знаходимо розв’язок нерівності (2.4.3) у вигляді сукупності проміжків.

Приклад 2.4.2 Розв’яжемо ірраціональну нерівність

. (2.4.4)

Маємо нерівність вигляду (2.4.2).

.

Приклад 2.4.3 Розв’яжемо нерівність

. (2.4.5)

1.      Потрібно окремо розв’язати рівняння

а) , коренем якого є значення , яке не задовольняє друге

рівняння  (не має дійсних коренів)

б)  , коренем якого є два значення

та нерівність

Остаточно отримаємо розв’язок у вигляді однієї точки та проміжку

Кожну ірраціональну нерівність можна розв’язати методом інтервалів. Для цього заміняють нерівність рівністю, розв’язують рівняння і знаходять ОДЗ. Точки, відповідні розв’язкам розбивають ОДЗ на частини. Якщо в одній точці частини ОДЗ виконана нерівність, то вона виконана в усіх точках частини. Якщо в одній точці частини ОДЗ нерівності не виконані, то вони не виконується в усіх точках цієї частини ОДЗ [52].

Приклад 2.4.4.Розв’яжемо нерівність методом інтервалів

.(2.4.6)

Знаходимо ОДЗ з нерівності

ОДЗ: . Замість нерівності розв’яжемо рівняння

Наносимо точки на числову вісь

Рис. 2.4.1

. Підставляємо точку  із інтервалу  в нерівність. Отримаємо нерівність , які не виконуються. Тому нерівність (2.4.6) не виконується в усіх точках інтервалу .

. Підставимо точку  із інтервалу . Отримаємо здійсненну нерівність . Отже, нерівність (2.4.6) виконано на інтервалі .

. Візьмемо точку  із інтервалу . Отримаємо невиконану нерів-ність . Отже, нерівність (2.4.6) не виконано ні в одній точці інтервалу . Отже, розв’язок нерівності (2.4.6) - інтервал .

.5 Показникові нерівності (10 клас)

Показникові нерівності приводять до нерівності вигляду [52]

 (2.5.1)

Якщо , то .

Якщо , то .

Приклад 2.5.1. Розв’яжемо показникові нерівності

. (2.5.2)

. Перейдемо до основи 3 та зробимо перетворення

.

. Відповідно, отримаємо нерівність

. Розв’яжемо отриману нерівність методом інтервалів

при  , тобто вихідні умови не виконуються;

при , тобто вихідні умови виконуються;

при х=0 - розв’язок відсутнє;

при , тобто вихідні умови не виконуються;

при , тобто вихідні умови виконуються;

і находимо розв’язок у вигляді двох проміжків

Приклад 2.5.2 Розв’яжемо показникові нерівності

. (2.5.3)

. Запишемо нерівність у вигляді

.

. Поділимо нерівність на  і отримаємо

3. Позначимо , отримаємо нерівність

,

Звідки маємо два проміжки для

.

. Враховуючи введене позначення - , знаходимо проміжки для змінної , вирішуючи нерівності:

) . (розв’язок відсутнє)

) .

Відповідь: нерівність (2.5.3) виконується в проміжку .

.6 Логарифмічні нерівності (10 клас)

Логарифмічні нерівності зводяться до нерівності вигляду [52]

 (2.6.1)

1. Якщо , то .

. Якщо , то .

Приклад 2.6.1. Розв’яжемо нерівність

. (2.6.2)

. Запишемо нерівність у вигляді (2.6.1)

. і знаходимо розв’язок

.

Приклад 2.6.2 Розв’яжемо нерівність

. (2.6.3)

. Запишемо нерівність у вигляді подвійної нерівності

.

. Звідси знаходимо

,

,

Найбільш складними являються логарифмічні нерівності, коли основи логарифмів залежать від х.

(2.6.4)

Приходимо до двох систем нерівностей

1. ,

.

Загальний розв’язок яких утворить розв’язок нерівності (2.6.4)

Приклад 2.6.3 Розв’яжемо нерівність

. (2.6.5)

. Розв’яжемо систему нерівностей

. 2. .

. Остаточна відповідь:

Приклад 2.6.4 Розв’яжемо логарифмічну нерівність

. (2.6.6)

. Запишемо нерівність у вигляді (2.6.4)

і розглянемо можливі випадки

. 2. .

. Проаналізуємо інтервали функції

При  отримаємо нерівність

, .

При  отримаємо нерівність

, , .

При  отримаємо нерівність

, ;

Розв’язок нерівності у вигляді 3-х проміжків:

.

.7 Тригонометричні нерівності (10 клас)

Тригонометричними нерівностями називаються нерівності, у яких змінна знаходиться під знаком тригонометричної функції.

При розв’язанні нерівностей з тригонометричними функціями використовується періодичність цих функцій і їх монотонність на відповідних інтервалах. При цьому корисно звертатися до графіків.

Оскільки розв’язок тригонометричних нерівностей в остаточному підсумку зводиться до розв’язку найпростіших, то розглянемо спочатку приклади розв’язку найпростійших тригонометричних нерівностей, тобто нерівностей виду  (або  де - одна з тригонометричних функцій.

Оскільки функції  мають основний період , то нерівності виду

 і

досить розв’язати спочатку на якому-небудь відрізку довжиною . Множину усіх розв’язків дістанемо, додавши до кожного зі знайдених на цьому відрізку розв’язків числа виду . Для розв’язків нерівностей виду  і  досить розв’я-зати їх спочатку на інтервалі длини  Оскільки функції  і  мають період , то, додаючи до звичайних на відповідних інтервалах розв’яз-ків числа виду , дістанемо всі розв’язки початкової нерівності.

Приклад 2.7.1 Розв’язати нерівність .

Розв’язок. Побудуємо графік функцій  і виберемо на осі  значення аргументу , яким відповідають точки графіка, що лежать на осі  або вище її. Одним з проміжків, у яких є такі точки осі , є замкнений інтер-вал , а всього таких інтервалів буде дуже багато, кожний з яких отримано зрушенням з інтервалу  по осі  на (рис. 2.7.1.)

Рис. 2.7.1 Графіки до прикладу 2.7.1 [27]

Таким чином, розв’язком початкової нерівності є об єднання замкнених інтервалів виду , тобто  Відповідь можна записати так:  (або  або

Відповідь:

Зауваження 1. При розв’язуванні тригонометричних нерівностей можна замість графіків користуватися одиничним колом (тригонометричним колом).

Приклад 2.7.2 Розв’язати нерівність

Розв’язок.

Будуємо графіки функцій  і прямої  яка перетинає синусоїду в точках  (рис. 2.7.2)

Рис. 2.7.2 Графіки до прикладу 2.7.2 [27]

Виділимо один з інтервалів значень аргументу, де графік синуса розташований нижче графіка прямої  таким інтервалом є наприклад, інтервал  Використовуючи періодичність функції , дістаємо відповідь:

Відповідь:

Зауваження 2. Можна було б відповідь записати в такий спосіб:

Цікаво відзначити,що якщо  то

Приклад 2.7.3 Розв’язати нерівність

Розв’язок. На тому самому креслені побудуємо графіки функцій

 і (рис. 2.7.3)

З рисунка видно,що один з інтервалів, в якому виконується дана нерівність, уміщений між найменшими за модулем коренями рівняння  тобто між точками  і  (включаючи ці точки). Всі інші інтервали, у яких виконується дана нерівність, дістаються шляхом зсуву відрізка  ліворуч або праворуч на відстані, кратні .

Рис. 2.7.3 Графіки до прикладу 2.7.3 [27]

Тому нерівність  виконується при

Відповідь:

Приклад 2.7.4 Розв’язати нерівність .

Розв’язок

На тому самому кресленні будуємо графіки функцій  і  (рис. 2.7.4)

Рис. 2.7.4 Графіки до прикладу 2.7.4 [27]

Виділимо один з інтервалів значень аргументу, де графік тангенсоїди нижче графіка прямої ; таким інтервалом є, наприклад, інтервал

Використовуючи періодичність функцій , робимо висновок,що розв’язками початкової нерівності на всій числовій прямій є ті й тільки ті значення , які задовольняють подвійній нерівності

Відповідь:

Розглянемо Розв’язок більш складних нерівностей.

Приклад 2.7.5 Розв’язати нерівність

Розв’язок

Перенесемо  в ліву частину нерівності й використаємо формулу введення допоміжного аргументу:

Таким чином,

.

Позначимо Тоді нерівність буде мати вигляд Множина розв’язків цієї нерівності Оскільки то дістанемо

Відповідь: .

Приклад 2.7.6 Розв’язати нерівність

Розв’язок

Позначивши  через , приходимо до нерівності Ця нерівність виконується при  і  Тоді всі розв’язки початкової нерів-ності повинні задовольняти або нерівності  або нерівності  Нерівність  не виконується ні при яких значеннях  нерівність  виконується при

Відповідь:

Приклад 2.7.7 Розв’язати нерівність

Розв’язок

Оскільки то можемо піднести обидві частини початко-вої нерівності до квадрата, отримавши при цьому нерівність, рівносильну початковій:

Відповідь: .

Приклад 2.7.8 Розв’язати нерівність

Помноживши обидві частини початкової нерівності на 2 використовуючи формулу дістаємо:

Відповідь: .

Приклад 2.7.9 Розв’язати нерівність

Розв’язок

Позначивши  дістаємо

Рис. 2.7.9 Графіки до прикладу 2.7.9 [27]

Застосовуючи метод інтервалів (рис. 2.7.9), дістаємо:

Розглянемо розв’язок нерівностей (а) і (б).

(а): Із графіків (рис. 2.7.10) видно, що

Рис. 2.7.10 Графіки до прикладу 2.7.9

(б): Із графіків (рис. 2.7.11) видно,що

Рис. 2.7.11 Графіки до прикладу 2.7.9 [27]

Розв’язком початкової нерівності є об єднання розв’язків нерівностей (а) і (б). Відповідь:

рівняння нерівність інноваційний програмний

РОЗДІЛ 3. ІННОВАЦІЙНІ МЕТОДОЛОГІЇ РОЗВ’ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ У 10 КЛАСІ СЕРЕДНЬОЇ ШКОЛИ

3.1 Інноваційна методологія розв’язання рівнянь і нерівностей з аналізом нетотожних перетворень в стандартних методах розв’язків (10 клас)

Програми з математики в загальноосвітній середній школі та й у педагогічному ВНЗ побудовані так, що при розв’язуванні рівнянь і нерівностей основна увага звертається на конкретні прийоми, способи, алгоритми розв’язування. Тоді всі рівняння й нерівності розбиваються на певні класи, для яких відомі методи розв’язування, з наступним вивченням цих класів у лінійній послідовності. По суті здійснюється класифікація всіх рівнянь і нерівностей згідно типів, які визначаються певними конкретними методами, прийомами, алгоритмами розв’язування. Окрім того розглядаються рівняння й нерівності підвищеної складності, для кожного з яких потрібно відшукувати власний спосіб розв’язування. Такий підхід успішно формує в учнів операційні уміння й навички, деякі аналітичні здібності.

Так, порівняльні алгоритми розв’язання числових алгебраїчних рівностей і нерівностей мають певні аналогії, але й істотні відмінності (табл. 3.1.1) [52].

Означення, властивості числових алгебраїчних рівностей і нерівностей використовують під час доведення тотожностей і нерівностей трьома основними способами доведення тотожностей [47]:

1)  скласти різницю лівої і правої частини тотожності і перетворенням здобутого виразу показати, що вона дорівнює 0;

2)      тотожно перетворюючи ліву частину, показати, що ліва частина тотожності дорівнює правій, або, навпаки, тотожно перетворюючи праву частину, показати, що вона дорівнює лівій;

)        ліву і праву частини тотожності окремо перетворити у той самий вираз.

В прикладах 3.1.1 - 3.1.4 наведене застосування основних алгоритмів табл.. 3.1.1 при практичному доведенні характерних типів алгебраїчних тотожностей.

Порівняння основних властивостей числових алгебраїчних рівностей та нерівностей, які використовуються в основних методах доведення [52]

1. Число  називається рівним числу , якщо різниця дорівнює 0. Позначається 1. Число  називається більшим від числа , якщо різниця  додатна. Позначається:

2. Для будь-якого  співвідношення  правильне.2. Число  називається більшим від числа , якщо різниця  додатна. Позначається:

Число  називається меншим від числа , якщо різниця  відємна. Позначається:

4. Для будь-яких  і , якщо  і , то  (властивість транзитивності рівності)

5. Якщо  і -будь-яке число, то 4. Якщо  і -будь-яке число,

7. Якщо  і , 7. Якщо  і , то ;

Приклад 3.1.1 Довести тотожність

 (3.1.1)

Доведення:

Використовуємо 1 метод доведення - різниця лівої та правої частини рівняння (3.1.1) = 0.

Приклад 3.1.2. Довести тотожність

 (3.1.2)

Використовуємо 2 метод доведення - перетворюємо праву частину рівняння (3.1.2) до повної тотожності виразу з лівою частиною.

Приклад 3.1.3 Довести тотожність

 (3.1.3)

Доведення:

Використовуємо 3 метод доведення, окремо перетворюючи ліву та праву частину тотожності до одного виразу:

. Виконуємо тотожні перетворення лівої частини тотожності (3.1.3)

. Виконуємо тотожні перетворення правої частини тотожності (3.1.3)

Оскільки вираз перетвореної лівої частини тотожності (3.1.3) повністю повторює вираз перетвореної правої частини тотожності (3.1.3), то тотожність (3.1.3) є доведеною.

Нерівності, складені за допомогою знаків  або , називають строгими нерівностями, а складені за допомогою знаків  або , називають нестрогими нерівностями. Один із способів доведення строгих і нестрогих нерівностей ґрунтується на означенні числових нерівностей.

Приклад 3.1.4 Довести нерівність

 (3.1.4)

Доведення

Аналогічно доведенню тотожностей (рівнянь) в прикладі 3.1.1 використовуємо метод 1 - складемо різницю лівої і правої частин даної нерівності, перетворимо та проаналізуємо її.

Знаменник дробу для будь-якого  додатний, а вираз  невід’ємний. З врахуванням знаку „-„ в чисельнику, чисельник дробу - недодатний, а отже і дріб для будь-якого  недодатний. Оскільки доведено, що різниця лівої і правої частин нерівності (3.1.4) - недодатна, то нерівність  виконується для будь-якого .

В табл. 3.1.2 наведені порівняльні алгоритми та основні властивості рівнянь та нерівностей з однією змінною, які використовуються в основних методах знаходження значень змінної в класичних підручниках курсу алгебри в середній школі [47].

Таблиця 3.1.2

Порівняння основних властивостей рівнянь та нерівностей з однією змінною, які використовуються в основних методах знаходження значень змінної [52]

1. Лінійним рівнянням з однією змінною називається рівняння виду , де -змінна,  - числа.

Якщо , то , відповідно рівняння має 1 корінь.

Якщо  - то множиною коренів рівняння є множина всіх чисел

Якщо  - то рівняння коренів не має (порожня множина).1. Лінійною нерівністю з однією змінною називається нерівність виду  або  (чи з умовою  - відповідно нерівності виду  або ), де  - змінна,  - числа.

Якщо , то множиною розв’язків нерівності  є або множина , або множина .

Якщо , то множиною розв’язків нерівності  є або множина всіх чисел (для , або порожня множина (для .

Якщо , то множиною розв’язків нерівності  є або множина , або множина .

3. В повному квадратному рівнянні  вираз

 - називається дискримінантом квадратного рівняння.

Якщо , то квадратне рівняння має 2 корені, які знаходять за формулою .

Якщо , то квадратне рівняння має 1 корінь .

Якщо , то квадратне рівняння не має дійсних коренів.3. В повній квадратній нерівності, спочатку вирішують рівняння (в залежності від знака  буде змінюватись напрямок нерівності)

, а потім за теоремою Вієтта рівняння (тричлен) розкладають на множники

дві нерівності  та , які вирішують складанням відповідних за знаками систем нерівностей:

4. Якщо в квадратному рівнянні  чи , чи , то воно називається неповним.

Якщо , то неповне квадратне рівняння виду , яке має два корені .

Якщо , то неповне квадратне рівняння виду , має два корені , При цьому, якщо , то рівняння не має дійсних коренів.4. Якщо в квадратній нерівності  чи , чи , то вона називається неповною квадратною нерівністю.

Якщо , то неповна квадратна нерівність має вид  або . Нерівність розв’язують розкладанням лівої частини нерівності на множники  або .

Далі використовють твердження:добуток двох співмножників може бути додатним якщо вони обидва мають однакові знаки. Таким чином складають для першої нерівності  дві системи нерівностей:

 та

які вирішують складанням двійних нерівностей за інтервалами

 (система нерівностей справедлива, якщо  та  мають різні знаки) та  (система нерівностейь справедлива, якщо  та  мають однакові знаки).

Відповідно, складають для другої нерівності  дві системи нерівностей:

 та

які вирішують складанням двійних нерівностей за інтервалами

 (нерівність справедлива, якщо  та  мають різні знаки) та (справедливо, якщо  та  мають однакові знаки).

Якщо , маємо неповну квадратну нерівність вигляду  або , які приводять до вигляду рішень:

при   та , що мають дійсні корені тільки при ,  розв’язок - побудовою інтервалів;

Алгоритм процесу розв’язку тотожностей, рівнянь та нерівностей, наведений в табл. 3.1.1 - 3.1.2 є, безумовно, правильним, але занадто формалізований.

Проблема в тому, що, незважаючи на численні публікації з питань розв’язування рівнянь та нерівностей в різних підручниках і посібниках [1; 2; 3; 26; 27; 47], в новітніх працях [19; 20] пропонується доповнити учбовий процес комплексом дослідження процесу розв’язування рівнянь і нерівностей як процесу послідовних перетворень, кінцевим результатом яких є розв’язок. Отже всі рівняння й нерівності розглядатимуться з єдиної точки зору, єдиної позиції - процесу розв’язування рівнянь і нерівностей як процесу їх послідовних перетворень. Такий підхід інтегрує всі типи рівнянь і нерівностей в єдину сукупність, формує в учнів загальні (інтегровані) уявлення про проблему розв’язування рівнянь і нерівностей з єдиної позиції, відкриває ще один аспект розв’язок названої проблеми, а в методичному плані спонукає вчителя до вироблення нових підходів, методик в організації вивчення відповідного матеріалу шкільного курсу математики [43].

На жаль в школах (та й у вищих педагогічних навчальних закладах) мало звертається уваги саме на процес розв’язування, що спрямовує мислення учнів (чи студентів) більше в алгоритмічний (репродуктивний), ніж у творчий аспект мислення, що, в свою чергу, сприяє формальному засвоєнню матеріалу, знижується сутнісне розуміння процесу розв’язування. Часто учні виконують певні перетворення над рівнянням чи нерівністю, не розуміючи суті та змісту цього перетворення, а, значить, і не розуміючи сутності всього процесу розв’язування.

В дипломному дослідженні запропонований метод аналізу саме процесу розв’язування рівнянь і нерівностей, як послідовного процесу тотожних перетворень. При цьому головна увага приділяється аналізу виконання умов тотожності перетворень рівнянь та нерівностей при застосуванні стандартних алгоритмів Розв’язок. Тоді розв’язування буде мати два аспекти: зміст (і відповідні знання) конкретних методів, прийомів, алгоритмів розв’язування та власне процес розв’язування як процес послідовних перетворень. Вдала методична взаємна доповнюваність цих аспектів поглибить знання учнів, розширить їх кругозір, спонукатиме до творчості навіть при розв’язуванні стандартних (типових) прикладів.

З процесуального погляду головною проблемою при певному перетворенні рівняння (нерівності) є проблема отримання рівносильної умови вихідному рівнянню (нерівності). Як відомо, два рівняння (нерівності) будуть рівносильними, якщо множини їх розв’язків співпадають.

Виконуючи послідовність перетворень над рівнянням (нерівністю) далеко не завжди очевидним є момент втрати кореня чи, навпаки, виникнення зайвого. Тому учні в 10-11 класах загальноосвітньої школи, при вивченні зведених тем розв’язання рівнянь та нерівностей, в яких застосовані різні комплекси алгебраїчних функцій, часто «гублять» чи «придбають» зайві корені при розв’язуванні рівнянь (нерівностей), особливо зі складними перетвореннями. Щоб запобігти цьому в дипломному дослідженні пропонується удосконалення процесу аналізу основних (типових) перетворень рівнянь (нерівностей) з погляду їх еквівалентності.

Так, до основних типів перетворень рівняння [19]:

(x)= g(x) (3.1.5)

або нерівності:

(x)≤ g(x) (3.1.6)

можна віднести такі:

додавання (віднімання) виразу y(x) до лівої й правої частин (3.1.5) чи (3.1.6);

множення лівої й правої частин (3.1.5) чи (3.1.6) на вираз y(x);

ділення лівої й правої частин (3.1.5) чи (3.1.6) на вираз y(x);

піднесення до степеня з натуральним показником лівої й правої частин (3.1.5) чи (3.1.6);

добування кореня з лівої й правої частин (3.1.5) чи (3.1.6);

логарифмування лівої й правої частин (3.1.5) чи (3.1.6);

потенціювання виразів (3.1.5) чи (3.1.6);

тригонометричні перетворення над (3.1.5) чи (3.1.6);

функціональні перетворення з (3.1.5) чи (3.1.6).

Крім типу перетворення має ще і зміст вираз y(x). Важливо зауважити, що:

. Перетворення одного і того ж типу в одному прикладі може змінити множину розв’язків, а в іншому − ні.

. В одному й тому ж прикладі два перетворення y₁(x) та y₂(x) одного і того ж типу в залежності від змісту по-різному можуть впливати на множину розв’язків.

Потрібно підкреслити, що не можна класифікувати якимось чином всі можливі перетворення над (3.1.5) чи (3.1.6), наша мета - при розв’язуванні конкретного прикладу за певним алгоритмом аналізувати кожне перетворення з тим, щоб виявити, чи може воно змінити множину розв’язків і, якщо може, то вжити певних дій, щоб не втратити розв’язків (3.1.5) чи (3.1.6) і не отримати зайвих.

Конкретних ситуацій і причин, коли перетворення може призвести в момент його застосування до зміни множини розв’язків, безліч. Основними серед таких ситуацій-причин можна назвати:

звуження чи розширення області допустимих значень змінної рівняння (нерівності);

встановлення «вірних» висновків з хибних умов (наприклад, 2 ≠ - 2, однак 2²=(-2)²), тобто з рівності функцій f(x₁)=g(x₂) ще не слідує, що x₁=x_2.

Дослідження перетворень є творчою, а не репродуктивною задачею [19]. Відомо, що саме проблема використання та оцінки перетворень на предмет зміни ними множини розв’язків рівнянь, нерівностей та їх систем є однією з найскладніших і важко засвоюваних учнями (та й студентами). На вказану проблему мало звертається уваги в шкільних й університетських програмах і, відповідно, вчителями та викладачами [43].

В аналізі нижченаведених конкретних перетворень ми будемо вказувати на можливість виникнення сторонніх розв’язків чи втрати розв’язків.

а) Приклади додавання до обох частин рівняння чи нерівності виразу h(х), при якому рівняння (3.1.5) чи нерівність (3.1.6) повинні перетворюватись до рівносильних:

 (3.1.7)

Приклад 3.1.5 Дано рівняння

 (3.1.8)

. При його розв’язанні можна додати до лівої та правої частини функцію , та отримати рівняння і його розв’язок:

 (3.1.9)

. Однак підстановка отриманого розв’язок в вихідне рівняння (3.1.8) показує, що знайдений після перетворень корінь не є коренем рівняння (3.1.8), тобто корінь „зайвий”. Причиною цього є нерівносильне розширення ОДЗ вихідного рівняння (3.1.8) з  до ОДЗ перетвореного рівняння (3.1.9) .

. При новаційному підході потрібно при перетворенні скласти систему рівнянь з додаванням умов ОДЗ на вихідне рівняння (3.1.8):

 (3.1.10)

Після перетворення 1 рівняння системи (3.1.10) стає явним протиріччя його кореню з другим рівнянням системи, тобто виявляється, що вихідне рівняння (3.1.8) не має дійсних коренів.

Приклад 3.1.6 Розглянемо перетворення над рівнянням

 (3.1.11)

яке полягає у додаванні до обох його частин виразу , що еквівалентне перенесенню цього виразу з правої частини (3.1.11) до лівої із зміною знаку.

1. Отримуємо перетворене рівняння:

 (3.1.12)

яке має корені

. ОДЗ рівняння (3.1.11) є два інтервали при , а ОДЗ перетвореного рівняння має розширену ОДЗ , яка включає значення .

. Одначе, підстановка коренів рівняння (3.1.12) в вихідне рівняння (3.1.11) показує, що значення  є також коренями рівняння (3.1.11), тобто при перетворенні з розширенням ОДЗ не відбулась поява „зайвих” коренів, оскільки вони не належать до точки розширення ОДЗ .

Таким чином, підстановка отриманих коренів в вихідне рівняння може забез-печити ідентифікацію появи „зайвих” коренів.

Приклад 3.1.7 Маємо нерівність

 (3.1.13)

. Застосовуємо перетворення, яке полягає у додаванні до обох його частин виразу , що еквівалентне перенесенню цього виразу з правої частини (3.1.13) до лівої із зміною знаку.

. Отримуємо перетворену нерівність:

 (3.1.14)

коренями якої є проміжок між коренями рівняння (включаючи ці корені)

, тобто проміжок .

. Але значення  не задовольняє вихідну нерівність (3.1.13), тому значення  - це „зайвий” корінь.

. Для правильного перетворення вихідної нерівності (3.1.8) потрібно скласти систему нерівностей з врахуванням особливої точки ОДЗ ():

,

відповідно розв’язком буде проміжок , який виключає значення „зайвого” кореню .

б) Приклади множення обох частин рівняння чи нерівності на вираз h(х), при якому рівняння (3.1.5) чи нерівність (3.1.6) повинні перетворюватись до рівносильних:

 (3.1.15)

Приклад 3.1.8 Маємо систему рівнянь

 (3.1.16)

. Перетворимо 1 рівняння системи множенням лівої та правої частини на вираз , а 2 рівняння системи перетворимо множенням ліної та правої частини на вираз .

Отримуємо систему рівнянь та її корені:

 (3.1.17)

2. Підстановка коренів в вихідну систему рівнянь (3.1.16) показує, що корінь  задовольняє обидва рівняння системи, а корінь  є „зайвим” для 1 рівняння системи (3.1.6), але задовольняє 2-е рівняння системи.

. Аналіз ОДЗ першого та другого рівняння системи (3.1.16) показує, що для першого рівняння ОДЗ має особливу точку , а для другого рівняння ОДЗ має особливу точку .

Оскільки особлива точка для першого рівняння  є коренем для рівнянь системи (3.1.16), то неврахування цього привело до нерівносильного перетворення першого рівняння системи та не вплинуло на перетворення другого рівняння системи.

.Правильним перетворенням вихідної системи (3.1.16) будо складення перетвореної системи з додаванням нерівностей ОДЗ, тобто:

, а єдиним розв’язком системи був би корінь

Приклад 3.1.9 Розв’язати нерівність:

 (3.1.18)

. При перетворенні нерівності (3.1.18) можемо домножити ліву та праву його частину на вираз , що враховуючи додатність множника не змінить знак нерівності:

 (3.1.19)

розв’язком ціє нерівності є проміжок .

Але проміжок  не входить до дійсних значень ОДЗ множника , тобто домноження (3.1.18) на вираз  є нерівносильним перетворенням вихідної нерівності.

. Правильним алгоритмом Розв’язок нерівності (3.1.8) буде не домноження на вираз , що приводить до нерівносильних перетворень, а перенесення правої частини нерівності в ліву із зміною знаку та группуваня як:

 (3.1.20)

Рівносильним нерівності (3.1.20) буде система нерівностей:

а розв’язком цієї системи буде проміжок

Приклад 3.1.10 Розв’яжемо рівняння:

 (3.1.21)

. При піднесенні обох частин рівняння (3.1.21) до квадрату матимемо рівняння - наслідок:

 (3.1.22)

Або  (3.1.22а)

Піднесемо до квадрату обидві частини отриманого рівняння. Маємо наступне (третє) рівняння

 (3.1.23)

або

. Підставляючи отримані корені в вихідне рівняння (3.1.21) отримуємо результати перевірки - перший корінь задовольняє рівнянню (3.1.21), а другий корінь  - є „зайвий” корінь, який не задовольняє рівняння (3.1.21).

Підставляємо отримані корені в рівняння (3.1.22а), яке отримане післі піднесення в квадрат вихідного рівняння (3.1.21).

Таким чином, другий корінь  задовольняє рівнянню (3.1.22а), а корінь  не задовольняє рівнянню (3.1.22а). Таким чином, „зайвий” корінь  з’явився після першого нерівносильного піднесення вихідного рівняння(3.1.21) в квадрат.

Приклад 3.1.11 Розв’язати нерівність:

 (3.1.24)

1.  Виконаємо перетворення наступним способом:

- внесемо в лівій частині нерівності значення під загальний корінь

 (3.1.25)

піднесемо ліву та праву частини в квадрат:

 (3.1.26)

розв’язком цієї нерівності буде проміжок між коренями:

але підставляючи ці розв’язок в вихідну нерівність (3.1.24) приходимо до висновку про хибність відповіді.

. Виконаємо перетворення з внесенням проміжків ОДЗ вихідної нерівності (3.1.24), тоді замість нерівності (3.1.25) маємо систему нерівностей:

 (3.1.27)

Відповідно нерівність (3.1.26) перетворюється в систему нерівностей:

 (3.1.28)

А вірним проміжком рішень для системи (3.1.28) з урахуванням нерівностей ОДЗ буде проміжок: .

Таким чином, наведені приклади доводять про доцільність використання методу дослідження та порівняння ОДЗ функцій вихідних та перетворених рівнянь та нерівностей в процесі пошуку рішень по методологіям рівносильних перетворень для виявлення „загублених” чи „зайвих” коренів та проміжків рішень.

.2 Інноваційна методологія інтерактивно-графічного розв’язання рівнянь та нерівностей вищих рівнів складності з використанням комп’ютерно-графічного калькулятора Microsoft Mathematics 4.0 (10 клас)

Система навчання, що побудована на інноваційних засадах, є синергетичною системою, тобто передбачає порушення стійкості навчального процесу з метою виникнення його нових дисипативних (більш відкритих для нововведень) структур. Так, розвиток інформаційно-комп’ютерних технологій призвів до їх проникнення (як активаторів) у педагогічний процес, що викликало його збурення, порушення традиційних структур і створенні нових дисипативних структур навчання з використанням інформаційно-комп’ютерних технологій, що кардинально змінило педагогічний процес [12].

Інтерактивність учнів - це активність учнів як суб’єктів діяльності, як реалізація власних інтуїцій, а не тільки активність “зовнішня”, що виникає в учня завдяки створенню певної педагогічної ситуації вчителем [11]. Відчутним знаряддям інтерактивного навчання стали інформаційні технології зі своїми можливостями, зокрема - графічними. Саме в системі «учень-комп’ютер» при розв’язуванні навчальних задач виникає внутрішній діалог учня, що формує його самостійність, самовизначення, самореалізацію [12].

На мій погляд, інноваційність навчання математики повинна відображати найбільш складні й не повністю визначені навчальними програмами проблеми, до яких можна віднести:

задачі з математики, що важко формалізуються;

застосування знань з одного розділу математики в іншому як інтеграція знань;

декомпозицію (розбиття на певні етапи) розв’язування складних задач;

поєднання аналітичних і графічних методів розв’язування задач;

створення моделей при розв’язуванні рівнянь та нерівностей;

використання можливостей інформаційно-комп’ютерних технологій для

розв’язування різних математичних задач.

Розв’язування наведених проблем вимагає від учнів творчості, активності, елементів наукового дослідження, знань, що не завжди явним чином входять в програму з математики й відображені в шкільних підручниках, додаткового оволодіння такими засобами як інформаційно-комп’ютерні технології та їхніми можливостями щодо Розв’язок математичних задач.

На сьогодні розроблено значну кількість програмних засобів, що дозволяють розв'язувати за допомогою комп'ютера досить широке коло математичних задач різних рівнів складності. Це такі програми як «Системи лінійних рівнянь», GRAN1, GRAN2, GRAN3, Advanced Grapher, DG (динамічна геометрія), MathCad, Maple, тощо [19]. Причому одні з цих програм розраховані на фахівців досить високої кваліфікації в галузі математики, інші - на учнів середніх навчальних закладів чи студентів вузів, які лише почали вивчати шкільний курс математики чи основи вищої математики.

Дипломне дослідження показало, що при доцільності для підтримки вивчення курсу математики програм GRAN2, GRAN3, Advanced Grapher, DG (динамічна геометрія) на сьогодні найбільшою функціональністю з математичної точки зору володіє програмно-графічний російськомовний пакет Microsoft Mathematics 4.0 [54], який поєднав багатофункціональність професійних пакетів MathCad та Maple з простотою управління на базі управління формалізованою шкалою калькулятора, що дозволяє будувати програми розв’язання рівнянь та нерівностей без професійного освоєння мов програмування.

Від користувача не вимагається значного обсягу спеціальних знань з інформатики, основ обчислювальної техніки, програмування тощо, за винятком найпростіших понять, які цілком доступні для учнів загальноосвітніх шкіл. Це дозволяє зосередити увагу учнів не на основах програмування, а на методологіях математичних підходів до Розв’язок рівнянь та нерівностей.

Використання подібних програм дає наочні уявлення про поняття, що вивчаються, розвиває образне мислення, просторову уяву, дозволяє досить глибоко проникнути в сутність досліджуваного явища, неформально розв'язувати задачу. При цьому на передній план виступає з'ясування проблеми, постановка задачі, розробка відповідної математичної моделі, матеріальна інтерпретація отриманих за допомогою комп'ютера результатів. Усі технічні операції щодо опрацювання побудованої математичної моделі, реалізації методу відшукання розв'язку, оформлення та подання результатів опрацювання вхідної інформації покладаються на комп'ютер.

Розглянемо можливість використання програмно-графічного калькулятора програми "Microsoft Mathematics" (російськомовна версія 4.0) [54] для побудови процесу інтерактивного розв’язок рівнянь та нерівностей підвищеного рівня складності в 10 класі загальноосвітньої школи.

В Додатках А - В наведені основні інтерфейси управління програмно-графічним калькулятором програми "Microsoft Mathematics", що дозволяє [54]:

вирішувати рівняння та нерівності з однією змінною при будь-якій комбінації алгебраїчних функцій в рівняннях та нерівностях;

системи рівнянь та нерівностей з двома змінними при будь-якій комбінації алгебраїчних функцій в рівняннях та нерівностях;

будувати графіки функцій лівої та правої частини рівнянь та нерівностей, що дозволяє проводи оцінку ОДЗ та характерних інтервалів для побудови розв’язок;

динамічно змінювати масштаб графіків, досліджуючи загальний вигляд чи деталізацію в оцифрованому масштабі точок перетинання графіків складних функцій, включаючи функції з модулями та комбінаціями модулей змінних.

Головне в пропонуємих в дипломному дослідженні інноваційних методах викладання тем по розв’язанню рівнянь та нерівностей в загальній школі - це перехід від надто приблизного „художнього” стилю графічних способів пояснення рішень до професійних комп’ютерно-масштабованих графіків на інтерактивній класній дошці та комп’ютерах учнів.

Приклад 3.2.1 Розв’язати рівняння

 (3.2.1)

Розв’язок.

.        Побудуємо в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 графік функції  для визначення ОДЗ та проаналізуємо її перетинання з 0 та характерні інтервали (рис. 3.2.1).

Рис. 3.2.1 Графік функції

Рис. 3.2.1a Графік функції

Рис. 3.2.1б Графік функцій  та

Приклад 3.2.2 Розв’язати рівняння

 (3.2.2)

Розв’язок. Виконуємо розв’язок в Microsoft Mathematics 4.0 побудовою графіків лівої та правої частини, отриманням чисельного розв’язок та його перевірки підстановкою (рис. 3.2.2, 3.2.2а). Алгебраїчні перетворення вихідного рівняння до обчислювального виду пошуку розв’язок практично неможливі.

Рис. 3.2.2 Графіки рівнянь  та  (один корінь)

Рис. 3.2.2а Графіки рівнянь  та  (корінь ) та перевірка розв’язок в Microsoft Mathematics 4.0

Приклад 3.2.3 Розв’язати рівняння

 (3.2.3)

Розв’язок. Виконуємо розв’язок в Microsoft Mathematics 4.0 побудовою графіків лівої та правої частини, отриманням чисельного розв’язок та його перевірки підстановкою (рис. 3.2.3, 3.2.3а).

Рис. 3.2.3 Графіки функцій  та  лівої та правої частин рівняння (3.2.3)

Рис. 3.2.3а Розв’язок рівняння

Приклад 3.2.4 Розв’язати рівняння

 (3.2.4)

Розв’язок.

) 1 спосіб (традиційний спосіб інтервальної ідентифікації підручників з математики)

Розв’язування цього рівняння складатиметься з декількох етапів у залежності від знаків виразів, що знаходяться під знаком модуля. Тому, знайшовши значення змінної, при яких відбувається зміна знаків виразів під знаком модуля, розв’яжемо рівняння (3.2.4) на кожному іх сукупності проміжків (відкритих та закритих):

а) На першому проміжку . Після розкриття модуля у рівнянні (3.2.4) на цьому проміжку маємо:

Таким чином, на проміжку  маємо розв’язок .

б) На другому проміжку . Після розкриття модуля у рівнянні (3.2.4) на цьому проміжку маємо:

Таким чином, на проміжку  рішень немає.

в) На третьому проміжку . Після розкриття модуля у рівнянні (3.2.4) на цьому проміжку маємо:

Таким чином, на проміжку  маємо розв’язок .

г) На четвертому проміжку . Після розкриття модуля у рівнянні (3.2.4) на цьому проміжку маємо:

Оскільки розв’язок  не входить в ОДЗ вихідного рівняння (3.2.4), то це розв’язок відкидаємо.

Таким чином на проміжку  при () - рішень немає.

Таким чином, загальні розв’язок вихідного рівняння (3.2.4) на проміжку  є .

) Розв’язок рівняння (3.2.4) з допомогою наочності пакету Microsoft Mathematics 4.0. Будуємо графіки функцій лівої та правої частини рівняння (3.2.4).

Рис. 3.2.4 Графіки функцій  та

Рис. 3.2.4а Графіки функцій  та

Як показує аналіз точок перетинання функцій лівої та правої частини рівняння (3.2.4) розв’язками є точки , а точка  є особовою точкою розриву графіка функції  та не входить в ОДЗ рівняння (3.2.4).

Приклад 3.2.5 Розв’язати нерівність

 (3.2.5)

Розв’язок.

а) Спосіб 1. Традиційне розбиття ОДЗ на окремі характерні інтервали та побудова загального розв’язок як комплексу рішень на інтервалах.

. Проаналізуємо графік функції чисельника в чисельнику нерівності (3.2.5) на проміжку ОДЗ параметра   та функції чисельника в знаменнику нерівності (3.2.5) при .

Рис. 3.2.5 Графіки функції та

Рис. 3.2.5а Корені рівнянь  та

Таким чином, нерівність (3.2.5) має наступні характерні інтервали:

)

)

)

)

)

Розв’язком нерівності  згідно рис. 3.2.5б є 2 інтервали:

Рис. 3.2.5б Графік функції

Приклад 3.2.6 Розв’язати нерівність

Розв’язок

а) Спосіб 1. Традиційне розбиття ОДЗ на окремі характерні інтервали та побудова загального розв’язок як комплексу рішень на інтервалах.

. Проаналізуємо графік функції чисельника в лівій частині нерівності (3.2.6) на проміжку ОДЗ параметра  

Рис. 3.2.6 Графік функції  на проміжку ОДЗ параметра  

Функція  на проміжках .

Функція  на проміжку .

. Проаналізуємо графік функції знаменника в нерівності (3.2.6) на проміжку ОДЗ параметра   при умові .

Рис. 3.2.6а Графік функції  на проміжку ОДЗ параметра  

Функція  на проміжках .

Функція  на проміжку .

Функція  при коренях

. Проаналізуємо графіки функцій  та  лівої та правої частини в нерівності (3.2.6) на проміжку ОДЗ параметра   при умові

Рис. 3.2.6б Графік функцій  та  на проміжку ОДЗ параметра   при умові

Рис. 3.2.6в Пошук кореня рівняння  на проміжку ОДЗ параметра   при умові  (розрив функції лівої частини при коренях )

Таким чином, вихідна нерівність (3.2.6)  виконується на інтервалах (рис.3.2.6в):

Приклад 3.2.7 Розв’язати нерівність

 (3.2.7)

Розв’язок

а) Спосіб 1. Традиційне розбиття ОДЗ на окремі характерні інтервали та побудова загального розв’язок як комплексу рішень на інтервалах (по підручникам).

. Проаналізуємо графік функції знаменника в нерівності (3.2.7) на проміжку ОДЗ параметра  

Рис. 3.2.7 Графік функції

Оскільки функція знаменника  всюди додатна, то при розв’язанні нерівності (3.2.7) проводимо аналіз тільки чисельника, тобто нерівності:

 (3.2.7а)

.        Враховуючи наявність модуля, розбиваємо ОДЗ  на два характерні інтервали:

. На 1 інтервалі  маємо із нерівності (3.2.7а):

Для такого типу нерівності розв’язок знаходиться між коренями рівняння

, тобто .

Враховуючи ОДЗ проміжка  весь знайдений проміжок є розв’язком на першому проміжку .

. На 2 інтервалі  маємо із нерівності (3.2.7а):

Для такого типу нерівності розв’язок знаходиться між коренями рівняння

, тобто

Враховуючи ОДЗ проміжка  весь знайдений проміжок є розв’язком на першому проміжку

Таким чином, зведеним розв’язком нерівності (3.2.7) на області ОДЗ  є два проміжка .

б) Спосіб 2. Розв’язок нерівності  в пакеті Microsoft Mathematics

Рис. 3.2.7а Розв’язок нерівності  в пакеті Microsoft Mathematics

Приклад 3.2.8 Розв’язати нерівність

 (3.2.8)

Розв’язок.

а) Спосіб 1. Традиційне розбиття ОДЗ на окремі характерні інтервали та побудова загального розв’язок як комплексу рішень на інтервалах (по підручникам).

Прирівняємо праву та ліву частину нерівності (3.2.8) до нуля згідно наявності знаку рівності, як окремого випадку, що дозволяє не враховувати знак модуля.

Розв’язок рівності  ;

Розв’язок рівності .

Отже, можемо розв’язати нерівність (3.2.8) на характерних проміжках:

а. Розв’язок на першому інтервалі

Розв’язками нерівності є зовнішні проміжки від коренів рівняння - проміжки: . Але, враховуючи ОДЗ першого інтервалу , розв’язком на першому інтервалі буде .

.

Розв’язками нерівності є проміжки: . Але, враховуючи ОДЗ другого інтервалу, розв’язок нерівності на другому інтервалі буде розташовуватись між коренями рівняння .

а. Розв’язок на третьому інтервалі

Враховуючи ОДЗ третього інтервалу  - маємо проміжок рішень .

а. Розв’язок на четвертому інтервалі .

Корені рівняння  .

Відповідно області значень параметрів  для нерівності  це інтервали . Але враховуючи ОДЗ четвертого інтервалу , розв’язком буде весь 4-й інтервал .

Таким чином загальне ршення вихідної нерівності на чотирьох інтервалах зводиться до наступних трьох інтервалів:

б) Спосіб 2. Використання наочних можливостей пакету пакеті Microsoft Mathematics 4.0.

. Враховуючи, що нерівність (3.2.8) має, як частковий розв’язок, рівність лівої та правої частини, побудуємо в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 дві функції   та проаналізуємо їх точки рівності (спільного перетинання) та інтервали нерівностей (рис. 3.2.8)

Рис. 3.2.8 Взаємне розташування функцій  та

Як показує аналіз графіків, наведених на рис.3.8.8, нерівність (3.2.8) має точки перетинання (4 розв’язки в точках рівності), коли , та 3 інтервали, коли

. Обрахуємо точки перетинання функцій в пакеті Microsoft Mathematics 4.0, вирішуючи 2 рівняння, які відповідають рівнянню модулів

:

 (рис.3.2.9) та  (рис.3.2.10)

Рис. 3.2.9 Графічний розв’язок рівняння , корені  (алгоритм порядку розв’язок в додатку 8)

Рис. 3.2.10 Графічний розв’язок рівняння , корені  (алгоритм порядок розв’язок в додатку 8)

Спільний аналіз графіків на рис.3.2.8 - 3.2.10 та знайдених 4-х коренів дозволяє побудувати інтервали рішень вихідної нерівності

 (3.2.8) у вигляд 3-х інтервалів:

) (=); 2) ;

) .

Приклад 3.2.9 Розв’язати нерівність

 (3.2.9)

Розв’язок

. Враховуючи, що нерівність (3.2.9) має, як часткове розв’язок, рівність лівої та правої частини, побудуємо в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 дві функції

,  та проаналізуємо їх точки рівності (спільного перетинання) та інтервали нерівностей (рис. 3.2.11)

Рис. 3.2.11 Взаємне розташування функцій  та

Як показує аналіз графіків, наведених на рис.3.2.11, вихідна нерівність має розв’язок у вигляді:

2 коренів рівняння ;

та 2-х інтервалів виконання нерівності .

На рис. 3.2.12 наведене графічне розв’язок нерівності  (3.2.9) у вигляді 2-х інтервалів:

а)  б)

Рис. 3.2.12 Графічно-масштабований розв’язок нерівності  в Microsoft Mathematics 4.0, корені рівності ()

Приклад 3.2.10 Розв’язати нерівність

Розв’язок

. Враховуючи, що нерівність (3.2.9) має, як частковий розв’язок, рівність лівої та правої частини, побудуємо в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 дві функції

та проаналізуємо їх точки рівності (спільного перетинання) та інтервали нерівностей (рис. 3.2.13).

Рис. 3.2.13 Взаємне розташування функцій  та

Рис. 3.2.13а Взаємне розташування функцій  та  (збільшений масштаб)

Як показує аналіз графіків на рис.3.2.13-3.2.13а:

а) нерівність  виконується на всій осі за можливим виключенням періодичних 2 точок, де є рівність (в рамках масштабу графіка) . Доведення наявності цих точок (торкання чи перетинання) потребує додаткового дослідження.

б) для знаходження цих точок необхідно провести перетворення тригонометричних функцій в рівнянні з приведенням їх до 1-го аргументу.

. Проводимо перетворення вихідної системи нерівності

:

На графіках рис. 3.14 графічно доведена відсутність коренів рівняння  (графіки не мають точок перетинання при всіх значеннях ) та виконання нерівності для всіх значень .

Оскільки при перетвореннях ми використовували тільки перенесення виразів з однієї до другої частини нерівності, то перетворення вихідної нерівності є тотожними.

Таким чином, проведене дослідження показує, що для вихідної нерівності:

:

а) умови нерівності  виконуються при любому

б) умови рівності  не виконуються для жодного

Рис. 3.14 Графічне доведення відсутності коренів рівняння  та виконання нерівності для всіх значень

Приклад 3.2.11 Розв’язати систему рівнянь з двома змінними з застосуванням пакету Microsoft Mathematics 4.0

(3.2.11)

Розв’язок.

) Спосіб 1(традиційний).

Виконуємо заміну змінних для перетворення вихідної системи:

Розв’язок:

Підставляючи отримані розв’язки переходимо до 2-х систем рівнянь:

  (система немає рішень)

Таким чином, система (3.2.11) має розв’язок

) Розв’язок виконуємо автоматизовано з допомогою меню „Розв’язок систем рівнянь” пакету Microsoft Mathematics 4.0, виконуючи перевірку підстановкою коренів в вихідну систему рівнянь.

Приклад 3.2.12 Розв’язати систему рівнянь з двома змінними з застосуванням пакету Microsoft Mathematics 4.0

(3.2.12)

) Розв’язок виконуємо автоматизовано з допомогою меню „Розв’язок систем рівнянь” пакету Microsoft Mathematics 4.0, виконуючи розшифровку всіх операцій розв’язок системи рівнянь.

Приклад 3.2.13 Розв’язати систему рівнянь з двома змінними з застосуванням пакету Microsoft Mathematics 4.0

(3.2.13)

) Розв’язок виконуємо автоматизовано з допомогою меню „Розв’язок систем рівнянь” пакету Microsoft Mathematics 4.0, виконуючи перевірку підстановкою коренів в вихідну систему рівнянь.

Рис. 3.2.13 Протокол розв’язання системи рівнянь (3.2.16) -  та перевірка рішень підстановкою

Приклад 3.2.14 Розв’язати систему рівнянь з двома змінними з застосуванням пакету Microsoft Mathematics 4.0

(3.2.14)

) Розв’язок виконуємо автоматизовано з допомогою меню „Розв’язок систем рівнянь” пакету Microsoft Mathematics 4.0, виконуючи перевірку підстановкою коренів в вихідну систему рівнянь.

Рис. 3.2.14 Протокол розв’язання системи рівнянь (3.2.17) -  та перевірка рішень підстановкою

РОЗДІЛ 4. ОХОРОНА ПРАЦІ ТА БЕЗПЕКА В НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЯХ В ЗАГАЛЬНООСВІТНІЙ ШКОЛІ

.1 Законодавчі основи організації охорони праці в галузі освіти та безпеки життєдіяльності в загальноосвітній школі

Відповідно до Положення про організацію охорони праці [34] особисту відповідальність за створення безпечних умов навчально-виховного процесу несе керівник навчального закладу.

Приміщення кабінетів природничо-математичного напряму мають відповідати вимогам:

Положення про організацію роботи з охорони праці учасників навчально-виховного процесу в установах і навчальних закладах, затверджене наказом Міністерства освіти і науки України №563 [34];

Державні санітарні правила і норми влаштування, утримання загальноосвітніх навчальних закладів та організації навчально-виховного процесу (ДСанПіН 5.2.2.008-01) [7];

Правила пожежної безпеки для закладів, установ і організацій системи освіти України № 348/70 [35];

Правила безпечної експлуатації електроустановок споживачів [36];

- Правила безпеки під час навчання в кабінетах інформатики навчальних закладів системи загальної середньої освіти №81 [37];

- Положення про порядок проведення навчання і перевірки знань з питань охорони праці в закладах, установах, організаціях, підприємствах, підпорядкованих Міністерству освіти і науки України №304 [38];

Положення про порядок розслідування нещасних випадків, що сталися під час навчально-виховного процесу в навчальних закладах №616 [39].

На кабінети (лабораторії) мають бути паспорти, які визначають основні параметри: освітлення, площа, наявність інженерних мереж (водопостачання, каналізація, вентиляція, тепломережа, електромережа), забезпечення меблями, обладнанням, підручниками, посібниками, приладдям тощо [34].

Кабінети обладнуються аптечкою з набором медикаментів, перев’язувальних засобів і приладь та інформацією про місце знаходження і номер телефону найближчого лікувально-профілактичного закладу, де можуть надати кваліфіковану медичну допомогу.

У разі скоєння нещасного випадку, що трапився з учнем під час проведення навчально-виховного процесу в кабінеті учитель повинен терміново організувати надання першої допомоги потерпілому відповідно до Положення про порядок розслідування нещасних випадків [39].

Відповідно до Положення про порядок проведення навчання з питань охорони праці [38] в кабінетах природничо-математичного напряму навчальних закладів обов’язково проводять навчання з питань безпеки життєдіяльності за допомогою системи інструктажів з питань безпеки життєдіяльності.

Вчителі та працівники школи повинні впроваджувати на робочих місцях та в навчально-виховному процесі правила техніки безпеки (системи організаційних і технічних заходів і засобів, що запобігають дії на працюючих та учнів небезпечних факторів) згідно типовій „Інструкції з охорони праці на робочому місці для вчителів та працівників школи” [34].

Учитель припиняє проведення занять, пов'язаних з небезпекою для життя, і доповідає про це керівникові школи. Негайно повідомляє керівника про кожен нещасний випадок.

.2 Аналіз стану охорони навчання і праці та безпеки в надзвичайних ситуаціях в приміщенні кабінету математики та інформатики 10 класу

Проведений в дипломному дослідженні аналіз санітарно-гігієнічних умов праці в 10 класі загальноосвітньої школи виявив наступне.

Клас (кабінет математики та інформатики) розташований на 4 поверсі 4-х поверхової будівлі школи, збудованої у 1964 році із цегляних стін та залізобетонних плит міжповерхових перекриттів та стелі.

Площа приміщення класу (кабінету) - 54 квадратних метрів при висоті приміщення 3,6 метри. В класі постійно навчається 16 учнів, вчитель та лаборант-системотехнік. Отже, на одну людину приходиться 3,0 м² площі та 10,8 м3 об’єму. Ці показники відповідають нормам ДСанПіН 5.2.2.008-01[7] по площі приміщення, де на одну людину в старшій школі повинно бути не менше 2,8 м^2, але не відповідають нормативу - не менше 12 м3 об’єму на одного школяра в старшій школі.

В приміщенні температура повiтря повинна знаходитись по нормам в інтервалі вiд 18 до 23 градусiв по Цельсiю, але при перевірці станом на кінець 4 уроку температура становить 25 градусів, що свідчить про недоліки в організації мікроклімату в приміщенні. Вiдносна вологiсть повiтря складає 40-55% при нормi 40-60%. Швидкiсть руху повiтря - 0,2 м/с, що вiдповiдає санiтарним нормам [7].

Кабінет математики та інформатики провітрюють на перервах. Фрамугами і кватирками користуються протягом всього року. До початку занять і після їх закінчення здійснюють наскрізне провітрювання навчальних приміщень. Тривалість наскрізного провітрювання визначається погодними умовами згідно з табл. 4.1.

Таблиця 4.1

Тривалість провітрювання приміщень (хв.)

Рис. 4.1 Схема приміщення кабінету математики та інформатики 10 класу загальноосвітньої школи

Загальне штучне освітлення в приміщенні математичного кабінету становить 1000 лк, при цьому забезпечується високий рівень зорових функцій і загальної працездатності учнів. Рівень штучного освітлення навчального приміщення відповідає ДБН В 2.5-28-2006, ДБН В.2.2-3-97. Сумарний світовий потік штучного освітлення від люмінесцентних світильників (питома потужність люмінесцентного освітлення становить 28 Вт/ м²⁾ на навчальних місцях учнів становить 200-205 люкс, що відповідає нормам для роботи учнів в школі [30]. Співвідношення між світловими потоками від вікна і штучного освітлення становить 2:1, що є оптимальним.

Вентиляція в корпусі - централізована приточно-витяжна з механічним двигуном на даху. Після встановлення герметичних пластикових вікон виникла проблема з ефективністю вентиляції, оскільки для притоку повітря через вікна їх треба відчиняти, що створює некомфортні протяги та захворюваність учнів.

Внутрішній шум у кiмнатi, окрім мовного шуму та зовнішніх шумів, утворюється вiд роботи 18 комп’ютерів і складає 35 - 40 дБА, а сумарний шум не перевищує 60 ДБА при нормi шуму у примiщеннi даного типу 50-65 дБА. Запиленiсть складає 0,1 мг/куб.м. при нормi 0,1 - 0,2 мг на кубiчний метр.

Значення параметрiв, якi характеризують санiтарно-гiгiєнiчний стан навчання учнів 11 класу наведене у табл. 4.2, де вони порiвнюються з прийнятими нормами та стандартами [7].

Таблиця 4.2

Параметри санiтарно-гiгiєнiчних умов працi у примiщеннi кабінету математики та програмування 11 класу загальноосвітньої школи

Як показує аналіз результатів, наведених в табл.4.2, наявність 20 комп’ютерних комплексів з постійним тепловиділенням потребує, окрім процедур провітрювання, встановлення кондиціонування повітря в кабінеті для зниження середньої температури на 4 градуси.

Проведений в дипломному дослідженні аналіз техніки електробезпеки та протипожежної профілактики в 11 класі (кабінет математики та інформатики) загальноосвітньої школи виявив наступне:

. За небезпекою ураження електричним струмом приміщення класу до приміщень без підвищеної небезпеки, оскільки приміщення сухе, з температурою повітря в межах оптимальних значень.

. В кабінеті використовуються правила охорони праці під час експлуатації електронно-обчислювальних машин - „Правила безпеки під час навчання в кабінетах інформатики навчальних закладів системи загальної середньої освіти” [37].

. Для захисту від ураження електричним струмом використовується захисне заземлення, конструктивно виконане 3-х провідним підведенням електроживлення до кожного робочого місця в пластикових коробах, де 1-провід це фаза, 2-провід -«нуль», 3-провід - спеціальний провід контуру заземлення, який виведений на зовнішню групу заземлювачів. Призначення заземлення - перетворення замикання на корпус у замикання на землю з метою зниження напруги дотику та напруги кроку до небезпечних величин (вирівнювання потенціалів) [30].

. Приміщення по пожежній безпеці відносяться до категорії В, оскільки тут використовуються тверді горючі і важкозаймисті речовини та матеріали, наприклад папір. До протипожежного інвентарю відносяться вогнегасники ВП - 5Б у кількості 5 штук, розташовані в спеціальному приміщенні шкільного коридору на відстані 12 м від дверей в клас.

. У будівлі на випадок пожежі передбачена евакуація людей через два евакуаційні виходи, такі як: головний вхід/вихід школи (головні сходи з боку кожного поверху), бокові сходи з другого боку кожного поверху з виходом на 2-й («чорний вихід»). Відстань від найвіддаленішого класу на поверсі до найближчого евакуаційного виходу з приміщення - 24 м, це не перевищує значень, що регламентуються [35].

Таким чином, проведений аналіз стану охорони праці та виконання вимог санітарно-гігієнічних норм організації навчання учнів в математично-інформаційному кабінеті 10 класу школи виявив наступні порушення - необхідно удосконалити систему вентиляції та зняття надлишкової температури в приміщенні класу, оскільки після встановлення герметичних склопластикових вікон без фіранок побудована в 60-ті роки 20 сторіччя центральна система витяжно-приточної вентиляції не виконує повністю свої функції.

4.3 Обґрунтування заходів щодо покращення санітарно-гігієнічних умов навчання учнів в кабінеті математики та інформатики 10 класу загальноосвітньої школи

Для видалення надлишків тепла в приміщенні 10 класу загальноосвітньої школи (кабінет математики та програмування) доцільно застосувати кондиціонер спліт-системи [57].

Рис. 4.2 Настінна спліт-система кондиціонера Samsung AQ24UGF (потужність 7,2 кВт, 4 регульовані швидкості, максимальний потік повітря - 34 м³/хвилину, рівень шуму внутрішнього пристрою в кімнаті до 42 ДБА) [57]

Split (англ.) - роздільний. Кондиціонерні спліт-системи складаються з двох частин: внутрішній блок, що знаходиться в приміщенні, і зовнішній блок, що монтується назовні. Такі системи сьогодні є лідерами продажів та мають наступні переваги:

блоки з'єднуються шлангами, трубками та електричними дротами, які можна легко приховати естетичним коробом, або вмонтувати у стіну;

монтаж внутрішнього блока можна здійснювати у будь-якому зручному місці кімнати;

найбільш шумний вузол - компресор, знаходиться у зовнішньому блоці, отож всередині приміщення шум від спліт-системи значно нижчий, ніж від віконного кондиціонеру. Внутрішній блок працює майже безшумно;

великій вибір внутрішніх блоків (вони можуть монтуватися: на стіну, на підлогу, на стелю, у вигляді окремої колони, у підвісну стелю, тощо) дозволяє влучно інтегрувати кондиціонер до дизайну та призначення приміщення;

повітря можна спрямовувати у необхідному напрямку і з необхідною силою.

Для визначення необхідної для охолодження приміщення потужності кондиціонера слід розрахувати сумарне надходження тепла до приміщення, приблизно враховуючи тепло від сонячних променів, освітлення, людей, оргтехніки, тощо. Обрана модель кондиціонера повинна давати таку саму, або навіть дещо вищу потужність.

Основні характеристики приміщення для розрахунку зняття надлишкового тепла у приміщенні класу (кабінет математики та інформатики):

· довжина 9 м, ширина 6 м (площа 54 м2);

· висота стель - 3,6 м (об’єм приміщення - 194,4 м3);

· на одну людину приходиться 3,0 м² площі та 10,8 м³ об’єму;

- в класі розташовані 18 комп’ютерних комплекси, 1 принтер та 18 приладів забезпечення безперебійного електричного живлення;

· 3 вікна класу виходять не на сонячну сторону будинку;

· в приміщенні класу встановлене стельоае штучне освітлення газорозрядними лампами з мінімальним нагрівом на стелях.

Процедура розрахунків надходження тепла в операційний зал управління виглядає таким чином [30]:

, ккал/год (4.1)

де Qобор - виділення тепла від устаткування:обор = 860*n*P*k1*k2., ккал/год (4.2)

де n = 24, середня працююча кількість устаткування;

Р= 0,25 квт/год - середня теплова потужність одиниці обладнання;

к1 = 0,8 - коефіцієнт використання установленої потужності;

к2 = 0,5 - коефіцієнт одночасної роботи устаткування;

- коефіцієнт відношення між потужністю обладнання і кількістю виділеного тепла при переході електричної енергії в теплову (1 квт/год = 860 ккал/год).

Підставляємо чисельні значення у формулу (4.2):

обор = 860*24*0,25*0,8*0,5 = 2 064 ккал /год

люд - надходження тепла, зумовлене працюючими людьми:

люд = N*q (4.3)

де N = 18 чоловік, які одночасно знаходяться в кабінеті;= 125 ккал/год - середня кількість тепла, що виділяється однією

людиною (доросла людина та учень 11 класу);

Підставляємо чисельні значення в формулу (4.3):

Qлюд = 18*125 = 2 250 ккал/год

освітл - надходження тепла від приладів освітлення

освітл = 860* N1 * к4 (4.4)

Де N1 = 0,006*12 = 0,07 квт/год - сумарна теплова потужність пристроїв управління люмінесцентних ламп (кількість ламп помножених на їх потужність);

к4 = 1,0 - коефіцієнт одночасного використання.

Підставляємо чисельні значення в формулу (4.4):освітл = 860*0,07 * 1,0 = 61,9 ккал/годрад = 135 ккал/год - надходження тепла через зовнішні огородження конструкцій від сонячної радіації (значення для західної півкулі 50-широти) [30].

Таким чином, сумарний потік тепловиділення буде становити:

надх = 2 064 + 2 250 + 61,9 + 135 = 4 510,9 ккал/год

(або 4 510,9/860 = 5,24 квт)

Зробимо розрахунок необхідного максимального потоку повітрообміну для зняття надлишків тепла в приміщенні класу за формулою [30]:

, м3/час (4.5)

де Сp = 0,24 ккал/кг*град - питома теплоємність повітря;

ρ = 1,22 кг/м3 - гущина повітря;від - температура повітря, що видаляється вентиляційною системою;припл - температура припливного повітря (на 8 градусів нижче від

температури в приміщенні) від кондиціонеру.

Результати розрахунку по формулі (4.5):

, або 32,0 м³/хвил.

Таким чином, для підтримки встановлених параметрів мікроклімату в класі необхідно 2 спліт-кондиціонера Samsung AQ24UGF потужністю 7,2 Квт з регульованою продуктивністю від 4 (мінімум при 1 включеному кондиціонері) до 34 м3/хвилину (2 повністю включених кондиціонера). Слід відзначити, що кондиціонер Samsung AQ24UGF має режим підігріву повітря, що дає йому можливість працювати в режимі кондиціювання з підігрівом до зовнішніх температур -5⁰С. При більш низьких температурах у зимній період - тільки режим провітрювання кабінету (короткочасний на перервах).

ВИСНОВКИ

Згідно з завданнями дипломного дослідження:

. Проведено узагальнення учбових програм та традиційних методологій викладення тем „Рівнняння та системи рівнянь”, „Нерівності та системи нерівностей”, розподілених в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи за розділами:

а) 7 клас (нульовий клас складності):

Лінійні рівняння з однією змінною;

Система лінійних рівнянь з двома змінними;

б) 8 клас (перший клас складності):

Квадратні рівняння;

в) 9 клас (другий клас складності):

- Лінійні нерівності з однією змінною;

Системи лінійних нерівностей з однією змінною;

- Квадратні нерівності;

г) 10 клас (третій клас складності):

- Ірраціональні рівняння та нерівності;

Показникові рівняння та нерівності;

Логарифмічні рівняння та нерівності;

Тригонометричні рівняння та нерівності.

2. Наведені 72 приклади розв’язання рівнянь та нерівностей по всіх розділах шкільної програми алгебри, які наочно доводять, що на другому та третьому рівні складності методів розв’язання рівнянь та нерівностей у 9 та 10 класах виникає потреба у графоаналітичних методах попереднього аналізу ОДЗ та інтервалів знаходження коренів рівнянь і координат точок множин нерівностей.

. Проаналізована обґрунтованість інноваційних напрямків розробки методологій і наочності викладання тем „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри 9-10 класів загальноосвітньої школи та доведено, що суттєвою прогалиною в викладенні традиційних методів розв’язання рівнянь та нерівностей є проблема рівносильності тотожних перетворень рівнянь та нерівностей в процесі пошуку коренів та відповідних інтервалів. Для ліквідації цієї прогалини запропоновані методи інноваційного підходу з застосуванням додаткового аналізу ОДЗ рівнянь та нерівностей на всіх етапах послідовного процесу перетворень, що суттєво зменшує ризик отримання „зайвих” та „загублених” коренів.

. Доведена доцільність та практичну цінність впровадження програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 в інноваційних методологіях викладання тем „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри у 10 класі загальноосвітньої школи. Застосування комплексу Microsoft Mathematics 4.0 дозволяє проводити графоаналітичне та програмне розв’язання найскладніших рівнянь та нерівностей з наборами ірраціональних, логарифмічних та тригонометричних функцій одночасно.

Розв’язок рівнянь та нерівностей такого типу складності традиційними методами рівносильних перетворень для учнів та викладачів є проблематичним, а для деяких типів і просто неможливим.

Практична цінність отриманих результатів дипломного дослідження полягає в доведенні ефективності використання програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 для впровадження дослідницьких інтегрованих інноваційних методологій викладання тем „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Бабенко С.П. Усi уроки алгебри і початків аналізу. 11 клас. ІІ семестр. Академічний рівень. // Бабенко С. П. - Харків: Основа, 2011. - 253 с.

2. Бевз Г.П. Алгебра: Підруч. для 7 кл. загальноосвіт. навч. закл. / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз - К.: Зодіак-ЕКО, 2007. - 304 с.

. Бевз Г.П. Алгебра: Підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл. / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз - К.: Зодіак-ЕКО, 2007. - 256 с.

. Бевз Г.П. Методика навчання математики: Навчальний посібник для інститутів. / Г.П. Бевз. - К.: Вища школа, 1989. - 367 с.

5. Бедрій Я.І. Безпека життєдіяльності. Навчальний посібник. /Я.І. Бедрій. - Київ: Кондор, 2009. - 286 с

6. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства.: книга для учителя. / И.Т. Бородуля - М.: Просвещение, 1989.-239с.

. Державні санітарні правила і норми влаштування, утримання загальноосвітніх навчальних закладів та організації навчально-виховного процесу, затверджені постановою Головного санітарного лікаря України від 14.08.2001 №63 (ДСанПіН 5.2.2.008-01). - [Електронний документ]

8. Державні будівельні норми України, „Захисні заходи електробезпеки в електроустановках будинків і споруд” (ДБН В.2.5-27-2006) // Введені Наказом Міністерства будівництва, архітектури та житлово-комунального господарства України від 29 березня 2006 р. №97 з 1 жовтня 2006 р., 2006. - [Електронний документ]

. Державні будівельні норми ДБН В.2.5-28-2006 „Природне та штучне освітлення” // Наказ Міністерства будівництва, архітектури та житлово-комунального господарства України від 15 травня 2006 р. №168

10. Дорофеев Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. Избранные вопросы елементарной математики. Изд. 3-е, переработанное. / Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов. - М. Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1972.- 528 с.

. Жалдак М.І. «Педагогічний потенціал комп'ютерно-орієнтованих систем навчання математики» // М.І. Жалдак. - Комп'ютерно-орієнтовані системи навчання. Зб.наук.праць - К.:НПУ ім. М.П.Драгоманова. - Випуск 7.-2003.- 263с.

. Жалдак М.И. Математика с компьютером: Пособие для учителей. / М.И. Жалдак, Ю.В. Горошко, Е.Ф. Винниченко. - К.: РУНЦ „ДИНИТ”, 2004. - 251 с.

. Жидецький В.Ц. Основи охорони праці: Підручник. - 4-те вид., перероб. і доп. Затверджено МОН. / В.Ц. Жидецький. - Київ, Знання, 2010. - 375 с.

. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие. / Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И., - М.: Наука, 1987. - 240с.

. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. / Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.И., Пасиченко П.И. - М.: Наука, 1987 - 432с.

. Збірник задач з математики для вступників до втузів / За редакцією М.І. Сканаві. − Київ: Вища школа, 1992. − 445 с.

. Інструктивно-методичні матеріали «Безпечне проведення занять у кабінетах природничо-математичного напряму загальноосвітніх навчальних закладах» // Лист Міністерства освіти, науки, молоді та спорту України, №1/9-72 від 01.02.2012 - 18 с. - [Електронний документ]

. Катренко Л.А. Охорона праці в галузі освіти: Навчальний посібник, 2-е вид., доповн. / Л.А. Катренко, І.П. Пістун - Суми: ВТД „Університетська книга”, 2005. - 304 с.

. Кушнір В.А. Інноваційні методи навчання математики / Науково-методичний посібник. / В.А. Кушнір, Г.А. Кушнір, Р.Я. Ріжняк. - Кіровоград, РВВ КДПУ ім. В. Винниченка, 2008. - 148 с.

. Кушнір В.А. Формування творчого мислення учнів при розв’язуванні рівнянь та нерівностей // В.А. Кушнір, Г.А. Кушнір, А. Петюренко - Математика в школі, 2005, №5 (с. 35-40).

. Львов М.С. Про один підхід до побудови систем підтримки Розв’язок математичних задач, конструйованих за умовою // М.С. Львов, Ю.І. Сінько. - Комп’ютерно-орієнтовані системи навчання: Зб. наук. праць / Редкол. - К.: НПУ ім. М.П. Драгоманова. - 2001. - Вип. 4.- С. 75-82.

. Мерзляк А.Г. Алгебра. 9 клас. Підручник для класів з поглибленим вивченням математики // А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір - Х.:Гімназія, 2009. - 379с.

. Мерзляк А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10 клас. Підручник для класів з поглибленим вивченням математики // А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський В.Б. Полонський, М.С. Якір - Х.: Гімназія, 2010. - 415 с:

. Михалін Г.О. Професійна підготовка вчителя математики у процесі навчання математичного аналізу. / Г.О. Михалін. - Київ: НПУ імені М. П. Драгоманова, 2003. - 320 с.

. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.: Учебное пособие для подготовительного отделения вузов. - четвертое издание, переработанное и дополненное. / А.Г. Мордкович. - М.: Высшая школа, 1987 - 416с.

26. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів.- 2 вид., виправл. і доп. / Є.П.Нелін, О.Є. Долгова. - Х.: Світ дитинства, 2006.- 416 с.

27. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів./ Є.П. Нелін. - Харків: Гімназія, 2010.- 415 с.

. Резуненко В.О. Тригонометричні рівняння і нерівності для старшокласників і абітурієнтів. // О.В. Резуненко, В.О. Ярмак - Х.: Вид. група "Основа" 2011.- 94 с.

29. Решебник по учебнику: СУПЕР ГДЗ. Готові домашні завдання. 10 клас. Розв’язок вправ та завдань до усіх шкільних підручників. Кн. 1. (Решебник (ГДЗ) по учебнику Математика (Алгебра), 10 класс) / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз. - X.: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2011.- 1184 с.

30. Основи охорони праці: Підручник. 21ге видання, доповнене та перероблене. / К.Н. Ткачук, М.О. Халімовський, В.В. Зацарний, Д.В. Зеркалов, Р.В. Сабарно, О.І. Полукаров, В.С. Коз’яков, Л.О. Мітюк. За ред. К.Н. Ткачука і М.О. Халімовського. - К.: Основа, 2006 - 448 с.

. Охорона праці в галузі освіти. Курс лекцій: Навчальний посібник для студентів вищих педагогічних навчальних закладів всіх спеціальностей і напрямів підготовки за освітньо-кваліфікаційними рівнями «спеціаліст» і «магістр»/ С.М. Богомаз-Назарова, А.І. Ткачук, С.О. Кононенко.- Кіровоград: РВЦ КДПУ ім. В. Винниченка. - 2012. - 144 с.

32. Піскунова Л.Е. Безпека життєдіяльності // Л.Е. Піскунова, В.А. Прилипко, Т.О. Зубок. - К.: Академія, 2012. - 224 с.

33. „Про охорону праці” Закон України від 14 жовтня 1992 року N2694-XII // Із змінами і доповненнями, внесеними Законами України станом на N 3458-VI від 02.06.2011 - [Електронний документ]

34. Положення про організацію роботи з охорони праці учасників навчально-виховного процесу в установах і навчальних закладах, затверджене наказом Міністерства освіти і науки України від 01.08.2001 №563 // Із змінами, внесеними згідно з Наказом Міністерства освіти і науки  782 від 20.11.2006.-[Електронний документ]

. Правила пожежної безпеки для закладів, установ і організацій системи освіти України, затверджені наказом Міністерства освіти України і Головного управління Державної пожежної охорони Міністерства внутрішніх справ України від 30.09.98 № 348/70 (Із змінами, внесеними згідно з Наказом Міносвіти N 80/16 від 21.02.2001). - [Електронний документ]

. Правила безпечної експлуатації електроустановок споживачів, затверджені наказом Міністерства енергетики та вугільної промисловості від 13.02.2012 № 91- [Електронний документ]

37. Правила безпеки під час навчання в кабінетах інформатики навчальних закладів системи загальної середньої освіти // Затверджені наказом Держнагляд охорони праці України від 16.03.2004 №81 (Із змінами, внесеними згідно з наказом Державного комітету України з промислової безпеки, охорони праці та гірничого нагляду N252 від 06.11.2007).- [Електронний документ]

38. Положення про порядок проведення навчання і перевірки знань з питань охорони праці в закладах, установах, організаціях, підприємствах, підпорядкованих Міністерству освіти і науки України, затвердженому наказом Міністерства освіти і науки України від 18.04.2006 №304. - [Електронний документ]

39. Положення про порядок розслідування нещасних випадків, що сталися під час навчально-виховного процесу в навчальних закладах, затверджене наказом Міністерства освіти і науки України від 31.08.2001 №616, (Із змінами, внесеними згідно з Наказом Міністерства освіти і науки N773 від 05.07.2004) - [Електронний документ]

40. Перелік навчальних програм, підручників та навчально-методичних посібників, рекомендованих Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України для використання в основній і старшій школі у загальноосвітніх навчальних закладах з навчанням українською мовою у 2012/13 навчальному році // Лист Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України від 23.08.2012 №1/9-592 " Про використання навчальної літератури в загальноосвітніх навчальних закладах у 2012/2013 навчальному році"

. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы: учебное пособие / Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х.- Под ред. Г.М. Яковлева.- 3-е изд. перераб.- М.: Наука, 1988.-720с.

. Практикум розв’язування задач з математики / Михайловський В.І., Тарасюк В.Є., Чеканал Є.О. та ін. - К.: Вища школа, 1989. - 423 с.

. Ріжняк Р.Я. Системно-діяльнісне навчання як засіб реалізації інтегративного підходу (на прикладі вивчення курсів математики та інформатики) // Р.Я. Ріжняк, М.М. Левшин, Ю.З. Прохур, Т.В. Фурсикова - Нові технології навчання: Наук. метод. зб. - Київ, Науково-методичний центр вищої освіти, 2004. - Випуск 39 (с. 33-48)

. Репета В.К. Рівняння, нерівності та системи рівнянь, що містять знак абсолютної величини // В.К. Репета. - Математична газета.-2006. №5- С.27-32.

. Санітарні норми мікроклімату виробничих приміщень ДСН 3.2.6.042-99 // Головний Державний санітарний лікар України, Постанова від 1 грудня 1999 року №42

46. Сипченко Т.М. Календарно-тематичний план з математики. 5-11 класи / Т.М. Сипченко.- 2-ге вид., перероб. і доп. - X.: Видавництво «Ранок», 2011.- 128 с.

47. Слепкань З.І. Методика навчання математики. Підручник для студентів мат. спец. пед. навч. закладів./ З.І. Слепкань. - К.: Зодіак - ЕКО, 2000. - 512 с.

48. Титаренко О.М. 5770 задач з математики з відповідями. 2 е вид. випр./ О.М.Титаренко. - Харків: ТОРГСІНГ ПЛЮС, 2007. - 336 с.

. Титаренко О.М. Форсований курс шкільної математики: Навчальний посібник. / О.М. Титаренко. - Х.: Торсінг, 2003. - 368 с.

. Фурман М.С. Збірник задач з алгебри і початків аналiзу. 11 клас./ М.С. Фурман. - Х.: Вид. група «Основа», 2010. - 159 с.

51. Шкіль М.І. Алгебра та початки аналізу: Підручник для 11 кл. загально-освітн. навч. закладів / М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубинчук - К.: Зодіак-ЕКО, 2002. - 384 с.

52. Шкіль М.І. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 класу загально-осв. навч. закладів / М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубінчук. - К.: Зодіак-ЕКО, 2002. - 272 с.

. Інтернет-сайт представництва фірми Smartboard в Україні, 2012

. Microsoft Математики 4.0 в классе - Microsoft Mathematics, 2012

. Офіційний Інтернет-сайт Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України, 2012

. Офіційний Інтернет-сайт Інституту інноваційних технологій і змісту освіти, 2012

. Офіційний Інтернет-сайт кондиціонерної техніки, 2012

ДОДАТОК А

ДОДАТОК Б

ДОДАТОК В