Модель межотраслевой экономики – модель Леонтьева
Министерство
образования и науки Российской Федерации
Федеральное
государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего
профессионального образования
«Нижегородский
государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
Специальность
«Государственное и муниципальное управление»
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
по
дисциплине: Основы математического моделирования социально-экономических
процессов
Выполнил студент 2 курса заочной формы обучения
г.
Шахунья
г.
ЗАДАНИЕ №1
Модель межотраслевой экономики - модель
Леонтьева.
Задача 1. Даны коэффициенты прямых затрат aij и
конечный продукт Yi для двухотраслевой экономической системы. Данные приведены
в таблице.
. Определить коэффициенты полных затрат,
вектор валового выпуска, межотраслевые поставки продукции;
. Проверить продуктивность матрицы
коэффициентов прямых затрат;
. Составить и заполнить таблицу
межотраслевого баланса.
. Найти матрицу косвенных затрат.
Отрасль
|
Коэффициенты
прямых затрат aij
|
Конечный продукт Yi
|
|
1
|
2
|
|
1
|
0,1*m
|
0,1
|
1000
|
2
|
0,3
|
0,1*n
|
500+100*n
|
Подставив данные варианта m
= 4, n = 4, получим:
Отрасль
|
Коэффициенты
прямых затрат aij
|
Конечный продукт Yi
|
|
1
|
2
|
|
1
|
0,4
|
0,1
|
1000
|
2
|
0,3
|
0,4
|
900
|
Из таблицы получаем:
0,4 0,1 1000
А= 0,3 0,4 , Y= 900 .
Найдем матрицу полных затрат:
Находим определитель:
А также матрицу миноров:
А затем матрицу алгебраических дополнений:
И соответствующую ей транспонированную матрицу:
Что позволяет найти обратную матрицу - матрицу
полных затрат:
Так как все элементы матрицы полных затрат
неотрицательны, а также сумма элементов матрицы А по всем строкам и столбцам
<1, то матрица коэффициентов прямых затрат является продуктивной.
Найдем вектор валового выпуска:
Помножив первое уравнение на 6 и сложив первое
уравнения со вторым, получим:
Откуда найдем:
Межотраслевые поставки считаем по формуле:
В итоге таблица межотраслевого баланса выглядит
следующим образом:
Отрасль
|
Коэффициенты
прямых затрат aij
|
Конечный продукт Yi
|
Валовой
выпуск
|
|
1
|
2
|
|
|
1
|
0,3
|
0,1
|
1000
|
2090,909
|
2
|
0,3
|
0,4
|
900
|
2545,454
|
Найдем матрицу косвенных затрат:
ЗАДАНИЕ №2
Линейное программирование. Задача оптимального
производства продукции
Задача 2. Предприятие планирует выпуск двух
видов продукции: I и II. На производство расходуется три вида сырья: A, B и C.
Потребность aij на каждую
единицу j-го вида продукции i-го вида сырья, запас bi
соответствующего вида сырья и прибыль cj
от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей:
Вид
сырья
|
Виды
продукции
|
Запас
сырья
|
|
I
|
II
|
|
A
|
a11=n
|
a12=2
|
b1=mn + 5n
|
B
|
a21=1
|
a22=1
|
b2=m + n +3
|
C
|
a31=2
|
a32=m+1
|
b3=mn+4m+n+4
|
Прибыль
|
c1=m+2
|
c2=n+1
|
|
План
(ед.)
|
x1
|
x2
|
|
затрата индексный решение excel
Подставив данные варианта, получим:
Вид
сырья
|
Виды
продукции
|
Запас
сырья
|
|
I
|
II
|
|
A
|
4
|
2
|
36
|
B
|
1
|
1
|
11
|
C
|
2
|
5
|
40
|
Прибыль
|
6
|
5
|
|
План
(ед.)
|
x1
|
x2
|
|
Целевая функция решения имеет следующий вид:
Система ограничений на целевую функцию:
Воспользовавшись сервисом «поиск решения» в
программе MS
Excel, получим
оптимальный план производства продукции:
Определим максимальное значение целевой функции
F(X) = 6x1 + 5x2 при следующих условиях-ограничений.
x1 + 2x2≤36+ x2≤11
x1 + 5x2≤40+ x2≥4
Для построения первого опорного плана систему
неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных
переменных (переход к канонической форме).
x1 + 2x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 36
x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 11
x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 40
x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5-1x6 = 4
Введем искусственную переменную: в 4-м равенстве
вводим переменную x7;
x1 + 2x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 36
x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 + 0x7 = 11
x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 40
x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5-1x6 + 1x7 = 4
Для постановки задачи на максимум целевую
функцию запишем так:
(X) = 6x1+5x2 - Mx7 → max
Из уравнения выражаем искусственную переменную:
= 4-x1-x2+x6
которую подставим в целевую функцию:
(X) = (6+M)x1+(5+M)x2+(-M)x6+(-4M) →
max
Решим систему уравнений относительно базисных
переменных:, x4, x5, x7,
Полагая, что свободные переменные равны 0,
получим первый опорный план:= (0,0,36,11,40,0,4)
Базис
|
B
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x3
|
36
|
4
|
2
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
x4
|
11
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
x5
|
40
|
2
|
5
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
x7
|
4
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
-1
|
1
|
F(X0)
|
-4M
|
-6-M
|
-5-M
|
0
|
0
|
0
|
M
|
0
|
Текущий опорный план неоптимален, так как в
индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего
выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший
коэффициент по модулю. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления:
bi / ai1 и из них выберем наименьшее, 4-ая строка является ведущей. Разрешающий
элемент равен 1 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис
|
B
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
min
|
x3
|
36
|
4
|
2
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
9
|
x4
|
11
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
11
|
x5
|
40
|
2
|
5
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
20
|
x7
|
4
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
-1
|
1
|
4
|
F(X1)
|
-4M
|
-6-M
|
-5-M
|
0
|
0
|
0
|
M
|
0
|
0
|
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис
|
B
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x3
|
20
|
0
|
-2
|
1
|
0
|
0
|
4
|
-4
|
x4
|
7
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
-1
|
x5
|
32
|
0
|
3
|
0
|
0
|
1
|
2
|
-2
|
x1
|
4
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
-1
|
1
|
F(X1)
|
24
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
-6
|
6+M
|
Текущий опорный план неоптимален, так как в
индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего
выберем столбец, соответствующий переменной x6, так как это наибольший
коэффициент по модулю. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления:
bi / ai6 и из них выберем наименьшее, 1-ая строка является ведущей. Разрешающий
элемент равен 4 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис
|
B
|
x1
|
x2
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
min
|
x3
|
20
|
0
|
-2
|
1
|
0
|
0
|
4
|
-4
|
5
|
x4
|
7
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
-1
|
7
|
x5
|
32
|
0
|
3
|
0
|
0
|
1
|
2
|
-2
|
16
|
x1
|
4
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
-1
|
1
|
-
|
F(X2)
|
24
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
-6
|
6+M
|
0
|
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис
|
B
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x6
|
5
|
0
|
-1/2
|
1/4
|
0
|
0
|
1
|
-1
|
x4
|
2
|
0
|
1/2
|
-1/4
|
1
|
0
|
0
|
0
|
x5
|
22
|
0
|
4
|
-1/2
|
0
|
1
|
0
|
0
|
x1
|
9
|
1
|
1/2
|
1/4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
F(X2)
|
54
|
0
|
-2
|
11/2
|
0
|
0
|
0
|
M
|
Итерация №2.
Текущий опорный план неоптимален, так как в
индексной строке находятся отрицательные коэффициенты. В качестве ведущего
выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший
коэффициент по модулю. Вычислим значения Di по строкам как частное от деления:
bi / ai2 и из них выберем наименьшее, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий
элемент равен 1/2 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис
|
B
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
min
|
x6
|
5
|
0
|
-1/2
|
1/4
|
0
|
0
|
1
|
-1
|
-
|
x4
|
2
|
0
|
1/2
|
-1/4
|
1
|
0
|
0
|
0
|
4
|
x5
|
22
|
0
|
4
|
-1/2
|
0
|
1
|
0
|
0
|
51/2
|
x1
|
9
|
1
|
1/2
|
1/4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
18
|
F(X3)
|
54
|
0
|
-2
|
11/2
|
0
|
0
|
0
|
M
|
0
|
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис
|
B
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x6
|
7
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
-1
|
x2
|
4
|
0
|
1
|
-1/2
|
2
|
0
|
0
|
0
|
x5
|
6
|
0
|
0
|
11/2
|
-8
|
1
|
0
|
0
|
x1
|
7
|
1
|
0
|
1/2
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
F(X3)
|
62
|
0
|
0
|
1/2
|
4
|
0
|
0
|
M
|
Индексная строка не содержит отрицательных
элементов - найден оптимальный план. Так как в оптимальном решении отсутствуют
искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является
допустимым. Оптимальный план можно записать так:
= 7
x2 = 4
F(X) = 5•4 + 6•7 = 62
Для решения графическим методом заменим
неравенства уравнениями и построим их на координатной плоскости. Область
решений обозначена штриховкой.
Добавим на график целевую функцию (на графике
обозначена пунктирной линией):
Будем искать максимальное значение a,
при котором целевая функция касается многоугольника решений. Получилось a=62
для значений x1 = 7 и x2
= 4.
Литература
1. Красс
М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. - СПб.: Питер,2004.
. Орлова
И. В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели. - М.:
Вузовский учебник, 2009.
. Замков
О.О. и др. Математические методы в экономике. - М.: Дело и сервис, 2009.
. Шапкин
А. С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической
статистике, математическому программированию с решениями. - М.: «Дашков и К0»,
2006.