Конструктивные задачи и теоремы линий 2-го порядка на проективной плоскости
Елабужский
институт «Казанский (Приволжский) федеральный университет»
Физико-математический
факультет
Кафедра
математического анализа, алгебры и геометрии
Специальность
(направление): 050201.65 - математика
Дополнительная
специализация: информатика
Курсовая
работа на тему:
Конструктивные
задачи и теоремы линий 2-го порядка на проективной плоскости
Выполнил студент 021 группы
Ярков Иван Александрович
Елабуга 2013
Введение
В данной курсовой работе рассмотрим задачи и
теоремы проективной геометрии линий 2-го порядка на расширенной прямой,
связанные с построением точек и/или касательных к ним, т.е. задачи
конструктивного типа.
Само понятие линий 2-го порядка и пучка прямых
на проективной плоскости изучается в нормированном курсе геометрии педагогического
вуза. Конструктивные задачи не отображены подробно в нормированном курсе,
следовательно, данная тема актуальна.
1. Теоремы
. Теорема Паскаля. Если шестиугольник вписан в
кривую 2-го порядка, то три точки пересечения его противоположных сторон лежат
на одной прямой.
(Здесь речь идет о любом шестиугольнике, не
только выпуклом, но и самопересекающемся, вершины которого принадлежат
нераспадающейся кривой 2-го порядка. Под сторонами подразумеваются прямые, а не
отрезки прямых. Две стороны называются противоположными, если при обходе
шестиугольника в любом направлении они оказываются отделенными двумя
сторонами.)
Пусть в кривую 2-го порядка вписан шестиугольник
AB’CA’BC’
(рис. 1). Введем следующие обозначения:
, 
, 
, A'B = p, BC' = q, AC'
p = P, A'Cq = Q.
Докажем, что 
,
и 
- точки
пересечения противоположных сторон - лежат на одной прямой.
Согласно построению и в силу
основной теоремы (Точки кривой 2-го порядка проектируются из любых двух ее
точек двумя проективными пучками.)
p (A', , P, B)
A (AA', AB', AC', AB)
C (CA', CB', CC', CB) q (Q, , C',B ),
следовательно, A'PB QC'B, а так как
точка В = pq сама себе соответствует,
то A'P QC’. Значит,
прямые A'Q ≡ A'C, и PC' ≡ AC' сходятся в
одной точке. Таким образом, точка A'C∙AC' = действительно
лежит на прямой . Прямая называется прямой Паскаля данного
шестиугольника.
Теорема Брианшона. Если
шестисторонник описан около кривой 2-го класса, то три прямые, соединяющие его
противоположные вершины, пересекаются в одной точке (рис. 2).
(Сторонами описанного
шестисторонника являются шесть касательных к данной кривой, перенумерованные в
любой последовательности, а вершинами - точки пересечения соседних сторон.)
Точка пересечения указанных трех
прямых называется точкой Брианшона данного шестисторонника.
Теорему Паппа можно считать частным
случаем теоремы Паскаля, когда кривая 2-го порядка распадается на пару прямых,
причем вершины вписанного шестисторонника с нечетными номерами лежат на одной
прямой, а вершины с четными номерами - на другой, и ни одна вершина не
совпадает с точкой пересечения этих прямых.
На рис.3.a
шестиугольник AB'CA'BC' вписан в
кривую 2-го порядка, распавшуюся на пару прямых s и s'.
Противоположные стороны шестиугольника пересекаются в точках X, Y, Z, лежащих на
прямой Паскаля s.
Теорему, двойственную теореме Паппа,
можно считать частным случаем теоремы Брианшона. На рис.3.б стороны шестисторонника
ab'ca'bc' проходят
попеременно через две точки S и S', которые
можно считать в совокупности выродившейся кривой 2-го класса, и ни одна сторона
не совпадает с прямой SS'. Прямые x, y, z соединяющие
противоположные вершины, сходятся в точке Брианшона Sо.
На рис.3, а и б изображена одна и та
же фигура. Она состоит из 9 точек и 9 прямых и называется конфигурацией Паскаля
- Паппа. Через каждую точку конфигурации проходят три ее прямые, а на каждой
прямой конфигурации лежат три ее точки.
. Теорема Паскаля остается в силе и
тогда, когда две смежные вершины вписанного шестиугольника, перемещаясь по
кривой 2-го порядка, в пределе сливаются, а сторона шестиугольника, соединяющая
эти вершины, превращается в касательную.
Теорема Брианшона остается в силе и
тогда, когда две смежные стороны описанного шестисторонника, обкатываясь по
кривой 2-го класса, в пределе сливаются, а вершина шестисторонника, в которой
эти стороны пересекались, превращаются в точку касания.
Это дает нам возможность
сформулировать теоремы Паскаля и теоремы Брианшона для пятиугольника,
четырехугольника, треугольника, вписанных в кривую 2-го порядка, и
соответственно для двойственных фигур, описанных около кривой 2-го класса.
.Если пятиугольник вписан в кривую
2-го порядка, то точка пересечения двух пар его несмежных сторон и точка
пересечения пятой стороны с касательной в противоположной вершине лежат на
одной прямой (рис. 4).
.Если четырехугольник вписан в
кривую 2-го порядка, то точки пересечения его противоположных сторон и точки
пересечения касательных в противоположных вершинах лежат на одной прямой
(рис.6).
.Если треугольник вписан в кривую
2-го порядка, то точки пересечения его сторон с касательными в противоположных
вершинах лежат на одной прямой (рис.8).
*.Если пятисторонник описан около
кривой 2-го класса, то прямые, соединяющие две пары его несмежных вершин, и
прямая, соединяющая пятую вершину с точкой прикосновения противоположной
стороны, пересекаются в одной точке (рис.5).
*.Если четырехсторонник описан около
кривой 2-го класса, то прямые, соединяющие его противоположные вершины, и
прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон, пересекаются в одной
точке (рис.7).
*.Если трехсторонник описан около кривой
2-го класса, то прямые, соединяющие его вершины с точками касания
противоположных сторон, пересекаются в одной точке (рис.9).
. До сих пор мы различали понятия
кривой 2-го порядка и кривой 2-го класса. Но в силу теоремы Маклорена
совокупность всех касательных к кривой 2-го порядка есть пучок 2 - го порядка;
следовательно, всякая кривая 2-го порядка есть огибающая пучка 2-го порядка,
т.е. кривая 2-го класса. Отсюда в силу принципа двойственности всякая кривая
2-го класса есть также кривая 2-го порядка.
. Конструктивные задачи
№1. Даны пять точек кривой 2-го
порядка. Построить еще несколько ее точек.
Решение. Анализ. Пусть А, В, С, S,
S' - данные пять точек кривой 2-го порядка, а М - шестая точка той же кривой
(рис. 10). Рассмотрим вписанный шестиугольник ACBSMS'. В силу теоремы Паскаля
точки пересечения противоположных сторон шестиугольника AC∙SM, CB·MS' и
BS·S'A = S₀ лежат на одной прямой m₀ - прямой Паскаля. Очевидно, точка S₀ не зависит от выбора точки М; следовательно,
если заставить точку М описывать кривую, то прямая Паскаля то будет вращаться
вокруг точки S₀.
Построение. Проведем прямые АС = s и
ВС = s'. Построим точку S₀ = AS' · BS.
Проведем через точку S₀
произвольную прямую m₀; она даст
нам на прямых s и s' две точки: m₀s и m₀s'. Проведем прямые m = S· m₀s и m' = S' ∙
m₀s,; они пересекутся в искомой точке
М = mm'. Вернемся
к точке S₀ и проведем
через нее другую прямую m₀.Мы получим
на прямых s и s' другую пару точек, через которые проведем соответствующие
прямые m и m' и таким
образом получим другую точку М. На рис. 10 этот цикл повторен пять раз.
№2. Даны пять касательных кривой
2-го класса. Построить еще несколько ее касательных.
Решение. Анализ. Пусть а, b, с, s, s' - данные
пять касательных к кривой 2-го класса, а m - шестая
касательная к той же кривой (рис. 11). Рассмотрим описанный шестисторонник: acbsms'. В силу
теоремы Брианшона прямые, соединяющие противоположные вершины, ас·sm, сb·ms' и bs·s'а =s₀ пересекаются в одной точке М₀ - точке Брианшона. Очевидно, прямая
s₀ не зависит от выбора прямой m;
следовательно, если заставить касательную m
обкатываться по заданной кривой, то точка Брианшона М₀ будет описывать прямую s₀'
Построение. Отметим точки ас = S и bс = S'.
Построим прямую ,s₀ = as'∙
bs. Возьмем
на прямой s₀ произвольную точку М₀ и проведем через нее прямые SM₀ . и S' М₀; они дадут нам на прямых s и s' две
точки: М = SM₀∙s и М' = S'M₀∙s'. Прямая
ММ' = m - искомая.
Вернемся к прямой s₀ и возьмем
на ней другую точку М₀'. Она
определит две другие прямые SM₀ и S'М₀, которые дадут нам на s и s' другую
пару точек М, М'. Так мы получим другую прямую m.
№3. Даны три точки кривой 2-го
порядка и касательные в двух из них. Построить еще несколько точек кривой.
Решение. Анализ. Пусть. S, S' и А -
данные три точки, а прямые SS₀ и S'S₀ - касательные в точках S И S' (рис.
12). Допустим, что четвертая точка кривой М уже построена. Обозначим стороны
вписанного четырехугольника SAS'М так: S'А = s, SA = s', SM = m, S'M = m'. В силу
теоремы Паскаля 2 для вписанного четырехугольника точки пересечения
противоположных сторон sm и s'm' и точка S₀ пересечения касательных в
противоположных вершинах S и S' лежат на одной прямой то - прямой Паскаля.
Точка S₀ не зависит
от выбора точки М.
Построение. Проведем прямые s и s' И отметим
точку S₀. Проведем
через S₀
произвольную прямую m₀; мы получим
на прямых s и s' точки m₀s и m₀s'. Построим прямые m = m₀s∙S и m' = = m₀s'·S'; они пересекутся в искомой
четвертой точке М = mm'. Вернувшись к точке S₀ и проведя через нее другую прямую m₀, мы получим аналогично пятую точку
кривой и т. д.
№4. Даны пять точек кривой 2-го
порядка. Построить касательную к кривой в одной из них.
Решение. Пусть А, В, С, D, Е -
данные пять точек. Требуется построить касательную к кривой в точке Е. Построим
пятиугольник ABCDE и обозначим его стороны теми же (строчными) буквами, что и
противоположные вершины (рис. 13). В силу теоремы Паскаля 1 точки пересечения
двух пар несмежных сторон пятиугольника и пятой стороны с касательной, в
противоположной вершине коллинеарны. В данном случае пятой, стороной является
е, а остальные четыре стороны можно разбить на две пары несмежных единственным
образом: а, с и b, d. Итак построим точки ас = Х и bd
= У, затем - прямую Паскаля ХY Пусть XY∙е = Z; тогда
прямая EZ есть искомая касательная.
№5. Даны три точки кривой 2-го
порядка и касательные в двух из них. Построить касательную к кривой в третьей
точке.
Решение. Пусть А, В, С - данные
точки, а и b -
касательные к кривой в точках А и В (рис. 14). Требуется построить касательную
с в точке С. Обозначим стороны треугольника АВС теми же (строчными) буквами,
что и противоположные вершины. В силу теоремы Паскаля три точки пересечения
сторон треугольника с касательными к кривой в противоположных вершинах
коллинеарны; поэтому построим точки аа = Х и bb = У, затем
прямую Паскаля ХУ. Пусть ХУ·с = Z; тогда прямая CZ = c есть искомая
касательная в точке С.
№6.Даны три вершины
четырехугольника, вписанного в кривую 2-го порядка, касательная в одной из них
и прямая Паскаля. Построить четвертую вершину и касательную к кривой в ней.
Решение. Пусть А, В, С - данные
вершины, а - касательная в точке А, р - прямая Паскаля вписанного
четырехугольника ABCD (рис. 15). Требуется построить четвертую вершину D и
касательную d в ней. Так как противоположные стороны вписанного
четырехугольника пересекаются на его прямой Паскаля, то точки AB∙CD и
AD·BC лежат на прямой р. Итак, построив точки АВ∙p = Х и ВС∙р
= У и проведя прямые АY и СХ, мы получим искомую точку D =
АY∙СХ.В
силу теоремы Паскаля 2 касательные к кривой в противоположных вершинах
вписанного четырехугольника пересекаются на прямой Паскаля. Если бы была дана
касательная b в вершине
В, мы легко построили бы искомую касательную d, исходя из того, что b и d
пересекают р в одной и той же точке. Но дана касательная а в вершине А. Поэтому
вместо четырехугольника ABCD, где вершины А и D смежные, рассмотрим
четырехугольник ABDC, имеющий те же вершины, но где вершины А и D
противоположные. Его противоположные стороны пересекаются в точках АВ· DC = Х и
АС· BD = Z. Итак, проведя прямую Паскаля XZ, мы легко построим искомую
касательную d, исходя из того, что она пересекает прямую XZ в той же точке, что
и данная касательная а.
№7. Даны четыре точки кривой 2-го
порядка и касательная в одной из них. Построить касательную в какой-нибудь из
данных точек.
Решение. Пусть A,B,C,D - данные
четыре точки,s -
касательная к кривой в точке D (рис.16). Требуется построить
касательную в точке В. Построим четырехугольник ABCD и обозначим
его стороны AB=a, CD=c, BC=b, DA=d. В силу
теоремы Паскаля 2 точки пересечения его противоположных сторон и точки
пересечения касательных в противоположных вершинах лежат на одной прямой.
Построим точки ac=X, bd=Y, затем
прямую Паскаля XY. XY∙s = Z; тогда BZ и есть
искомая касательная.
№8. Даны три касательные к кривой
2-го класса и точки касания двух из них. Построить точку касания третьей
касательной.
Решение. Пусть a,
b, c
- данные три касательные, точки касания A,
B соответственно
(рис.17) . Требуется построить точку касания C
для касательной c. Построим
трехсторонник XYZ описанный
около кривой. В силу теоремы Брианшона 3* прямые, соединяющие его вершины с
точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке. AY∙BX=O;
ZO∙c=C,
это и есть наша искомая точка.
Решение. Мы имеем на кривой точку P.
Возьмем на кривой еще четыре точки A,B,
C, D.
Построим пятиугольник ABCDP
и обозначим его стороны теми же (строчными) буквами, что и противоположные
вершины (рис. 18). В силу теоремы Паскаля 1 точки пересечения двух пар
несмежных сторон пятиугольника и пятой стороны с касательной, в противоположной
вершине коллинеарны. В данном случае пятой, стороной является p,
а остальные четыре стороны можно разбить на две пары несмежных единственным
образом: а, с и b, d. Итак
построим точки ас = Х и bd = У, затем - прямую Паскаля ХY
Пусть XY∙p
= Z; тогда прямая PZ
есть искомая касательная.
№10. Даны две вершины треугольника, вписанного в
кривую 2-го порядка, касательные к кривой в этих вершинах и прямая Паскаля.
Построить третью вершину.
Решение. Пусть A, B - данные две вершины,a', b'
касательные в этих точках соответственно,a,
b, c
стороны треугольника, m₀ - прямая
Паскаля (рис. 19).Требуется построить вершину C.
В силу теоремы Паскаля 3 точки пересечения его сторон с касательными в
противоположных вершинах лежат на одной прямой, тогда a∙a'∙m₀=aa',
b∙b’∙m₀=bb',
c∙m₀=cc'.
Построим касательную c’
проходящая через точку cc’,
точкой касания касательной c’
будет наша искомая вершина С.
№11. Даны две стороны трехсторонника, описанного
около кривой 2-го класса, точки касания этих сторон и точка Брианшона.
Построить третью сторону.
Решение. Пусть z
и x данные две стороны
b₀ - точка Брианшона, c,
b - точки касания.
Требуется построить сторону y.
В силу теоремы Брианшона 3* прямые, соединяющие вершины трехсторонника с
точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке. z
∙
x = A,
где А одна из вершин трехсторонника. bb₀ ∙ z
= B, c
b₀ ∙ x
= C. Прямая BC
= y и будет третьей
стороной, точкой касания будет точка а, т.к Ab₀ ∙ y
= a.
№12. В конфигурации Паскаля-Паппа взять произвольную
прямую за прямую Паскаля и найти все остальные элементы чертежа.
Решение. На рис. 21 дана конфигурация Паскаля -
Паппа.
Ее девять точек перенумерованы арабскими
цифрами, а девять прямых - римскими цифрами. Способ нумерации не имеет
значения. Будем считать прямой Паскаля прямую VП. На ней лежат точки 4,5,7.
Запишем это так: VII
(4, 5, 7). В этих точках пересекаются противоположные стороны искомого
шестиугольника; значит, вершинами являются остальные шесть точек: 1,2,3, 6,8,9.
Отметим прямые, проходящие через точки 4,5,7, кроме прямой Паскаля VII: 4(II,
VI), 5(I,
VIII), 7(III,
IV). Отмеченные
шесть прямых - это стороны шестиугольника. Неотмеченными остались прямые V и IХ;
это именно те две прямые, на которых лежат вершины шестиугольника.
Остается выяснить порядок вершин и сторон.
Перепишем номера сторон и укажем, какие вершины лежат на каждой из них.
I (1,3), II (2,6), III (8,9), IV
(1,2), VI (3,9), VIII (6, 8). (а)
Как и должно быть, на каждой стороне лежат две
вершины и каждая вершина принадлежит двум сторонам. Будем считать I первой
стороной. Как видно из (а), на ней лежат вершины 1 и 3, причем 3 лежит также на
стороне VI; значит, после 1 следует 3, а после I следует VI. На VI лежит, кроме
3, вершина 9, принадлежащая также стороне III; значит, после 3 следует 9, а
после VI следует III. Продолжая рассуждать аналогично, мы получим следующие
последовательности вершин и сторон: 1, 3, 9, 8, 6, 2 и I, VI, III, VIII, II,
IV. Вершины расположены через одну на прямых IХ и V: IX (1, 9,6), V(3,8,2).
теорема конструктивный геометрия
линия
Заключение
Мы рассмотрели основные теоремы кривых 2-го
порядка: теоремы Паскаля и Брианшона. Мы научились использовать теоремы Паскаля
и Брианшона в решении задач проективной геометрии линий 2-го порядка на
расширенной прямой, т.е. задач конструктивного типа.
Были решены 10 задач конструктивного типа (№2 -
№11). Задачи №1 и №12 даны как пример к решению подобных задач.
Т.к. конструктивные задачи не отображены
подробно в нормированном курсе, этот материал позволит лучше изучить теоремы и
задачи конструктивного типа проективной геометрии линий 2-го порядка.
Список литературы
1. Атанасян Л.С. Геометрия. Ч.II.
/ Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. - М.: Просвещение, 1987. - С. 51-55.
. Атанасян Л.С. Геометрия. Ч.II.
/ Л.С. Атанасян, Г.Б. Гуревич. - М.: Просвещение, 1976. - 245 с.
. Базылев В.Т. Геометрия. Ч.II.
/ В.Т.Базылев, К.И. Дуничев. - М.: Просвещение,1975. -С. 57-60.
. Бакельман И.Я. Высшая
геометрия. / И.Я. Бакельман - М.: Просвещение,1976. - С. 121-134.
. Буземан Г. Проективная
геометрия и проективные метрики. / Г. Буземан, П. Келли. - М.: Издательство
иностранной литературы, 1957. - С. 87-90.
. Вольберг О.А. Основные идеи
проективной геометрии. 3 изд. / О.А Вольберг, Н.Ф. Ефимова. - М.-Л.:
Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения
РСФСР, 1949. - С. 116-121.
. Глаголев Н.А. Проективная
геометрия. 2 изд / Н.А.Глаголев, А.А. Глаголев. - М.: Высшая школа,1936. - С.
92-103.
. Коммисарук А.М. Проективная
геометрия в задачах. - Минск: Вышэйшая школа, 1971. - С. 155-163.
. Корн Г.А Справочник по
математике.4 изд. / Корн Г.А, Корн Т.М - М.: Наука, 1978. - С. 64-69.
. Понарин Я.Л. Аффинная и
проективная геометрия. - М.: МЦНМО, 2009.-С. 221-224.