Законы случайных величин
1. Дискретные системы двух случайных
величин
Задача 1. По цели
производиться два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом
выстреле равна р1=0.7, при втором р2=0.8 .
Рассматривается дискретная система двух случайных величин , где x - число попаданий при первом
выстреле, h - число
попаданий при втором выстреле.
Для рассматриваемой дискретной
системы случайных величин требуется:
а) описать закон распределения
системы ;
б) описать законы распределения отдельных
случайных величин, входящих в систему;
в) описать условный закон
распределения случайной величины x
при условии h = 1 и при
этом условии вычислить условное математическое ожидание ;
г) выяснить, зависимы или нет
случайные величины x и h;
д) вычислить вероятности и >h);
е) вычислить основные числовые
характеристики для системы :
.
Решение.
а) Для описания закона распределения дискретной
системы двух случайных величин необходимо определить множество всех возможных
пар значений
и соответствующие вероятности. Результат
удобно представить в виде таблицы 2.1
Таблица
2.1
В первой строке указываются возможные значения
случайной величины x, а в первом столбце - возможные
значения случайной величины h; в последней строке и в
последнем столбце указываются безусловные вероятности возможных значений
соответственно случайных величин x и h.
В каждой клетке таблицы, стоящей на пересечении i-го
столбца и j-й строки,
указываются вероятности совместного осуществления события
,
т. е.,
Заполним таблицу.
Занесем полученные данные в табл. 2.2
Таблица
2.2
01pj
|
|
|
|
0
|
0.06
|
0.14
|
0.2
|
1
|
0.24
|
0.56
|
0.8
|
Pi
|
0.3
|
0.7
|
1
|
По условию нормировки . Сделаем
проверку:
Условие нормировки выполняется.
б) Законы распределения отдельных дискретных
случайных величин, входящих в систему, получим из закона распределения
дискретной системы случайных величин (см. табл. 2.2). Возможные значения
случайных величин x и h известны,
найдем соответствующие им вероятности. Для случайной величины x
вероятности возможных значений определяются по формуле
,
т.е. суммируем вероятности «по
столбцам»:
Аналогично для случайной величины h
используем формулу
,
т.е. суммируем вероятности «по
строкам»:
Законы распределения случайных величин x
и h
представим в виде ряда распределения для каждой величины (табл. 2.3, 2.4).
Таблица
2.3
01
|
|
|
0.30.7
|
|
|
Таблица
2.4
01
|
|
|
0.20.8
|
|
|
в) Условным законом распределения
случайной величины x при
условии, что величина h приняла
определенное значение , называется
совокупность возможных значений величины x
и соответствующих этим значениям условных вероятностей ,
определяемых по формуле
. (1)
Условный закон распределения
случайной величины x при
условии, что величина h приняла
значение, равное 1, находим по формуле (1), полагая h =0:
.
Тогда
Запишем условный закон распределения случайной
величины x в виде ряда распределения (табл. 2.5).
Таблица
2.5
Используя данные табл. 2.5 и формулу
условного математического ожидания случайной величины x при условии, что величина h приняла определенное
значение :
вычислим условное математическое
ожидание :
г) Установить зависимость или
независимость случайных величин x
и h, входящих в
систему , можно,
проверив необходимое и достаточное условие независимости
.
Так как
,
взять, например,
следовательно, случайные величины x и h независимы.
д) Вычислим вероятности
и >h):
>h)=
е) Найдем основные числовые
характеристики дискретной системы случайных величин x и h. Используя табл. 2.3 и 2.4,
найдем по
формулам:
Корреляционный момент вычислим с помощью данных
табл. 2.2 и следующей формулы:
Коэффициент корреляции определяется
как отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратичных
отклонений случайных величин x
и h :
Так как коэффициент корреляции , то можно
утверждать, что случайные величины x
и h линейно
независимы.
2. Непрерывные системы двух
случайных величин
Задача 2. Система
случайных величин задана
совместной плотностью вероятности
в треугольной области АВС с
координатами А(-1; 0), В(0; 1), С(-1; 2).
Требуется:
а) вычислить константу а в выражении
для плотности вероятности ;
б) вычислить вероятность попадания
случайной точки в
треугольную область АВD с координатами D(-1; 1);
в) найти безусловные плотности
вероятности и случайных
величин x и h;
г) найти условные плотности
вероятности , ;
д) установить, являются ли случайные
величины x и h независимыми;
е) вычислить основные числовые
характеристики системы :
.
ж) найти условные математические
ожидания и (случайной
величины x
относительно h и случайной
величины h
относительно x);
з) построить линии регрессии (x по h и h по x).
Решение.
Изобразим треугольную область АВС (рис. 2.1).
а) Для нахождения константы а в
выражении для плотности вероятности , воспользуемся условием нормировки
Имеем
,
и, следовательно,
.
Напоминание. Площадь треугольника,
построенного на векторах и , равна
Рис. 2.1
б) Вероятность попадания равномерно
распределенной в области D случайной точки в некоторую
область , найдем по
формуле:
.
Точка D(0; 4) (см. рис.
2.1), следовательно,
.
в) Зная совместную плотность
вероятности , можно
найти безусловную плотность вероятности любой из случайных величин, входящих в
систему по
формулам:
= ,
= .
Для расстановки пределов
интегрирования в последних формулах составим уравнения прямых АВ, ВС и АС.
Напоминания: 1. Уравнение прямой,
проходящей через две точки и , имеет вид
2. Уравнение прямой в отрезках имеет вид
,
b - ордината точки
пересечения прямой с осью Оу.
Уравнение прямой АВ имеет вид:
, .
Уравнение прямой ВС имеет вид:
, .
Уравнение прямой АС: .
Треугольник АВС не является
областью, стандартной относительно оси (см. рис. 2.1). Линия входа -
отрезок прямой АВ (). Линия
выхода - отрезок прямой ВС (), если .
Таким образом,
= , если
Итак,
=
Плотность вероятности должна
удовлетворять условию нормировки
.
Для его проверки построим график (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Площадь треугольника, ограниченного
графиком и осью Ох,
равна 1. Следовательно, условие нормировки выполняется.
Треугольник АВС является областью,
стандартной относительно оси Ох (см. рис. 2.1). Линия входа - отрезок оси Оу (), линия
выхода - отрезок прямой АВ (), если , и отрезок
прямой ВС ()
Таким образом,
= , если
= , если .
Итак,
Для проверки условия нормировки построим
график (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Согласно рис. 2.3 площадь
треугольника, ограниченного графиком и осью Оу , равна 1. Следовательно,
условие нормировки выполняется.
г) Условные плотности вероятности выражаются
через безусловные по формулам:
= при ,
= при .
Следовательно,
Заметим, что условие нормировки должно
выполняться для любого фиксированного у, а условие нормировки должно
выполняться для любого фиксированного х.
д) Установить зависимость или
независимость случайных величин x
и h, входящих в
систему , можно,
сравнив условные , и
безусловные , плотности,
или, проверив необходимое и достаточное условие независимости =∙. В нашем
случае и , следовательно, x и h зависимы. Очевидно также,
что ×, что подтверждает сделанный вывод.
е) Вычислим основные числовые
характеристики системы :
= ;
= .
Заметим, что если система случайных
величин распределена
равномерно в треугольной области АВС, где А(х1, y1), B(х2,
y2), C(х3,
y3), то
= , = ;
(,) - так называемый центр
рассеивания.
Проверим:
= , = .
Для вычисления дисперсии воспользуемся
формулой
= .
Вычислим второй начальный момент :
= .
Тогда
= .
Аналогично вычислим дисперсию случайной величины
h
:
= .
Корреляционный момент ,
характеризующий связь между случайными величинами x и h, найдем по формуле
= .
Для этого вычислим сначала второй
смешанный начальный момент
=
Тогда
=
Безразмерной характеристикой связи
между случайными величинами x
и h служит
коэффициент корреляции :
= .
В рассматриваемом случае
= .
Коэффициент корреляции отражает
«степень линейной зависимости» случайных величин x и h.
Так как = 0, x и h независимы.
ж) Условные математические ожидания
случайных величин x и h, входящих в систему , найдем по
формулам:
= и = .
Имеем:
=
=
Заметим, что в случае равномерного
распределения системы функции и являются
линейными.
з) Построим линии регрессии,
определяемые уравнениями и . В
рассматриваемой задаче
,
Рис. 2.4
Заметим, что линия регрессии графически
изображает зависимость «в среднем» случайной величины x от возможных значений
случайной величины h. Аналогично
для .
. Нормальный закон на плоскости
Задача 3. Случайная
точка распределена
по нормальному закону с параметрами , Требуется:
а) написать выражение для плотности
вероятности системы ;
б) изобразить на плоскости области и вычислить
вероятности попадания случайной точки в эти области, если
,
,
,
,
;
в) вычислить вероятность того, что
при трех независимых опытах случайная точка попадет хотя бы один раз в область ;
г) вычислить вероятность того, что
при первых двух опытах случайная точка окажется хотя бы один раз в области , а при
третьем опыте - в области ;
д) определить, какое минимальное
количество опытов нужно произвести для того, чтобы случайная точка оказалась в
области с
вероятностью не меньшей 0,95.
Решение.
а) Нормальный закон распределения
для системы двух случайных величин имеет плотность вероятности вида
,
где - математические ожидания случайных
величин, - средние
квадратические отклонения, - коэффициент корреляции. Поэтому
плотность вероятности данной системы имеет вид
.
б) Область является
прямоугольником с осями, параллельными главным осям рассеивания (рис. 2.5). По
формуле
,
где - функция Лапласа, значения которой
находятся по таблице, вычисляем вероятность попадания случайной точки в данную
область:
Рис 2.5
Область является
прямоугольником с осями, параллельными главным осям рассеивания и центром в
центре рассеивания (рис. 2.6).
Рис. 2.6
Следовательно, для вычисления искомой
вероятности целесообразно применение формулы
Область является
квадрантом с вершиной в точке (-3-2) (рис.2.7).
Рис. 2.7
Найдем вероятность попадания в
область :
.
Область является
квадрантом с вершиной в центре рассеивания
Рис. 2.8
Искомую вероятность можно найти,
исходя из симметричности поверхности распределения относительно плоскостей :
.
Вероятность попадания случайной
точки в эллипс
рассеивания (рис.2.9)
вычисляем по соответствующей формуле:
,
где - размеры полуосей эллипса
рассеивания в единицах среднего квадратического отклонения по направлению
главных осей рассеивания.
Рис. 2.9
случайный величина распределение
дисперсия
в) Для определения вероятности хотя бы
одного попадания в область при трех независимых опытах
перейдем к противоположному событию, т.е. к тому, что в результате трех опытов
случайная точка ни разу не окажется в области . Вероятность того, что случайная
точка в результате опыта не попадет в область , равна
Затем находим вероятность того, что
случайная точка при трех опытах ни разу не попадет в :
и, наконец, искомую вероятность:
г) Вероятность того, что
при первых двух опытах случайная точка окажется хотя бы один раз в области , а при
третьем опыте - в области , равна по
теореме умножения вероятностей произведению вероятности того, что при двух
опытах случайная точка попадет хотя бы раз в область :
и вероятности попадания случайной
точки в область :
.
Итак, искомая вероятность
.
д) Если событие в каждом опыте может
наступить с вероятностью , то
количество опытов,
которые необходимо произвести для того, чтобы с вероятностью можно было
утверждать, что данное событие произойдет хотя бы один раз, находится по
формуле
.
По условию, , тогда
,
т.е. необходимо провести как минимум 1 опыта.
4. Закон распределения функции одной
случайной величины
Задача 4.
Случайная величина x задана плотностью вероятности
Другая случайная величина h связана с x функциональной зависимостью h =. Требуется:
а) определить плотность вероятности случайной
величины h;
б) построить графики функций , и проверить
условие нормировки для этих функций;
в) вычислить вероятность попадания
случайной величины h в интервал .
Решение.
а) Функция на отрезке
[-2; 0] возможных значений случайной величины x монотонно возрастает и, следовательно, имеет
обратную функцию , которая
монотонно возрастает на отрезке и является дифференцируемой.
Поэтому искомую плотность вероятности найдем по формуле
.
Подставив сюда и учитывая,
что
, ,
получим
, если .
Таким образом, случайная величина h = имеет
следующую плотность вероятности:
=
б) Графики функций , приведены
на рис. 2.10, 2.11.
Рис. 2.10 Рис.
2.11
Проверим условия нормировки для
функций и:
,
Имеем:
,
в) Используя формулу , находим
искомую вероятность:
Однако этот же результат можно получить,
применяя формулу
, где
, (здесь учтено, что функция
убывает на отрезке .
Таким образом,
.
Итак,
.
5. Числовые характеристики функции
одной случайной величины
Задача 5.
Случайная величина x имеет плотность вероятности
Другая случайная величина h
связана с x функциональной зависимостью
h
=.
Требуется:
а) проверить условие нормировки для
функции и построить
ее график;
б) вычислить математическое ожидание
и дисперсию случайной величины h.
Решение.
а) Если функция является
плотностью вероятности случайной величины x
, то она должна удовлетворять условию нормировки
.
Проверим его выполнение:
.
Строим график функции (рис.
2.12).
Рис. 2.12
Замечание. Опущенные выкладки
полного исследования функции предлагается выполнить
самостоятельно.
б) Способ 1. Для нахождения
математического ожидания и дисперсии случайной величины необязательно
находить закон ее распределения; можно воспользоваться формулами
,
.
Учитывая, что , получим:
.
Замечание. Полученный результат должен
принадлежать интервалу возможных значений случайной величины h, т.е. .
Находим дисперсию:
.
Способ 2. Пользуясь определением математического
ожидания функции случайного аргумента, его свойствами и указанными формулами
(способ 1), получим:
.
Аналогично для дисперсии:
.
Итак, , .
6. Числовые характеристики функции
двух случайных величин
Задача 6. Случайная
величина x
распределена равномерно в интервале (2;4), а независимая от нее случайная
величина h
распределена по нормальному закону с параметрами , . Требуется:
а) записать плотности вероятности и для
случайных величин x и h;
;
в) вычислить математическое ожидание случайной
величины
.
Решение
а) Так как случайная величина x
имеет равномерное распределение, а h - нормальное
распределение, то их плотности вероятности определяются соответственно
выражениями:
Следовательно,
б) Запишем числовые характеристики исходных
случайных величин:
, , ,
Используя свойства математического ожидания и
дисперсии функции случайных величин, получим:
;
Итак, искомые числовые характеристики
, .
в) Зная числовые характеристики исходных
случайных величин, пользуясь свойствами и определением математического ожидания
функции непрерывной случайной величины, имеем:
==.
Таким образом, .
7. Числовые характеристики функции
трех случайных величин
Задача 7. Для системы
трех случайных величин (,,) даны
математические ожидания , , и корреляционная
матрица
Требуется:
а) вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины
;
б) вычислить математическое ожидание случайной
величины
.
Решение
Согласно заданной корреляционной матрице имеем:
, , ;
, ,
Искомые числовые характеристики найдем,
пользуясь свойствами математического ожидания, дисперсии и корреляционного
момента:
а)
;
.
Искомые характеристики , .
б)
=
.
Таким образом,
8. Характеристическая функция
Задача 8. Для данной
плотности вероятности найти
характеристическую функцию и с её помощью вычислить
математическое ожидание .
Решение.
I способ.
Воспользуемся методами операционного исчисления. Так как данная плотность
вероятности является
оригиналом, то характеристическая функция для неё является изображением.
Найдём его, учитывая свойство линейности преобразования Лапласа и соотношение
, где
II способ.
Характеристическую функцию можно найти и по определению:
Вычислим , используя
формулу . Имеем:
. Композиция законов распределения
Задача 9. Независимые
случайные величины x и h распределены равномерно на
отрезке [2; 4], т.е. их плотности вероятностей имеют вид:
Определить плотность вероятности случайной
величины , проверить
условие нормировки для и построить
графики функций ,, .
Решение
Воспользуемся аппаратом
характеристических функций и методами операционного исчисления. Для этого
найдём характеристические функции и как изображения для плотностей
вероятностей и . Далее,
учитывая независимость случайных величин x
и , получим
характеристическую функцию как произведение характеристических функций
слагаемых случайных величин =∙. После
этого, совершив обратное преобразование Лапласа, найдём искомую плотность
вероятности как
оригинал для характеристической функции .
Найдём для и характеристические
функции и , используя
свойства линейности преобразования Лапласа, запаздывания оригинала и
операционное соотношение
где:
Следовательно,
Далее, используя свойство
запаздывания оригинала и операционное соотношение , находим
искомую плотность как
оригинал для характеристической функции
Проверим условие нормировки для
функции :
Графики функций ,, приведены
на рис. 2.13 - 2.15:
Рис. 2.13 Рис.
2.14 Рис. 2.15
. Предельные теоремы теории
вероятностей
Задача 10. По полосе
укреплений противника сбрасывается 108 серий бомб. При сбрасывании одной такой
серии МО числа попаданий равно m=5, а . Пусть , i=-число
попаданий в i-й серии , - общее
число попаданий.
Требуется:
а) записать приближенное выражение
для плотности вероятности случайной
величины h ;
б) вычислить приближенно
вероятности: , ;
в) определить интервал наименьшей
длины, симметричный относительно математического ожидания , в котором
с вероятностью, не меньшей 0,9 будет заключена случайная величина h.
Решение
а) ,
Таким образом, плотность вероятности
случайной
величины h приближенно
равна
б) Используя формулу
,
где - функция Лапласа, при , , получим
.
Так как минимально возможное
значение, принимаемое случайной величиной
h
, равно 0, то
.
в) Обозначим через половину
длины наименьшего интервала, симметричного относительно математического
ожидания , в котором
с вероятностью, не меньшей 0,9, будет заключена случайная величина h. Тогда по условию.
Используя формулу
,
получим
.
По таблице значений функции Лапласа
находим то значение аргумента х, для которого . Это значение приближенно равно
, откуда
.
Таким образом, искомый интервал
наименьшей длины, симметричный относительно математического ожидания = 540,
следующий:
, т.е. .
ЛИТЕРАТУРА
1. Е.И.
Гурский. Высшая математика. Основы теории вероятностей случайных процессов и
математической статистики. Изд. МВИЗРУ ПВО, 1983.
2. Е.И.
Гурский. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике.
Минск «Вышэйшая школа», 1984.
. А.А.
Гусак, Е.А. Бричикова. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач.
Минск ТетраСистемс, 1999.
. В.Е.
Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике. М. «Высшая школа», 1975.
. Е.И.
Гурский, Т.В. Скобля, В.Э. Юшкевич. Методическое пособие по теории вероятностей
и математической статистике. Изд. МВИЗРУ ПВО,1973.
. Сборник
задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных
функций. Под редакцией А.А. Свешникова. М.: Наука, 1970.
. Сборник
задач по математике. Теория вероятностей и математическая статистика. Под
редакцией А.В. Ефимова. М.: Наука, 1990.