Оценка стоимости опциона на основе биномиальной модели
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
. БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
.1 Предпосылки модели
.2 Понятие опциона, виды и типы опционов
.3 Факторы, влияющие на цену опциона
.4 Подходы к реализации модели
.4.1 Дискретный подход
.4.2 Непрерывный подход
. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО МОДУЛЯ ДЛЯ АВТОМАТИЗАЦИИ РАСЧЕТОВ
ЦЕНЫ ОПЦИОНА В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ
.1 Описание алгоритма
.2 Примеры
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Возникновение в апреле 1973 года рынка биржевых опционов в Чикаго,
открыло перед инвесторами новый мир инвестиционных возможностей. В связи с
этим, наиболее важным производным инструментом на финансовых рынках принято
считать опционы. Принцип и порядок ценообразования опционов относится к числу
основных финансовых теорий. Поэтому на сегодняшний день является актуальной
задача быстрого и точного нахождения цены опциона в любой момент времени. Хотя
оценить стоимость опциона в момент окончания срока его действия довольно
просто, но оценка его стоимости в любой предшествующий момент представляет
собой серьезную проблему. Принцип, при котором арбитражные возможности
отсутствуют, хотя и пригодился при выводе различных оценок, оказывается
недостаточным для определения точной стоимости опциона без дальнейших
предположений о вероятностном поведении цен акций. Также традиционные методы,
применяемые для других финансовых инструментов, не позволяют правильно
определить стоимость опциона, так как риск изменяется при каждом изменении
стоимости и срока жизни лежащего в его основе актива. Для решения этой задачи
был разработан целый ряд различных моделей ценообразования опционов.
Самой первой и основной принято считать модель Блэка-Скоулза
ценообразования европейского колл опциона. Альтернативная биномиальная модель
оценки стоимости опциона ограничивает движение цены двумя возможными значениями
в периоде, заметно упрощая математику за счет некоторого удаления от
действительности. Однако в результате ничего не теряется, поскольку
биномиальная модель сходится к модели Блэка-Скоулза при уменьшении длины
периода к нулю. И что более важно, биномиальная модель приводит к эффективным
численным алгоритмам оценки стоимости опциона.
Целью курсовой работы является оценка стоимости опциона на основе
биномиальной модели.
Достижение данной цели предопределило решение следующих задач:
изучение теоретических основ формирования цен производных финансовых
инструментов;
разработка программы для автоматизации расчета стоимости опциона в
разумных моделях изменения цен акций.
Работа состоит из двух глав. Первая глава посвящена теоретическим основам
построения биномиальной модели для различных по виду и типу опционов. Вторая
глава - описанию алгоритма расчета цены опциона в дискретном времени для
программы, разработанной в среде Delphi7.
Рассмотрены конкретные примеры.
1. БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
1.1 Предпосылки модели
Биномиальное распределение - первое из теоретически найденных
распределений, связанное с именем швейцарского ученого Я. Бернулли.
Биномиальное распределение является дискретным распределением случайной
величины, принимающей значения k = 0,
1, 2,..., n. Оно образуется, когда в n случайных испытаниях вероятность
осуществления некоторого события равна p, а вероятность его не появления q = (1 - p).
Биномиальное распределение может рассматриваться как распределение суммы
случайных величин, каждая из которых принимает одно из двух значений: 1 с
вероятностью p или 0 с вероятностью q = (1 - p).
Данное распределение нашло свое использование в моделях оценки стоимости
опционов на различных биржах в текущих торгах. Колебания цены актива, на который
заключается контракт, имеют всего лишь два значения, из-за чего эти модели и
называют биномиальными. Огромный вклад в развитие теории производных ценных
бумаг и моделирования оценки премии опциона с помощью биномиального дерева
внесли Кокс (Сох), Росс (Ross)
и Рубинштейн (Rubinstein). Их работы, опубликованные в статье
в 1979 году, содержат важные подходы и идеи реализации модели.
1.2 Понятие опциона, виды и типы опционов
Понятие опционов возникло в теории и практике финансовых инвестиционных
инструментов и относится к разделу производных ценных бумаг, которые включают
опционные, форвардные и фьючерсные контракты.
Опцион представляет собой право - но не обязательство - купить или
продать определенные активы по заранее оговоренной цене в течение определенного
установленного периода времени. Обычно в качестве базовой ценной бумаги
(актива) (underlying security) рассматривается акция. В дальнейшем
будут использоваться именно акции. Также под термином «опционы» всегда
понимаются биржевые опционы (listed options), которыми
торгуют на национальных опционных биржах, на которых существует вторичный
рынок.
Существует два основных вида опционов. Опцион покупателя, опцион на
покупку, или опцион «колл» (call option), дает его
владельцу право купить базовый актив в определенный день по определенной цене.
Опцион продавца, опцион на продажу, или опцион «пут» (put option), дает его владельцу право продать базовый актив в
определенный день по определенной цене. Дата, оговоренная в контракте,
называется датой истечения контракта (expiration date),
или сроком платежа (maturity). Цена
актива, зафиксированная в контракте, называется ценой исполнения (execution price), или ценой страйк (striking price).
По типу опционы бывают американскими, европейскими и азиатскими. Эти
названия не имеют ничего общего с географическим расположением бирж.
Американский опцион (American option) можно
исполнить в любой момент до истечения срока его действия. Европейский опцион (European option) может быть исполнен только в момент его истечения.
Азиатские опционы используются в основном в промышленности. Их цена исполнения
определяется на основе средней за определенный период времени. В данной работе
они рассматриваться не будут. Большинство опционов, которыми торгуют на биржах,
являются американскими. Однако анализировать европейские опционы проще, чем
американские, причем некоторые свойства американских опционов были
позаимствованы у европейских опционов.
В каждом опционном контракте существует две стороны. Одной из сторон
опционного контракта является инвестор, занимающий длинную позицию (т.е.
покупатель, или держатель опциона). Другой стороной опционного контракта
является инвестор, занимающий короткую позицию (т.е. продающий, или
выписывающий опцион). Опцион может быть реализован или нет в зависимости от
решения, принимаемого исключительно его держателем. Важной характерной
особенностью опциона является то, что он не может иметь существенных негативных
последствий для его держателя, поскольку в любой момент можно отказаться от его
исполнения, т.е. если цена актива изменяется не так, как предполагалось
первоначально, то он может стать практически бесполезным. Однако если цена
актива действительно изменяется в соответствии с первоначальными ожиданиями, то
опцион при небольших исходных затратах может обеспечить значительные доходы.
Однако опционы могут также использоваться и для сокращения риска.
Продавец опциона должен выполнить свои обязательства по покупке или
продаже актива, если покупатель опциона захочет реализовать свое право,
предусмотренное заключенным соглашением. Продавец опциона получает деньги
(премию), принимая на себя определенные обязательства. Его прибыли или убытки
находятся в обратной зависимости от прибылей или убытков покупателя опциона.
Размер премии зависит от цены исполнения и от ожидаемой вариации цены актива,
например, акции, которая, в свою очередь, определяется состоянием рынка и
исходным риском вложения. Величина премии может лежать в диапазоне от 3% для
хорошо известных акций в условиях стабильного рынка и до 20% для акций малых
компаний в нестабильной рыночной ситуации. В периоды кризисов фондового рынка
премии по опционам росли исключительно высокими темпами.
Оценка эффективности опционов предполагает соизмерение степени снижения
инвестиционного риска с затратами на приобретение опциона с учетом изменения
рыночной цены базового инвестиционного инструмента.
1.3 Факторы, влияющие на цену опциона
Цена опциона складывается как результат совместного действия свойств
базовой акции и параметров опциона.
Основными количественными факторами, влияющими на стоимость опциона,
являются:
Текущая цена акции и цена страйк (цена исполнения).
Наиболее важный фактор, влияющий на цену опциона - соотношение между
ценой, лежащего в основе опциона на акцию и ценой страйк. Это соотношение
определяет статус опциона: опционы «при своих» (at-the-money), «при деньгах» (in-the-money)
и «без денег» (out-the-money) - и внутреннюю стоимость опциона. Под внутренней
стоимостью понимается величина, на которую цена акции выше или ниже цены страйк
для опционов «колл» и «пут» соответственно. При исполнении опциона в
определенный момент времени, выигрыш его владельца определяется величиной, на
которую цена акции превышает цену исполнения. Следовательно, опционы «колл»
более выгодны, когда цена акции растет, и менее выгодны, когда она падает.
Прибыль владельца опциона «пут» равна величине, на которую цена исполнения
превышает цену акции. Таким образом, опцион «пут» является зеркальным
отражением опциона «колл»: при падении цены акции его выгодность увеличивается,
а при росте - уменьшается.
Срок действия опциона (или время, остающееся до даты истечения).
Оценим влияние срока действия на цену опциона. С увеличением срока
действия стоимость американских опционов «колл» и «пут» и европейских «колл»,
как правило, увеличивается. Следовательно, владелец долгосрочного опциона
обладает теми же возможностями, что и владелец краткосрочного опциона, и даже
более. Следовательно, стоимость долгосрочного опциона не может быть меньше
стоимости краткосрочного опциона. Исключением является ситуация, при которой
ожидается выплата очень крупных дивидендов. Это приведет к падению цены акции,
а значит, краткосрочный опцион становится выгоднее долгосрочного. Но с
приближением даты истечения время работает против покупателя опционов, так как
цена опционов «без денег» снижается ускоренными темпами. Этот эффект называется
«разрушение временем» (time decay). Больший
срок, остающийся до окончания срока действия опциона, означает большую
неопределенность.
Степень колебаний (волатильность).
Говоря общедоступно, волатильность (volatility) цены акции - это величина,
измеряющая неопределенность его будущих изменений. При увеличении волатильности
возрастает вероятность, что цена акции будет как очень высокой, так и очень
низкой. С точки зрения владельца акции, эти результаты компенсируют друг друга.
Однако по отношению к владельцу опциона «колл» или «пут» это совсем не так.
Владелец опциона на покупку акций получает выгоду от возрастания их цены и
рискует понести убытки при ее падении. Аналогично владелец опциона на продажу
акций выигрывает от падения цены акции, но подвергается риску проигрыша при ее
росте. Итак, стоимость опционов «колл» и «пут» при увеличении волатильности
возрастает.
Дивиденды.
Повышенные дивиденды сокращают цену опционов «колл» и увеличивают цену
опционов «пут», потому что выплата дивидендов сокращает цену лежащих в основе
опциона акций на сумму дивиденда. Дивиденды увеличивают привлекательность
покупки и держания акций по сравнению с покупкой опционов «колл» и хранением
резервов наличности. И обратно, продавцы должны учитывать выплату дивидендов,
поэтому покупка опционов «пут» выглядит более предпочтительной, чем короткая
продажа акций.
Уровень процентных ставок.
Влияние процентной ставки на стоимость опциона не так очевидно. Если
ставка увеличивается, то доход, ожидаемый инвестором от владения акциями,
возрастает. Кроме того, текущая стоимость любых будущих денежных сумм,
предназначенных владельцу опциона, падает. Сочетание этих эффектов приводит к
уменьшению стоимости опциона «пут» и увеличению стоимости опциона «колл».
Следует подчеркнуть, что при изменении величины процентной ставки,
считается, что остальные факторы остаются неизменными. В частности,
предполагается, что ставка изменяется, даже если цена акции остается
неизменным. На практике увеличение (уменьшение) процентной ставки приводит к
падению (росту) цены акции. В результате увеличения процентной ставки и
одновременного падения цены акции, стоимость опциона «колл» уменьшается, а
стоимость опциона «пут» увеличивается. Аналогично, вследствие уменьшения
процентной ставки и одновременного роста цены акции, стоимость опциона «колл»
увеличивается, а стоимость опциона «пут» уменьшается.
Основная привлекательность опционов для покупателя объясняется тем, что
ему заранее известен максимально возможный размер убытков - это величина
премии, уплаченной за опцион, тогда как потенциальная прибыль теоретически
неограниченна - в случае значительного роста цены базовых акций в период
действия опциона, покупатель может рассчитывать на высокую прибыль. Особенно
привлекательны опционы на акции, рынок которых отличается резкими и сильными
ценовыми колебаниями, например, акции компаний, производящих компьютерное
оборудование и программное обеспечение.
1.4 Подходы к реализации модели
Биномиальная модель в связи с преобладанием американских опционов на
мировом рынке, как было отмечено ранее, зачастую используется для оценки премии
американских опционов, прежде всего опционов «пут», хотя с помощью нее можно
рассчитывать также и европейские опционы «колл» и «пут». В модели весь период
действия опционного контракта разбивается на ряд интервалов времени. Считается,
что в течение каждого из них цена базисного актива может пойти вверх или вниз с
определенной вероятностью. Также следует отметить, что оцениваться стоимость
опциона будет для рынка, на котором
- отсутствуют налоги и расходы по проведению сделок, т.е. транзакции
выполняются бесплатно;
процентная ставка остается неизменной на протяжении рассматриваемого
временного интервала;
опционы исполняются в определенную дату либо досрочно, если это выгодно,
т.е. речь идет о европейском и американском опционах соответственно;
- отсутствуют выплаты дивидендов.
- ценные бумаги (либо базовые активы) предлагаются в любом количестве, их
фиктивные покупки-продажи возможны без ограничений;
инвесторы действуют рационально и не стремятся к чрезмерным доходам.
Учитывая данные о стандартном отклонении курса базисного актива, получают
значения его цены для каждого интервала времени (строят дерево распределения
цены), также определяют вероятность повышения и понижения курсовой стоимости
актива на каждом отрезке временного интервала. Имея значения цен актива к
моменту истечения опциона, определяют его возможные цены в данное время.
После этого последовательным дисконтированием цен опциона (с учетом
вероятности повышения и понижения стоимости актива на каждом интервале времени)
получают значение его цены в момент заключения контракта.
1.4.1 Дискретный подход
Вначале введем обозначения, которые будут использованы в данном пункте для
определения цены опциона:
) количество интервалов времени, на которые разбивается срок T действия опциона - n;
) величина подъема или снижения курса акции, выраженные в доле от
начального курса - u и d соответственно;
) величина процентной ставки (ставки дохода) - i;
) стоимость (премия) опциона «колл» - C;
) стоимость (премия) опциона «пут» - P;
) начальный курс акции - S;
) цена исполнения, указанная в опционном контракте - X.
Рассмотрим следующую ситуацию: с точки зрения сегодняшнего дня существует
всего две возможности для дня завтрашнего, т.е. курс акций либо поднимется,
либо упадет. Представим себе, что рынок определяет цену qu за $1 в «верхнем» состоянии рынка и
цену qd за 1 долл. в его «нижнем» состоянии.
Тогда как на акции, так и на облигации цены должны устанавливаться с помощью
следующих цен возможных состояний:
.
Решение этой системы дает следующие значения:
Вначале рассмотрим европейские опционы. Чтобы понять суть процесса
построения биномиального дерева и расчета с помощью него цены на опцион,
сначала вычислим данную цену для двух периодов (дат).
Результат построения дерева представлен на следующем рисунке:
Рисунок 1.1 - Биномиальное дерево для двух периодов (дат)
Теперь с помощью цен возможных состояний можно установить цену на опцион
«колл»:
.
Если курс акций может возрасти за один период с коэффициентом u или упасть с коэффициентом d, если процентная ставка за период
равна i, то любой другой финансовый актив
следует оценивать путем дисконтирования дохода по нему в «верхнем» состоянии со
ставкой qu и в «нижнем» - со ставкой qd.
Стоит обратить внимание также на то, что цены возможных состояний можно
использовать и для оценивания опционов «пут»:
.
Заметим, что в данном случае можно было воспользоваться теоремой о
паритете «пут» - «колл»:
Очевидно, что схему рассуждений можно обобщить и на большее количество
периодов. В таком случае биномиальное дерево окажется достаточно громоздким. Реализация
алгоритма биномиального дерева начинается с последнего периода и прокладывает
себе дорогу к текущему периоду. Расчеты проводятся аналогичным образом, т.е.
рассматриваются всевозможные деревья с двумя датами, которые входят в состав
исходного, причем необходимо двигаться в обратном направлении к началу с n-го периода.
В ходе исследования возникает вопрос: действительно ли необходимо
двигаться вспять по приведенным схемам? Ответ - нет, не обязательно. Нет
никакой необходимости оценивать доходность опциона в каждом узле в обратном
направлении от конечной даты, если опцион является европейским. Достаточно
будет оценить доход на конце каждой ветви дерева с помощью цен возможных
состояний, при этом не допустив ошибки в подсчете количества путей, ведущих к
каждой конечной ветви.
Отсюда следует, что цена европейского опциона в биномиальной модели с n периодами равна:
В формулах, приведенных выше, биномиальный коэффициент есть всевозможное
количество путей, ведущих к одной конечной ветви:
Исходя из полученных формул, делается вывод о том, что приведенная
стоимость дохода из конечного узла в начальный момент времени равна
произведению дохода на цену и на количество путей, а стоимость опциона в
начальный момент времени равна сумме стоимостей всех возможных доходов.
Теперь проведем оценку для американских опционов.
Как известно, биномиальная модель может применяться для оценивания не
только европейских, но и американских опционов. В таком случае при построении
модели необходимо учесть возможность раннего исполнения.
Цена американского опциона на покупку («колл») акции, по которой не
выплачиваются дивиденды, равна цене аналогичного европейского опциона.
Поскольку американский опцион «колл», выписанный на акцию без выплаты
дивидендов, никогда не исполняется досрочно, цены европейских и американских
опционов на покупку равны между собой. Поэтому построение модели и биномиальное
дерево будут аналогичными.
Однако ценообразование опциона на продажу («пут») может подчиняться и
другим правилам. Также следует отметить, что теорема о паритете «пут» - «колл»
не выполняется для американских опционов, но, естественно, выполняется для
европейских. Поэтому, вычислив цену американского опциона «колл», не удастся
вычислить цену опциона «пут» с помощью паритета.
Вначале распространим биномиальную модель оценки опциона на три расчетных
периода. С целью упрощения записи введем обозначения узлов дерева согласно
рисунку, приведенному ниже:
Рисунок 1.2 - Состояния рынка для трех периодов (дат)
В 3-м периоде держатель американского опциона «пут» может выбрать,
держать ли ему опцион дальше или исполнить его. В результате имеем следующие
функции стоимости (для двух состояний u и d):
Аналогичная функция имеет место для стоимости опциона в состоянии d в третьем периоде:
В 1-м, начальном периоде (корень дерева) снова справедлива аналогичная
функция стоимости:
Обобщим модель на n-е
количество периодов. Для этого обозначим u(k)d(m) - состояние рынка в k-м расчетном периоде в узле m при нумерации узлов сверху вниз (
). Тогда цены на опцион на конце
каждой ветви дерева вычисляются по следующей формуле:
где 
.
Исходя из формулы, приведенной выше, можно вычислить цены на опцион в
любом промежуточном состоянии рынка, т.е. в любом расчетном периоде. Имеет
место формула:
где 
и 
.
Двигаясь, таким образом, от конечных ветвей до корня дерева и вычисляя
цену в каждом состоянии, получим цену опциона в начальный момент времени. Таким
образом, получена формула для расчета цены американского опциона с n периодами
С помощью биномиальной модели рассчитывается цена на американский и на
европейский опционы на продажу («пут») и покупку («колл»). В ходе работы было
показано, что американский опцион «пут» может оказаться дороже аналогичного
европейского. Необходимо отметить, что цена европейского опциона «пут» ниже (в
общем случае), чем соответствующего американского. Это различие возникает от
того, что для опционов «пут» возможность досрочного исполнения является
существенной ценной.
1.4.2 Непрерывный подход
Этот подход основан на предположении, что цена акции подчиняется законам
случайного блуждания (random walk). На каждом
шаге по времени существует определенная вероятность того, что цена акции
увеличится, или уменьшится на некую относительную величину.
Вначале введем обозначения, которые будут использованы в данном пункте
для определения цены опциона:
) количество интервалов времени, на которые разбивается срок T действия опциона - n;
) длина шага по времени - Δt;
) величина подъема или снижения курса акции - u и d соответственно (u > 1, а d < 1);
) величина безрисковой процентной ставки (ставки дохода) - r;
) стоимость (премия) опциона «колл» - C;
) стоимость (премия) опциона «пут» - P;
) начальный курс актива - S0;
) цена исполнения, указанная в опционном контракте - K.
Рассмотрим ситуацию, когда цена акции равна S0 и текущая стоимость фондового опциона - f. За время действия опциона T цена акции может либо подняться до
величины S0u, где u >
1, либо упасть до уровня S0d, где d < 1.
Пропорциональное увеличение цены акции равно u - 1, а пропорциональное уменьшение акции равно d - 1. Если цена акции увеличивается
до величины S0u, будем считать, что опцион приносит прибыль fu. Если же цена акции снижается до
уровня S0d, будем считать, что опцион приносит прибыль fd.
Рисунок 1.3 - Цена акции и цена опциона в одноступенчатом дереве
Вначале рассмотрим европейские опционы.
Представим себе инвестиционный портфель, состоящий из длинной позиции на
пакет из Δ акций и короткой позиции по одному опциону. Вычислим
величину Δ, при которой портфель становится свободным от риска.
Если цена акции растет, стоимость портфеля в момент истечения срока действия
опциона равна
.
Если цена акции падает, стоимость портфеля в момент истечения срока
действия опциона равна
Приравняв эти две величины, получим
,
т.е. 
. (1.1)
В этом случае портфель свободен от рисков и должен приносить безрисковую
процентную ставку. Из формулы (1.1) следует, что величина Δ представляет собой отношение
изменения цены опциона к изменению цены акции при перемещении из одного узла
дерева в другой.
В таком случае стоимость портфеля равна 
. Стоимость создания портфеля равна 
. Отсюда следует, что
,
т.е. 
.
Подставляя в эту формулу величину Δ из формулы (1.1) и выполняя
некоторые упрощения, получаем следующее выражение:
, (1.2)
где 
(1.3)
Формулы (1.2) и (1.3) позволяют оценить опцион, используя одноступенчатую
биномиальную модель.
Несмотря на то, что при выводе формулы (1.2) мы не делали никаких
предположений о вероятности изменения цены акции, величину p естественно интерпретировать как
вероятность роста цены акции. В этом случае величину 1 - p можно считать вероятностью снижения
цены, а выражение
представляет собой ожидаемый выигрыш, который приносит опцион. При такой
интерпретации величины p
формула (1.2) означает, что текущая стоимость опциона равна его ожидаемой
будущей стоимости с учетом безрисковой процентной ставки.
Оценим ожидаемую доходность акции при условии, что вероятность роста ее
цены равна р. Ожидаемая цена акции E(ST) в момент времени T вычисляется по следующей формуле.
,
т.е. 
.
Подставляя в это выражение величину p из выражения (1.3), получаем
(1.4)
Оно показывает, что в среднем цена акции возрастает на величину
безрисковой процентной ставки.
Рассмотрим теперь двухступенчатое биномиальное дерево. Обозначим цену
акции в первый момент времени через S0. В каждый
из выбранных моментов времени цена акции может либо увеличиться на число S0u, либо уменьшиться на число S0d.
Цены опциона указаны рядом с узлами дерева. (Например, стоимость опциона через
два шага по времени обозначена как fuu.) Допустим, что безрисковая процентная ставка равна r%, а длина шага по времени равна Δt лет.
Поскольку длина шага по времени теперь равна Δt, а не T, формулы (1.2) и (1.3) принимают следующий вид:
. (1.5)
(1.6)
Рисунок 1.4 - Цена акции и цена опциона в двухступенчатом дереве
Повторное применение формулы (1.2) приводит к следующим результатам.
. (1.7)
. (1.8)
. (1.9)
Подставляя выражения (1.7) и (1.8) в формулу (1.9), получаем
. (1.10)
Величины р2, 2р(1-p) и (1-p)2 представляют собой
вероятности попасть в верхний, средний и нижний узел соответственно. Цена
опциона равна его ожидаемому выигрышу с дисконтом на величину безрисковой
процентной ставки.
Отметим, что при помощи формулы (1.10) возможно вычислить цену как
опциона «колл», так и «пут». Необходимо лишь учесть тот факт, что приносимые
прибыли fuu, fdd и fud будут вычисляться как 
, 
и 
для опциона «колл» и как 
, 
и 
для опциона «пут» соответственно.
Добавление в биномиальное дерево дополнительные уровни не нарушает
принцип предыдущих рассуждений. Цена опциона всегда равна ожидаемому выигрышу,
дисконтированному по безрисковой процентной ставке.
Описанные выше биномиальные модели являются нереально простыми. Очевидно,
что, предполагая, будто на протяжении срока действия фондового опциона цена
акции может изменяться только один или два раза, аналитик может получить лишь
очень грубую оценку. На практике продолжительность опциона делят на 30 и более
интервалов длиной Δt. В каждый из этих моментов времени
цена акции может измениться по биномиальному закону. Это значит, что аналитик
должен рассмотреть 31 вариант цены акции в момент исполнения опциона и 230,
т.е. около миллиарда, возможных путей обхода биномиального дерева. Независимо
от количества шагов по времени, биномиальное дерево полностью определяется
параметрами p, 1-p, u и d.
Обобщим вышеуказанные рассуждения на модель со многими периодами,
рассмотрев n-ступенчатое биномиальное дерево. Для
этого обозначим f(n)(m) - приносимая прибыль в дату n в узле m при
нумерации узлов сверху вниз (
). Тогда цена опциона вычисляется по следующей формуле:
где в зависимости от вида опциона («колл» или «пут») функция прибыли f(n)(m) будет принимать
одно из двух значений:
для опциона «колл»
где ;
для опциона «пут»
где ;
Теперь проведем оценку для американских опционов.
Посмотрим теперь, как вычисляется цена американского опциона. Для этого
необходимо обойти биномиальное дерево в направлении от листьев к корню,
проверяя, является ли досрочное исполнение опциона оптимальным. Как уже ранее
было сказано, цена американского опциона на покупку акции, по которой не
выплачиваются дивиденды, равна цене аналогичного европейского опциона, т.к.
американский опцион никогда не исполняется досрочно.
Стоимость американского опциона в конечных узлах вычисляется точно так
же, как и в случае европейского опциона. В узлах, расположенных ближе к корню,
стоимость опциона равна максимальной из двух величин: 1) стоимости европейского
опциона, вычисленной по формуле (1.5), и 2) выигрыша от досрочного исполнения.
Цена акции и вероятность его изменения остаются неизменными. Цены опционов в
конечных узлах также остаются неизменными.
2. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО МОДУЛЯ ДЛЯ АВТОМАТИЗАЦИИ
РАСЧЕТОВ ЦЕНЫ ОПЦИОНА В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ
2.1 Описание алгоритма
Алгоритм расчета стоимости опциона с помощью биномиального дерева в
дискретном времени реализован в среде программирования Delphi7. Для того чтобы любой пользователь смог вычислить
цену опциона, опишем данный алгоритм, указав последовательность действий,
необходимых для реализации поставленной задачи.
На первом шаге при запуске программы открывается форма, на которой
содержится информация о виде и типе опциона.
Рисунок 2.1.- Форма с выбором типа и вида опциона
Пользователю представляется возможность выбрать вид и тип опциона в
зависимости от поставленной перед ним задачей оценки стоимости опциона. После
того, как выбран нужный вариант, необходимо кликнуть на кнопку «Принять» на
панели формы снизу. После чего открывается вторая форма, в которой пользователю
предлагается ввести начальные данные. Поскольку рассматривается дискретный
случай, то для программы в качестве начальных данных используются следующие
параметры: количество интервалов времени, на которые разбивается срок T действия опциона - n; величина подъема или снижения курса
акции, выраженные в процентах от начального курса акции - u и d соответственно; величина процентной ставки (ставки дохода) -
i;стоимость (премия) опциона «колл» - C; стоимость (премия) опциона «пут» - P; начальный курс акции - S; цена исполнения, указанная в опционном
контракте - X. Форма же выглядит следующим
образом:
Рисунок 2.2 - Форма для ввода начальных данных
После того, как пользователь занес в форму данные, необходимо кликнуть на
кнопку «Вычислить», расположенную на форме в нижнем левом углу. В результате
работы программа выводит в специальное окно дерево изменения курса акции в
течение всего срока действия контракта, также дерево цены опциона в каждом
узле. В корне дерева выводится искомая цена (премия) опциона в настоящий момент
времени.
2.2 Примеры
биномиальный опцион цена стоимость
Рассмотрим европейский опцион «колл» с пятью периодами. Известно, что в
конце каждого периода цена на акцию увеличивается на 10% или уменьшается на 3%.
Также известна безрисковая процентная ставка, равная 6%. Начальная цена акции
составляет 50$, цена исполнения опционного контракта также равна 50$.
Необходимо вычислить цену опциона в начальный момент времени.
При запуске программы появляется форма с выбором типа и вида опциона.
Выбрав Европейский «колл», необходимо нажать кнопку «Принять» на панели формы.
Рисунок 2.3 - Выбор опциона в соответствии с условием задачи
После этого появляется вторая форма, на которой вводятся исходные данные.
После чего нажимается кнопка «Вычислить».После ввода данных решается
поставленная задача. Результаты представлены на следующем рисунке:
Рисунок 2.4 - Результат вычисления цены европейского опциона
Получили цену опциона, которая равна 10,436$.
Рассмотрим второй пример, являющийся более важным и актуальным в
практическом смысле. На этот раз имеется американский опцион «пут», начальные
данные совпадают с предыдущим примером. Выбрав на первой форме Американский
«пут» (Рисунок 2.5)
И введя данные на второй форме, получим следующие результаты:
Рисунок 2.6 - Результат вычисления цены американского опциона
В итоге получили, что цена опциона равна 0,4354$.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе рассмотрены биномиальная модель оценки стоимости опциона (или
премии на опцион). Оценка была проведена для рынка, на котором не выплачиваются
дивиденды, и процентная ставка остается неизменной на протяжении
рассматриваемого дискретного временного интервала.
В этой модели для расчета цены опциона используются следующие данные:
количество периодов или шагов модели n;
выраженное в процентах повышение или падение курса актива в начале
каждого периода qu и qd соответственно;
процентная ставка r, не
изменяющаяся на протяжении времени;
начальный курс актива S0;
цена исполнения X,
указанная в контракте.
Практическая реализация модели европейских и американских опционов на
покупку или продажу акций осуществлена на языке программирования Delphi7, который был выбран в качестве
среды разработки по следующим главным причинам: Delphi7 достаточно простая и мощная в использовании среда
разработки, а также она объектно-ориентирована. Разработан программный модуль,
позволяющий оценить опцион в зависимости от его вида и характеристик.
Использование данного модуля даже на интуитивном уровне позволяет понять
принцип ценообразования опционов.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Халл, Дж. К. Опционы, фьючерсы
и другие производные финансовые инструменты = Options, Futures and Other Derivatives / Джон К. Халл. - 6-е изд. М.: «Вильямс», 2007. - 1056 с.
2. Беннинга, Ш.
Финансовое моделирование с использованием Excel / Ш. Беннинга. - М.: Вильямс, 2007. - 592 с.
. Люу, Ю.-Д. Методы и
алгоритмы финансовой математики : монография / Ю.-Д. Люу. - Бином. Лаборатория
знаний,2007. - 751 с.
. Вайн, С. Опционы. Полный
курс для профессионалов / С. Вайн. - М.: Альпина Паблишер, 2003. - 416с.
. МакМиллан, Л.Г. Опционы как
стратегическое инвестирование / Л. Г. МакМиллан. - М.: Издательский дом «ЕВРО»,
2003. - 1169с.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Реализация дискретной модели в среде программирования Delphi7
Листинг первого модуля с главной формой:
unit Unit1;, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics,
Controls, Forms,, StdCtrls, Unit2, Math;= class(TForm): TButton;: TEdit;:
TEdit;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TLabel;: TEdit;: TLabel;: TEdit;: TLabel;:
TEdit;: TLabel;: TEdit;: TMemo;: TButton;Button1Click(Sender:
TObject);FormActivate(Sender: TObject);Button2Click(Sender:
TObject);Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);Edit2KeyPress(Sender:
TObject; var Key: Char);Edit3KeyPress(Sender: TObject; var Key:
Char);Edit4KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);Edit5KeyPress(Sender: TObject;
var Key: Char);Edit6KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
{ Private declarations }
{ Public declarations };= 99;: TProblem;, flag : integer;,
down, Qu, Qd, So, r, K : real;: array[0..M,0..M] of real;: array[0..2*M,0..M]
of real;: array[0..M] of real;: string;
{$R *.dfm}TProblem.FormActivate(Sender:
TObject);.SetFocus;.Visible := false; Edit3.Visible := false; Edit4.Visible :=
false;.Visible := false; Edit6.Visible := false;.Visible := false;
Label4.Visible := false; Label5.Visible := false;.Visible := false;
Label7.Visible := false;.Visible := false;.Visible :=
false;;TProblem.Button1Click(Sender: TObject);.Close;;Base;, j, s, index :
integer;i := 0 to N doj := 0 to N do(j = 0) then KursAk[i,j] := So*IntPower(1 +
down,i)(j = i) then KursAk[i,j] := So*IntPower(1 + up,i)KursAk[i,j] := 0;;i :=
2 to N doj := 1 to i-1 do[i,j] :=
KursAk[i-1,j-1]*KursAk[i-1,j]/KursAk[i-2,j-1];:= (up - r)/((1 + r)*(up -
down)); Qu := (r - down)/((1 + r)*(up - down));i := 0 to 2*N doj := 0 to N
do[i,j] := 0;i := 0 to N doj := i downto 0 do:= N - i;s := 0 to i
do[index+2*s,i] := KursAk[i,i-s];.Memo1.Lines.Add('Курс акций :');i := 0 to 2*N
do:= '';j := 0 to N do(ShareRate[i,j] = 0) then st := st + ' 'st := st +
FloatToStrF(ShareRate[i,j],ffFixed,10,4);;.Memo1.Lines.Add(st);;;EOptionPrice;,
j, s : integer;: array[0..2*M,0..M] of real;:= 0;i := 0 to 2*N do(i mod 2) = 0
then:= s + 1;[i,N] := Column[N-s+1]Massiv[i,N] := 0;j := N - 1 downto 0 doi :=
0 to 2*N do[i,j] := Qu*Massiv[i-1,j+1] + Qd*Massiv[i+1,j+1];i := 0 to 2*N do:=
'';j := 0 to N do(ShareRate[i,j] = 0) then st := st + ' 'st := st +
FloatToStrF(Massiv[i,j],ffFixed,10,4);;.Memo1.Lines.Add(st);;.Memo1.Lines.Add('');.Memo1.Lines.Add('Итак,
цена опциона равна ' + FloatToStr(Massiv[N,0]));;EuroCall;: integer;:
array[0..M] of real;;i := 0 to N do(KursAk[N,i] - K > 0) then Max[i] :=
KursAk[N,i] - KMax[i] := 0;;.Memo1.Lines.Add('');.Memo1.Lines.Add('Цена европейского опциона "колл" :');
for i := 0 to N do[i] := Max[i];;;EuroPut;: integer;:
array[0..M] of real;;i := 0 to N do(K - KursAk[N,i] > 0) then Max[i] := K -
KursAk[N,i]Max[i] := 0;;.Memo1.Lines.Add('');.Memo1.Lines.Add('Цена европейского опциона "пут" :');
for i := 0 to N do[i] := Max[i];;;AOptionPrice;, j, s :
integer;: array[0..2*M,0..M] of real;:= 0;i := 0 to 2*N do(i mod 2) = 0 then:=
s + 1;[i,N] := Column[N-s+1]Massiv[i,N] := 0;j := N - 1 downto 0 doi := 0 to
2*N do(ShareRate[i,j] <> 0) then(flag*(K - ShareRate[i,j])) >
(Qu*Massiv[i-1,j+1] + Qd*Massiv[i+1,j+1])Massiv[i,j] := flag*(K -
ShareRate[i,j])Massiv[i,j] := Qu*Massiv[i-1,j+1] + Qd*Massiv[i+1,j+1];i := 0 to
2*N do:= '';j := 0 to N do(ShareRate[i,j] = 0) then st := st + ' 'st := st +
FloatToStrF(Massiv[i,j],ffFixed,10,4);;.Memo1.Lines.Add(st);;.Memo1.Lines.Add('');.Memo1.Lines.Add('Итак,
цена опциона равна ' + FloatToStr(Massiv[N,0]));;AmericanCall;: integer;:
array[0..M] of real;;i := 0 to N do(KursAk[N,i] - K > 0) then Max[i] :=
KursAk[N,i] - KMax[i] := 0;;.Memo1.Lines.Add('');.Memo1.Lines.Add('Цена американского опциона "колл" :');
for i := 0 to N do[i] := Max[i];:= -1;;;AmericanPut;:
integer;: array[0..M] of real;;i := 0 to N do(K - KursAk[N,i] > 0) then
Max[i] := K - KursAk[N,i]Max[i] := 0;;.Memo1.Lines.Add('');.Memo1.Lines.Add('Цена американского опциона
"пут" :');
for i := 0 to N do[i] := Max[i];:= 1;;;Control(Edit, EditN:
TEdit; Lable: TLabel; var Key: Char);Key of
'0'..'9',#8 : ;
'.',',' : beginKey = '.' then Key := ',';(Length(Edit.Text) =
0) or (Pos(',',Edit.Text) <> 0)Key := #0;;
#13 : begin(Edit.Text = '')(Pos(',',Edit.Text) =
Length(Edit.Text)) then Key := #0.Visible := true; EditN.SetFocus;.Visible :=
true;Key := #0;;;TProblem.Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);Key of
'0'..'9' : begin((Key = '0') and (Length(Edit1.Text) = 0))
then Key := #0;Length(Edit1.Text) > 1 then Key := #0;;
#8 : ;
#13 : begin(Edit1.Text = '') or (Edit1.Text = '1') then Key
:= #0.Visible := true; Edit2.SetFocus;.Visible := true;Key :=
#0;;;TProblem.Edit2KeyPress(Sender: TObject; var Key:
Char);(Edit2,Edit3,Label4,Key);;TProblem.Edit3KeyPress(Sender: TObject; var Key:
Char);(Edit3,Edit4,Label5,Key);;TProblem.Edit4KeyPress(Sender: TObject; var
Key: Char);(Edit4,Edit5,Label6,Key);;TProblem.Edit5KeyPress(Sender: TObject;
var Key: Char);(Edit5,Edit6,Label7,Key);;TProblem.Edit6KeyPress(Sender:
TObject; var Key: Char);(Edit6,Edit6,Label7,Key);Key = #13 then.Visible :=
true;.SetFocus;;;TProblem.Button2Click(Sender: TObject);:= StrToInt(Edit1.Text)
- 1;:= StrToFloat(Edit2.Text)/100;:= - StrToFloat(Edit3.Text)/100;:=
StrToFloat(Edit4.Text);:= StrToFloat(Edit5.Text)/100;:= StrToFloat(Edit6.Text);N
> 7 then Memo1.ScrollBars := ssBoth;.Lines.Clear;.Visible :=
true;Option.RadioButton1.Checked = trueEuroCall;Option.RadioButton2.Checked =
trueEuroPut;Option.RadioButton3.Checked =
trueAmericanCall;Option.RadioButton4.Checked = trueAmericanPut;;
end.
Листинг второго модуля:
unit Unit2;, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics,
Controls, Forms,, StdCtrls, ExtCtrls;= class(TForm): TRadioGroup;:
TRadioButton;: TRadioButton;: TRadioButton;: TRadioButton;: TLabel;:
TButton;Button1Click(Sender: TObject);
{ Private declarations }
{ Public declarations };: TOption;Unit1;
{$R *.dfm}TOption.Button1Click(Sender:
TObject);(RadioButton1.Checked = false)(RadioButton2.Checked =
false)(RadioButton3.Checked = false)(RadioButton4.Checked = false)ShowMessage('Вы
забыли выбрать опцион!').Show;.Hide;;;.