Спектральный анализ
Пользуясь
парой интегральных преобразований Фурье, вычислить и изобразить на спектральной
диаграмме спектр периодического процесса с амплитудой А и частотой w0 (a(t)=Acosw0t)
(1)
,
Вычислить
и изобразить амплитудный и фазовый спектры периодического импульсного процесса
в виде прямоугольных импульсов амплитудой А, длительностью t и периодом Т.
Будем
использовать пару преобразований Фурье в симметричной форме:
используем
свойство
()
Умножим
числитель и знаменатель на , тогда
получим
, ,
Вычислить и изобразить спектральную плотность одиночного
прямоугольного импульса амплитудой А и длительностью t
Пусть данный сигнал располагается симметрично относительно начала отчета
времени.
комплексная
спектральная плотность
Спектральная
плотность рассматриваемого сигнала есть вещественная функция частоты.
Удобно
ввести безразмерную переменную , и
окончательно представим результат так:
(2)
Отметим,
что значение спектральной плотности на нулевой частоте равно площади импульса:
спектральный амплитуда частота фазовый
Вычислить
и изобразить амплитудный спектр периодического процесса в виде отрезков
синусоидальных колебаний амплитудой А, частотой w0 и
длительностью t (радиоимпульсов), следующих с периодом Т
Найдем
спектральную плотность одиночного радиоимпульса, который получится путем
произведения одиночного прямоугольного импульса длительностью и амплитудой А = 1 на косинусоиду с частотой и амплитудой А.
В
соответствии со свойством преобразования Фурье о смещении спектра колебаний:
,
где
- спектр одиночного прямоугольного импульса
,
Для
описания периодической последовательности радиоимпульсов с периодом Т,
воспользуемся свойством преобразования Фурье при переходе от непрерывного
спектра к дискретному:
Воспользовавшись
тригонометрическими соотношениями последнее выражение можно привести к виду:
Изобразить амплитудный спектр суммы сигналов, спектры которых
вычислены в задачах 1.1 и 1.2
Т.к. преобразование Фурье линейно, то спектр линейной комбинации сигналов
представляет собой линейную комбинацию их спектров
, т.е.
, где
Вычислить
и изобразить спектр амплитудно-манипулированного сигнала.
Амплитудно-манипулированный сигнал (АМ) рассматривать как произведение
гармонического колебания a1(t)=Acosw0t
и сигнала а2(t) в виде периодической последовательности
прямоугольных импульсов с единичной амплитудой.
Если
a2(t) -
функция, в каждый момент времени принимающая значение либо 0, либо 1, то
амплитудно-манипулированный сигнал представляется в виде:
(3)
Считая,
что амплитуда этих импульсов равна 1, на основании (3) имеем:
где
q - скважность последовательности.
Вычислить
и изобразить спектр фазоманипулированного сигнала. Фазоманипулированный сигнал
(ФМ) представляет собой последовательность радиоимпульсов, имеющих одинаковую
амплитуду А и длительность - t, отличающихся по фазе на p. Его целесообразно рассматривать как
сумму двух АМ сигналов
Т.к.
при смещении функции времени относительно начала координат, изменяется лишь
фазовый спектр, а амплитудный не меняется, т.е. ,
то воспользовавшись тем, что преобразование Фурье линейно, а также тем, что для
получения амплитудно-манипулированных сигналов необходимо сдвинуть спектры на ±w по оси частот. Получаем:
спектр
АМ сигнала: прямоугольного и
спектр
АМ сигнала: прямоугольного и
·
спектр
фазоманипулированного
сигнала.
Вычислить
и изобразить спектры продифференцированной импульсной последовательности с
параметрами из задачи 1.2.
Спектр исходной импульсной последовательности:
Воспользуемся
свойством преобразования при дифференцировании функции времени:
Вычислите и изобразите спектр сигнала, построенного следующим
образом. Записать четырёхразрядным двоичным числом n=5. Постройте периодический сигнал с
периодом Т=4pt, где t означает длительность символа двоичного кода. Логическую единицу
представьте напряжением +1В, логический нуль напряжением -1В. Длительность
символа примите равной 1 мкс
Запишем число n = 5
четырехразрядным двоичным числом: n = 0101.
Данный сигнал можно представить в виде:
,
Данный сигнал можно представить как сумму двух периодических
последовательностей сдвинутых друг относительно друга по оси времени. Для этого
воспользуемся свойством преобразования Фурье:
и
Не проводя вычислений, в общей форме получим для амплитудного спектра:
Подставляя
числовые значения получим: