Разработка программы для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя

Министерство образования Российской Федерации

Национальный минерально-сырьевой университет "Горный"

Кафедра информатики и компьютерных технологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине Информатика

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Тема работы: Разработка программы для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя

Автор: студент гр Морозов А.В.

Проверил: ассистент /Кротова С.Ю./

Санкт-Петербург 2012

Аннотация

Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы на тему "Разработка программы для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя". В ней рассмотрены вопросы об оформлении решения систем уравнений на языке Visual Basic for Application.

Страниц ___.

Оглавление

Введение

Теория метода

Вычислительная схема метода Зейделя

Разработка программы на языке VBA

Решение СЛАУ методом Зейделя в MS Excel

Решение СЛАУ методом Зейделя в MathCad

Решение СЛАУ методом Зейделя в MatLab

Заключение

Библиографический список

Введение

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет сл. вид:

, где

 корни СЛАУ;

 коэффициенты системы;

свободные члены.

Если число m уравнений равно числу n неизвестных, то такая система называется квадратной. В данной работе рассматривается решение квадратных систем.

В матричном виде квадратная СЛАУ выглядит следующим образом:

 или , где

А - матрица коэффициентов системы;

х - столбец неизвестных;

b - столбец свободных членов.

Для матрицы А существует невырожденная матрица С, если . Тогда . Если матрица С является обратной для А, т.е. , тогда:

Для решения СЛАУ разработано множество методов. Прямые методы позволяют найти решение за определенное количество шагов. К ним относятся:

1)      Метод Гаусса;

2)      Метод Гаусса - Жордана;

)        Метод Крамера;

)        Матричный метод и др.

Итерационные методы позволяют найти решение СЛАУ путем уточнений начальных приближений многократным повторением одинаковых итераций. Число итераций зависит от заданной точности решения.

Наиболее распространенные итерационные методы:

)        Метод Якоби (метод простой итерации);

2)      Метод Гаусса - Зейделя.

К решению систем линейных уравнений сводятся такие группы задач:

)        задачи механики (статические, теплотехнические);

2)      задачи из геодезии, связанные с построением карт на основании данных геодезической съемки;

)        задачи приближенного решения уравнений, имеющих большое распространение в высшей математике;

)        системы линейных уравнений широко используются в области физики и смежных с ней наук: теории относительности, атомной физике, при составлении прогнозов погоды и т.д.

Перечисленные задачи не исчерпывают всех случаев использования систем линейных уравнений, но обнаруживают, насколько часто приходится сталкиваться при решении задач математики и естествознания с необходимостью исследовать и точно или приближенно решить систему линейных уравнений.

линейное алгебраическое уравнение программа

Теория метода

Метод Гаусса-Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея модификации состоит в том, что новые значения  используются здесь сразу же по мере получения, в то время как в методе Якоби они не используются до следующей итерации.

Пусть дана квадратная система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, корни которой необходимо найти с заданной точностью :

 или

Для решения данной СЛАУ можно применить метод Зейделя, если выполняется условие сходимости для матрицы А. Оно заключается в следующем: модули диагональных элементов строки или столбца матрицы должны быть больше суммы модулей недиагональных элементов этой строки или столбца, т.е.:

Преобразуем матричное выражение к виду , разрешив n-ю строку относительно переменной :

Придадим начальные приближения , значения которых можно рассчитать как: . Посчитаем первые приближения, подставив в систему. Соответственно, на k-м шаге приближения будут рассчитываться как:

В общем виде расчетные формулы выглядят:

Из вычислительной математики известие факт, что для СЛАУ в виде , при условии сходимости матрицы, в процессе итераций получаемые приближения сходятся к корням уравнения при любом начальном приближении, т.е. , где i-й корень СЛАУ. Количество итераций зависит от необходимой точности. Если задана точность , то процесс уточнения неизвестных прекращают, когда выполняется условие критерия близости на k-м шаге:

Вычислительная схема метода Зейделя

Рассмотрим вычислительную схему метода Зейделя на примере системы уравнений задания:

Матрица системы

, вектор-столбец

. Проверяется условие сходимости матрицы:

верно;

верно;

верно.

. Вычисление начальных приближений:

4. Нахождение приближений:

. Критерий близости:

, заданная точность не достигнута.

Дальнейшие итерации выполняются аналогично (таблица 1).

Таблица 1

Результат вычислений методом Зейделя

Решение достигается за 4 итерации. Корни СЛАУ:

Разработка программы на языке VBA

1. Блок-схема программы

. Описание подпрограмм

) Имя: VVOD

Назначение: подпрограмма, осуществляющая считывание данных с листа MS Excel.

Вход:

list - лист MS Excel, в котором содержаться исходные данные;

row - номер строки, с которой начинается считывание матрицы;

col - номер столбца, с которого начинается считывание матрицы;

n - число строк матрицы;

m - число столбцов матрицы.

Выход:

М1 () - матрица исходных данных.

2) Имя: PROVERKA

Назначение: осуществляет проверку сходимости матрицы коэффициентов, сообщает результат проверки.

list - лист MS Excel, на который выводится результат проверки сходимости;

n - число строк и столбцов матрицы;

М1 () - матрица исходных данных.

Выход: -

3) Имя: ZEIDEL

Назначение: осуществляет решение СЛАУ, выводит процесс вычислений на лист MS Excel.

Вход:

list - лист MS Excel, на который выводится вычисления;

n - число строк и столбцов матрицы;

М1 () - матрица коэффициентов;

М2 () - матрица-столбец.

Выход:

М3 () - матрица, содержащая корни СЛАУ

4) Имя: VIVOD

Назначение: подпрограмма, осуществляющая вывод корней СЛАУ на лист MS Excel

Вход:

list - лист MS Excel, в который выводятся данные;

n - число строк матрицы корней;

М3 () - матрица корней.

Выход: -

3. Листинг подпрограммы

) Основная программа

Sub RESHENIE ()C As Integer = InputBox ("Введите число переменных")

ReDim A (C, C) As Singleb (C, 1) As SingleX (C) As SingleVVOD (1, 2, 1, C, C, A ())VVOD (1, 2, C + 1, C, 1, b ())PROVERKA (1, C, A ())ZEIDEL (1, C, A (), b (), X ())VIVOD (1, C, X ())Sub

) Подпрограмма ввода данных

Sub VVOD (list As Integer, row As Integer, col As Integer, n As Integer, m As Integer, M1 () As Single)i As Integerj As Integeri = 1 To nj = 1 To m(i, j) = Worksheets (list). Cells (row + i - 1, col + j - 1). ValuejiSub

3) Подпрограмма проверки сходимости

Sub PROVERKA (list As Integer, n As Integer, M1 () As Single)i As Integerj As Integerd As Integersum As Integer(list). Cells (1, n + 3). Value = "Проверка сходимости"= 0i = 1 To n= 0j = 1 To nj <> i Then sum = sum + Abs (M1 (i, j))jAbs (M1 (i, i)) > Abs (sum) Then d = d + 1id = n Then(list). Cells (2, n + 3). Value = "Сходится"(list). Cells (2, n + 3). Value = "Не сходится"IfSub

) Подпрограмма решения СЛАУ методом Зейделя

Sub ZEIDEL (list As Integer, n As Integer, M1 () As Single, M2 () As Single, M3 () As Single)i As Integerj As Integerg As IntegerS As Singlem (n) As SingleX (n) As Singlee As Singlef As Singlev As Single= 0.001= o

'Подсчет начальных приближений. Подготовка таблицы решения

For i = 1 To n(i) = M2 (i, 1) / M1 (i, i)(list). Cells (n + 3, 1). Value = "№"(list). Cells (n + 3,2). Value = Str (g)(list). Cells (n + 4 + i, 1). Value = "X" + Str (i)(list). Cells (2 * n + 5 + i, 1). Value = "раз-ть X" + Str (i)(list). Cells (3 * n + 7, 1). Value = "MAX разность"(list). Cells (n + 4 + i, g + 2). Value = CInt (X (i) * 1000) / 1000i

'Подсчет суммы элементов

For i = 1 To nj = 1 To ni <> j Then S = S + M1 (i, j) * X (j)j

'Нахождение приближений

v = X (i)(i) = (1/M1 (i, i)) * (M2 (i, 1) - S)(list). Cells (n + 4 + i, g + 3). Value = CInt (X (i) * 1000) / 1000= 0(i) = Abs (X (i) - v)(list). Cells (2 * n + 5 + i, g + 3). Value = CInt (m (i) * 10000) / 10000

'Выбор наибольшей разности

f = m (1)

j = 1f < m (j) Then f = m (j)= j + 1Until j > n(list). Cells (3 * n + 7, g + 3). Value = CInt (f * 10000) / 10000i= g + 1(list). Cells (n + 3, g + 2). Value = gUntil f < ei = 1 To n(i) = X (i)iSub

5) Подпрограмма вывода корней СЛАУ

Sub VIVOD (list As Integer, n As Integer, M3 () As Single)i As Integercol As Integer= n + 6(list). Cells (1, col). Value = "Корни СЛАУ"i = 1 To n(list). Cells (1 + i, col). Value = "X" + Str (i)(list). Cells (1 + i, col + 1). Value = CInt (M3 (i) * 1000) / 1000iSub

Результат работы программы

Сначала пользователю необходимо ввести СЛАУ в матричном в виде: выписать матрицу коэффициентов при неизвестных и матрицу свободных членов (рис.1).

Рис.1.

При запуске программы появляется диалоговое окно, в котором предлагается ввести число переменных СЛАУ (рис.2).

Рис.2.

Пользователю необходимо ввести число переменных (равно числу строк СЛАУ), после чего программа выдает на лист MS Excel корни уравнения, а также вычисления, выполняемые в каждой итерации (рис.3).

Самостоятельный ввод пользователем числа переменных делает программу для решения СЛАУ методом Зейделя применимой для любого числа переменных.

Рис.3.

Решение СЛАУ методом Зейделя в MS Excel

Рис.4.

Решение СЛАУ методом Зейделя в MathCad

Проверка сходимости

Начальные приращения

Первая итерация

Третья итерация

Четвертая итерация

,

Решение СЛАУ методом Зейделя в MatLab

clc; clear all, close all;

%Исходные данные= [7.77, 0.27, - 0.29;

.15 - 6.22, 1.77;

.05, 4.52, 9.544;];= [1.45, 1.05, - 1.31];= [0 0 0;

0 0];=0.001;

%Начальные приближения=b (1,1) /A (1,1);

x2=b (1,2) /A (2,2);=b (1,3) /A (3,3);=max (abs (x1),abs (x2));=max (m,abs (x3));m<e([x1 x2 x3]);

%Итерацииm>e(1,1) =x1;

X (1,2) =x2;(1,3) =x3;= ( (b (1,1) - A (1,2) *x2-A (1,3) *x3) /A (1,1));= ( (b (1,2) - A (2,1) *x1-A (2,3) *x3) /A (2,2));= ( (b (1,3) - A (3,1) *x1-A (3,2) *x2) /A (3,3));(2,1) = (x1-X (1,1));(2,2) = (x2-X (1,2));(2,3) = (x3-X (1,3));=max (abs (X (2,1)), abs (X (2,2)));=max (m, abs (X (2,3)));;

disp ([x1 x2 x3])

Рис.5.

Заключение

В ходе выполнения работы нами была разработана программа на языке VBA, позволяющая находить корни СЛАУ методом Зейделя. Правильность работы программы была проверена аналогичным методом в редакторе MS Excel и математических пакетах MathCad и MatLab. В результате проверки корни СЛАУ, вычисленные программой, и корни, найденные с помощью вышеуказанных средств, совпали. Разработанная программа применима для решения СЛАУ методом Зейделя с другим числом переменных при условии сходимости матрицы коэффициентов.

Библиографический список

1. Методические указания к курсовой работе Информатика решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами. Санкт-Петербург, 2004г.

. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Учебн. пособие для ВТУЗов. Изд.4-е, испр. М.: Наука, 1970.

. Зельднер Г.А. Программируем на языке QuickBASIC 4.5 Изд 2-е, исправленное и дополненное, М.: ABF, 1996.

. Хэлворсон М. Эффективная работа с Microsoft Office 2000. СПб, М, Харьков, Минск: Питер, 2001.