Метод конечных разностей решения краевой задачи нестационарной теплопроводности
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное
государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего
профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт
- Энергетический институт
Направление-
140100 Теплоэнергетика
Кафедра
- ТПТ
Отчет
по
практическому занятию №1
«Метод
конечных разностей решения краевой задачи нестационарной теплопроводности»
Исполнитель:
Студент, гр. 5б14
Шустов А.М.
Руководитель:Барановский
Н.В.
Томск
-2013
Содержание
Цель
практического занятия
Теоретические
сведения
Метод
конечных разностей (МКР)
Практическая
часть
Результаты
вычислений
Вывод
Список
литературы
Цель практического занятия:
Написать программу и численно решить краевую
задачу нестационарной теплопроводности методом конечных разностей.
Задание №2
Уравнение нестационарной теплопроводности
Начальные условия:=0; T=;
Граничные условия:=0; T=;=Lx;
T=;
Параметры задачи: число узлов N = 21; время
расчета con = 30 с; толщина пластины Lx = 0,2м; коэффициент теплопроводности 384
Вт/(м∙К); плотность 8800 кг/;
коэффициент теплоемкости c = 381 Дж/(кг∙К); начальная температура =
373 К; температура на левой границе =
323 К; температура на правой границе =
673 К;
Теоретические сведения
Теплопроводностью называется молекулярный
перенос теплоты в сплошной среде. Этот процесс возникает при неравномерном
распределении температур. В этом случае теплота передается за счет
непосредственного соприкосновения частиц, имеющих различную температуру, что
приводит к обмену энергией между молекулами, атомами или свободными
электронами.
Нестационарный перенос тепла теплопроводностью
описывается следующим уравнением, записанным в декартовой системе координат:
Это уравнение устанавливает связь между
временным и пространственным изменением температуры в любой точке тела. Здесь -
плотность, c - удельная теплоемкость, -
коэффициент теплопроводности, x,y,z,t,T) -
мощность внутренних источников тепловыделения. Чтобы выделить конкретный
вариант развития процесса, необходимо добавить условия однозначности, которые
содержат геометрические, физические, начальные и граничные условия.
Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в котором протекает
изучаемый процесс. Физические условия определяют теплофизические характеристики
тела ,
,
c. Временные (начальные условия) условия содержат распределение температуры в
теле в начальный момент времени.
Метод конечных разностей (МКР)
Идея МКР состоит в том, что вместо производных в
дифференциальном уравнении используются их конечноразностные аппроксимации. При
использовании МКР для задач теплопроводности твердое тело представляют в виде
совокупности узлов. Аппроксимируя (заменяя) частные производные
дифференциального уравнения конечными разностями получают систему линейных
алгебраических уравнений для определения температуры, как локальной
характеристики в каждом узле сетки. Полученная система является незамкнутой, для
ее замыканию используют разностное представление граничных условий. В
результате получают замкнутую систему линейных алгебраических уравнений,
которую решают численными методами с помощью ЭВМ.
Для того чтобы дать полное математическое
описание рассматриваемой задачи, необходимо задать начальные и граничные
условия, а также физические условия однозначности.
Пластина разбивается на N-1 равных промежутков,
т.е. строится конечно-разностная сетка.
Определяется значение температуры в i-ом узле в
момент времени как (
- шаг интегрирования по временной координате, -
номер шага по времени). Дифференциальные операторы в уравнении теплопроводности
заменяются на их конечно-разностные аналоги.
В результате аппроксимации частных производных
соответствующими конечными разностями, а также упрощения полученных систем
линейных алгебраических уравнений, выводятся трехточечные разностные уравнения
второго порядка.
(1)
Предполагая, что существуют такие наборы чисел при
которых
(2)
получаем формулы для определения прогоночных
коэффициентов :
;
(3)
Затем по формуле (2) последовательно находятся ,
при условии, что найдено из правого
граничного условия. Таким образом, решение уравнений описываемым способом,
называемым методом прогонки, сводится к вычислениям по трем формулам:
нахождение прогоночных коэффициентов по
формулам (1), и затем получение неизвестных по
формуле (2).
Для успешного применения метода прогонки нужно,
чтобы в процессе вычислений не возникло ситуаций с делением на нуль, а при
больших размерностях систем не должно быть быстрого роста погрешностей округлений.
Практическая часть
Ниже представлена блок-схема для решения
поставленного уравнения нестационарной теплопроводности, методом конечных
разностей.
Программа была реализована на языке
программирования Pascal. Ниже представлен исходный код программы.
Uses
crt;N=21;L=0.2;y=384;p=8800;xc=381;T0=273;T1=323;T2=673;con=30;= array[1..21]
of real;:integer;, alfa, beta: vector;,B,C,F,tau,h,time:
real;:text;:=L/(N-1);:=con/100;i:=1 to N do[i]:=T0;:=0;time<con dobegin:=time+tau;[1]:=0;[1]:=T1;i:=2
to N-1
dobegin:=y/sqr(h);:=2*y/sqr(h)+p*xc/tau;:=y/sqr(h);:=-p*xc*T[i]/tau;[i]:=A/(B-C*alfa[i-1]);[i]:=(C*beta[i-1]-F)/(B-C*alfa[i-1]);;[N]:=T2;i:=N-1
downto 1 do[i]:= alfa[i]*T[i+1]+beta[i];;(g,'teplo.dat');(g);i:=1 to N do(g,'X=
', h*(i-1):8:3,' ',T[i]:10:5);
close(g);;.
Результаты вычислений
X,
м
|
T,
К
|
0.000
|
323.00000
|
0.010
|
322.45884
|
0.020
|
322.27634
|
0.030
|
322.81001
|
0.040
|
324.41444
|
327.43851
|
0.060
|
332.22100
|
0.070
|
339.08433
|
0.080
|
348.32637
|
0.090
|
360.21026
|
0.100
|
374.95282
|
0.110
|
392.71199
|
0.120
|
413.57429
|
0.130
|
437.54350
|
0.140
|
464.53153
|
0.150
|
494.35303
|
0.160
|
526.72441
|
0.170
|
561.26827
|
0.180
|
597.52337
|
0.190
|
634.96001
|
0.200
|
673.00000
|
Представим результаты вычислений в виде
графической зависимости температуры от пространственной координаты. Построение
выполнено в графическом редакторе OriginPro.
Рис. 4. Зависимость температуры пластины от
пространственной координаты.
Вывод
В данной работе был реализован метод конечных
разностей на примере уравнения нестационарной теплопроводности. Основываясь на
результатах работы программы, а также заранее известных ответах, можно сделать
вывод что, программа написана верно, выходные данные являются достоверными, и
могут быть использованы на практике.
По результатам работы программы был построен
график зависимости температуры от пространственной координаты. График
нелинейный, и возрастает схоже с параболической зависимостью.
Список литературы
конечная разность программа
теплопроводность
1.
Кузнецов Г.В., Шермет М.А. Разностные методы решения задач теплопроводности. -
Томск: ТПУ, 2007. - 172с.
.
Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. - М.: Высшая
школа, 2008. - 480 с.
.
Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для
инженеров. - М.: Высшая школа, 1994. - 544с.