Позиционные системы счисления
Позиционные
системы счисления
Перевод
чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Арифметические
операции с числами в позиционных системах счисления
Системой
счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой
системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их
называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо
операций над цифрами данной системы счисления.
Система
называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в
зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих
число.
Число единиц
какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием
позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система
счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с
количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.
Запись
произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на
представлении этого числа в виде многочлена
x = anPn + an-1Pn-1 + ... + a1P1 + a0P0 + a-1P-1 + ...
+ a-mP-m
Арифметические
действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем
же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах
выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только
пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному
основанию P системы счисления.
При переводе
чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P>1 обычно
используют следующий алгоритм:
1) если
переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается
остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток
запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным
нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;
2) если
переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть
запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и
т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной
нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения.
Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь.
Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на
каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в
системе с основанием P.
Примеры решения
задач
1. Перевести
данное число из десятичной системы счисления в двоичную:
а) 464(10); б)
380,1875(10); в) 115,94(10) (получить пять знаков после запятой в двоичном
представлении).
Решение.
464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94
232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88
116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76
58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52
а) 29 | 1
б) 23 | 1 1|0
в) 7 | 1 1|04
14 | 0 11 | 1 3 | 1
0|08
7 | 1 5 | 1 1 | 1
0|16
3 | 1 2 | 0
1 | 1 1 | 1
а)
464(10)=111010000(2); б) 380,1875(10)=101111100,0011(2); в) 115,94(10)»1110011,11110(2)
(в настоящем случае было получено шесть знаков после запятой, после чего
результат был округлен).
Если необходимо
перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием
которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в
группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный
ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то
группы будут содержать три цифры (8=23). Итак, в целой части будем производить
группировку справа налево, в дробной — слева направо. Если в последней группе
недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа.
Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы.
Соответствия приведены в таблицах.
|
P
Похожие работы на - Позиционные системы счисления
|