Чистый сдвиг и кручение

Контрольная работа

Тема

Чистый сдвиг и кручение

Содержание

1. Чистый сдвиг и его особенности

. Деформация при сдвиге

. Определение напряжений при кручении стержней круглого поперечного сечения

. Деформация и перемещения при кручении

. Потенциальная энергия при упругих деформациях кручения

. Кручение бруса с прямоугольным не круглым поперечным сечением

. Статически неопределимые задачи на кручение

. Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля

. Стержни, работающие на кручение за пределами упругости

. Мембранная аналогия при кручении

Литература

1. Чистый сдвиг и его особенности

Рассмотрим такое напряженное состояние, когда на гранях (на грани) выделенного элемента действуют только касательные напряжения . Такое напряженное состояние называют чистым сдвигом.

В качестве примера рассмотрим кручение тонкостенной цилиндрической трубы, нагруженной моментами, приложенными в торцевой плоскости.

Рис. 1

бесконечно малый момент относительно оси Z

- бесконечно малая длина дуги, приходящаяся на выделенный элемент.

Величина касательных напряжений определяется из условий равновесия момента внутренних сил внешнему моменту.

 - площадь, заключенная внутри срединной линии.

Рассмотрим напряжение при чистом сдвиге на наклонной площадке.

Рис.2

Проецируя все силы, действующие на призму ABC на оси n и t, из условия равновесия получили:

 - толщина элемента

При  касательные напряжения .

. Деформация при сдвиге

Рис. 3

Если на гранях выделенного элемента действуют только касательные напряжения, то в результате деформации прямоугольник превратится в параллелограмм.

Рис. 4

деформация сдвига.

Угол называется угловой деформацией или углом сдвига.

Многочисленные эксперименты показывают, что для многих материалов до известных пределов нагружения между напряжениями и деформациями имеет место линейная зависимость.

Это закон Гука при сдвиге.

G - модуль сдвига или модуль упругости II рода.

- коэффициент Пуассона.

Е = 2 * 105 Мпа.

G = 0,8 * 105 Мпа.

           - Закон парности деформации сдвига:

При сдвиге угловые деформации двух взаимно перпендикулярных площадок равны по величине и противоположны по знаку.

. Определение напряжений при кручении стержней круглого поперечного сечения

Правило знаков.

Стержень испытывает кручение, если в его поперечных сечениях возникают крутящие моменты, действующие в плоскости поперечного сечения.

Рис. 5

Можно показать, что при кручении справедлива гипотеза плоских жёстких сечений (Бернулли):

Сечения после деформации остаются плоскими и нормальными к оси стержня.

Внутренний силовой фактор Т(Z1) считается «+»,    если вектор этого момента направлен по оси Z.

Построение эпюр (ДЗ).

Задача является актуальной для валопроводов, трансмиссий.

В выделенном сечении при кручении действует Т(Z) и вызывает возникновение касательных напряжений и эти напряжения распределены непрерывно по поперечному сечению.

Рис. 6

Рис. 7

 -          максимальная угловая деформация сдвига на           поверхности стержня поперечного сечения.

 -  бесконечно малый угол закручивания вала длиной dZ.

Выразим длину дуги 2 - 2’ через  и , считая  достаточно малым.

 - постоянная для фиксированного сечения.

Исследуем закон Гука для деформации сдвига и перейдем к напряжениям (касательным).

чем больше , тем больше .

При кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямопропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.

Крутящий момент в сечении представляет собой равнодействующий момент касательных напряжений в сечении.

В [3]  неизвестна, и для ее определения воспользуемся уравнением равновесия в моментах относительно оси Z.

Введем бесконечно малую площадку dA, подставив сюда выражение для касательных напряжений.

Gip - жесткость стержня при кручении.

[4]® [3]Þ

 ,    

      - [5]. 

 - ?

. Деформации и перемещения при кручении

Для вычисления деформаций вала при кручении воспользуемся формулой:

относительный угол закручивания участка стержня длинною dZ

Если GIp = const , то Перемещение -

T = const

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания. Этот угол равен:

 - [6] - Деформация.

Для обеспечения требуемой жесткости вала при кручении необходимо ограничить наибольший относительный угол закручивания.

Удобнее

5. Потенциальная энергия при упругих деформациях кручения

При кручении внешние моменты совершают работу вследствие поворота сечений, к которым они приложены. Эта работа расходуется на создание запаса потенциальной энергии деформации, численно равной работе внутренних сил.

Аналогично тому как это было сделано при растяжении пружин, эта работа ровна половине произведения конечного значения момента на окончательный угол закручивания:

Элементарная работа внутренних сил

Уравнение [4] представим в виде

После подстановки и интегрирования

Если учесть, что на практике в расчёте валов GIp = const, T = const для всего вала или отдельных участков

 - [7].

Энергетические методы получают все больше в проектировании конструкций (принцип энергии системы).

) Пусть в некоторой текущей точке

) Т(z) - действует при кручении Z

) Бесконечно малый участок dZ

4)

) Бесконечно малая энергия, затрачиваемая на деформирование выделенного участка. Потенциальная энергия упругой деформации dU

Рис. 8

дж = 1 н × м

Теорема Клапейрона для определения работы упруго деформированного тела.

Определение напряжений в брусе с некруглым поперечным сечением представляет собой довольно сложную задачу, которая не может быть решена методом сопротивления материалов. Причина заключается в том, что для некруглого сечения упрощающая гипотеза неизменности плоских сечений (гипотеза Бернулли) оказывается неприемлемой. Сечения существенно искривляются, в результате чего изменится картина распределения напряжений по сечению.

Задача, кроме того, усложняется тем, что для некруглого сечения напряжения должны определяться уже функцией двух переменных x и y.

Выскажем общие соображения относительно законов распределения напряжений в поперечных сечениях не круговой формы, а затем приведём готовые формулы, полученные методами теории упругости.

. Касательные напряжения для точек поперечного сечения, расположенных на контуре, обязательно направлены по касательной к внешнему контуру.

Гипотеза Бернулли не может быть использована. Решение может быть получено с помощью трехмерной теории упругости.

Рис. 9

Касательное напряжение в точках, расположенных на контурах сечений, действует в направлении вдоль контура.

Рис. 10

Задача:

Решение:

. Момент, передаваемый валом

2. Расчет вала из условий прочности

. Расчет вала из условий жесткости

. Статически неопределимые задачи на кручение

При кручении, так же как и при растяжении, встречаются задачи, решение которых не может быть получено с помощью одних только уравнений равновесия. Число неизвестных в таких задачах превышает число уравнений равновесия. Порядок решения таких задач тот же самый, что и при решении статически неопределимых задач на растяжение - сжатие.

брус стержень деформация кручение

Рис.11

1. 2-1=1

2. TA+TB=TE [1]

3. QB=Q1+Q2=0 [2]

Q1==

Отсюда определяем TA и подставляем в [1] для определения TB

. Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля.

Значительно более жесткими и поэтому более целесообразными при кручении являются тонкостенные стержни замкнутого профиля.

Рассмотрим цилиндрический стержень, поперечное сечение которого имеет достаточно общую форму.

t - меняется достаточно медленно

Рис. 12

Геометрическое место точек, равноотстоящих от внешнего и внутреннего контуров поперечного сечения, называются средней линией сечения.

t <<

1. Возникающие при кручении касательные напряжения постоянны по толщине и направлены по касательной к средней линии.

2. Произведение касательного напряжения на толщину есть величина, постоянная для всех точек средней линии сечения.

t = const.

Спроецируем все силы на направление оси стержня.

На внешней поверхности нагрузки отсутствуют , и следовательно , по закону парности касательных напряжений.

Рис. 13

Рис. 14

. Касательные напряжения во внешних углах обращаются в нуль.

Парные касательных напряжений , действующие на внешней поверхности должны быть равны нулю. Следовательно, и

Решение, полученное методами теории упругости, для бруса прямоугольного сечения имеет следующую эпюру

h/b=2 /b=1

/b=2 /b=1

/b=2

h/b=1

. Стержни, работающие на кручение за пределами упругости

Конструкция потеряет несущую способность при кручении в том случае, когда сечения первого и второго участков будут полностью охвачены пластическими деформациями.

Т.е. Т1 = Т1u Т2 = Т2u

Из условий равновесия Тu = T1u + T2u

Для определения T1u и T2u рассмотрим конкретные формы поперечного сечения

1. Круглое сечение

1. Кольцевое сечение

Тонкостенное сечение ()

площадь, ограниченная средней линией контура

1. Квадратное сечение

См. песочная аналогия

,

где V - объём поверхности постоянного ската с углом 450

Примечание: При нескольких внешних моментах необходимо рассмотреть несколько кинематически возможных состояний.

Свяжем Т с касательными напряжениями.

Элементарный момент относительно точки О.

где интегрирование распространяется на всю длину контура s.

Задача:

Определить наибольшее напряжение в трубчатом стержне, если Т=1500 Н.м

Рис. 15

. Мембранная аналогия при кручении

Задача о кручении бруса сводится к тому же дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии пленки, натянутой на контур того же очертания и нагруженной равномерно распределенным давлением.

Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с поверхностного контура.

Т - Аналогом крутящего момента является объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки.

Характер деформации пленки под действием давления можно представить хотя бы ориентировочно. Таким образом , всегда имеется возможность представить и закон распределения напряжений при кручении бруса с заданной формой сечения.

При помощи мембранной аналогии можно получить не только качественные, но и колличественнные соотношения. Для этого используется не сложный прибор, который замеряет прогибы с помощью микрометра. Использование гидростатического давления жидкости для нагружения мембраны позволяет определить крутящий момент по объему жидкости между мембраной и плоскостью. Для тарировки приборов такого типа могут быть использованы простейшие поперечные сечения, для некоторых известны аналитические решения.

Литература

1. Александров А.В. и др. Сопротивление материалов: Учебник для ст-тов вузов/ А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин; под ред. А.В. Александрова. - 2-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 2009. - 559 с.

. Гафаров Р.Х. Что нужно знать о сопротивлении материалов: Учебное пособие для вузов обуч. по направлениям подгот. и спец. в области техники и технологии/ Р.Х. Гафаров, В.С. Жернаков; под ред. В.С. Жернакова. - М.: Машиностроение, 2007. - 275 с.

. Миролюбов И. Н. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов. - М.: Высшая школа, 2006. - 400 с.

. Сурьянинов Н.Г. Методы построения эпюр в статически определимых и статически неопределимых системах - 2009, 155с.

. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учебник для студ-ов высш.техн.учеб.зав./ В.И.Феодосьев. - 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. - 588 с.