Відомості з історії математики як засіб формування мотивації учіння молодших школярів

Відомості з історії математики як засіб формування мотивації учіння молодших школярів

Управління освіти і науки Волинської облдержадміністрації

Луцький педагогічний коледж

Циклова комісія викладачів математики

Курсова робота

з методики викладання математики

Відомості з історії математики як засіб формування мотивації учіння молодших школярів

студентки 4- В курсу

спеціальності 5.010102

«Початкове навчання»

Неліпович Людмили Ярославівни

Науковий керівник:

Філіпович Євген Станіславович

Луцьк 2013

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ І. ТЕОРЕТИЧНІ АСПЕКТИ ВИКОРИСТАННЯ ІСТОРИЧНОГО МАТЕРІАЛУ ЯК ЗАСОБУ МОТИВАЦІЇ УЧІННЯ МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ

.1 МОТИВАЦІЯ УЧІННЯ ЯК РУШІЙНА СИЛА У НАВЧАННІ МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ

.2 ОСОБЛИВОСТІ ІСТОРИЧНОГО МАТЕРІАЛУ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ У ПОЧАТКОВІЙ ШКОЛІ

.3 ФОРМИ ОРГАНІЗАЦІЇ ЗАНЯТЬ ІЗ ВИКОРИСТАННЯМ ІСТОРИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

РОЗДІЛ ІІ. ДОСЛІДЖЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ВИКОРИСТАННЯ ВІДОМОСТЕЙ З ІСТОРІЇ МАТЕМАТИКИ ЯК ЗАСОБУ ФОРМУВАННЯ МОТИВАЦІЇ

.1 АНАЛІЗ МЕТОДИЧНОЇ ЛІТЕРАТУРИ ІЗ ПРОБЛЕМИ ДОСЛІДЖЕННЯ

.2 ВИКОРИСТАННЯ ІСТОРИЧНИХ ЗАДАЧ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ У ПОЧАТКОВІЙ ШКОЛІ

.3 АНАЛІЗ РЕЗУЛЬТАТІВ ДОСЛІДЖЕННЯ

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ДОДАТКИ

ВСТУП

Формування мотивації учіння молодших школярів є однією з найважливіших проблем педагогічної теорії та практики. Педагоги, психологи, методисти розглядають різні аспекти даної проблеми. Результати досліджень фахівців показали, що одним з ефективних засобів формування мотивації учнів початкових класів на уроках математики є використання елементів історизму.

На нашу думку, знайомство учнів з історією математики означає продумане, планомірне використання на уроках фактів з історії математики. Ця робота повинна проводитися на уроках різного типу та на різних етапах уроків з математики. Вчитель має чітко усвідомлювати наступне:

. З якою метою пропонується даний історичний матеріал.

. В якій формі подається (повідомлення учнів, повідомлення вчителя, вікторина, історична задача тощо).

. Як організована при цьому діяльність учнів.

Очевидно, що мета використання елементів історизму визначає їх місце на уроці.

Зміст історичних відомостей може бути різним, а саме: біографія відомого математика, історія виникнення математичних результатів, узагальнення відомого із шкільного курсу математичного твердження, історія походження певного символу, тлумачення математичної термінології тощо.

Форми подання історичної інформації також можуть бути різними: коротка бесіда, екскурс, розв’язання задачі, демонстрація та пояснення певного рисунку.

Очевидно, що організація і проведення таких уроків вимагає великих зусиль учителів. Ефективність таких уроків можна підвищити, якщо залучити до підготовки самих учнів (виготовлення малюнків, підготовка повідомлень).

На нашу думку, такі уроки з математики дозволяють показати учням, що математика - жива наука, яку створили і продовжують розвивати люди. Це сприяє підвищенню інтересу учнів до вивчення математики, формуванню їх критичного мислення та наукового світогляду, що є одним з основних завдань сучасної школи.

Народна мудрість говорить, що, не знаючи минулого, неможливо зрозуміти справжній сенс сьогодення і мету майбутнього. Це, звичайно, стосується й математики.

У математичній літературі, в підручниках завжди приділялася велика увага цікавим старовинним задачам різних народів і епох, оскільки вважалося, що елемент цікавості полегшує навчання, розвиває пізнавальну активність. До цікавих завдань ми відносимо задачі з цікавим змістом або цікавими способами розв’язання, математичні ігри, завдання, що стосуються цікавих властивостей чисел і геометричних фігур.

У сучасній педагогічній діяльності відбувається полеміка про те, як вчити дітей розв’язувати завдання, як зацікавити їх в настільки складному процесі.

Деякі педагоги виділяють використання історичного матеріалу як спосіб розвитку пізнавальної активності школярів, проте з іншого боку питанню використання історичного матеріалу в школі приділяється недостатня увага.

Дане протиріччя формує проблему необхідності використання історичного матеріалу при формуванні мотивації учіння школярів. Якщо проблему не вирішувати, то у дитини розвивається пасивне ставлення до вирішення завдань, що в підсумку може призвести до виникнення наступних труднощів: невміння аналізувати завдання, втрата інтересу до розв'язання задач.

Проблему формування мотивації школярів можна вирішувати різними способами, методами, прийомами, технологіями.

Виходячи з вищевикладеного тема курсового дослідження наступна: «Відомості в історії математики як засіб формування мотивації учіння молодших школярів».

Мета роботи: провести теоретичне дослідження в області формування мотивації учіння молодших школярів на уроці математики через використання історичного матеріалу.

Об'єктом дослідження є процес формування мотивації молодших школярів.

Предмет курсового дослідження - використання історичного матеріалу на уроках математики.

Для того щоб досягти мети дослідження, було поставлено наступні завдання:

. Проаналізувати методичну літературу з досліджуваної проблеми.

. Вивчити методи формування мотивації молодших школярів.

. Виявити особливості історичного матеріалу, що вивчається на уроці математики у початковій школі.

. Розробити систему завдань з використанням історичного матеріалу та рекомендації для вчителя в його роботі з завданнями історико-математичного характеру.

Структура дослідження. Курсова робота складається із вступу, двох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Основна частина роботи складає 48 сторінок. Додатки замаюють 18 сторінок.

РОЗДІЛ І. ТЕОРЕТИЧНІ АСПЕКТИ ВИКОРИСТАННЯ ІСТОРИЧНОГО МАТЕРІАЛУ ЯК ЗАСОБУ МОТИВАЦІЇ УЧІННЯ МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ

.1 МОТИВАЦІЯ УЧІННЯ ЯК РУШІЙНА СИЛА У НАВЧАННІ МОЛОДШИХ ШКОЛЯРІВ

Мотивація (від лат. «рухати») - загальна назва для процесів, методів, засобів спонукання учня до активної пізнавальної діяльності. Керують мотивами спільно вчителі та учні. Маючи на увазі перше, говоримо про мотивацію навчання, а з позиції учня слід вести мову про мотивацію учіння. Мотивація як процес зміни станів і відносин особистості ґрунтується на мотивах, під якими розуміються конкретні спонукання, причини, що змушують учня вчитися, діяти, робити вчинки. В ролі мотивів виступають потреби та інтереси, прагнення та емоції, установки та ідеали. Мотиви, а їх багато, завжди взаємозв'язані, і в педагогічному процесі ми маємо справу не з одним діючим мотивом, а з багатьма.

Класифікувати мотиви, що діють в системі навчання, можна за різними критеріями. До видів мотивів можна віднести пізнавальні і соціальні мотиви. Якщо у школяра в ході навчання переважає спрямованість на зміст навчального предмета, то можна говорити про наявність пізнавальних мотивів.

Пізнавальні мотиви можуть мати різні рівні: широкі пізнавальні мотиви (орієнтація на оволодіння новими знаннями - фактами, явищами, закономірностями), навчально-пізнавальні мотиви (орієнтація на засвоєння способів отримання знань, прийомів самостійного набуття знань), мотиви самоосвіти (орієнтація на отримання додаткових знань і потім на побудову спеціальної програми самовдосконалення).

Мотиви названих видів і рівнів можуть проходити в своєму становленні наступні етапи: актуалізація звичних мотивів, постановка на основі цих мотивів нових цілей, позитивне підкріплення мотиву при реалізації цих цілей, поява на цій основі нових мотивів, супідрядність різних мотивів і побудова їх ієрархії, поява в ряду мотивів нових якостей (самостійності, стійкості та ін.)

Якості мотивів можуть бути змістовними, пов'язаними з характером навчальної діяльності (усвідомленість, самостійність, узагальненість, дієвість, домінування в загальній структурі мотивації, ступінь поширення на кілька навчальних предметів та ін.), і динамічними, пов'язаними з психофізіологічними особливостями дитини (стійкість мотиву, його сила і виразність, переключення з одного мотиву на інший, емоційне забарвлення мотивів) і т. д.

Мотиви поділяються на зовнішні і внутрішні. Перші виходять від педагогів, батьків, класу, суспільства в цілому і набувають форми підказок, натяків, вимог, вказівок, підганянь або навіть примусів. Вони, як правило, діють, але їх дія нерідко зустрічає внутрішній опір особистості, а тому вони не можуть називатися гуманними. Необхідно, щоб сам учень захотів щось зробити і зробив це. Істинне джерело мотивації людини знаходиться в ній самій, але його потрібно активізувати.

Скласти первинне уявлення про переважання і дії тих чи інших мотивів навчання можна, спостерігаючи відношення школяра до учіння. Дослідження дозволяють виділити декілька ступенів включеності дитини у процес навчання: негативне, байдуже і позитивне.

З цього випливає, що, працюючи з різними групами дітей, потрібно ставити різні цілі. Найбільш значущою для ефективної навчальної діяльності є мотивація, зумовлена інтелектуальною ініціативою і пізнавальними інтересами.

Ставлення школярів до навчання зазвичай характеризується активністю. Активність визначає ступінь (інтенсивність, міцність) «зіткнення» учня з предметом його діяльності.

У структурі активності виділяють наступні компоненти:

готовність виконувати навчальні завдання;

прагнення до самостійної діяльності;

свідомість виконання завдань;

систематичність навчання;

прагнення підвищити свій особистий рівень та ін.

З активністю безпосередньо сполучається ще одна важлива сторона мотивації навчання школярів - самостійність, пов'язана з визначенням об'єкта, засобів діяльності, її здійснення самим учнем без допомоги дорослих і вчителів. Пізнавальна активність і самостійність школярів взаємопов'язані: активніші школярі, як правило, більш самостійні.

Управління активністю школярів традиційно називають активізацією. Її можна визначити як постійний поточний процес спонуки до енергійного, цілеспрямованого учіння, переборення пасивної і стереотипної діяльності, спаду і застою в розумовій роботі. Головна мета активізації - формування активності учнів, підвищення якості навчально-виховного процесу. Педагогічна практика використовує різні шляхи активізації, основною серед них - різноманітність форм, методів, засобів навчання, вибір таких їх поєднань, які у виниклих ситуаціях стимулюють активність і самостійність школярів.

Найбільший активізуючий ефект на уроках дають ситуації, в яких учні повинні:

відстоювати свою думку;

брати участь в дискусіях і обговореннях;

задавати питання своїм товаришам і вчителям;

рецензувати відповіді товаришів;

оцінювати відповіді і письмові роботи товаришів;

допомагати відстаючим;

пояснювати більш слабким учням незрозумілі місця;

самостійно вибирати посильні завдання;

знаходити декілька варіантів можливого рішення пізнавальної задачі (проблеми);

створювати ситуації самоперевірки, аналізу особистих пізнавальних і практичних дій;

вирішувати пізнавальні завдання шляхом комплексного застосування відомих способів рішення.

Найважливішим мотивом навчання є пізнавальний інтерес. Це реальна причина дій, що відчувається учнем. Інтереси виникають під впливом потреб і існують в нерозривному зв'язку з ними. Інтерес залежить від:

) рівня і якості набутих знань, умінь, сформованості способів розумової діяльності;

) відношення школяра до вчителя.

Отже, мотиви - це причини, які змушують учня вчитися, діяти, робити вчинки. У навчанні одночасно діє безліч мотивів. Ознаки переважання тих чи інших мотивів вчитель отримує, спостерігаючи за ставленням школярів до навчання. Знання законів мотивації - ключ до вирішення більшості шкільних проблем.

.2 ОСОБЛИВОСТІ ІСТОРИЧНОГО МАТЕРІАЛУ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ У ПОЧАТКОВІЙ ШКОЛІ

«Вовк, коза і капуста» через 1200 років

У сучасній школі гостро стоїть питання про присутність стародавніх цікавих завдань у підручниках з математики. У різних математичних монографіях є сторінки, присвячені історії виникнення знаменитих завдань, доступних учням старшої школи. Але практично немає робіт для молодших школярів, у тому числі вчитель початкової школи не може одержати вичерпну інформацію про відомі стародавні головоломки, що особливо цікавлять учнів 1 - 4 класів.

Однак у деяких виданнях (зокрема у підручнику з математики під редакцією Л. Р.Петерсона) можна зустріти досить багато стародавніх цікавих завдань, досліджуваних у різних класах, практично зі всіх тем.

Проаналізуємо деякі зі старовинних завдань:

«Вовк, коза і капуста» - старовинна задача, якій понад 1200 років. Вона звучить так: «Якийсь чоловік повинен у човні перевезти через річку вовка, козу і капусту. У човні може поміститися чоловік, і з ним чи вовк, чи коза, чи капуста. Але коли лишити вовка з козою, то вовк з'їсть козу. Якщо залишити козу з капустою, то коза з'їсть капусту. Коли присутній чоловік «ніхто нікого не їсть». Чоловік усе ж перевіз свою ношу через річку. Як він це зробив?».

У праці Є. І. Ігнатьєва «У царстві кмітливості, чи Арифметика всім: Досвід математичної хрестоматії: Книжка родині» приведено одне із найбільш чудових логічних завдань історії людства: «Завдання 52-ге. Вовк, коза і капуста».

Навіть якщо наведене завдання вам знайоме, не поспішайте читати розв’язок, спробуйте, немов уперше, пошукати оптимальний маршрут і лише для того ознайомтеся із етапами розв’язку, запропонованим Є. І. Ігнатьєвим.

Цей хід розв’язку можна використовувати у початковій школі із використанням ілюстративного матеріалу, що підвищить ефективність розвитку пізнавальної активності молодших школярів.

Розв’язок: Зрозуміло, що доводиться розпочати з кози. Селянин, перевізши козу, повертається по вовка, якого перевозить на інший берег, де його й залишає, зате бере і везе назад на перший берег козу. Ось він залишає її й перевозить до вовка капусту. Потім, повернувшись, він перевозить козу, і переправа закінчується благополучно».

Це завдання незліченну кількість раз публікувалася в найрізноманітніших вітчизняних газетах, часописах Nature і збірниках. У всіх працях згадується лише один розв’язок. Але є й альтернативний шлях! І, можливо діти почнуть саме від нього, коли побачать ілюстрації (Додаток А).

Спочатку селянин знову-таки перевозить козу. Але не обов'язково має забирати вовка! Можна взяти капусту, відвезти на інший берег, залишити та повернути на перший берег козу. Потім перевезти на інший берег вовка, повернутися за козою і знову відвезти на інший берег. І тут кількість рейсів (7) точно така ж, як й у опублікованому вище варіанті.

Існування двох рішень не зазначено ні в багатократних перевиданнях книжки Є. І. Ігнатьєва, ні в інших найавторитетніших джерелах. У тому числі: Е.Г. Люкас «Математичні розваги: Додаток арифметики, геометрії і алгебри до різноманітних заплутаних питань, забав і ігор», М. М.Аменицкий, І. П. Сахаров «Цікава арифметика: Хрестоматія у розвитку кмітливості і самодіяльності дітей у сім'ї та у школі», У. Арені «Математичні ігри та інші розваги», Б. А.Кордемский «Математична кмітливість» та інші збірники.

Особливо дивно, що наявність двох рішень була зазначена, приміром, ще на початку 20-х рр. ХХ століття у книзі У. Литцмана «Веселе і кумедне в постатях і числах: Математичні розваги», причому досить докладно. Певне, багато видавців вважало необов'язковим приводити обидва варіанти, якщо вони схожі, і є власне «дзеркальними». Однак у книзі для дітей, особливо молодшого віку, це потрібно, інакше піддається суттєвому зниженню педагогічна цінність завдання!

Цікаво, що Б. А.Кордемский у вирішенні зазначає лише другий варіант і з якихось причин не згадує перший.

Дуже цікавим є питання часу виникнення даної головоломки і її першоджерела. Б.А. Кордемский у книзі «Математична кмітливість» каже мимохідь: «Це... стародавнє завдання; є у творах VIII століття».

Спочатку схоже, що ми маємо справу з помилкою, адже перша чи одна з перших вітчизняних публікацій завдання «Вовк, коза і капуста» датована кінцем XVIII століття. У фондах Російської Історичної бібліотеки збереглася книга «Загадкова арифметика для забави і задоволення». На титулі значиться: «Наіжд. вид. І.Краснопольського», що означає «видавця І.Краснопольского». В раритеті на 62 сторінках сорок одне цікаве завдання. На сторінці 42- 43 перебуває вказане завдання.

Далі наводиться один варіант вирішення даної задачі (перший).

Цікаво, що у посібнику болгарських авторів «Математичний фольклор» завдання про вовка, козу й капусту вміщено в розділ «З математичного фольклору інших країн» із позначкою в дужках «Росія».

Повернімося до своєї історії завдання й питання: чи правий Б.А.Кордемский, який датував завдання восьмим століттям.

На думку ряду істориків, завдання має західне коріння. У. Арені вказує, що авторство хрестоматійного завдання приписується Алкуину.

У.Литцман, пропонуючи читачам ознайомитися з завданням про переправу у книзі «Веселе і кумедне у числах і постатях», мимохідь пише: «У Алкуина ми бачимо наступну розповідь».

Алкуин (735-804) був ученим ченцем і математиком з Ірландії, автором низки підручників з математики. Король Карл Великий сприяв вченим та всіляко заохочував розвиток наук. За королівським круглим столом нерідко проводилися змагання на вирішення хитромудрих головоломок, у яких Алкуин мав можливість виявити свої неабиякі здібності.

Алкуин заснував Палатинську школу в Туре (створену для дітей Карла V), брав участь у будівництві університету у Парижі. Додамо, що Алкуин був ще й учителем Карла Великого, його ученим радником.

Серед інших головоломок Алкуина найбільшу популярність отримали завдання

) про гончу і зайця,

) про купівлю свиней,

) про трьох наступників і 21 бочку,

) про сто гектарів пшениці,

) про бика.

Але тільки головоломка про вовка, козу й капусту досі вражає і дітей, і дорослих. Цю та інші завдання Алкуин помістив у своєму трактаті «Завдання для відточування розуму молоді», написаний, як було тоді, латиницею.

Ви вже у кількох виданнях при поясненні вирішення цієї головоломки автори роблять ту ж помилку. Розкриємо на с. 244 посібник Є. А.Латия «365 ігор і викрутасів для дітей», де запропоноване рішення настільки фантастично, що його треба відтворити дослівно: «Розгадка: спочатку везуть вовка і капусту, залишають капусту на протилежному березі; везуть вовка і залишають на першому березі; забирають козу, переправляють на інший берег; там забирають капусту, везуть назад до вовка і вже разом їх остаточно перевозять на інший берег».

Якби вовка і капусту можна було везти в човні одночасно, то переправа завершилася б набагато швидше, ніж зазначено Є. А.Латиєм (але в умові завдання їх не можна переправляти разом!) Так, ще не всі таємниці чудовою завдання розгадані, і не виключено, що лукава усмішка Алкуина переслідуватиме не одне покоління авторів, укладачів та читачів.

Із завдань з однаковими цифрами

Перше згадування про подібні завдання можна знайти у вітчизняній книзі «Цікаві і розважальні завдання, видані Іваном Буттером». Символічно, що спільна кількість завдань збірника є число, що складається з однакових цифр: 111.

У 1844 році книга І.Буттера, куди входять самі 111 кумедних головоломок, була перевидана. У посібниках ХІХ століття, написаних іншими вітчизняними авторами, аналогічних завдань нам поки знайти не вдалося.

З іноземних авторів глибоко досліджував завдання з цифрами Р.Еге Дьюдені. У його книзі «520 головоломок» він зазначає:

«Мене постійно запитують про стару головоломку «Чотири четвірки». Я опублікував її у 1899р. Формулюється головоломка так: «Знайти всі можливі числа, які можна скласти з чотирьох четвірок (не більше і не менше) з допомогою різних арифметичних знаків».

Наприклад, число 17 можна так: 4 - 4 + 4 : 4 тощо. Так можна записати всі числа до 112 включно, використовуючи лише знаки додавання, віднімання, множення,ділення.

У задачі «Двадцять чотири» Р. Еге Дьюдені вказує: «У одній книзі було написано: «Запишіть число 24 з допомогою трьох однакових цифр, відмінних 8».

Саме там наводиться відповідь:

+ 2 = 24.

Тепер найцікавіші завдання з цифрами опубліковані у вітчизняних виданнях ХХ століття. Найбільш суттєвою працею початку уже минулого століття став трьохтомник Є. І. Ігнатьєва «У царстві кмітливості, чи Арифметика всім: Досвід математичної хрестоматії: Книжка родині».

У «Книзі 2» завданням з цифрами відведено цілий розділ, під назвою «Новий рід завдань». У ньому наведено п'ять головоломок, що з тих часів переходять із збірника до збірника. Знову цитуємо Є. І. Ігнатьєва:

«Завдання 47-ме. Написати 2 трьома п’ятірками». Одна з двох відповідей: (5 + 5): 5.

«Завдання 48-ме. Написати 5 трьома п’ятірками».

З десятьох відповідей дві відповідають аналізованій тематиці:

+ 5 - 5 і 5 * (5 : 5).

До відповідей Є. І. Ігнатьєва можна додати також таке рішення:

: (5 : 5) та 5 - (5 - 5).

«Завдання 49-те. Написати 31 п'ятьма трійками.

Це завдання набагато складніше за попередні. Зазвичай вважають, що вона має всього три рішення». Серед запропонованих відповідей:

- 3 + 3 : 3 та 33 - (3 + 3) : 3.

Хоча Є. І. Ігнатьєв і назвав розділ «Новий рід завдань», він визнав, що «Завдання 49» було відоме раніше. Цікаво, вітчизняних чи зарубіжних попередників мав на увазі автор? В багатьох інших працях вітчизняних математиків кінця XIX - початку XX століть завдання з цифрами не згадуються. Наприклад, у книжках З. А.Рачинского «1001 мета розумового рахунку: Посібник для вчителів сільських шкіл», Д. М. Горячова, А.М.Воронца «Завдання, і питання софізми для любителів математики».

Невдовзі після виходу книжок Є. І. Ігнатьєва «головоломки з цифрами» світ побачило чимало посібників багатьох авторів, і укладачів. У тому числі М. М.Аменицкий і І.П. Сахаров, котрі написали книжку «Цікава арифметика: Хрестоматія для розвитку кмітливості і самодіяльності дітей у сім'ї та у школі». Якщо у першому виданні хрестоматії завдання з цифрами були відсутні, то вже у наступній - розширеній, яка вийшла трьох випусках вони з'явились. Наведемо цифрові головоломки щодо третього видання, яке не відрізняється від другого:

. а) Постарайтеся зобразити число 31 з допомогою шести (чи п'яти) трійок.

б) Зобразіть число 100 з допомогою чотирьох однакових цифр. От які відповіді дано у цій книжці:

. а) 3 • 3 • 3 + 3 + 3 : 3; 33 - 3 + 3 : 3 і 33 - (3 + 3): 3.

б) 99 + 9 : 9.

Зверніть увагу, що у завданні 10.а), на відміну книжки Є. І. Ігнатьєва, потрібно зобразити число 31 п'ятьма чи шістьма трійками, а у відповіді на головоломку 10. б), на відміну книжки І.Буттера, після числа 99 стоїть знак «плюс».

Завдання з трьохтомника Є. І. Ігнатьєва використовував й О. У.Сатаров в чотирьох брошурах, які вийшли під загальним назвою «Жива арифметика під час дозвілля: Посібнику сім'ї та школі для розвитку кмітливості у дітей». У «Книзі другій» автор помістив три завдання з цифрами:

«14. Напишіть 2 трьома п’ятірками.

. Напишіть 5 трьома п’ятірками;

. Як зобразити 31 п'ятьма трійками?»

У «Книзі третій» А.В.Сатаров навів ще одне завдання:

«Напишіть число 100 чотирма однаковими цифрами».

При цьому, і А. У.Сатаров, і М. М.Аменицкий з І. П. Сахаров у відповідях використовували лише дії додавання, віднімання, множення і ділення.

З головоломок з цифрами, що не повторюються

Завдання з цифрами, що не повторюються зустрічаємо в чудовому вітчизняному трьохтомнику Є. І. Ігнатьєва «У царстві кмітливості, чи Арифметика всім: Досвід математичної хрестоматії: Книжка родині». У «Книзі 1» наведено:

«Завдання 32-ге: Написати число 100 у вигляді дев'яти різних цифр».

+ 8 + 4 + 3 = 71 + 29 = 100».

Тут Є. І. Ігнатьєв роз'яснює: «Як кажуть, в передостанньому рішенні допущений певний «фокус». Спочатку з 6 різних цифр складено три числа, дають у сумі 98 - число, знов-таки складене з цих двох нових цифр, і щодо нього додається число, якому бракує цифри 2. В сумі виходить число 100. Подібно ж складено і останнє рішення».

Цікаво, майже ті ж самі завдання наводить І. Я. Герд в «Збірнику ігор й корисних занять для дітей різного віку із передмовою для батьків і вихователів», розділ «Завдання»:

«17. Складіть з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 такі числа, аби додаючи їх отримати рівно 100».

Причому у відповіді наводиться лише одна відповідь, трохи відмінна від зазначених Є. І. Ігнатьєвим:

+ 36 + 47 - 98 + 2=100.

Неважко знайти й інші відповіді з «фокусом» крім тих, що є в посібниках Є. І. Ігнатьєва і І.Я. Герда:

+ 10 + 6 + 5 + 4 = 98 + 2 = 100;

+ 16 + 3 + 4 + 5 = 98 + 2 = 100;

+ 8 + 4 + 6 = 71 + 29 = 100;

+ 37+ 16 = 98 + 2 = 100;

+ 3 + 4 + 6 = 71 + 29 =100;

+ 36 + 15 = 98 + 2 = 100 тощо.

Ще раніше головоломку про 100 навів класик цікавої математики американець З.Лойд, у книзі «Математична мозаїка».

Як бачимо, відповіді головоломки з книжок Є. І. Ігнатьєва і З.Лойда або дуже складні, або повністю коректні.

Цілям книжки І.Г. Сухіна «Цікаві матеріали» більше відповідає завдання, яке навів А. У.Сатаров в чотирьохтомнику «Жива арифметика під час дозвілля: Посібник у сім'ї та школі для розвитку кмітливості у дітей». У «Книзі другій» він опублікував таке завдання: «11. Складіть із перших семи цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 такі чотири числа, щоб за їх додавання одержати рівно 100; брати якусь цифру двічі чи тричі не можна. Відповідь: числа, що задовольняють умову завдання, такі: 2, 15, 36, 47. Справді: 2 + 15 + 36 + 47 = 100. Можливі й інші рішення, наприклад: 2 + 17 + 35 + 46 = 100». У цього завдання дуже багато відповідей. Ось ще деякі:

+ 12 + 37 + 46;

+ 15 + 32 + 47;

+ 16 + 35 + 42.

Вочевидь, що деякі відповіді легко отримати перестановкою цифр в доданках (замість 35 + 42 написати 32 + 45 тощо).

Із завдань про переливання рідин

Практично ні один класичний збірник, пов'язаний з іграми й іншими розвагами, не обходиться без розділу «Ділення», причому помітне місце у ньому займають завдання про переливання рідин із посудини у посудину (Додаток Б).

На жаль, більшість подібних стародавніх головоломок складні, і тому не підходять для початковій школи. Як не дивно, але у вітчизняних навчальних посібниках багато порівняно простих завдань даного класу. Адже підлягає сумніву, що вони допоможуть дітям у цікавій формі швидше освоїти дії додавання, віднімання і попрактикуватися в комбінаториці.

Знаходимо лише одне доступне дітям молодшого шкільного віку завдання у посібнику для вчителів М. Б. Балка «Організація і зміст позакласних занять із математики»:

«Маючи 2 бідона на 4 і 5л, чи можна налити з водогінного крана в відро 3 л. води? Відповідь: можна».

Найшвидшим шляхом завдання вирішується так: Заповнюється водою чотирилітровий бідон, потім вода переливається в п’ятилітровий, знову вода догори наливається в меншу ємність, і з меншої 1 л відливається у велику. У результаті у чотирилітровому бідоні буде 3 літри води.

Ще дві «водяні» головоломки наводяться в розділі «Задачі-смикалки» посібники для вчителів 1-11 класів А. А.Свєчнікова і П. І. Сорокіна «Числа, постаті, завдання для позакласної роботі»:

«111. Як набрати з водогону 6л води, користуючись дволітровою банкою і чайником, куди входить 5л?

Розв’язання: Наливаємо двічі по 2 л і переливаємо в чайник, потім вкотре наливаємо у дволітрову банку. Відливаємо у п’ятилітрову 1 л. і 1 л. лишається.

. Як маючи банку місткістю 4 л і бідон - 9 л, набрати з річки точно 7 л води?»

Оптимальне вирішення завдання у посібнику не дається. Ось воно: Двічі заповнюємо банку водою і переливаємо по 4 л води з банки в бідон, знову наповнюємо банку і додаємо 1 л з неї у бідон, після цього є всі 9 л води. Виливаємо із бідона воду і переливаємо у бідон 3 л, знову заповнюємо чотирилітрову банку водою з річки й отримуємо необхідні (сумарні)

л = 3л + 4л.

Непросто визначити, що саме у старовинному трактаті вперше з'явилися завдання на переливання рідин, які можна використовувати щодо теми «Величини» у початковій школі. Мабуть, найвідоміша з них опублікована більш як сім століть тому. Ознайомимось із нею:

«Пан послав свого слугу у найближче місто купити 8 літрів вина. Коли слуга, виконавши доручення, збирався додому, йому зустрівся інший слуга, якого пан теж послав за вином. «Скільки в тебе вина?» - запитує другий слуга. «8 літрів», - відповідає хлопчик. «Мені також потрібно купити вина». «Ти уже не одержиш, позаяк у місті більше вина немає», - заявляє перший. Тоді другий слуга просить його ділитися із ним вином і він має дві посудини, 5л. і 3л. Як поділити вино за допомогою цих посудин?».

Наведемо хід найкоротшого вирішення, що включає 7 операцій переливання, позначивши «трилітрову» посудину - першою, «п’ятилітрову» назвемо другою, а «восьмилітрову» - третьою.

Отже: 1. З третьої у другу відливаємо 5 л.

. З другої у 3 л.

. З першої у третю переливаємо 3 л.

. З другої 2 л.

. З третьої у другу - 5 л.

. З другої - 1 літру.

. З першої у третю - 3 л.

У результаті в другій і третій посудинах виходить по 4 л. вина. Широкої популярності це завдання отримало після публікації двома виданнями творів Д.Баше «Ігри й завдання, засновані на математиці». На російській мові книга К.Баше була видана лише у19-му столітті, та й у скороченому вигляді.

Безумовно, і по 1877 року завдання про посудини зустрічалися на сторінках вітчизняних книжок. Зазначену головоломку зустрічаємо у «Загадковій арифметиці для забави і задоволення». Завдання №24 має такий вигляд:

«Посудина, наповнена вісьмома кухлями вина, розлити на рівні частини по посудинах, з яких у одну входить 5 кухлів вина, а в іншу 3».

Це можна включати під час введення поняття «дії».

Трохи пізніше у книзі «Бібліотека вчених, економічна, повчальна, історична і розважальна на користь і задоволення будь-якого читача: Частина I» у розділі «Математичні і обов'язкові фізичні звеселяння на стор. 261 читаємо:

«Хтось, маючи посудину, наповнену 8 глеками хорошого вина...» тощо.

Це завдання є і книзі І.Буттера «Цікаві і розважальні завдання, видані Іваном Буттером». Ускладнені варіанти головоломки знаходимо у завданнях №№18-22.

Можливо у школі навчається майбутній видатний математик і з часом він запропонує своє вирішення цих головоломок.

Отже, видно наскільки довгим і тернистим був шлях багатьох завдань поки вони сягнули нашого часу. І кропіткою і трудомісткою була праця тих осіб, тих учених, які шукали нові більш раціональні способи розв’язку цих завдань, які безсумнівно активізують діяльність дітей у процесі їх вирішення.

З вищенаведених прикладів завдань історико-математичного характеру можна дійти висновку, що історичні завдання нині використовують як логічні завдання. Завдання з історичним змістом діляться на типові стандартні і нестандартні, які можна використовувати під час уроків щодо різних тем, які стосуються величин, математичних понять та способів арифметичних дій.

.3 ФОРМИ ОРГАНІЗАЦІЇ ЗАНЯТЬ ІЗ ВИКОРИСТАННЯМ ІСТОРИЧНОГО МАТЕРІАЛУ

Одна із можливостей формування творчого мислення учнів - розвиток їх пізнавальних здібностей. Істотним педагогічним засобом, спрямованим на розвиток внутрішньої потреби інтелектуального зростання, є використання пізнавальних завдань. Завдання вчителя полягає у тому, щоб з допомогою пізнавальних завдань передбачити хід мисленнєвої діяльності учнів, яка б привела їх до самостійних висновків, узагальнень і відкриттів. Велику роль у розвитку школярів відіграють пізнавальні завдання історичного характеру.

Завдання цього виду мають дві мети: методологічну і педагогічну: встановлення діалектичного взаємозв'язку між історією країни й краю, розкриття причинно-наслідкових зв'язків, закономірностей історичного процесу, поглиблення, розширення, конкретизація, повторення закріплення завдань із предмета. З іншого боку ці завдання є засобом для активізації пізнавальної діяльності, сприяють встановленню взаємозв’язків навчальної і позанавчальної роботи та прилученню учнів до творчої праці. Ознайомлення з історією науки впливає на більш глибоке засвоєння основних наукових понять і дає можливість правильно формулювати ставлення до діалектики процесу пізнання, закономірностей розвитку математичної науки й емоційно налаштовує учнів на позитивне сприйняття культурної спадщини.

Щоб вчитель міг використовувати у своїй роботі завдання історико-математичного характеру, він повинен володіти науковими знаннями історичного матеріалу і вміннями включати історичний матеріал в тему уроку.

Знання минулого науки дозволяє у концентрованому вигляді отримувати уявлення про формування наукових понять, виникнення наукових ідей, створення методів дослідження. Про значення історії науки говорив ще Г.Лейбніц: «Дуже корисно знати справжнє походження чудових відкриттів, особливо таких, що зроблені невипадково, а силою думки. Це приносить користь і тим, що спонукає інших домагатися похвал, і тим, що пізнання методу на прикладах видатних людей веде до розвитку мистецтва відкриття».

Б.Гнєденко, розвиваючи цю думку зазначав, що історія науки - це факел, який висвітлює для нових поколінь шлях подальшого розвитку та передає їм священний вогонь Птоломея, що штовхає їх у нові відкриття, на вічний пошук, пізнання навколишнього світу, включаючи їх самих.

Історія науки у шкільництві потрібна для реалізації найважливіших цілей навчання: формування діалектико-матеріалістичного світогляду, наукового і теоретичного мислення, емоційно-мотиваційної сфери, і системи цінностей учнів. Формування зазначених властивостей особистості служить ще й засобом глибокого засвоєння науки, розвитку та виховання школярів. Історія науки у єдності з матеріалом, та логікою предмета показує науку як діяльність на макро- і мікрорівні: історичний процес розвитку науки й процес окремого відкриття. Історія математики є частиною всього розвитку людської культури. Історія математики як математична дисципліна включає в себе:

факти, накопичені у ході її розвитку;

гіпотези, тобто засновані на фактах наукові припущення, котрі піддаються надалі перевірці досвідом;

методологія, тобто загальнотеоретичні тлумачення математичних знаків і теорій, що характеризують загальний підхід до вивчення предмета «Математика».

Предметом вивчення є з'ясування того, як відбувається розвиток елементів математики в історичному періоді, що вивчається, і куди він веде. Відповідно до цього на історію математики покладається вирішення великого кола завдань.

Щоб підготувати вчителів для використання пізнавальних завдань історико-математичного характеру, необхідна організація спеціальних занять. Вони покликані допомогти вчителю поглибити знання з історії математики навчити його працювати з історичним матеріалом у початковій школі. І тому використовуються заняття, завдання яких:

вивчити математичну культуру і її розвиток в різних народів та націй;

розкрити основні закономірності розвитку математики;

знайомство з життєписом і з науковою діяльністю вчених-математиків;

визначити зміст, обсяг історичних відомостей, у шкільному курсі математики;

навчити студентів та вчителів основних принципів відбору матеріалу з історії математики, який можна використовувати під час уроків і у позакласній роботі;

сформувати технологію використання елементів історії математики у процесі навчання.

Наприклад покажемо загальний план підготовки до уроків, у яких є можливість вільно використовувати історичний матеріал для активації пізнавальної діяльності школярів:

визначити місце історичного матеріалу щодо теми;

встановити, з якими елементами цієї теми чи групи тем припустимо зв'язати використання історичного матеріалу;

визначити місце історичного матеріалу в уроці, зокрема можливість використання його на протязі всього уроку чи фрагментарно;

відібрати ті відомості, які можна використати найбільш результативно на цьому уроці;

намітити позакласні заняття, у яких може бути повніше обговорено це питання.

Проаналізуємо форми включення історико-математичного матеріалу. До них належать:

На уроках:

історичні відступу на уроці (розмова 2-10 хвилин);

повідомлення історичних відомостей, органічно поєднаних з програмним матеріалом;

спеціальні уроки з історії математики.

На позакласних заняттях:

математичні гуртки;

історико-математичні вечори;

стінна газета;

позакласне читання;

домашній твір;

складання альбомів і альманахів;

робота зі збору «народної математики»;

повідомлення вчителя, або учнів на класних зборах;

розмови, лекції, доповіді вчителя, або запрошених науковців;

перегляд спеціальних науково-історичних кінофільмів і діапозитивів.

Виділимо основні засади, у яких будуються пізнавальні завдання історико-математичного характеру. Ними є:

охоплення основних тем шкільного курсу математики;

актуальність теми для історії краю чи країни;

розкриття загальних закономірностей в історичному розвитку науки, особливостей у розвитку вітчизняної математики;

розмаїтість пізнавальних завдань за формами і змістом, за рівнем складності;

враховувати інтереси учнів.

Використання пізнавальних завдань призводить до позитивних результатів тоді, коли має місце:

систематична постановка завдань;

поступове і послідовне їхнє ускладнення;

усвідомлення учнями ролі й значення завдань у розвитку їх пізнавальних здібностей;

максимальне наближення завдань до потреб і основних тенденцій інтелектуального розвитку учнів.

Розглянемо вимоги до розробки системи пізнавальних завдань історичного характеру. До них належать:

глибока науковість матеріалу завдань;

органічність зв'язку з програмою з математики;

спрямованість завдань на отримання нових знань, на повторення чи закріплення умінь і навиків, використання різних джерел отримання та методів дослідження;

завдання мають носити проблемний характер, орієнтувати на самостійний пошук, дослідження і викликати підвищений інтерес.

Важливу роль у навчанні математики відіграє використання історичного матеріалу, який підвищує інтерес до вивчення математики, стимулює потяг до наукової творчості, пробуджує критичне ставлення до фактів, дає учням уявлення про математику як невід’ємну складову загальнолюдської культури. На дохідливих змістовних прикладах слід показувати учням, як розвивалися математичні поняття і відношення, теорії й методи.

Ознайомлювати учнів з іменами та біографіями видатних вчених, які створювали математику, зокрема видатних українських математиків, що сприятиме національному і патріотичному вихованню (Додаток В).

РОЗДІЛ ІІ. ДОСЛІДЖЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ВИКОРИСТАННЯ ВІДОМОСТЕЙ З ІСТОРІЇ МАТЕМАТИКИ ЯК ЗАСОБУ ФОРМУВАННЯ МОТИВАЦІЇ

.1 АНАЛІЗ МЕТОДИЧНОЇ ЛІТЕРАТУРИ ІЗ ПРОБЛЕМИ ДОСЛІДЖЕННЯ

Використання під час уроків і позакласних занять із математики елементів з її історії є не лише ефективним засобом розвитку інтересу учнів до предмета, але й має пізнавальне і виховне значення.

Проте висвітлювати історію розвитку математики у перших класах під час уроків неможливо. Можна повідомляти лише деякі дані з історії математики. Одне з ефективних методів проведення такої роботи - розв’язування під час уроків чи позакласних занять стародавніх завдань.

У величезному світі посібників для вчителів початкових класів багато оригінальних матеріалів історичного характеру, вкладено у формування інтересу дітей та розвитку їх пізнавальної активності. Проаналізуємо окремі.

Книга І.Г. Сухіна «Цікаві матеріали», заповнює цю прикру прогалину. Тут можна знайти безліч цікавих математичних завдань, що мають нові рішення. У тому числі: завдання з додатковими умовами і підказками, головоломки з цифрами, що не повторюються, старовинні математичні фокуси й багато іншого (Додаток Г). До кожного з чотирьох класів початкової школи наведено відповідні завдання. Проте автор цієї книжки не скував ініціативу вчителів, тому форми використання публікованих завдань можуть бути дуже різноманітними.

Наступну книга «Давні цікаві завдання» під редакцією Олесник С., Нестеренко Ю.В., Потапова М.К. у ній зібрано 170 цікавих завдань, від рукописів і мудрих книжок, опублікованих до 1800-го року (Додаток Д). Книжка розділена на три частини. У першу частину ввійшли завдання з рукописів і з оповідання Л.Ф. Магницького «Арифметика». У другу частину - завдання з підручників, опублікованих у Росії після ухвалення книжки Магницького, але до 1800-го року. У третю частину - завдання з книжок (протягом останнього десятиліття XVIII століття), повністю або значною мірою присвячених цікавим завданням.

Кожна частина складається з розділів. Розділи всередині частини перебувають у порядку зростання труднощів.

Багато завдань піддавалися стилістичній обробці.

У змісті після назви кожного завдання в дужках вказані два числа: перше - номер сторінки книжки, де наведено текст завдання, друге - номер сторінки, у якому наведено його виконання.

Зазвичай, завдання вирішуються з допомогою мінімальних відомостей з арифметики, алгебри і геометрії, але вимагають кмітливості й уміння логічно мислити. І це знаменита книга В.Д. Чистикова «Давні завдання елементарної математики» - це збірник стародавніх завдань, до складу якого увійшли завдання Вавилона, Єгипту, Греції, Китаю, Індії, арабські і російські завдання, і навіть завдання Західної Європи. Вона складається з двох частин: перша - тексти завдань, друга - історичні екскурси, рішення і вказівки. Усі історичні відомості рішення стародавніх завдань подають у модернізованому вигляді із використанням загальноприйнятої символіки. Книжка може бути корисною вчителю та учням. Більшість завдань зібраних у цих книгах оригінальні, але окремі загальновідомі і тому, щонайменше, є методичної базою для вчителя початковій школи. Ці завдання, дозволяють піднести зацікавленість Україною. Вирішення завдань молодшими школярами, змусять проявити їх інтелектуальний рівень.

.2 ВИКОРИСТАННЯ ІСТОРИЧНИХ ЗАДАЧ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ У ПОЧАТКОВІЙ ШКОЛІ

Важливим засобом формування загальної культури у школярів та активізації навчання математики є ефективна організація і керування навчальною діяльністю школярів у процесі розв’язання різноманітних задач, у тому числі історичних.

Історичні задачі - це задачі, збережені історією, що передаються від покоління до покоління. Це задачі з давніх історичних пам'яток, створені відомими математиками або іншими історичними постатями, з давніх підручників і трактатів, журналів та інших друкованих джерел, а також задачі з математичних фольклорів різних народів. Багато задач, які дійшли до нас із сивої давнини, цікаві не стільки в математичному, скільки в історичному розумінні: вони дають можливість сучасникам оцінити рівень розвитку математики в різні часи [1].

Математичні задачі, збережені для нас історією, дають можливість учням отримати додаткову теоретичну інформацію, допомагають з'ясувати роль і місце математики в практичній діяльності людей, пробуджують інтерес та любов до предмета, потяг до самостійної творчості, прояв ініціативи і кмітливості, критичного ставлення до нових фактів. Ряд задач сприяють естетичному вихованню учнів, дають можливість учителю врахувати інтереси і нахили окремих учнів, здійснювати диференційований підхід до навчання. Під час розв'язування таких задач буде доречним проведення невеликих історичних екскурсів.

Окрім того, у процесі розв’язання математичних задач з історичним контентом в учнів природнім чином можуть бути сформовані якості, що властиві творчій особистості.

Історичні задачі були поставлені потребами практики і розв'язувалися ще 2000 років до нашої ери, про що свідчать тексти єгипетських папірусів. Подальший розвиток математики стимулював розв'язування абстрактних задач.

Історія математики має переважно гуманітарний характер: «Математику робили живі люди зі своїми характерами, нахилами, уподобаннями, здібностями, можливостями, кругозором, світосприйняттям; математика творилась не за зачиненими дверима» [3]. Тому, використовуючи історичні задачі, ми відтворюємо історичний і культурологічний фон епохи, зв’язки математики з конкретними практичними потребами певної епохи і країни, зв’язки математики з розвитком інших наук, зокрема, з гуманітарними науками, з економікою, із соціальною структурою суспільства, які мали і мають значний вплив на розвиток науки, мистецтва, духовного життя. Аналіз навчально-методичної літератури показує, що історичні задачі відрізняються від звичайних задач, до яких звикли учні. Різницю можна спостерігати у формулюванні умови і питання задачі, у характері даних до задачі значень величин, у виборі можливого підходу до розв’язання задачі і т. ін.

Крім того, розв’язуючи історичні задачі, учні зустрічаються з невідомими для них поняттями - стародавніми одиницями виміру тощо, які зараз не використовуються тому, що світ бачиться крізь призму шкільних підручників, він чітко детермінований і в ньому нема місця тій історичній спадщині, що, крім усього, виявляє внесок окремих народів і вчених у певні епохи. Буває, що пошук розв’язування історичної задачі викликає серед учнів великі труднощі, і це не дивно, бо деякі задачі відображають шлях, пройдений людством за великий проміжок часу, іноді довжиною у людське життя. Вашій увазі пропонуємо ряд історичних задач, які можуть на практиці задовольнити потребу у формуванні й розвитку загальнокультурної компетентності учнів. Більшість задач мають електронний супровід, що надає їм інтерактивності та полегшує їх розуміння.

Під час проходження практики у Луцькій ЗОШ №15 І-ІІІ ступеня я використовувала велику кількість історичних задач. Проаналізуємо деякі з них:

Задачі, які розв’язуються по діях

Задача з "Курсу чистої математики" Войтяхівського

Послано чоловіка з Москви до Вологди, і звеліли йому проходити кожен день по 40 верст. Наступного дня навздогін йому послано другого чоловіка, і наказано йому проходити в день по 45 верст. На який день другий посланець наздожене першого?

Розв’язання. Оскільки перший вийшов на день раніше і пройшов 40 верст, то другому треба нагнати ці 40 верст.

:(45-40) = 8 днів.

Відповідь. За 8 днів другий посланець наздожене першого.

Задача з «Азбуки» Л.М.Толстого

П'ятеро братів розділили між собою спадщину батька порівну. У спадщині було три будинки. Три будинки не можна було ділити, їх взяли старші три брати. Кожен із старших заплатив по 800 рублів меншим. Менші розділили ці гроші між собою, і тоді у всіх п'яти братів стало порівну. Чи багато коштували будинки?

Розв’язання. 800×3=2400 (руб.) - заплатили двом меншим братам;

:2=1200 (руб.) - одержав кожен у спадщину;

×5:3=2000 (руб.) - коштував будинок.

Відповідь. 2000 руб. - коштував будинок.

Задача з "Курсу чистої математики" Войтяхівського

Собака побачив на відстані 150 сажнів зайця. Заєць пробігає за 2 хвилини 500 сажнів, а собака за 5 хвилин 1300 сажнів. За який час собака наздожене зайця?

Розв’язання. 500:2=250 (сажнів/хв.) - швидкість зайця,

:5=260 (сажнів/хв.) - швидкість собаки,

:(260-250)=15 (хвилин).

Відповідь. Через 15 хвилин собака наздожене зайця.

Задача з"Арифметики" Л.Ф. Магницького

Каже дід онукам: «Ось вам 130 горіхів. Розділіть їх на 2 частини так, щоб менша частина, збільшена у 4 рази, дорівнювала б більшій частині, зменшеній у 3 рази». Як розділити горіхи?

Розв’язання. Зменшивши втричі кількість горіхів у більшій частині, ми отримаємо їх стільки ж, як у чотирьох менших частинах. Отже, більша частина повинна містити в 3×4=12 разів більше горіхів, ніж менша, а загальне число горіхів має бути в 13 разів більше, ніж у меншій. Тому менша частина повинна містити 130:13=10 горіхів, а більша 130-10=120 горіхів.

Відповідь. 10 і 120 горіхів.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького. Селяни і картопля

Йшли троє селян і зайшли на заїжджий двір відпочити й пообідати. Замовили господині зварити картоплю, а самі заснули. Господиня зварила картоплю, але не стала будити постояльців, а поставила миску з їжею на стіл і пішла. Прокинувся перший селянин, побачив картоплю і, щоб не будити товаришів, порахував картоплю, з'їв свою частку і знову заснув. Незабаром прокинувся другий, йому невтямки було, що один із товаришів уже з'їв свою частку, тому він, порахувавши всю картоплю, з'їв третю частину і знову заснув. Після цього прокинувся третій. Вважаючи, що він прокинувся першим, він порахував картоплю, що залишилась у мисці, і з'їв третю частину. Тут прокинулися його товариші і побачили, що в мисці залишилося 8 картоплин. Порахуйте, скільки картоплин подала на стіл господиня, скільки з'їли вже і скільки має ще з'їсти кожен, щоб усім дісталося порівну.

Розв’язання. Маємо

) 8׳/₂=12 - залишок після другого;

)12׳/₂=18 - залишок після першого;

) 18׳/₂=27- початкове число.

Відповідь. Усього було подано на стіл 27 картоплин. Кожен повинен був з'їсти по 9 картоплин, перший з'їв свою частку, другому залишилося з'їсти 3 картоплини, а третій повинен з'їсти ще 5 картоплин.

Задача Л. Керрола

Є 5 мішків. Перший і п'ятий мішки разом важать 12 фунтів, другий і третій - 13,5 фунтів, третій і четвертий - 11,5 фунтів, четвертий і п'ятий - 8 фунтів, перший, третій і п'ятий - 16 фунтів. Потрібно дізнатися, скільки важить кожен мішок.

Розв’язання. Сума результатів усіх 5 зважувань дорівнює 61 фунт, при цьому вага третього мішка входить у 61 фунт тричі, а вага інших мішків лише двічі. Віднімаючи від 61 фунта подвоєну суму результатів першого та четвертого зважувань, отримуємо, що потроєна вага 3-го мішка дорівнює 21 фунт. Отже, вага 3-го мішка дорівнює 7 фунтам. З результатів 2 і 3 зважувань знаходимо вагу 2 і 4 мішків; другий мішок важить 6,5 фунтів, четвертий - 4,5. Потім вирахуємо, що 5 мішок важить 5, 5 фунтів, 1 мішок - 3,5 фунта.

Відповідь. Вага 1-го мішка 3,5 фунтів, 2-го - 6,5 фунтів, 3-го - 7 фунтів, 4-го - 4,5 фунтів, 5-го - 5, 5 фунтів.

Задача Ісаака Ньютона

Двоє листонош - А і В, яких розділяє відстань у 59 миль, виїжджають вранці назустріч один одному. Листоноша А проїжджає за 2 години 7 миль, а листоноша В - за 3 години 8 миль, при цьому B вирушає у дорогу годиною пізніше А. Скільки миль проїде листоноша В до зустрічі з листоношею А?

Розв’язання. Для початку дізнаємося швидкості обох листонош: швидкість А = 3,5 м/год., швидкість В = 8/3 м/год. Якщо відомо, що А проїхав на годину більше, віднімаємо цю відстань із загальної величини: 59-3,5 = 55,5. Потім ділимо отриману різницю на швидкість зближення: 55,5:37/6 = 9 год. Швидкість В помножити на час: 9*8/3 = 24 м.

Відповідь. 24 милі.

Задачі на сумісну роботу

Задача Ананія з Ширака (Ананія Ширакаці, вірменського математика VII ст.).

У місті Афіни було водоймище, до якого підведено 3 труби. Одна труба може наповнити водоймище за одну годину, друга тонша - за дві години, третя, ще тонша - за три години. Отже, дізнайся, за яку частину години всі три труби разом наповнять водойму.

Розв’язання. За 6 год. перша труба наповнить 6 таких водоймищ, друга - 3, а третя - 2. Усього 11 водоймищ. Отже, три труби разом наповнять одну водойму за 6/11 год.

Відповідь. За  год.

Задачі, які розв’язуються за допомогою рівнянь

(Алгебраїчний метод)

Задача Евкліда (ІІІ ст. до н.е.)

Мул і віслюк, нав’ючені мішками йшли дорогою. Жалібно охав осел, придавлений важкою ношею. Мул звернувся до віслюка, мовивши: «Що ж, старий, ти заскиглив, ніби дівчина? Ніс би я вдвічі більше, ніж ти, коли б віддав ти мені одну міру. Якби ж ти у мене лише одну міру взяв, то ми зрівнялися б». Скільки ніс кожен з них, повідай нам це.

Розв’язання. Якщо х - вага ноші мула, тоді (х-1) - вага ноші віслюка, збільшеної на 1; отже, початкова його ноша (х-2). Але (х+1) у 2 рази більше, ніж ноша віслюка, зменшена на 1, тобто (х-3). Маємо рівняння х+1=2(х-3). х=7. Отже, ноша мула - 7 кг, ноша віслюка - 5 кг.

Відповідь. Ноша мула - 7 кг, ноша віслюка - 5 кг.

Задача з Бахшалійського рукопису

З чотирьох жертвувателів другий дав удвічі більше, ніж перший, третій - утроє більше, ніж другий, четвертий - учетверо більше, ніж третій, а всі разом дали 132. Скільки дав перший?

Розв’язання. Нехай перший дав x. Тоді другий - 2x, третій - 3×(2x), четвертий - 4×(3(2x)). Разом же вони пожертвували: x+2x+3(2x)+4(3(2x))=132. Розв'язавши рівняння, дізнаємось, що перший дав 4.

Відповідь. 4.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

Біля мосту через річку зустрілися ледар і чорт. Ледар поскаржився на свою бідність. У відповідь чорт запропонував: "Я можу допомогти тобі. Щоразу, як ти перейдеш цей міст, у тебе гроші подвояться. Але щоразу, перейшовши міст, ти маєш віддати мені 24 коп.". Тричі проходив ледар міст, а коли заглянув у гаманець, там було порожньо. Скільки грошей було в ледаря?

Розв’язання. Нехай x коп. було у ледаря, тоді після 1 разу стало 2х-24, після 2 разу стало 2(2x-24)-24=4x-72, після 3 разу стало 2(4x-72)-24=8x-144-24=0. Отже, 8х=168, x=21.

Відповідь. 21 коп.

Задача з оповідання А.П.Чехова «Репетитор»

Купець придбав 138 аршин чорного і синього сукна на 540 карбованців. Скільки аршин він купив того й іншого сукна, якщо синє коштувало 5 карбованців за аршин, а чорне - 3 крб.

Розв’язання. Нехай синього сукна було х аршин, тоді чорного (138- х) - аршин.

х +3(138- х)=540;

х +414-3 х =540;

х =126;

-63=75(аршин) - чорного.

Відповідь. 63 аршини синього сукна, 75 аршин чорного.

Задача з "Курсу чистої математики" Войтяхівського

Пляшка з пробкою коштують 12 копійок. Пляшка коштує на 10 копійок дорожче, ніж пробка. Скільки коштує пляшка і скільки пробка?

Розв’язання. Нехай пробка коштує х коп., тоді пляшка (х +10) коп.

х+(х+10)=12;

х=2;

х=1(коп.) - коштує пробка.

+10=11 (коп.) - вартість пляшки.

Відповідь. Пробка коштує 1 коп., пляшка - 11 копійок.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

Купець купував олію. Коли він давав гроші за 8 бочок олії, то у нього залишилося 20 алтин. Коли ж став давати за 9-ту бочку, то не вистачило півтора рублі з гривнею. Скільки грошей було у купця?

Довідка.

рубль=10 гривень, 1 гривня=10 копійок, 1 алтин=3 копійки.

Розв’язання. Нехай бочка коштує х руб.

х+0,6=9х-1,6;

х=2,2 руб.

До покупки в нього було 2,2×8+0,6=18,2 руб.

Відповідь. У купця було 18 рублів і 2 гривні.

Задача з "Арифметики" Л.Ф. Магницького

Один чоловік, найнявши працівника на рік, пообіцяв йому дати 12 руб. і каптан. Але той, відпрацювавши 7 місяців, захотів звільнитись і попросив гідної плати з каптаном. Господар дав йому гідний розрахунок - 5 руб. і каптан. Питається, яка ціна каптана?

Розв’язання. Нехай х - вартість каптана. Маємо рівняння:

·(x + 12):12 = x + 5;

х+84=12х+60;

х=24;

х=4,8.

Відповідь. 4,8 руб. вартість каптана.

З народної творчості

Летить зграя гусей, а назустріч їм летить один гусак і каже: «Здрастуйте, сто гусей!». «Нас не сто гусей, - відповідають йому гуси. - Якби нас було стільки, скільки тепер, та ще стільки, та півстільки, та чверть стільки, та ще ти, гусак, з нами, так тоді нас було б сто гусей». Скільки було гусей у зграї?

Розв’язання. Нехай кількість гусей - х, тоді отримаємо рівняння: x+x+x/2+x/4+1=100.

Відповідь. 36 гусей.

Задача з використанням чисел Фібоначчі

Головоломка з «Книги абака» Леонардо Фібоначчі

У січні тобі подарували новонароджених кроликів. Через два місяці вони народжують нову пару кроликів. Кожна нова пара кроликів через два місяці після народження народжує нову пару. Питання: скільки пар кроликів у тебе буде в грудні?

Розв’язання. Розв’язуючи цю задачу, можна побачити, що кількість кроликів, народжуваних кожен наступний місяць - це числа Фібоначчі. У січні - 1 пара, у лютому - 1 пара, у березні - 2 пари, в квітні - 3 пари, у травні - 5 пар, у червні - 8 пар, у липні - 13 пар, у серпні - 21 пара, у вересні - 34 пари, у жовтні - 55 пар, у листопаді - 89 пар, у грудні - 144 пари.

Відповідь. 144 пари.

Задачі, які розв’язуються логічними міркуваннями

Задача, яку в юні роки розв’язав Пуассон (1781-1840 рр.)

Ця задача визначила життєвий шлях Пуассона, який присвятив математиці все своє життя.

Один чоловік має 12 пінт меду і хоче відлити з цієї кількості половину, але в нього немає посудини місткістю 6 пінт. У нього 2 посудини: одна місткістю 8 пінт, а друга - 5пінт. Яким чином налити 6 пінт у посудину на 8 пінт?

Розв’язання. Основні ходи переливання по 2 посудинах представлені такою таблицею:

-пінтова посудина 8 3 3 0 8 6 6

- пінтова посудина 0 5 0 3 3 5 0

Відповідь. У таблиці.

Задача Р. Смалліана

Ця задача цікава і дуже проста. Вона здобула широку популярність.

У темній кімнаті стоїть шафа, у ящику якої лежать 24 червоних і 24 синіх шкарпеток. Скільки шкарпеток слід взяти з ящика, щоб з них свідомо можна було скласти принаймні одну пару шкарпеток одного кольору?

Відповідь. Зазвичай на це питання дають неправильну відповідь: 25 шкарпеток. Якби в задачі запитувалося, скільки шкарпеток слід взяти з ящика, щоб серед них було принаймні 2 шкарпетки різного кольору, то 25 шкарпеток була б правильною відповіддю. Але в нашій задачі мова йде про те, щоб серед узятих з ящика шкарпеток принаймні 2-і шкарпетки були одного кольору, тому правильною є відповідь 3 шкарпетки.

Задача Р. Смалліана. Про залізничний рух

Потяг відходить з Бостона до Нью-Йорка. А через годину інший потяг відправляється з Нью-Йорка до Бостона. Обидва поїзди їдуть з однією і тією ж швидкістю. Який з них у момент зустрічі буде на меншій відстані від Бостона?

Примітка: розмірами (довжиною) поїздів можна знехтувати.

Відповідь: Потяги в момент зустрічі будуть на однаковій відстані від Бостона.

Суд Париса

Богині Гера, Афродіта і Афіна прийшли до юного Париса, щоб той вирішив, хто з них найпрекрасніша. Поставши перед Парисом, богині стверджували:

Афродіта. Я найпрекрасніша. (1)

Афіна. Афродіта не найпрекрасніша. (2)

Гера. Я найпрекрасніша. (3)

Афродіта. Гера не найпрекрасніша. (4)

Афіна. Я найпрекрасніша. (1)

Парис, прилігши відпочити на узбіччі дороги, не вважав за потрібне навіть зняти хустку, якою прикривав очі від яскравого сонця. Але богині були наполегливі, і йому потрібно було обирати. Твердження найгарнішої з богинь істинні, а всі твердження двох інших богинь помилкові. Чи міг Парис винести рішення, хто найпрекрасніший серед богинь?

Відповідь. Афродіта - найвродливіша з богинь, згідно з "суду Париса", оскільки істинними можуть бути твердження 1 і 4, помилковими 2, 3, 5.

Головоломка Перельмана. Задача про розмноження мікробів

У банку потрапив 1 мікроб, і через 35 хвилин банка була наповнена мікробами, причому відомо, що кількість мікробів щохвилини подвоювалася. За скільки хвилин банка була наповнена мікробами наполовину?

Відповідь. За 34 хвилини, тому що за 35 хвилин вся банка буде заповнена.

Головоломка Переламана. Рік за три

Позавчора Федору було 17 років У наступному році йому буде 20 років. Як таке може бути?

Відповідь. Дане твердження висловлене 1 січня. День народження Феді - 31грудня. Позавчора йому було 17. Вчора йому виповнилося 18. У цьому році буде 19, а в наступному - рівно 20.

Головоломка Перельмана. Зграя качок

Летіла зграя качок. Одна попереду, дві позаду, одна позаду і дві попереду, одна між двома і три в ряд. Скільки летіло качок?

Відповідь. Летіли одна за одною три качки.

Після виконання ряду історичних завдань нами спостерігалося значне підвищення мотивації до вивчення математики. Діти із задоволенням виконували поставлені завдання та з нетерпінням чекали нових уроків із використанням історичного матеріалу.

.3 АНАЛІЗ РЕЗУЛЬТАТІВ ДОСЛІДЖЕННЯ

Використання історизмів на уроках математики сприяє формуванню й розвитку пізнавального інтересу, а також є важливою умовою гуманізації змісту математичної освіти, ефективності навчально-виховного процесу і розвитку учнів. Зупинимося на цьому пункті більш детально.

У програмі з математики 2008-2009н.р. зазначено, що важливу роль у навчанні математики відіграє систематичне використання історичного матеріалу, який підвищує інтерес, стимулює потяг до наукової творчості, пробуджує критичне ставлення до фактів, дає уявлення про математику як невід’ємну складову загальнолюдської культури.

Моє курсове дослідження проводилося на базі Луцької ЗОШ №15 І-ІІІ ступеня.

Для з’ясування питань: чи використовують учителі початкових класів історичний матеріал на уроках математики, чи справді він викликає інтерес в учнів, якщо викликає, то який саме матеріал (історичні задачі, біографії вчених, повідомлення про походження символів, знаків, термінів), які труднощі відчувають вчителі при підготовці даного матеріалу, - ми провели анкетування вчителів (Додаток Е).

Рис 1.

Крім того, я з’ясувала, на якому етапі вивчення теми використовують учителі історичний матеріал (рис. 2).

Рис 2.

Як видно з діаграми, вчителі здебільшого використовують історичний матеріал на початку вивчення теми й на останньому уроці семестру, проте, на жаль, дуже низький показник отримано за пунктом „систематично протягом семестру”.

На запитання: «Чи доцільно використовувати історичний матеріал на уроках математики, у позакласній роботі, з метою розвитку інтересу до вивчення математики» - практично всі відповіли „так”.

На запитання: «Які труднощі методичного характеру Ви відчуваєте при підготовці до уроків» - відповіді розподілились так, як подано на рис. 3.

Рис. 3.

Останнє запитання анкети для вчителів початкових класів визначило напрямки моєї роботи і показало, які саме прогалини існують.

У своєму дослідженні я також розглядали наявність історичного матеріалу в шкільних підручниках. (рис. 4).

Рис. 4.

Отже, на думку вчителів, кількість історичних задач і біографій учених необхідно збільшити. Проте обсяг підручника обмежений, і підручники спрямовані на виклад основного матеріалу, який зазначений у програмі. Оскільки результати анкетування вказують на зацікавленість учителів методичними розробками, що стосуються використання історичного матеріалу в шкільному курсі математики, то доцільним буде детальніше вивчити цю проблему та намітити шляхи її розв’язання.

ВИСНОВКИ

мотивація навчання історичний математика

Під час проведення курсового дослідження на практиці мною було з’ясовано, що у кожному класі поступово виділяються конкретні типи відношення дітей до навчання, на які насамперед слід орієнтуватися вчителю.

Найбільш поширений перший тип - хороші виконавці («слухачі та відповідачі»). Вони старанні, але безініціативні. Провідний мотив їхньої діяльності - опосередкований інтерес: радувати батьків, завоювати авторитет у класі, заслужити похвалу вчителя.

Другий тип - діти з інтелектуальною ініціативою: вони мають власну думку, уникають підказок, прагнуть працювати самостійно, люблять складні завдання.

Третій тип - діти, у яких проявляється особливе ставлення до напруженої навчальної діяльності. Вони активні, добре метикують, але думають повільно, а тому перебувають увесь час у напрузі. Вимагають індивідуального підходу.

Четвертий тип - діти із заниженими інтелектуальними здібностями. Вони не можуть самостійно виконувати навчальні завдання, перебувають у пригніченому стані або, навпаки, демонструють відчайдушність. Головне для них, щоб учитель їх не помітив. Причини тут різні: незрілість дитини, слабка дошкільна підготовка. Нарешті, в кожному класі є невелика група дітей, яких об'єднує негативне ставлення до навчання. Діти не можуть освоїти шкільну програму по причині інтелектуальної відсталості, глибокої занедбаності.

На жаль, більшість стародавніх головоломок складні, і тому не підходять для початковій школи. Як не дивно, але у вітчизняних навчальних посібниках багато порівняно простих завдань даного класу. Адже підлягає сумніву, що вони допоможуть дітям у цікавій формі швидше освоїти дії додавання, віднімання і попрактикуватися в комбінаториці.

Форми включення історико-математичного матеріалу:

На уроках:

історичні відступу на уроці (розмова 2-10 хвилин);

повідомлення історичних відомостей, органічно поєднаних з програмним матеріалом;

спеціальні уроки з історії математики.

На позакласних заняттях:

математичні гуртки;

історико-математичні вечори;

стінна газета;

позакласне читання;

домашнє твір;

складання альбомів і альманахів;

робота зі збору «народної математики»;

повідомлення вчителя, або учнів на класних зборах;

розмови, лекції, доповіді вчителя, або запрошених науковців;

перегляд спеціальних науково-історичних кінофільмів і діапозитивів.

Основні засади, у яких будуються пізнавальні завдання історико-математичного характеру:

охоплення основних тем шкільного курсу математики;

актуальність теми для історії краю чи країни;

розкриття загальних закономірностей в історичному розвитку науки, особливостей у розвитку вітчизняної математики;

розмаїтість пізнавальних завдань за формами і змістом, за рівнем складності;

враховувати інтереси учнів.

Використання пізнавальних завдань призводить до позитивних результатів тоді, коли має місце:

систематична постановка завдань;

поступове і послідовне їхнє ускладнення;

усвідомлення учнями ролі й значення завдань у розвитку їх пізнавальних здібностей;

максимальне наближення завдань до потреб і основних тенденцій інтелектуального розвитку учнів.

Вимоги до розробки системи пізнавальних завдань історичного характеру:

глибока науковість матеріалу завдань;

органічність зв'язку з програмою з математики;

спрямованість завдань на отримання нових знань, на повторення чи закріплення умінь і навиків, використання різних джерел отримання та методів дослідження;

завдання мають носити проблемний характер, орієнтувати на самостійний пошук, дослідження і викликати підвищений інтерес.

Важливу роль у навчанні математики відіграє використання історичного матеріалу, який підвищує інтерес до вивчення математики, стимулює потяг до наукової творчості, пробуджує критичне ставлення до фактів, дає учням уявлення про математику як невід’ємну складову загальнолюдської культури. На дохідливих змістовних прикладах слід показувати учням, як розвивалися математичні поняття і відношення, теорії й методи.

Під час проведення експериментальної роботи по використанню відомостей з математики на уроках для формування мотивації учіння, я побачила, що незаперечним є те, що розв’язання історичних задач - один із засобів, що сприяють кращому засвоєнню математики і підвищенню математичної культури учня. За їх допомогою учні виразніше розуміють сутність математичних понять, теорем, математичних перетворень. Історичні задачі активізують розумову діяльність учнів, розвивають увагу, спостережливість, пам'ять, мову, підвищують інтерес до матеріалу.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.     Баврин І.І., Фрибус Є.А. Цікаві завдання по математиці. - М, - 1999.

2.      Баврин І.І., Фрибус Є.А. Давні завдання. - М., - 1994.

.        Бантова Н.А., Бельтюкова Г.В. Методика викладання математики у початкових класах: Навчальний посібник учнів шкіл. Відділень пед. училищ. (Спец. №2001) /За ред. М.А.Байтової - 3 вид., випр. - М.: Просвітництво, 2002 - 335с.

.        Бевз В.Г. Практикум з історії математики: Навчальний посібник для студентів фізико-математичних факультетів педагогічних університетів. - К.: НПУ імені М.П.Драгоманова, 2008. - 312 с.

.        Бєлов В.М. Головоломки близькі й далекі.//Компьютерра 2000 №1.

.        Депнан І.Я. Історія арифметики. - М, - 1965.

.        Євтушенко Н.В., Коваленко О.І. Історичні задачі як засіб формування і розвитку загальнокультурної компетенції. Навчально-довідковий посібник. Вид. 1-е. - Чернігів: ЧОІППО імені К.Д.Ушинського, 2011. - 56 с.

.        Леман І. Захоплююча математика. - М., - 1985.

.        Нестеренко Ю.В.,Олесник С., Потапов М.К. Давні цікаві завдання. - 2-ге вид., випр. - М: Наука. Головна редакція фізико-математичній літератури, 1988. - 160 с.

.        Перельман Я.І. 101 головоломка/ Я.І. Перельман. - М.: АСТ Москва: Астрель, 2008. - 191с.

.        Пилипчук В.В. Розвиток педагогічної майстерності вчителя в предметних методиках навчання: Монографія. - К. - 2007. 0 176 с.

.        Пітерсон Л.Г. Математика, 1 клас, частина третя. - М.: «Баллас», «З-інфо», 2000. - 96с.

.        Попов Г.Н. Збірник історичних завдань із елементарної математики. М. - Л.: Головна редакція науково популярну і юнацької літератури, 1938.

.        Розуменко А.О. Інтегровані уроки з математики та історії в 6 класі середньої загальноосвітньої школи/ А.О.Розуменко // Математика в школі. - 2004. - №7. - С.45 - 48.

.        Сухін І.Г. Цікаві матеріали: початкова школа. - М.:ВАКО, 2004. - 240с. (Майстерня вчителя).

.        Чистяков В.Д. Давні завдання елементарної математики. - 3-тє вид., випр. - Мінськ: «Вища школа», 1978. - 272с.

.        Штейнгаус Р. Сто завдань: перекл. з польск. - 3-тє вид., стереотипн. - М.: Наука, - 1982. - 168с.

ДОДАТОК А

Алгоритм “Перевізник”

1.      Перевезти на другий берег козу.

2.      Взяти капусту і перевезти на другий берег.

3.      Забрати козу на перший берег.

.        Залишити козу на першому березі.

.        Перевезти вовка на другий берег.

.        Повернутись і забрати козу.

ДОДАТОК Б

Біля криниці дві порожні банки. Одна вміщує 5 літрів води, а друга - 3 літри. Наливаючи воду з криниці та переливаючи її з банки до банки, треба зробити так, щоб в одній із банок залишився 1 літр води.

Як, маючи лише 2 глечики місткістю 2 і 7 літрів, набирати з криниці 3 літри води?

.____________________________________________________________

.____________________________________________________________

ДОДАТОК В

Цікаві відомості з історії математики, використані під час проведення уроків математики

Число. Натуральні числа. Римська система числення

У місцях, де жили стародавні люди, археологи знаходили предмети з вибитими крапками, надряпаними рисочками, глибокими зарубками. Ці знахідки свідчать про те, що вже в кам'яному віці люди вміли не тільки рахувати, а й фіксувати («записувати») результати своїх підрахунків спеціальними значками для позначення певної кількості предметів. Це відкриття було зроблене близько за 3000 років до нашої ери. Такий запис фактично був прототипом сучасної десяткової системи числення.

З розвитком суспільства удосконалювалася й лічба. Адже потреби торгівлі та виробництва не могли задовольнити такі примітивні засоби лічби, як зарубки на палиці, вузли на мотузці або камінці, складені в купки.

У Стародавньому Римі використовували іншу, недесяткову, форму запису чисел:

І - один, С - сто,- п'ять, D - п'ятсот,- десять, М - тисяча.- п'ятдесят,

Римська система числення ґрунтується на такому принципі: якщо менша цифра стоїть після більшої, то вона додається до більшої: VI = 6, XXXII = 32; якщо менша цифра стоїть перед більшою, то вона віднімається від більшої: IV = 4, VL = 45.

Ця система збереглася і до наших днів. Римські цифри зустрічаються на циферблатах годинників, на пам'ятниках архітектури. Записи «XXI століття», «Розділ VI» добре нам знайомі. Натуральні числа виникли дуже давно. Число - одне з основних понять математики, яке дозволяє виразити результати лічби або вимірювання. Спочатку з’явились числа 1 і 2, трохи пізніше - 3. Комбінуючи ці числа, отримували числа до шести. А про все,що більше за шість казали “багато”.

З плином часу люди навчилися облічувати все більші і більші кількості. Довго вважалося, що існує якесь найбільше число. Наші пращури називали найбільше число “колода” і вважали його рівним 1096. При цьому додавався коментар: “Этого же числа несть более розумети человеку”. І лише згодом люди зрозуміли, що найбільшого числа немає.

Найвидатнішим досягненням людства є сучасна десяткова позиційна система числення. За допомогою цієї системи записують як завгодно великі числа, використовуючи лише десять різних цифр. Таке можливо тому, що одна й та сама цифра має різні значення залежно від її позиції в числі.

Цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 називають арабськими. Однак араби лише розповсюдили систему, створену індусами.

Деякі племена і народи використовували інші позиційні системи числення. Наприклад, індіанці майя використовували двадцяткову систему, а стародавній народ шумери - шістдесяткову.

Сліди двадцяткової системи можна віднайти в деяких європейських мовах. Так, французи замість «вісімдесят» кажуть «чотири рази по двадцять». Розбиття однієї години на 60 хв., а однієї хвилини на 60 с - приклад явного спадку шістдесяткової системи.

Найвидатнішим досягненням людства є сучасна десяткова позиційна система числення. За допомогою цієї системи записують як завгодно великі числа, використовуючи лише десять різних цифр. Таке можливо тому, що одна й та сама цифра має різні значення залежно від її позиції в числі.

Цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 називають арабськими. Однак араби лише розповсюдили систему, створену індусами.

Деякі племена і народи використовували інші позиційні системи числення. Наприклад, індіанці майя використовували двадцяткову систему, а стародавній народ шумери - шістдесяткову.

Сліди двадцяткової системи можна віднайти в деяких європейських мовах. Так, французи замість «вісімдесят» кажуть «чотири рази по двадцять». Розбиття однієї години на 60 хв., а однієї хвилини на 60 с - приклад явного спадку шістдесяткової системи.

«Числа» спалили парламент

У далекому минулому числа позначали зарубками на паличках. Такий спосіб запису чисел був особливо поширений у торгівлі й у побуті. На паличці робили надрізки, що відповідали сумі боргу чи податку. Потім її розколювали пополам і одну половину давали боржникові, а другу зберігав той, хто давав позичку. Правильність розрахунків перевіряли, складаючи обидві половинки палички.

Такий спосіб боргів існував до недавнього часу в Англії. У 1834 р. було вирішено ліквідувати старі селянські боргові платежі, а нагромаджені палички спалити в печах парламенту. В результаті виникла така пожежа, що згорів і сам будинок парламенту. Разом з ним згорів еталон англійської міри довжини - фут, що зберігався в стіні, і з того часу англійці не мають точної довжини цієї міри.

Улюблена цифра імператора

Розповідають, ніби Карл IV, імператор так званої «Священної Римської імперії», дуже любив цифру чотири.

У країні було чотири столиці, в кожній з них сидів один з чотирьох великих князів. Жив імператор у чотирьох великих палацах, займаючи в них по чотири кімнати. В кімнатах було по чотири вікна, четверо дверей, чотири столи й чотири світильники.

В урочистих випадках імператор надівав чотирикутну корону, виготовлену із сплаву чотирьох металів. Імперію свою він поділив на чотири частини, армію - на чотири корпуси.

Він їздив у кареті, яка була запряжена чотирма кіньми, носив одяг чотирьох кольорів і розмовляв чотирма мовами. Їв він чотири рази на день. Їжа його складалась з чотирьох страв, запивав він її вином чотирьох сортів.

У Карла IV було четверо дітей. Коли він помирав, біля його ліжка було четверо лікарів і четверо духівників, кожний з них писав заповіт однією з чотирьох мов.

Від лічби на пальцях - до обчислювальних машин

Хто винайшов рахівницю?

Коли поняття числа розширилося так, що на пальцях стало лічити важко, люди почали винаходити різні лічильні прилади. Стародавні греки, єгиптяни, римляни використовували абак - лічильну дошку, поділену на смужки, в яких клали й переміщували камінці, а пізніше - спеціальні кружечки - жетони.

Індійці-брахмани використовували кісточки на шнурку, які вони перебирали, перелічуючи імена богів. На сході була поширена китайська рахівниця - суан-пан. На кожній дротині цієї рахівниці було сім кісточок - в одній половині 5 і в другій 2. Одна кісточка другої половини означала 5 кісточок першої. Японська рахівниця - соробан - відрізнялася від суан-пана тим, що в другій половині у неї було не дві, а одна кісточка. Ці рахівниці були побудовані, по суті, на основі п’ятіркової системи числення.

Найзручнішу рахівницю винайшов російський народ. В її основу покладено десяткову позиційну систему числення. У 1812 році під час походу Наполеона на Росію у полон попав французький офіцер Понселе. Від’їжджаючи після поразки наполеонівських військ у Францію, він взяв з собою російську рахівницю. Завдяки її зручності вона швидко поширилась у Західній Європі.

Перехідною ланкою від рахівниці стали механічні лічильники. ст. французький математик Блез Паскаль побудував обчислювальну машину, що стала прототипом сучасного комп’ютера. Батько Паскаля був збирачем податків, і йому часто доводилося довго сидіти за підрахунками. Хлопець, щоб полегшити роботу батькові, сконструював із старого годинника обчислювальну машину. Паскалю було тоді 18 років. Машина була недосконалою. Недосконалою була також лічильна машина, яку пізніше винайшов німецький математик Лейбніц. Тільки механікам кінця ХVІІІ ст. пощастило створити машини, які хоч і мали недоліки, але діяли безперервно. Ці машини стали прообразами сучасних арифмометрів.

Першою лічильною машиною, яка набула великого поширення, був арифмометр, сконструйований інженером Однером у 1874 р. А у 1878 р. великий російський математик Пафнутій Чебишов винайшов і виготовив першу в світі оригінальну обчислювальну машину-автомат.

Історія знаків =, >, <

Знак рівності ввів у ХVі ст. англієць Р.Рекорд у вигляді двох невеликих горизонтальних паралельних відрізків. Цей знак викарбовано на могильному камені Рекорда. Проте оскільки нові друкарські знаки в ті часи запроваджувались дуже повільно, навіть у ХVІІ ст. багато авторів для позначення рівності користувались двома паралельними вертикальними відрізками або словом «дорівнює».

Зате легко увійшли в ужиток знаки > і <, бо друкарні мали можливість використовувати знак V (римське 5), який існував з давніх-давен і в іншому положенні давав знаки > і <. Ці знаки вперше зустрічаються в ХVІІ ст. у працях англійського вченого Т.Гарріота.

Розв’язування задач за допомогою рівнянь

Пам’ятки стародавньої культури Єгипту свідчать, що вже 4 тисячі років тому деякі задачі розв’язували за допомогою рівнянь. Правда, робили це дещо інакше, ніж тепер, бо в ті часи навіть не було буквеної символіки, і все записували словами.

Великий грецький математик Діофант (ІІІ ст. до н.е.) багато зробив для розвитку математики. Він ввів деякі буквені позначення, щоб полегшити розв’язування рівнянь. Коефіцієнт Діофант ставив не перед змінною, як робимо це ми, а після змінної.

Алгебра виникла як наука про розв’язування рівнянь. Слово алгебра походить від назви праці узбецького вченого Мухаммеда бен-Муси з Хорезма (ІХ ст.) «Кітаб алджебр ал-мукабала» («Книга про відновлення і протиславлення»).

Як виникли знаки плюс і мінус?

Сучасні знаки + і - стали загальновизнаними, починаючи з ХVІІ ст. Уперше ці знаки з’явилися в праці Лейпцігського професора Й. Відмана (1489).

Вважають, що знаки + і - виникли з торговельної практики: знак - для позначення недостачі, збитку, з знак + для позначення прибутку.

У різних народів знаки додавання і віднімання спочатку мали різну форму. Так, у стародавніх єгиптян знак плюс нагадував зображення двох ніг, що рухалися вперед:, а знак мінус - зображення двох ніг, що рухалися назад:.

З історії виникнення знаків множення

У 1631 р. англійський математик Оутред для позначення дії множення ввів косий хрестик: ×. Знак множення крапку, запропонував німецький математик Лейбніц. У ХVІІІ ст. цей знак став загальноприйнятим. Тепер, як ви знаєте, використовують обидва знаки множення: і крапку, і косий хрестик. Крапкою користуються при множенні в рядок, а косий хрестик використовують при множенні в стовпчик.

Множення і ділення

Протягом багатьох століть люди шукали кращі прийоми виконання множення. Спочатку дія множення зводилась до додавання. Якщо треба було помножити якесь число, наприклад, 26 на 2 чи на 3,4,5,6, то брали його доданком 2,3,4,5,6 разів і знаходили суму. Множення більших чисел зводили до послідовного множення і ділення на 2 («Подвоєння і роздвоєння»). Такий спосіб дістав «російського способу множення».

Таблиця множення вперше зустрічається в книзі «Вступ до арифметики» грецького математика Нікомаха (ІІ - І ст. до н.е.). однак вона мала досить складний вигляд. Взагалі багато таких таблиць аж до ХV ст. загромаджували словами: «один раз», «двічі», «тричі» і т.д.

В одних авторів таблиця має форму прямокутника, в інших - трикутника. Таблиця у формі трикутника вперше зустрічається в рукописах ХІІ ст. У ХV ст.. таку таблицю склали французький математик Шюке і чеський математик Відман, який надав їй майже сучасної форми.

Таблиця множення на пальцях

а) Множення на 9

Покладемо кисті рук долонями на парту і вважатимемо, що кожний палець має свій номер: перший зліва - 1, другий - 2, третій - 3 і т.д.

При множенні на 9 піднімаємо той палець, номер якого означає множене. Кількість пальців зліва від піднятого означає число десятків добутку, а справа - число одиниць. Наприклад, щоб помножити 4 на 9, піднімаємо четвертий палець. Зліва від нього - 3 пальці, а справа - 6. Отже, 4 ∙ 9=36.

б) Множення чисел, більших від 5

Нехай треба помножити 7 на 8. На лівій руці, зігнутій у кулак, розгинаємо 2 пальці (7-5=2), на правій - 3 пальці (8-5=3). Число розігнутих пальців обох рук додамо: 2+3=5. Це - десятки добутку. Числа зігнутих пальців перемножимо: 2∙3=6 - це одиниці.

Отже, 7∙8=50+6=56.

Аналогічно, 6∙8=(1+3)∙10+4∙2=48.

∙6=(1+1)∙10+4∙4=36.

Вправи з множення на пальцях доцільно виконувати з учнями замість фізкультхвилинки.

Історія знака ділення

У різні часи дію ділення записували по-різному. Довгий час спочатку записували дільник, а замість знака ділення писали дужки. Араби, а пізніше і європейці для позначення ділення писали горизонтальну риску. Фламандський математик Сімон Стевін (XVІ ст.) як знак ділення застосовував літеру D. Дві крапки як знак ділення запропонував Лейбніц (1684 р.).

Термін «ділення», «ділене», «дільник» у сучасному розумінні почали вживати в Х ст. Результат ділення ще довго називали «сумою ділення». Термін «частка» з’явився в ХІІІ ст. в італійського математики Леонардо Пізанського.

Учений ступінь за дію ділення

Вивчення дії ділення можна розпочати з такої бесіди.

Колись дія ділення вважалася надзвичайно важкою. В середні віки людям, які вміли добре виконувати ділення, присуджували вчені ступені. В XVІІ ст. ірландського ченця Беда, прозваного Високоповажним, вважали найосвіченішою людиною тому, що він умів майстерно виконувати ділення,йому приписують слова: «Хто вміє ділити, тому жодна справа не здаватиметься важкою». Таку саму думку висловлює в XVІ ст. французький математики П’єр Рамус: «Потрібен хороший розум, хороша пам’ять і хороша рука для щоденного вправляння в діленні тому, що велика різноманітність обчислень потребує високого розуму, постійної уваги і вірної руки більше, ніж будь-де. І ніхто не може вважати, що він воістину старанно займається математикою, якщо кожного дня під час занять арифметикою не робить ділення над кількома по можливості більшими числами».

Історія виникнення від’ємних чисел

Виникли від’ємні числа і Китаї в І ст. до нашої ери в зв’язку з розв’язуванням рівнянь. Оскільки в ті часи знаків плюс і мінус не було, то їх на відміну від додатних чисел зображали іншим кольором. Додатними числами позначали майно, наявні гроші, прибуток. Їм раділи і позначали їх червоним кольором (китайці їх називали «чен»), від’ємними числами позначали борг, збиток і зображували їх чорним кольором (їх називали «фу»).

Індійські математики Брахмагупта (VІІ ст. н.е.) і Бхаскара (ХІІ ст.) склали правила дій для від’ємних і додатних чисел:

«Сума майна є майно».

«Сума двох боргів є борг».

«Сума майна і боргу дорівнює їх різниці».

«Сума майна і такого самого боргу дорівнює нулю».

«Добуток боргу на борг є майно» і т.д.

Але важко було уявити, як це з боргів (перемножених) може вийти «майно». Тому довгий час від’ємних чисел не визнавали, вважали нас несправжніми, абсурдними, фіктивними. Бхаскара так і писав: «Люди не схвалюють від’ємних чисел».

Важко входили від’ємні числа в математику.. в Європі вперше про них згадує італійський математик Леонардо Пізанський (Фібоначчі, ХІІ - ХІІІ ст.). Німецький математик Михайло Штіфель (ХVІ ст.) називає від’ємні числа «меншими ніж ніщо». Він пише: «Нуль міститься між істинними і абсурдними числами».

У ХVІІ ст. французький математик Рене Декарт у славнозвісній книзі «Геометрія» зобразив нас за допомогою монорейкової дороги. «Монос» слово грецьке і означає «один», отже, монорейкова дорога - дорога з однією рейкою. Як лінійка. Але на лінійці відкладено лише додатні числа (справа від нуля). А на монорейковій дорозі, крім того, від’ємні числа, розміщені поряд з додатними числами, що розділяються нулем.

Дільники і кратні

Поняття дільника і кратного даного числа краще вводити паралельно. Можна розпочати з такого завдання: «В одній із старих легенд говориться, що батько, помираючи, заповів трьом синам поділити між собою 19 верблюдів. Старший син мав одержати половину, середній - четверту частину, а наймолодший - п’яту частину всіх верблюдів. Довго не могли брати поділитись, адже 19 не ділиться ні на 2, ні на 4, ні на 5. Тоді вони звернулись до мудреця, що їхав на верблюді. І він виконав заповіт батька так, що всі залишилися задоволеними. Як він це зробив?»

Відповідь. Мудрець додав до 19 верблюдів ще й свого верблюда і 20 верблюдів поділив на 2, 4, 5. Старший син одержав 10 верблюдів, середній - 5 - і наймолодший - 4, а мудрецю залишився його верблюд.

Прості і складені числа

Решето Ератосфена

Решетом Ератосфена називали дошку вкриту воском. Щоб дістати прості числа першої сотні, старогрецький учений Ератосфен записував на воску послідовність натуральних чисел до 100 і проколював голкою всі не прості числа. Перше просте число 2 Ератосфен залишив, а далі проколював усі числа, що діляться на 2, тобто кожне друге число. Перше число, що залишилося після двійки, 3. Воно просте. Далі виколював усі числа, що діляться на 3, тобто кожне третє число. Аналогічно виключав складені числа, кратні 5, і далі - кратні 7. Після цього залишаться тільки прості числа, бо наступне за 7 просте число 11, але добуток 11·7=77, а 11·11=121>100, отже, всі числа першої сотні, кратні 11, а також 13, 17 і т.д., вже «просіялись». Таким чином, Ератосфен одержав лише прості числа.

Історичний жарт

Видатний англійський фізик і математик Ньютон дуже не любив, коли його відволікали від наукових досліджень. Тому він, щоб кожного разу не відкривати кішці двері, зробив у них круглий отвір. Коли в кішки з’явились кошенята, він для кожного з них зробив такий же отвір, але меншого розміру. А коли один його друг зауважив, що кошенята могли б користуватись тим самим отвором, що й кішка, Ньютон відповів:

Бач, а я до цього й не додумався!

ДОДАТОК Г

Р. Сухін. «Цікаві матеріали».

. Числові горизонталі з порожніми клітинами. (Завдання з додатковими умовами) с. 11.

У наступних завданнях-рівностях у порожні клітини потрібно помістити такі цифри, щоб приклади було вирішено правильно. Причому у одній клітці має бути лише одна цифра.

. 9 + = 0 +

. - 4 = 5 +

. Тут немає однакових цифр. 9 + = 1 +

. У правилах завдання немає нуля й однакових цифр.

+ = 2 +

. У нових завданнях у порожніх клітинах - однакові цифри.

- = + 6

. 9 - = 3 +

Відповіді:

. 9 + 0-0 + 9

. 9-4-5 + 0

. 9 + 0=1+8

. 9+1=2 + 8

. 6-2=2 + 2

. 9-3 = 3 + 3

. Завдання з цифрами, з 40.

В усіх наступних життєвих завданнях зазначена ціла кількість, потрібно виконати завдання, використовуючи набір однакових цифр, дозволяється використовувати лише знаки «+» і «-» (дужки не застосовувати).

Завдання з двійками.

(Рахунок від 0 до 10)

. Двома двійками покажіть число 0.

. Користуючись трьома цифрами 2, висловіть число 2.

. Одержите число 4 із двох цифр 2.

. Уявіть число 6 з допомогою трьох 2.

Відповідь:

. 0-2-2

. 2-2 + 2-2 чи 2-2 + 2

. 4-2 + 2

. 6 = 2 + 2 + 2

.Заголовки з цифрами, що не повторюються.

(Рахунок від 0 до 10).

В усіх наступних завданнях пропонується певна кількість послідовно розташованих однозначних чисел (1, 2, 3, 4 тощо.) між якими необхідно розставити знаки «+» і «-». Порядок розташування цифр в жодному з завданні змінювати не можна. Знаки множення, ділення і дужки не застосовувати. При поопераційних обчисленнях не використовувати числа більші, ніж 10, й від’ємні числа. В усіх числових висловлюваннях цифри повинні розташовуватися по порядку з ліва направо, починаючи з одиниці.

П'ятьма цифрами.

Напишіть число 9 з допомогою цифр 1, 2, 3, 4 і 5.

Відповідь: 1+2-3 + 4 + 5

Старовинний математичний фокус, з 184.

Запиши тризначне число: таке, щоб перша цифра була на 2 більше, ніж третя. Наприклад: 755. запиши його цифрами у порядку: 557. Від першого вирахували друге: вийде 198. Ця кількість знову запиши навпаки: 891. Обидва останні числа додай: 198 + 891 = 1089.

Дивна річ, які б числа не брав, у відповідь завжди буде 1089!

Тепер запропонуй провести всі ці дій з числами комусь із друзів. Уявляєш, як вони здивуються, коли не будеш в нього запитувати, скільки вийшло внаслідок (як це буває в інших математичних фокусах), а сам скажеш відповідь.

ДОДАТОК Д

Олехин С. «Давні цікаві завдання». Частина перша. Т. Життєві історії.

Спекотний день з десятьма.

Спекотний день 6 косарів випили барило квасу за 8 годин. Потрібно дізнатися, скільки косарів упродовж трьох години вип'ють той самий барило квасу.

Відповідь: 16. Частина друга.

Скільки кому років?

Скільки років синові. с. 34.

«Скільки років твоєму синові?» - запитав один чоловік свого приятеля. Приятель відповів: «Якщо до віку мого сина додати стільки так ще половину, то буде 10 років».

Скільки років синові?

Відповідь: 4 року. Частина третя.

Задачі-жарти, задачі-загадки

Скільки качок. с. 53.

Летіли качки: одна попереду ще й дві позаду, одна минуло й дві попереду, одна між двома і ще дві до кількох. Скільки летіло качок?

Відповідь: 3 качки.

ДОДАТОК Е

Анкета для вчителів початкових класів

1.  Як часто ви використовуєте історичний матеріал?

2.      Коли ви використовуєте історичний матеріал на уроках?

.        Які труднощі методичного характеру Ви відчуваєте при підготовці до уроків?

.        Чи в достатній мірі наповнені підручники історичним матеріалом?