Формування поняття функції в курсі середньої школи

Формування поняття функції в курсі середньої школи

Вступ

Актуальність теми дипломної роботи полягає в зростанні обсягів розділів функціонального аналізу в курсах алгебри загальноосвітньої школи, що потребує удосконалення технологічної наочності матеріалу, що викладається на базі застосування сучасної комп’ютерної техніки та технологічної можливості застосування повномасштабних проекційних та інтерактивних класних дошок, на яких з’являється можливість поетапної побудови графіків як простих функцій так складних суперпозицій декількох функцій в кольоровому режимі з використанням масштабованості та деталізації графіків в характерних точках.

Предметом дипломного дослідження є ефективність процесу формування поняття функції в шкільному курсі алгебри в 7-11 класах, послідовність та наочність учбового матеріалу.

Об’єктом дипломного дослідження є учбовий матеріал розділів шкільних підручників з алгебри в 7-11 класах загальноосвітньої школи, присвячений формуванню поняття функцій.

Метою дипломного дослідження є узагальнення поточного стану матеріалів з алгебри функцій в шкільних підручниках та розробка напрямків удосконалення наочності і сприйняття основних властивостей функцій в шкільній програмі курсу алгебри.

Для реалізації мети дипломного дослідження були виконані наступні завдання:

.    В першому розділі проведене узагальнення матеріалів розділів алгебри функцій у 7-9 класах:

     загальна сутність та основні властивості функцій;

-        лінійна, обернена та квадратична функції

2.  В другому розділі проведене узагальнення матеріалів розділів алгебри функцій у 10-11 класах:

     степенева функція;

-        тригонометричні та обернені тригонометричні функції;

         показникова та логарифмічна функції.

3.  В третьому розділі запропоноване використання комп’ютерного професійного розрахунково-графічного пакету Microsoft Mathematics 4.0 рівня середньої школи та показана ефективність його використання в наочному викладанні матеріалів по складним функціям (сума та різниця функцій), нерівностям функцій та системам нерівностей функцій.

4.      В четвертому розділі викладені пропозиції щодо удосконалення рівня охорони праці та безпеки життєдіяльності в умовах впливу на учнів та викладачів автоматизації процесів навчання в класах загальноосвітньої школи.

Інформаційною базою дипломного дослідження були шкільні підручники курсів алгебри в 7-11 класах 2006-2012 рр. випуску, рекомендовані Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України для організації навчального процесу в методологічних документах:

Математика 5-9 класи. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів, затверджена наказом МОН України від 23.02.04 №132, зі змінами, внесеними наказом МОН України від 05.08.2012 №166;

Математика. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів 10-11 класи, затверджена Лист МОН України №1/11-6611 від 23.12.2004 (уточнення від 28.10.2010 №1021).

При підготовці тексту роботи для оцінки якості наочного матеріалу використані графіки функцій, наведені в підручниках алгебри для 7-11 класів.

1. Формування початкових понять функцій в програмах курсу алгебри у 7-9 класах

.1 Основні поняття та властивості функцій

Функція - одне з найважливіших понять математики, вона дає можливість досліджувати й моделювати не тільки стани, але й процеси. Дослідження процесів і явищ за допомогою функцій - один з основних методів сучасної науки. Вивчають функції в 7, 8, 9, 10 і 11 класах загальноосвітньої школи [25].

Для визначення поняття функції використаємо ряд прикладів:

. Площа квадрата залежить від довжини його сторони. Кожному значенню довжини квадрата відповідає єдине значення його площі (рис 1.1.1).

Рис. 1.1.1. Функціональна залежність площі квадрата від довжини його сторони

. Кожному значенню маси вантажу, підвішеного на пружині, відповідає певна довжина пружини (рис 1.1.2).

3. Маса шматка крейди залежить від його обсягу. Кожному значенню обсягу  шматка крейди відповідає єдине значення його маси .

. Кожному значенню температури повітря  відповідає єдине значення висоти  стовпчика рідини в термометрі.

Рис. 1.1.2. Залежність довжини розтягнення пружини від маси вантажу

5. Кожному значенню змінної  відповідає єдине значення математичного виразу .

Прикладів залежностей і відповідностей між змінними можна привести багато. Для науки й практики важливо вміти досліджувати такі відповідності. Їх називають функціональними відповідностями, або функціями.

У розглянутих прикладах мова йде про зв'язок між двома змінними. Одну з них, значення якої вибирають довільно, називають незалежною змінною, або аргументом. Іншу змінну, залежну від аргументу, називають залежною змінною, або функцією.

Незалежними змінними (аргументами) у наведених вище прикладах є: довжина сторони квадрата, обсяг шматка крейди, маса вантажу, температура повітря. Їхні значення можна вибирати довільно. Залежними змінними будуть: площа квадрата, маса крейди, довжина пружини, висота стовпчика рідини в термометрі.

Якщо кожному значенню змінної  з деякої множини  відповідає єдине значення змінної , то змінну  називають функцією від

За таких умов змінну  називають аргументом функції , множину -областю визначення функції, а відповідність між  і  - функціональною відповідністю, або функцією.

Всі значення, які може приймати аргумент функції , це область визначення аргументу (множина ). А всі відповідні значення функції - область визначення функції (множина ).

Наприклад, площа  квадрата - це функція від довжини його сторони (). Тут  - функція, - аргумент. Область визначення цієї функції - множину всіх позитивних чисел.

Висота  стовпчика рідини в термометрі - функція від температури . Тут  - функція, - аргумент. Нехай, наприклад, протягом доби температура повітря підвищувалася від -5⁰ до +7⁰, а висота стовпчика рідини в термометрі від 20 до 32 см. Цій зміні відповідає якась функція, область визначення якої є проміжок від -5⁰ до +7⁰, а область значення - проміжок від 20 до 32 см.

Задавати функціональні відповідності можна різними способами. Часто їх задають формулами. Наприклад, відповідність між довжиною  сторони квадрата і його площею  можна задати формулою .

Відповідність між радіусом кола  і його довжиною  можна задати формулою .

Відповідність між значеннями змінної  й значеннями функції  у вираженні , можна задати формулою .

Завдання функції формулою зручно, тому що це дає можливість знаходити значення функції для довільного значення аргументу. Таке завдання функції досить ощадливе: в основному, формула займає один рядок.

Якщо функцію задають формулою й нічого не говорять про область її визначення, то вважають, що ця область - множина всіх значень змінної, при яких формула має сенс.

Наприклад, область визначення функції  - множина всіх чисел, а функції  - множина всіх чисел, крім 1, тому що на 0 ділити не можна.

Визначення: Областю визначення функції, що задається багаточленом з однією змінною, є множиною всіх чисел.

Задавати функцію можна й у вигляді таблиці. Наприклад функцію  для перших десяти натуральних значень  можна задати у вигляді такої таблиці:

Тут:

Область визначення аргументу: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;

Область значень функції: 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19.

Табличний спосіб завдання функції зручний тим, що для певних значень аргументу в таблицю вже занесені відповідні значення функції, тому не потрібно проводити обчислення. Незручний він тим, що таблиця займає більше місця. До того ж, як правило, містить значення функції не для всіх значень аргументу, а тільки для деяких.

Функцію можна задавати й словесно. Наприклад, якщо кожному цілому числу поставити у відповідність його квадрат, то одержимо функцію, область визначення якої є множина цілих чисел, а область значень - множина квадратів натуральних чисел і число 0.

Зверніть увагу на співвідношення понять «функціональна залежність» і «функціональна відповідність» (рис. 1.1.3).

З рис. 1.1.3 видно, що існують функціональні відповідності, що не є функціональними залежностями. Наприклад, формули ,  задають функції, але в них змінні  не залежать від , тобто при зміні значень х значення у не змінюються.

На координатній прямій крім точок із раціональними координатами існує множина таких точок, координати яких - числа не раціональні. Їх називають ірраціональними. Раціональні числа разом з ірраціональними утворюють множину дійсних чисел .

Рис. 1.1.3. «Функціональна залежність» як підмножина «функціональної відповідності»

Приведемо два приклади.

1.      Знайдіть значення функції, заданої формулою , які відповідають таким значенням аргументу 0; 4; 0,8; - 125. Результати зведіть у таблицю.

Розв’язання.

Якщо  то

Якщо  то

Якщо  то

Якщо  то

. Знайдіть область визначення функцій

а)

б)

Розв’язання.

а) Формула, за допомогою якої задається функція - багаточлен, а тому область її визначення - множина всіх чисел.

б) змінна  може мати будь-які значення, крім тих, при яких знаменник дробу  дорівнює нулю. Щоб їх знайти, розв‘яжемо рівняння

.

 звідси

Отже, область визначення функції - множина всіх чисел, крім

Числовою функцією з областю визначення  називають залежність, при якій кожному числу  із множини  (області визначення) ставиться у відповідність єдине число . Записують цю відповідність так .

Область визначення функції - це множина тих значень, яких може набувати аргумент . Вона позначається

Область значень функції - це множина, яка складається з усіх чисел , де  належить області визначення. Її позначають

Позначення і терміни числових функцій наведені на рис. 1.1.4:

- Область визначення аргументу x; - Область значень функції y;

Аргумент (незалежна змінна);  Функція (залежна змінна); Функція; - Значення функції у точці .

Рис. 1.1.4. Визначення основних термінів функціональних залежностей

Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини з координатами , де перша координата «пробігає» всю область визначення функції, а друга координата - це відповідне значення функції  у точці  (рис. 1.1.5).

Рис. 1.1.5. Основні визначення «графіку функції»

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо немає додат-кових обмежень, то областю визначення функції, заданої формулою, вважають множину всіх значень змінної, при яких ця формула має числове визначення. Наприклад, якщо функція задана формулою  то її область визначення - , тобто множина аргументів функції  а область значень -, тобто множина значень функції.

Іноді функція може задаватися різними формулами на різних підмножинах значень аргументу. Наприклад,

На рис. 1.1.6 графічно задана функція з областю визначення  і множиною значень .

Рис. 1.1.6. Області визначення аргументів D(f) та значень функції E(f)

Значення, що приймає функція  в деякій точці  множини D на якій ця функція задана, називається найбільшим (найменшим) на цій множині, якщо ні в якій іншій точці множини функція не має більшого (меншого) значення. Тобто для всіх  виконується нерівність  (відповідно  для найменшого значення). Іноді це записують так:  (відповідно ).

Наприклад, для функції , графічно заданій на відрізку  на рис. 1.1.6, найменше значення дорівнює 1, а найбільше 4. Тобто  .

Функція  називається парною, якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність .

Розглянемо приклади деяких характерних графіків функцій та типів специфічного завдання аргументів функцій.

На рис. 1.1.7 наведений графік функції модуля аргументу , який представляє парну функцію, симетричну відносно осі .

Рис. 1.1.7. Графік функції модуля аргументу

На рис. 1.1.8 наведений графік функції цілої частини аргументу  де  - позначення цілої частини числа , тобто найбільшого цілого числа, яке не перевищує  який представляє непарну функцію, симетричну відносно осі .

Функція  називається непарною, якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність .

Рис. 1.1.8 Графік функції цілої частини аргументу

Область визначення цієї функції  - множина всіх дійсних чисел, а область значень - множина всіх цілих чисел.

На рис. 1.1.9 наведено графік числової функції дробової частини аргументу , де  - позначення дробової частини числа  (за означенням

Рис. 1.1.9. Графік числової функції дробової частини аргументу

Одними з найбільш важливих властивостей функцій є їх зростаючий чи спадний характер. Функція  є зростаючою на множині аргументів  при умовах: якщо , то  для всіх  (при збільшені аргументу збільшується значення функції - рис. 1.1.10а).

Рис. 1.1.10. Приклади графіків функцій

Функція  є спадною на множині аргументів : якщо , то  для всіх  (при збільшені аргументу зменшується значення функції - рис. 1.1.10б).

Рис. 1.1.11. Приклад графіка складеної зростаючої та спадної функції на окремих проміжках області визначення аргументів

Розглянемо детальніше приклади зростаючих та спадних функцій на ок-ремих проміжках визначення аргументів. Якщо на рис. 1.1.10. наведені приклади графіків тільки зростаючої а) та тільки спадаючої б) функцій, то на графіку рис. 1.1.11 бачимо, що на всій області визначення ця функції не є ні зростаючими, ні спадними. Але можна виділити проміжки області визначення, де ці функції зростають і де спадають. Так, на проміжку  функції  зростає а на проміжку  - спадає.

Розглянемо властивості парності і непарності функцій, області визначен-ня яких симетричні відносно початку координат, тобто разом з кожним числом  містять і число . Для таких функцій визначено поняття парності і непарності.

Функція  називається парною (рис. 1.1.12а), якщо для будь-якого  з її області визначення  Якщо функція  парна, то до її графіка разом з кожною точкою з координатами  входить також і точка  з координатами . Точки  і  розміщені симетрично відносно осі  (рис. 1.1.12а) тому й графік парної функції розміщений симетрично відносно .

Рис. 1.1.12. Типові графіки парної

Функція  називається непарною (рис. 1.1.12б), якщо для будь-якого  з її області визначення

Якщо функція  непарна, то до її графіка разом з кожною точкою з координатами  входить також і точка  з координатами . Точки  і  розміщені симетрично відносно початку координат (рис. 1.1.12б), тому й графік непарної функції розміщений симетрично відносно початку координат.

Наприклад, функція  (тобто функція ) - парна, оскільки  (рис. 1.1.13а). Графік парної функції  симетричний відносно осі  (рис. 1.1.13а).

Рис. 1.1.13. Графіки парної функції  та непарної функції

Функція  (тобто функція ) - непарна оскільки (рис. 1.1.13б):  Графік непарної функції  симетричний відносно початку координат, тобто відносно точки (рис. 1.1.13б).

На рис. 1.1.14 - 1.1.16 наведені принципи побудови графіків довільних функцій способами паралельного переносу, віддзеркалювання та розтягування:

         функцій  та ;

         функцій  та ;

         функцій  та

-    Як показує приклад, наведений на рис. 1.1.14:

-        1) графік функції y = - f (x) можна одержати з графіка функції y = f (x) його симетричним відображенням відносно осі Ox.

         2) графік функції y = f (-x) можна одержати з графіка функції y = f (x) його симетричним відображенням відносно осі Oy.

Рис. 1.1.14. Побудова графіків функцій  та

Рис. 1.1.15 Побудова графіків функцій  та

Як показує приклад, наведений на рис. 1.1.15:

) графік функції y = f (x - a) можна одержати паралельним перенесенням графіка функції y = f (x) уздовж осі Ox на a одиниць;

) графік функції y = f (x) + b можна одержати паралельним перенесенням графіка функції y = f (x) уздовж осі Oy на b одиниць.

Рис. 1.1.16. Побудова графіків функцій  та

Як показує приклад, наведений на рис. 1.1.16:

) графік функції y = k f (x) (k > 0) одержується з графіка функції y = f (x) його розтягуванням (при k > 1 розтяг у k разів) або стискуванням (при 0 < k < 1 стиск у k разів) уздовж осі Oy;

) графік функції y = f (αx) (α > 0) одержується з графіка функції y = f (x) його розтягуванням (при 0 < α < 1 розтяг у α разів) або стискуванням (при α > 1 стиск у α разів) уздовж осі Ox.

Наведемо деякі практичні завдання по викладеним темам основних властивостей числових функцій.

Завдання 1. Знайдіть область визначення функції

1)

)

)

Розв’язання:

)        Обмежень для знаходження виразу  немає; отже, множина значень аргументів  (всі дійсні числа)

)        Область визначення функції  задана обмеженням , оскільки знаменник дробу не може бути дорівнювати нулю.

З’ясуємо, коли . Маємо  або .

Тоді область визначення можна задати обмеженнями  або записати так

)        Область визначення функції  задана обмеженням

, тобто , оскільки під знаком квадратного кореня повинен стояти невід’ємний вираз. Отже, .

Завдання 2. Знайдіть область значень функції

Розв’язання:

Складаємо рівняння . Воно рівносильне рівнянню  яке має розв’язки, якщо , тобто при .Усі ці числа і складуть область значень функції.

Отже, область значень заданої функції

(тобто ).

Завдання 3. Дослідіть, які із заданих функцій є парними, які непарними, а які - ні парними, ні непарними.

) ;

) ;

)

Розв’язання:

) Область визначення функції : , тобто вона не симетрична відносно точки  (точка  входить до області визначення, а  ні)

Рис. 1.1.17. Область визначення функції  з розривом

Отже, задана функція (рис. 1.1.17) не може бути ні парною, ні непарною.

) Область визначення функції :  тобто вона симетрична відносно точки

 а отже, функція парна.

) Область визначення функції :  отже, вона симетрична відносно точки

отже, функція непарна.

1.2 Лінійна функція

Лінійною називають функцію, яку можна задати формулою виду , де - аргумент,  і  - дійсні числа.

Розглянемо дві лінійні функції, задані формулами на множині всіх дійсних чисел .

 і

Побудуємо графіки даних функцій (рис. 1.2.1).

Рис. 1.2.1. Приклади графіків лінійних функцій

Бачимо, що графік кожної з наведених функцій - пряма. Можна узагальнити наведені приклади й довести таке твердження.

Графік кожної лінійної функція - пряма. І кожна пряма на координатній площині, не перпендикулярна осі абсцис, є графіком деякої лінійної функції.

Для побудови прямої, що є графіком будь-якої лінійної функції, досить знати координати двох точок. Щоб побудувати графік функції , треба скласти таблицю для двох будь-яких значень аргументу.

Позначимо на координатній площині точки з координатами 0 і 3, 2 і 0 та проведемо через них пряму (рис. 1.2.2). Це і є графік функції .

Рис. 1.2.2. Графік функції

Властивості лінійної функції  для різних значень  можна визначити по графіках, представленням, наприклад, на рис. 1.2.1 і 1.2.2. Представимо їх у вигляді табл. 1.2.1

Таблиця 1.2.1

Розглянемо окремі випадки лінійних функцій.

Якщо , то функції  має вигляд . Графік такої функції пряма, паралельна осі .

Рис. 1.2.3. Графік функції , якщо

Якщо,, то лінійна функція має вигляд . Цю функцію називають прямою пропорційністю, тому що будь-яке (відмінне від нуля) значення такої функції пропорційне відповідному значенню аргументу.

Графік прямої пропорційності - пряма, що проходить через початок координат. На рис. 1.2.4 зображені графіки функцій

Рис. 1.2.4. Графіки функції , якщо

Розглянемо два практичних приклади.

Приклад 2.1. Побудуйте графік функцій, заданою формулою

Розв’язання.

Дана функція - лінійна, її графік пряма. Визначимо координати двох точок цієї прямої, склавши таблицю.

Нанесемо на координатну площину точки  й  і проведемо через них пряму (рис. 1.2.5). Це і є графік даної функції.

Рис. 1.2.5. Графік функції

Існують функції, що не є лінійними на всій області визначення, але на окремих проміжках області визначення мають властивості лінійних. Їхній графік - це ламані лінії. Розглянемо одну з таких функцій.

Приклад 2.2. Побудуйте графік функцій .

Розв’язання.

По визначенню модуля можемо записати:

Якщо  то

Якщо  то

Відповідно,

Ця функція на двох різних проміжках задається різними формулами лінійних функцій:

Якщо  то

Якщо  то

Складемо такі таблиці їхніх значень

Побудуємо графік «ламаної» лінійної функції, який складається з двох лінійних проміжків, з’єднаних в точці x=1.

Рис. 1.2.6. Графік функції .

1.3 Обернена функція

Розглянемо функцію, задану формулою , де  - довільне дійсне число, відмінне від нуля; аргумент  може набувати не тільки додатних, а й від’ємних значень.

Наприклад, дано функцію  Область її визначення всі дійсні числа, окрім  (бо на 0 ділити не можна). Складаємо таблицю значень цієї функції для кількох значень аргументу:

Позначимо точки, координати яких наведено в таблиці (рис. 1.3.1а). Коли б на цій самій координатній площині позначили більше точок, координати яких задовольняють рівність  вони розмістилися б, як показано на (рис. 1.3.1б). Якщо для кожного дійсного значення , крім , за формулою  обчислити відповідне значення  і нанести всі точки з одержаними координатами на координатну площину, матимемо графік даної функції (рис. 1.3.1 в). Таку лінію називають гіперболою. Гіпербола складається з двох гілок.

Рис. 1.3.1. Побудова графіка

Графік функції  - гіпербола, симетрична відносно точки О початку координат. Її гілки розміщено в І і ІІІ координатних квадрантах. Осі координат поділяють координатну площину на чотири координатних кути, їх називають також координатними чвертями, або квадрантами, і нумерують, як показано на рис. 1.3.2).

Рис. 1.3.2. Позначення координатних квадрантів на координатній площині

Якщо таким способом побудувати графік функції , дістанемо також гіперболу; тільки її гілки розміщені в ІІ і ІV координатних квадрантах (рис. 1.3.3).

Рис. 1.3.3. Графік функції

Графік кожної функції , де - відмінне від нуля дійсне число, - це гіпербола, симетрична відносно початку координат (нуля координат О).

Якщо , гілки такої гіперболи розміщено в І і ІІІ координатних кутах, коли , - у ІІ та ІV.

Властивості функції  для різних значень  можна визначити за графіками, наведеними, наприклад, на рис. 1.3.1 і 1.3.3. Подаємо їх у вигляді табл. 1.3.1:

Таблиця 1.3.1

Функцію, задану формулою , часто називають оберненою пропор-ційністю (на відміну від функції , яку називають прямою пропорційністю). Раніше оберненою пропорційністю ми називали відповідність, при якій зі збільшенням однієї змінної в кілька разів значення другої зменшувалися в стільки ж разів. Так буває тільки у випадку, коли  і  - додатні числа. Якщо у функції  число  від’ємне, то зі збільшенням значень  у кілька разів значення  також збільшується у стільки ж разів. Це видно з рис. 1.3.4.

Рис. 1.3.4. Обернено пропорційна функція  з від’ємним

Використовуючи степінь з від’ємним показником, функцію  можна записати так: . Іноді її записують і у вигляді: .

Приклад. Чи є оберненою пропорційністю залежність, задана рівністю:

а)  б) ? Відповідь: а) Ні, б) ні.

Приведемо практичні приклади.

Завдання 2.1.

Функцію задано формулою . Знайдіть значення , якщо графік функції проходить через точку

Розв’язання. Підставимо значення  і  у формулу, якою задано функцію. Одержимо  Отже, .

Завдання 2.2.

Розв'яжіть графічно рівняння

Розв’язання. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій  і  (рис. 1.3.5).

Рис. 1.3.5. Графічне розв’язання рівняння

Ці графіки перетинаються в точках P і Q, абсциси яких дорівнюють приблизно 1 і -3. Перевіряємо, чи це точне значення, чи наближене: 1+2=3,

+2=-1.

Відповідь: .

2. Функції в програмі курсу алгебри у 10-11 класах

.1 Степенева функція

Функцію , де  - стале дійсне число, а  - (основа) змінний аргумент у вигляді дійсного числа, називають степеневою функцією.

Область визначення і зміни степеневої функції , а також її властивості залежать від того, яким числом є показник .

. Нехай - натуральне число.

Функція визначена на всій числовій прямій; якщо ,  і якщо , ; при  непарному (=1,3,5,…) для всіх значень  і  знак функції збігається із знаком аргументу; функція непарна і зростає на всій області визначення. Графіком є пряма, якщо  і криві, якщо =3,5,7,…, симетричні відносно початку координат, розміщені в І і ІІІ координатних чвертях (рис. 2.1.1).

Рис. 2.1.1. Графіки степеневої функції  при значенні показника p - натуральне непарне число (1,3,5,….)

Якщо  парне (2, 4, 6,…),  для всіх значень  і , функція парна. Якщо , функція спадає, якщо  - зростає. Графіки  (=2,4,6) - криві, симетричні відносно осі , розміщені в І і ІІ чвертях (рис. 2.1.2).

Рис. 2.1.2. Графіки степеневої функції  при значенні показника p - натуральне парне число (2,4,6,….)

. Нехай - ціле від’ємне число: -1, - 2, - 3,….Тоді функція визначена на всій числовій прямій, крім точки  (немає числа, оберненого до нуля). Графік складається з двох віток. Якщо  то

Якщо - непарне (-1, -3, -5,…), то для всіх значень  і  знак функції збігається із знаком аргументу. Функція непарна, спадна на всій області визначення. Графіком  ( =-1, -3, -5,…) є криві, симетричні відносно початку координат, розміщені в І і ІІІ чвертях (рис. 2.1.3).

Рис. 2.1.3. Графіки степеневої функції  при значенні показника p - від’ємне непарне число (-1, - 3, - 5,….)

Якщо - парне (-2, -4, -6,…), значенням  і  відповідають значення . Функція парна. Якщо , функція зростає, якщо -спадає. Графіком  ( =-2, -4, -6,…) є криві, симетричні відносно осі , розміщені в І і ІІ чвертях (рис. 2.1.4).

Рис. 2.1.4. Графіки степеневої функції  при значенні показника p - від’ємне парне число (-2, - 4, - 6,….)

. Нехай  де

Функція визначена для всіх значень  при цьому ,  якщо  Функція зростає на всій області визначення. Графіки  ( розміщені в І чверті (рис. 2.1.5).

Рис. 2.1.5 Графіки степеневої функції  при значенні показника p - дійсне число  де  ()

Степенева функція , якщо  визначена і коли , бо . Вираз  нє має смислу. Якщо -цілі, то степенева функція визначена і для . Якщо -парні, то функція парна, а коли  непарні - непарна. Якщо =0, за означенням степеня з нульовим показником, то  при будь-якому . Графіком такої функції є пряма паралельна осі  і віддалена від неї на відстань, що дорівнює 1. З цієї прямої необхідно виключити точку, яка відповідає абсцисі, що дорівнює 0 (2.1.6).

Рис. 2.1.6. Графіки степеневої функції  при значенні показника p = 0 (особливий випадок)

На практиці часто доводиться розглядати функцію виду , де стала. На графіках рис. 2.1.7 представлені функції  та .

Рис. 2.1.7. Графіки степеневих функцій  та

2.2 Тригонометричні функції та обернені тригонометричні функції

Розглянемо властивості тригонометричних функцій та обернених тригонометричних функцій.

. Область визначення - уся числова пряма, тобто

. Область значень - відрізок тобто

Графік функції  називається синусоїдою, він показаний на рис. 2.2.1.

Рис. 2.2.1. Графік функції

. Функція неперервна, періодична з основним періодом .

. Нулі функції: при

. Інтервали знакосталості:

а) якщо

б) якщо

. Інтервали зростання й спадання:

а) Функція зростає на проміжках

б) Функція  спадає на проміжках

. Екстремуми функції (мінімуми та максимуму значень функції):

а) при

б) при

. Функція  є обмеженою,

. На рис. 2.2.2 наведені приклади зміни графіків функції  у порівнянні з функцією  при введенні коефіцієнтів а, k.

Рис. 2.2.2. Порівняння графіків функцій ,  та

б) Властивості і графіки функції

. Область визначення - уся числова пряма, тобто

. Область значень-відрізок тобто

. Функція - парна, оскільки  графік симетричний щодо осі ю

. Функція неперервна, періодична з основним періодом .

Графік функції  називається косинусоїдою, він показаний на рис. 2.2.3.

Рис. 2.2.3 Графік функції (графік а)) та порівняння графіків функцій і (графік б))

. Нулі функції: при

. Інтервали знакосталості:

а) якщо

б) , якщо

. Інтервали зростання й спадання:

а) Функціязростання на проміжках

б) Функція  спадає на проміжках

. Екстремуми функції (максимуми та мінімуми значень):

а) при

б) при

. Функція  є обмеженою,

в) Властивості і графік функції

. Область визначення-множина усіх дійсних чисел, крім чисел виду

 тобто .

Інакше

. Область значень-вся числова пряма, тобто

. Функція - непарна, оскільки  графік симетричний відносно початку координат.

. Функція перервна, періодична з основним періодом . Розриви функції (точки невизначеності) - ;

. Нулі функції: при

. Інтервали знакосталості:

а) якщо

б) , якщо

. Інтервали зростання й спадання функціязростає на проміжках

. Функція  екстремумів (максимумів та мінімумів) не має

. Функція  необмежена

Графік функції  називається тангенсоїдою, він показаний на рис. 2.2.4а.

Рис. 2.2.4. Графік функції (графік а)) та порівння графіків функцій  і  (графік б))

Прямі  називаються вертикальними асимптотами графіка функції

г) Властивості і графік функції

. Область визначення-множина усіх дійсних чисел, крім чисел виду  тобто

. Область значень-вся числова пряма, тобто

. Функція - непарна, оскільки  графік симетричний відносно початку координат.

. Функція перервна, періодична з основним періодом . Розриви функції (точки невизначеності) -

. Нулі функції: при

. Інтервали знакосталості:

а) якщо

б) , якщо

. Інтервали зростання й спадання функціязростає на проміжках

. Функція  екстремумів (максимумів та мінімумів) не має

. Функція  необмежена

Графік функції  називається котангенсоїдою, він показаний на рис. 2.2.5.

Рис. 2.2.5. Графік функції

Прямі  називають вертикальними асимптотами графіка функції

Функції, обернені функціям  на відповідних інтервалах, називаються оберненими тригонометричними. Вони позначаються

Тригонометричні функції  не є монотонними у всій області їх визначення. Тому для утворення обернених функцій виділяють інтервали монотонності.

а) Функція  та її графік

Функція на відрізку зростає і набуває всіх значень з відрізка . Тому функція  на відрізку  оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арксинусом і позначається .

Таким чином, арксинусом числа називається число  з відрізка  таке, що його синус дорівнює . Математично це можна записати так:  Графік функції  зображено на рис. 2.2.6.

Рис. 2.2.6. Графік функції

Геометрично  означає величину кута (дуги), узятого у проміжку , синус якого дорівнює .

Цей графік симетричний графіку функції ,  відносно прямої

Визначимо основні властивості функції

.       

.       

.        тобто  - непарна функція;

.        функція  зростаюча;

.        при

б) Функція  та її графік.

Функція на відрізку спадає і набуває всіх значень з відрізка . Тому функція  на відрізку  оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арккосинусом і позначається Таким чином, арккосинусом числа називається число  з відрізка  таке, що його синус дорівнює . Математично це можно записати так:

Геометрично  означає величину кута (дуги), узятого у проміжку , косинус якого дорівнює .

Наприклад, (оскільки ),

,,.

(помилково записувати  оскільки  і ).

Графік функції  зображено на рис. 2.2.7.

Рис. 2.2.7. Графік функції

Цей графік симетричний графіку функції , відносно прямої  Визначимо основні властивості функції

.

.

.тобто функція  - є функцією загального виду

. функція  спадна;

. при

в) Функція  та її графік.

Функція на інтервалізростає і набуває всіх числових значень, оскільки  Тому функція  на відрізку  оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арктангенсом і позначається . Таким чином, арктангенсом числа називається число  з відрізка  таке, що його тангенс дорівнює . Математично це можна записати так:

.

Геометрично  означає величину кута (дуги), узятого у в інтервалі , тангенс якого дорівнює .

Наприклад,  (оскільки ,), ,,,,.

Графік функції  зображено на рис. 2.2.8. Цей графік симетричний графіку функції , відносно прямої  Прямі  є горизонтальними асимптотами графіка функції .

Рис. 2.2.8. Графік функції

.       

.       

.        тобто функція  є непарною;

.        функція  є зростаючою;

 при

г) Функція  та її графік.

Графік функції  зображено на рис. 2.2.9. Цей графік симетричний графіку функції , відносно прямої Прямі  є горизонтальними асимптотами графіка функції .

Рис. 2.2.9. Графік функції

Основні властивості функції :

.

.

. тобто функція  є функцією виду;

. функція  спадаюча;

. при

3. напрямки удосконалення наочності та сприйняття основних властивостей функцій в шкільній програмі курсу алгебри

3.1 Основні можливості наочності викладання теорії функцій в курсі алгебри з використанням програмного комплексу Microsoft Mathematics 4.0

У 2012 році в Україні стартував національний проект «Відкритий світ» [33]. Суть цього проекту зводиться до апробації використання високоякісних мультимедійних засобів у навчальному процесі, використання електронних ресурсів у навчанні учнів загальноосвітніх шкіл. Проект опирається на створення інформаційної інфраструктури на основі безпровідної мережі 4-го покоління, стандартизації та уніфікації методики навчання та створення централізованої системи навчання та оцінки знань учнів, и використання мультимедійних засобів як альтернативу застарілим символам навчання (пластикова класна дошка та крейда).

Сутність мультимедійних засобів навчального процесу в школі полягає в застосуванні:

.     На першому технічному етапі - пасивного проектора (мінікомп'ютера), який на білий екран проектує копію екрана управляючого комп’ютера;

2.      На другому технічному етапі - пасивного телевізора з екраном до 1 м по діагоналі, екран якого через системний інтерфейс повторює копію екрана управляючого комп’ютера;

.        На третьому сучасному технічному етапі - активно-пасивної «електронної класної дошки», яка є самостійним комп’ютером з операційною системою та може самостійно виконувати завдання, які вводяться за допомогою інтерактивної «псевдо клавіатури» на частці екрану дошки, а також може працювати як пристрій другого технічного етапу, транслюючи копію екрана управляючого комп’ютера.

Найбільш досконалим сучасним мультимедійним засобом навчального процесу в загальноосвітній школі є «Інтерактивна електронна дошка», яка являє собою пристрій, що виконує роль додаткового сенсорного комп’ютерного монітора. Це гнучкий інструмент, що сполучає в собі простоту звичайної маркерної дошки з можливостями комп'ютера. Подібно до звичайного комп’ютерного монітора управління прикладними програмами здійснюється або курсором мишки, або з екранної клавіатури, що виведена на поверхню дошки. Роль курсору мишки на цьому вторинному моніторі з сенсорною поверхнею виконує будь-який твердий предмет, зокрема палець, маркер або указка.

Перші інтерактивні дошки були випущені компанією SMART Technologies в 1991 році. Нині у світі існує 11 основних виробників мультимедійних дошок. Найпоширенішими у навчальному процесі є дошки таких торгових марок: «SMART Technologies», «Panasonic», «Hitachi», «Webster», «Polyvision», «PROMETHEAN ltd». [35]

Позитив від використання інтерактивної дошки [11]:

    обсяг матеріалу, який можна показати, обговорити, виправити, акцентувати на уроці набагато більший ніж при використання звичайної дошки;

-        усі уроки, розроблені вчителем зберігаються в пам’яті машини їх можна коректувати, доповнювати, змінювати;

         де б не сиділа дитина на першій чи на останній парті - з кожного куточка класу чудово видно презентаційний матеріал;

         більшість учнів мають вдома комп’ютер і використання інтерактивної дошки на уроці - це крок до розуміння вимог дитини і вимог викладача;

         дозволяє в реальному часі наносити на проектоване зображення позначки на важливі ділянки, малювати схеми або коректувати їх;

         не відходячи від дошки, можна зберегти виконану роботу у файлі, роздрукувати або відправити по електронній пошті;

         в процесі виступу можна зберігати зображення, отримані на певних етапах, і при необхідності, миттєво повертати їх на дошку;

         можна створити гіперпосилання з одного файлу на другий - наприклад: аудіо-, відео-файли, Інтернет-сторінки;

         використовувати інтерактивну дошку можуть вчителі, які не володіють комп’ютером на належному рівні;

Таким чином, інтерактивна дошка навіть при використанні тільки найпростішого встановленого програмного забезпечення дозволяє підготувати провести уроки на якісно новому рівні.

Інтерактивна або мультимедійна дошка об’єднала в собі комп’ютер, екран та проектор, наділивши їх новими дидактичними та технічними можливостями, пов’язаними з Інтернет-ресурсами (рис. 3.1.1).

Рис. 3.1.1. Загальний вигляд інтерактивної «електронної» класної дошки [35]

Інтерактивна дошка у комбінації з мультимедійним проектором стає великим інтерактивним екраном, одним дотиком руки до поверхні якого, можна відкрити будь-який комп'ютерний додаток або сторінку в Інтернеті й демонструвати потрібну інформацію або просто малювати. Усе, що Ви намалювали або написали, програмне забезпечення інтерактивної дошки дозволяє зберегти у вигляді комп'ютерних файлів, роздрукувати, послати по електронній пошті, навіть зберегти у вигляді Web-сторінок і розмістити їх в Інтернеті. При роботі з інтерактивною дошкою учень засвоює інформацію не тільки через аудіальний і візуальний канали сприйняття, але й через кінестетичний канал, який майже не використовується в сучасній педагогіці.

До складу навчального комплексу входять:

інтерактивна дошка Smart Board (чутливий до дотику екран);

власне програмне забезпечення;

персональний комп'ютер (настільний або переносний);

мультимедійний проектор.

Інтерактивна дошка дає змогу викладачеві чи доповідачу поєднати два різні інструменти: екран для відтворення інформації і традиційну маркерну дошку. Інформація відтворюється на екрані за допомогою мультимедійного проектора, підключеного до того ж комп'ютера, а спеціальні ручки, інші тверді предмети чи палець руки можуть бути використані для написання на екрані тексту, проведення різних ліній та їх видалення електронною гумкою.

Чутливі властивості екрана дають змогу користувачеві дотиками до його поверхні переміщувати курсор і здійснювати функції лівої та правої миші. Дотик пальцем чи іншим предметом до поверхні дошки викликає такий же ефект, як звичне клацання лівою клавішею миші. Для того щоб відкрити, наприклад, будь - який додаток, треба натиснути пальцем один чи два рази на піктограму додатку. Напрямок переміщення курсору збігається з напрямком переміщення пальця.

Віртуальна екранна клавіатура, яка також входить до складу програмного забезпечення Smart Board, у разі необхідності може замінити звичайну. Не відходячи від дошки, можна швидко ввести текст або показати, як користуватися комп'ютерною клавіатурою.

Суттєвою перевагою комплексу Smart Board є те, що його програмне забезпечення дає змогу одним дотиком пальця відкрити будь - який комп'ютерний додаток чи сторінку в Інтернеті, продемонструвати заздалегідь створений матеріал чи просто щось намалювати, зберегти тільки що створене у вигляді комп'ютерного файлу, роздрукувати, відправити чи розмістити в Інтернеті тощо. дуже важливим для навчання є також те, що створення об'єктів та їх редагування можна здійснювати безпосередньо в додатках Word, Excel, Power Point та ін., а весь процес роботи на екрані можна записати у відеофайл, потім за допомогою універсального програвача відтворити на екрані або на моніторі комп'ютера.

В законі України «Про освіту» зазначено, що метою освіти є всебічний розвиток людини як особистості та найвищої цінності нашого суспільства. Звідси випливає одне з основних завдань школи: поліпшення якості навчання, виховання і розвитку учнівської молоді [33].

Щоб досягти цього слід постійно вдосконалювати зміст освіти, методи, форми і засоби навчання. Серед них важливе місце належить технічним засобам навчання (ТЗН). Про значення ТЗН в навчально-виховному процесі свідчать такі факти. Для розпізнавання раніше невідомого предмету людині потрібна така кількість часу [34]:

при словесному описуванні предмета - 2,8 с.;

при показі предмета на чорно-білому фото - 1,2 с.;

при показі предмета на кольоровому фото - 0,9 с.;

при показі предмета засобами кіно і телебачення - 0,7 с.;

при показі предмета в натурі - 0,4 с.

Учні пізнають навколишній світ за допомогою всіх сенсорних органів чуття. Проте, основними каналами отримання інформації є зорові аналізатори. Сенсорна система «вухо-мозок» пропускає за секунду 50 одиниць інформації, а система «око-мозок» - 500 одиниць інформації за секунду. Тому невипадково, що 90 відсотків всієї інформації учні отримують за допомогою зору, а 10 відсотків за допомогою слуху [34].

Вже 8 років, як перші інтерактивні «електронні» дошки типу SMART Board появились в українських школах на уроках інформатики. У світового лідера з освіти - Великобританії - 73% всіх класів мають інтерактивну класну дошку типу SMART Board, в США - 40%, в Мексиці - 30%, в Португалії - 30%, в Іспанії - 25%, в Німеччині та Росії - 10%, в Україні - 2% [34].

Розмір зображення на інтерактивній дошці типу SMART Board по діагоналі складає 195,6 см, що відповідає всім ергономічним вимогам тексту з першої і останньої парти в класі.

В склад інтерактивної дошки входить власна операційна система та прикладне програмне забезпечення SMART Notebook 11, також дошка працює як другий (проекційний) дисплей підключеного до неї комп’ютера викладача.

Для використання в процесі викладання курсів алгебри функцій в загаль-ноосвітній школі з застосуванням інтерактивної дошки типу SMART Board в дипломному проекті розглянутий професійний математичний пакет фірми Microsoft для загальноосвітньої школи Microsoft Mathematics 4.0 [32].

Microsoft Mathematics 4.0 (випущений фірмою Microsoft з 11 січня 2011 року як безкоштовний програмний продукт) - це спеціальний калькулятор для розв’язання математичних задач, візуалізації двомірних та трьохмірних графіків. Інструмент не можна порівнювати з можливостями професійних англомовних графічних пакетів Maple або Mathematica, але він є надзвичайно корисний для процесу навчання математики в загальноосвітній школі.

Особливостями застосування програмного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 в загальноосвітній школі на комп’ютерних робочих станціях у комплексі з інтерактивною класною дошкою типу SMART Board є наступне:

1.   Наявність планшетної технології набору всіх алгебраїчних виразів та виконання всіх дій дотиком пальця чи світовим лазерним пером до спеціальної «калькуляторної» клавіатури інтерфейсів управління;

2.      Наявність планшетної технології набору всіх алгебраїчних виразів та виконання всіх дій дотиком пальця (для планшетів з ОС Windows 8), або застосування маніпулятора «миш» для звичайних комп'ютерів при роботі з спеціальною «калькуляторною» клавіатурою оконних інтерфейсів управління;

3.      Розв’язання рівнянь, нерівностей та побудова графіків функцій з використанням системи управління «калькуляторною» клавіатурою операцій, яка не потребує ручного набору операторів мов програмування на англійській мові, як в загальновідомих професійних математичних англомовних пакетах MAPLE, MATHCAD, MATLAB;

4.      Динамічне форматування побудованих графіків, можливість переміщення по осях координат для пошуку необхідних інтервалів, динамічна деталізація в масштабі в точках перетинання для графічного пошуку рішень чи інтервалів розв’язання;

5.      Побудова графіків систем функцій та побудова графіків спеціальних функцій (функції, які включають модулі виразів; складні функції, які включають одночасно логарифмічні, ірраціональні та тригонометричні функції та побудова яких крейдою на безмасштабній класній дошці неможлива).

Багатооконний інтерфейс Microsoft Mathematics 4.0 включає повнофункціональний калькулятор з можливістю побудови графіків, що працює точно так само, як звичайний калькулятор. Додаткові математичні засоби дозволяють порівнювати трикутники, перетворювати дані з однієї системи виміру в іншу й вирішувати системи рівнянь (рис. 3.1.2).

Рис. 3.1.2. Використання Microsoft Mathematics для побудови найскладніших графіків суперпозицій тригонометричних функцій

Можливості управління масштабом вікна графіків дозволяє проводити операції інтерактивної зміни масштабу окремо по кожній з координатних осей, що дозволяє наочно розглядати довільний проміжок побудованої функції (рис. 3.1.3).

Рис. 3.1.3 Масштабування видимих осей координат побудованої функції для аналізу деталізованих проміжків в Microsoft Mathematics 4.0

Рис. 3.1.4. Порівняння якості та наочності побудованих графіків складної функції  в альтернативному англомовному програмно-графічному калькуляторі MAPLESOFT Calculator (на базі MAPLE 11)

Як показує порівняльний аналіз якості управління графіками, інтерфейсних вікон графічної побудови та наявності/відсутності динамічного масштабування графіків (функція , побудована в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 та в пакеті MAPLESOFT Calculator (на базі MAPLE 11)):

- функціональні можливості обох пакетів по побудові графіків близькі, але інтерфейс управління пакету MAPLESOFT Calculator набагато важчий для школярів не тільки за англомовністю, але і за принципами набора функцій та управління ними;

-        пакет Microsoft Mathematics 4.0 дозволяє будувати множину різних функцій на одному графіку, а пакет MAPLESOFT Calculator призначений для побудови тільки однієї функції, тобто не дає можливості одночасного спостереження за характером змін різних функцій;

         в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 на графіках нанесена оцифрована шкала змінних X, Y, а в пакеті MAPLESOFT Calculator шкала задається на окремому табло і на полі графіків видна тільки відповідними масштабними рисками.

Таким чином, функціональні можливості аналізуємого в дипломному дослідженні програмно-графічного пакету Microsoft Mathematics 4.0, який з лютого 2011 року випущений фірмою Microsoft в російськомовному варіанті з вільною ліцензією для масового використання в учбових закладах, є найбільш досконалий для застосування в загальноосвітніх школах з одночасним застосуванням його як в шкільних комп’ютерних класах з інтерактивними «електронними» класними дошками, так і на домашньому комп’ютері школяра при виконанні домашніх завдань.

алгебра функція підручник школа

Список джерел

1. Бабенко С.П. Усi уроки алгебри і початків аналізу. 11 клас. ІІ семестр. Академічний рівень. // Бабенко С.П. - Харків: Основа, 2011. - 253 с.

2. Бевз Г.П. Алгебра: Підруч. для 7 кл. загальноосвіт. навч. закл. / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз - К.: Зодіак-ЕКО, 2007. - 304 с.

. Бевз Г.П. Алгебра: Підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл. / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз - К.: Зодіак-ЕКО, 2007. - 256 с.

4. Бедрій Я. І. Безпека життєдіяльності. Навчальний посібник. - Київ: Кондор, 2009. - 286 с

5. Державні санітарні правила і норми влаштування, утримання загальноосвітніх навчальних закладів та організації навчально-виховного процесу, затверджені постановою Головного санітарного лікаря України від 14.08.2001 №63 (ДСанПіН 5.2.2.008-01). - [Електронний документ] - режим доступу: http://zakon.nau.ua/doc/? code=v0063588-01

6. Державні будівельні норми України, «Захисні заходи електробезпеки в електроустановках будинків і споруд» (ДБН В.2.5-27-2006) // Введені Наказом Міністерства будівництва, архітектури та житлово-комунального господарства України від 29 березня 2006 р. №97 з 1 жовтня 2006 р., 2006. - [Електронний документ] - режим доступу: http://www.mebius.ua/files/normativy /1004621.doc

7. Жидецький В.Ц. Основи охорони праці: Підручник. - 4-те вид., пере-роб. і доп. Затверджено МОН. - Київ, Знання, 2010. - 375 с.

. Інструктивно-методичні матеріали «Безпечне проведення занять у кабінетах природничо-математичного напряму загальноосвітніх навчальних закладах» // Лист Міністерства освіти, науки, молоді та спорту України, №1/9-72 від 01.02.2012 - 18 с. - [Електронний документ] - режим доступу: http://osvita.ua/legislation/Ser_osv/27214/

. Мерзляк А.Г. Алгебра. 9 клас. Підручник для класів з поглибленим вивченням математики // А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір - Х.:Гімназія, 2009. - 379 с.

. Мерзляк А.Г. Алгебра і початки аналізу. 10 клас. Підручник для класів з поглибленим вивченням математики // А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський В.Б. Полонський, М.С. Якір - Х.:Гімназія, 2010. - 415 с:

. Методика застосування технології SMART Board у навчальному про-цесі: навч. посіб. / Г.Ф. Бонч-Бруєвич, В.О. Абрамов, Т.І. Носенко ― К.: КМПУ імені Б.Д. Грінченка, 2007. ― 102 с.

11. Нелін Є.П., Долгова О.Є. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закладів. - 2_ге вид., виправл. і доп. - Х.: Світ дитинства, 2006. - 416 с.

12. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 кл. загаль-ноосвіт. навч. закладів. - Харків: Гімназія, 2010. - 415 с.

. Резуненко В.О. Ярмак В.О. Тригонометричні рівняння і нерівності для старшокласників і абітурієнтів. // Резуненко В.О. Ярмак В.О. - Х.: Вид.група «Основа» 2011. - 94 с.

14. Решебник по учебнику: СУПЕР ГДЗ. Готові домашні завдання. 10 клас. Розв’язання вправ та завдань до усіх шкільних підручників. Кн. 1. (Решебник (ГДЗ) по учебнику Математика (Алгебра), 10 класс (Г.П. Бевз, В.Г. Бевз)) - X.: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2011. - 1184 с.

15. Основи охорони праці: Підручник. 21 ге видання, доповнене та перероблене. / К.Н. Ткачук, М.О. Халімовський, В.В. Зацарний, Д.В. Зеркалов, Р.В. Сабарно, О.І. Полукаров, В.С. Коз’яков, Л.О. Мітюк. За ред. К.Н. Ткачука і М.О. Халімовського. - К.: Основа, 2006 - 448 с.

16. Піскунова Л.Е. Безпека життєдіяльності // Л.Е. Піскунова, В.А. Прилипко, Т.О. Зубок. - К.: Академія, 2012. - 224 с.

17. «Про охорону праці» Закон України від 14 жовтня 1992 року N2694-XII // Із змінами і доповненнями, внесеними Законами України станом на №3458-VI від 02.06.2011 - [Електронний документ]. - режим доступу: - http://zakon1.rada.gov. ua/ laws/show/2694-12

. Положення про організацію роботи з охорони праці учасників навчально-виховного процесу в установах і навчальних закладах, затверджене наказом Міністерства освіти і науки України від 01.08.2001 №563 // Із змінами, внесеними згідно з Наказом Міністерства освіти і науки №782 від 20.11.2006. - [Електронний документ] - режим доступу: http://zakon2.rada.gov.ua/laws/ show/z0969-01

. Правила пожежної безпеки для закладів, установ і організацій системи освіти України, затверджені наказом Міністерства освіти України і Головного управління Державної пожежної охорони Міністерства внутрішніх справ України від 30.09.98 №348/70 (Із змінами, внесеними згідно з Наказом Міносвіти №80/16 від 21.02.2001). - [Електронний документ] - режим доступу: http://zakon2.rada.gov.ua/laws/show/z0800-98

. Правила безпечної експлуатації електроустановок споживачів, затверджені наказом Міністерства енергетики та вугільної промисловості від 13.02.2012 №91 - [Електронний документ] - режим доступу: http://safety-rtc.com/view_post.php? id=76

21. Правила безпеки під час навчання в кабінетах інформатики навчальних закладів системи загальної середньої освіти // Затверджені наказом Держнагляд-охоронпраці України від 16.03.2004 №81 (Із змінами, внесеними згідно з наказом Державного комітету України з промислової безпеки, охорони праці та гірничого нагляду №252 від 06.11.2007). - [Електронний документ] - режим доступу: http://zakon1.rada.gov.ua/laws/show/z0620-04

22. Положення про порядок проведення навчання і перевірки знань з питань охорони праці в закладах, установах, організаціях, підприємствах, підпорядкованих Міністерству освіти і науки України, затвердженому наказом Міністерства освіти і науки України від 18.04.2006 №304. - [Електронний документ] - режим доступу: http://zakon2.rada.gov.ua/laws/show/z0806-06

23. Положення про порядок розслідування нещасних випадків, що сталися під час навчально-виховного процесу в навчальних закладах, затверджене наказом Міністерства освіти і науки України від 31.08.2001 №616, (Із змінами, внесеними згідно з Наказом Міністерства освіти і науки N 773 від 05.07.2004) - [Електронний документ] - режим доступу:://zakon3.rada.gov.ua/laws/show /z1093-01

24. Перелік навчальних програм, підручників та навчально-методичних посібників, рекомендованих Міністерством освіти і науки, молоді та спорту України для використання в основній і старшій школі у загальноосвітніх навчальних закладах з навчанням українською мовою у 2012/13 навчальному році // Лист Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України від 23.08.2012 №1/9-592 «Про використання навчальної літератури в загальноосвітніх навчальних закладах у 2012/2013 навчальному році»

25. Сипченко Т.М. Календарно-тематичний план з математики. 5-11 класи /Т.М. Сипченко. - 2-е вид., перероб. і доп. - X.: Видавництво «Ранок», 2011. - 128 с.

. Титаренко О.М. 5770 задач з математики з відповідями. 2 - ге вид. випр. - Харків: ТОРГСІНГ ПЛЮС, 2007. - 336 с.

. Титаренко О.М. Форсований курс шкільної математики: Навчальний посібник. - Х.: Торсінг, 2003. - 368 с.

. Фурман М.С. Збірник задач з алгебри і початків аналiзу. 11 клас. - Х.: Вид. група «Основа», 2010. - 159 с.

29. Шкіль М.І. Алгебра та початки аналізу: Підручник для 11 кл. загально-освітн. навч. закладів/ М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубинчук - К.: Зодіак-ЕКО, 2002. - 384 с.