Термодинамические процессы и циклы в тепловых двигателях и установках

Термодинамические процессы и циклы в тепловых двигателях и установках

Задача 1

адиабатный сжатие компрессор двигатель

М кг газа сжимается по изобаре, изотерме, адиабате и политропе с показателем n. Определить для всех случаев: конечное давление, конечную температуру, начальный и конечный объем, работу, теплоту, изменение внутренней энергии, энтальпии, энтропии, изобразить в масштабе процессы в диаграммах р - V и Т - S.

Таблица 1

Исходные данные	Численные значения
1. Газ	Кислород
2. Масса газа М, кг	8
3. Давление р1, МПа	0,14
4. Начальная температура t1, ºC	50
5. Степень сжатия, ε	11
6. Показатель политропы, n	1,70

Находится начальный объем газа V₁, м³, по уравнению состояния идеального газа [1, стр.7]

р₁V₁=МRT₁,

где р₁ - начальное давление газа, Па;

М - масса газа, кг;

R=259,8 - газовая постоянная кислорода, Дж/(кг·К);

T₁ - абсолютная начальная температура газа, К, определяемая как T₁=t₁ºC+273,15 [1, стр.7]

T₁=50+273,15

T₁=323,15K

Подставляются все необходимые данные в формулу

V₁=,

V₁=

Конечный объем газа V₂, м³, вычисляется из соотношения степени сжатия [1, стр.34]

ε=,

V₂=,

V₂=

Изобарный процесс сжатия

Конечное давление р₂=р₁. Температура Т₂, К, в конце сжатия определяется из соотношения для изобарного процесса (закон Гей - Люссака)

=.

Из уравнения выражается Т₂, К, подставляются все численные значения.

Т₂=,

Т₂=

Работа изменения объема в изобарном процессе сжатия, МДж, находится по формуле

L=p₁(V₂ - V₁).

Подставляются все данные в формулу

L=140000·(0,436-4,797)=-610540Дж.

Располагаемая работа в изобарном процессе L₀=0.

Теплота в изобарном процессе Q согласно первому закону термодинамики равна изменению энтальпии ΔН, МДж, т. е.

Q=ΔН=Н₂ - Н₁=с_рm·М· (T₂ - T₁)10³,

где с_рm=0,917 - удельная средняя массовая изобарная теплоемкость для кислорода, кДж/(кг·К), принимается по начальной температуре.

Подставляются все данные в формулу

Q=0,917·8· (29,371 - 323,15)10³=−2155162.

Определяется изменение внутренней энергии, МДж, по формуле:

ΔU=U₂ - U₁=с_umM(T₂ - T₁)10³,

где с_vm=0,657 - удельная средняя массовая изохорная теплоемкость для кислорода, кДж/(кг·К), принимается аналогично теплоемкости с_рm.

Подставляются все данные в формулу

ΔU=0,657·8(29,371 - 323,15)10³=-1544102,424,

Определяется изменение энтропии, кДж/К, по формуле:

ΔS=S₂ - S₁=с_pmM·ln()·10³.

Подставляются все данные в формулу

ΔS=0,917·8·ln·10³=-17,692·10³.

Для построения процесса 1 - 2 на диаграмме Т - S вычисляются расчетные точки по формуле

ΔS=с_pmM·ln.

Таблица

, К, кДж/К
323,15	0
250	-1,882
200	-3,519
150	-5,630
100	-8,604
50	-13,689
29,371	-17,592

Изотермический процесс сжатия

Температура в конце сжатия Т₂=Т₁, поскольку в этом процессе Т=const.

Конечное давление р₂, МПа, находится из уравнения изотермического процесса (закон Бойля - Мариотта).

р₁V₁=р₂V₂ или р₂=р₁ε

Подставляются все данные в формулу:

р₂=0,14·11=1,54.

Работа процесса L, МДж, может быть определена по формуле:

L=p₁V₁·ln().

Подставляются все данные в формулу

L= 140000·4,797·ln()=-1610518,521.

Теплота в изотермическом процессе Q=L.

Изменение внутренней энергии ΔU=0, так как Т=const.

Изменение энтальпии ΔН=0, потому что Т=const.

Находится изменение энтропии ΔS, кДж/К, по формуле

ΔS=.

Подставляются все данные в формулу

ΔS==-4983,79 .

Для построения процесса 1 - 3 на диаграмме р - V вычисляются расчетные точки по формуле

p₁V₁=p_iV_i

Таблица

, МПа, м3
0,14	4,797
0,40	1,678
0,80	0,839
1,20	0,559
1,40	0,479
1,54	0,463

Адиабатный процесс сжатия

Давление в конце сжатия р₂, МПа, определяется по уравнению адиабатного процесса

р₁₌ р₂,

где k= - показатель адиабаты для кислорода k=1,4

Выражается р₂ и данные подставляются в формулу:

Температура Т₂, К, определяется из соотношения адиабатного процесса:

Т₁₌ Т₂ или.

Выражается Т₂ и данные подставляются в формулу

Работа и изменение внутренней энергии, МДж, может быть определено по следующей формуле:

L= ΔU=с_umM(T₁ - T₂)10³

Подставляются все данные в формулу

L=ΔU=0,657·8(323,15-843,259)10³=-2733692,904.

Так как адиабатный процесс осуществляется без теплообмена, то теплота Q=0, и, следовательно, изменение энтропии ΔS=0.

Изменение энтальпии ΔН, МДж, определяется по формуле:

ΔН=с_рmM(T₂ - T₁).

Подставляются все данные в формулу

ΔН=0,917·8(843,259 - 323,15)=3815,519

Для построения процесса 1 - 4 на диаграмме р - V вычисляются расчетные точки по формуле:

р₁₌ р_i

Таблица

, МПа, м3
0,14	4,797
0,5	1,932
1,0	1,177
1,50	0,881
2,0	0,717
2,50	0,612
3,0	0,537
3,50	0,481
4,0	0,437
4,018	0,436

Политропный процесс сжатия

Конечное давление р₂, МПа, находится из уравнения политропного процесса:

р₁₌ р₂,

где n - показатель политропы.

Выражается р₂ и данные подставляются в формулу

Температура Т₂, К, определяется из соотношения политропного процесса:

Т₁₌ Т₂.

Выражается Т₂ и данные подставляются в формулу:

Находится изменение внутренней энергии, ΔU, МДж, по формуле:

ΔU=с_umM(T₂ - T₁)10³

Подставляются все данные в формулу

ΔU=0,657·8(1731,326 - 323,15)10³=7401373,056.

Находится работа процесса, L, МДж, по формуле:

L=МR(Т₁ - Т₂)/(n - 1).

Подставляются все данные в формулу

L=8·259,8(323,15 -1731,326)/(1,70 - 1)=-4181075,712.

Находится теплота политропного процесса, Q, МДж, по выражению:

Q=с_mM(T₂ - T₁)10³,

где с_m - удельная средняя массовая теплоемкость политропного процесса, кДж/(кг·К); определяется по выражению [4, стр.12]

с_m= с_um(n - k)/(n - 1).

Подставляются все данные в формулу:

с_m= 0,657(1,70 - 1,4)/(1,70 - 1)=0,281.

Найдя все необходимые параметры, находится теплота политропного процесса

Q=-0,281·8(1731,326 - 323,15)·10³=-3165579,648.

Определяется изменение энтальпии, ΔН, МДж, по формуле

ΔН=с_рmM(T₂ - T₁).

Подставляются все данные в формулу

ΔН=0,917·8(1731,326- 323,15)=10330,379.

Изменение энтропии, ΔS, кДж/кг, находится по формуле [2, стр.45]

ΔS=с_mM·ln.

Подставляются все данные в формулу

ΔS=0,281·8·ln()=-3,773.

Для построения процесса 1 - 5 на диаграмме р - V вычисляются расчетные точки по формуле

р₁₌ р_i,

Таблица

, МПа, м3
0,14	4,797
1,0	1,508
2,0	1,003
3,0	0,790
4,0	0,667
5,0	0,585
6,0	0,525
7,0	0,480
8,250	0,436

Для построения процесса 1 - 5 на диаграмме Т - S вычисляются расчетные точки по формуле

ΔS= с_mM·ln.

Таблица

, К, кДж/К
323,15	0
500	1,373
700	1,737
900	2,302
1100	2,753
1300	3,129
1500	3,450
1600	3,595
1731,326	3,840

Задача 2

В многоступенчатом идеальном компрессоре газ сжимается от давления р₁, до давления р_кон. Производительность компрессора (по начальным параметрам) V₁. После каждой ступени сжатый газ охлаждается в промежуточных холодильниках до начальной температуры Т₁. Определить теоретическую мощность, потребляемую Z - ступенчатым компрессором и количество охлаждающей воды, прокачиваемой через промежуточные холодильники и полости охлаждения цилиндров, если температура воды повышается на ΔТ_w.

Сжатие газа во всех случаях происходит по политропе с показателем n. Найти изменение энтропии в процессах сжатии газа в цилиндре и охлаждения в промежуточном холодильнике, а также мощность эквивалентного одноступенчатого компрессора.

Построить в масштабе процессы на диаграммах р - υ и Т - S многоступенчатого и эквивалентного одноступенчатого компрессоров.

Таблица 2

Исходные данные	Численные значения
1. р1, МПа	0,12
2. ркон, МПа	3,0
3. V1, м3/ч	30
4. Т1, К	310
5. Z	2
6. ΔТw, К	5
7. n	1.20
8. Газ	азот

Вычисляется давление на входе во вторую ступень р₂, МПа по формуле [2, стр.96]

==λ=.

Из формулы выражается р₂, подставляются данные в формулу

р₂=· р₁,

р₂=·0,12=0,6.

Находится работа, L, Дж/ч, потребляемая каждой ступенью идеального компрессора [2, стр.459]

L=,

где n - показатель политропы;

р₁ - начальное давление, кПа;

V₁ - производительность компрессора, м³/ч.

Все данные подставляются в формулу

L=,=6645,466.

Находится мощность N_ст, кВт, одной ступени по формуле [2, стр.51]

N_ст= L/3600.

Все данные подставляются в формулу

N_ст= 6645,466/3600=1,845.

Находится мощность N_к, кВт, z - ступенчатого компрессора [4, стр.14]

N_к = z·N_ст.

Все данные подставляются в формулу

N_к = 2·1,845=3,69.

Определяется производительность компрессора V₂, м³/ч, по параметрам газа на выходе из первой ступени при помощи уравнения политропного процесса

р₁₌ р₂.

Выражается V₂, данные подставляются в формулу

V₂=,

V₂==7,845963.

Для построения процесса 1 - 2 на диаграмме р - V вычисляются расчетные точки по формуле

p₁V₁=p_iV_i

Таблица

, Па, м3
120000	30
200000	19,5996
300000	13,97992
400000	10,99991
500000	9,133361
600000	7,845963

Находится температура Т₂, К, на выходе из первой, второй ступени по формуле [2, стр.50]

=.

Выражается Т₂, данные подставляются в формулу

Т₂=· Т₁,

Т₂=· 310=405,374.

Определяется производительность компрессора V₃, м³/ч, по условиям на входе во вторую ступень с помощью уравнения изобарного процесса охлаждения газа в промежуточном холодильнике от температуры Т₂ до Т₁

=.

Выражается V₃, данные подставляются в формулу

V₃=,

V₃==6.

Определяется производительность компрессора V₄, м³/ч, по параметрам газа на выходе из второй ступени при помощи уравнения политропного процесса

р₂₌ р_кон.

Выражается V₄, данные подставляются в формулу

V₄=,

V₄==1,569.

Для построения процесса 3 - 4 на диаграмме р - V вычисляются расчетные точки по формуле

P_конV₃=p_iV_i

Таблица

, МПа, м3
600000	6
800000	4,721018
1200000	3,367386
1600000	2,649582
2000000	2,199981
2400000	1,889882
2600000	1,767934
2800000	1,662056
3000000	1,569193

Находится массовая производительность компрессора М, кг/ч, при помощи уравнения состояния идеального газа

р₁V₁=МRT₁,

где R=296,8 - газовая постоянная азота, Дж/(кг·К).

Их уравнения выражается М, подставляются параметры газа на входе в первую ступень компрессора

М=,

М==39,127.

Количество теплоты, Q_ст, Дж/ч, отводимое от газа в одной ступени находится по формуле [4, стр.14]

Q_ст=с_mM(T₂ - T₁),

где с_m - удельная средняя массовая теплоемкость политропного процесса, кДж/(кг·К); определяется по выражению

с_m= с_vm(n - k)/(n - 1),

где с_vm=0,742 - удельная средняя массовая изохорная теплоемкость для азота, кДж(кг·К) [1, стр.80].

Подставляются все данные в формулу

с_m= 0,742(1,20 - 1,4)/(1,20 - 1) 10³ = -742.

Находится теплота

Q_ст=-742·39,127(405,374-310)=-2768920,285.

Определяется количество теплоты Q_х, МДж/ч, отводимое от газа в промежуточном холодильнике в процессе изобарного охлаждения по формуле

Q_х=М·с_рm(Т₁ - Т₂),

где с_рm=1,040 - удельная средняя массовая изобарная теплоемкость азота, кДж(кг·К), принимается по начальной температуре [1, стр.80].

Данные подставляются в формулу

Находится общее количество теплоты, Q, кДж/ч, отводимое от газа в компрессорной машине [4, стр.14]

Q=z·Q_ст+m·Q_х,

где m - число промежуточных холодильников;

z - число ступеней.

Данные подставляются в формулу

Q=2·(-2768920,285)+1·(-3880966,437)·10^-3=-9418,807.

Определяется количество охлаждающей воды, М_В, кг/ч, прокачиваемой в компрессорной машине [4, стр.14]

М_В=|Q|/(с_рв·ΔТ_w),

где с_рв=4,19 - удельная средняя массовая изобарная теплоемкость воды, кДж/(кг·К).

Все необходимые данные подставляются в формулу

М_В=9418,807/(4,19·5) =450,34.

Находится изменение энтропии ΔS, кДж/(кг·К), в процессе политропного сжатия в ступени компрессора

ΔS=c_m·М·ln.

Данные подставляются в формулу

ΔS=-0,742·39,127·ln=-7,787.

Находится изменение энтропии ΔS, кДж/(кг·К), в процессе изобарного сжатия в ступени промежуточном охладителе

ΔS=с_pm·М·ln.

Данные подставляются в формулу

ΔS=1,040·39,127·ln=-10,915.

Для построения процессов 1 - 2, 3 - 4 на диаграмме Т - S вычисляются расчетные точки по формуле

ΔS=с_m·М·ln.

Таблица

, К, кДж/К
405,37475	-7787,6
400	-7400,1
370	-5136,7
340	-2681,81
310	0

Для построения процесса 2 - 3 на диаграмме Т - S вычисляются расчетные точки по формуле :

ΔS=с_pm·М·ln.

Таблица

, К, кДж/К
405,374	0
390	-1,573
370	-3,715
340	-7,156
310	-10,915

Определяется работа L, Дж/ч, эквивалентного одноступенчатого компрессора по формуле :

L_экв=,

где р₁, V₁, - начальные параметры газа.

Данные подставляются в формулу

L_экв==-15335480.

Находится теоретическая мощность N_экв, Вт, эквивалентного одноступенчатого компрессора :

N_экв= L_экв/3600.

Данные подставляются в формулу :

N_экв= 15335480/3600=4259,86

Вычисляется производительность эквивалентного компрессора V_2экв, м³/ч по формуле :

р₁₌ р_кон.

Выражается V_2экв, данные подставляются в формулу :

V_2экв=,

V_2экв==2,0519.

Находится температура газа Т_2экв, К, в конце политропного сжатия эквивалентного компрессора по формуле:

Т₁₌ Т_2экв.

Выражается Т₂ и данные подставляются в формулу:

Т_2экв=,

Т_2экв==530,092.

Определяется полное изменение энтропии ΔS, Дж/(кг·К), в политропном процессе сжатия эквивалентного одноступенчатого компрессора по формуле :

ΔS=с_m·М·ln.

Данные подставляются в формулу :

ΔS=-0,742·39,127·ln=-15029,4.

Для построения процессов 1 - 2_экв на диаграмме Т - S вычисляются расчетные точки по формуле :

ΔS=с_m·М·ln.

Таблица

Т2i, K	, кДж/К
530,09254	-15029,4
500	-13392,2
450	-10440,5
405,37475	-7787,6
400	-7400,1
370	-5136,7
340	-2681,81
310	0

Задача 3

Для идеального цикла ДВС определить параметры р, υ и Т во всех характерных точках, количество подведенной и отведенной теплоты, работу цикла, изменение энтропии и термический КПД, если известны начальные параметры р₁, υ₁, и Т₁ и безразмерные характеристики ε, λ и ρ. Рабочее тело - воздух, процессы сжатия и расширения - политропные с показателями соответственно n₁ и n₂, удельные теплоемкости - независимые от температуры.

Таблица 3

Исходные данные	Численные значения
1. Показатель политропы сжатия n1	1,37
2. р1, МПа	-
3. Т1, К	320
4. υ1, м3/кг	0,80
5. Степень повышения давления λ	1,7
6. Степень сжатия ε	15
7. Степень предварительного расширения ρ	1,6
8. Показатель политропы расширения n2	1,23

Определяется начальная температура Т₁, К, воздуха по формуле состояния идеального газа :

р₁υ₁=RT₁,

где р₁ - начальное давление газа, Па;

R=287 - газовая постоянная воздуха, Дж/(кг·К);

υ₁ - удельный объем, м³/кг.

Выражается р₁ и данные подставляются в формулу :

р₁=,

p₁==0,114.

Из соотношения степени сжатия ε находится удельный объем υ₂, м³/кг, в точке 2 [2, стр.96]

ε=.

Выражается υ₂ и данные подставляются в формулу :

υ₂=,

υ₂==0,0533.

При помощи уравнения политропного процесса находится давление р₂, МПа в точке 2 :

р₁₌ р₂,

где n₁ - показатель политропы сжатия.

Выражается р₂ и данные подставляются в формулу :

р₂=,

р₂==4,690.

Температура Т₂, К, для точки 2 определяется по уравнению состояния идеального газа :

р₂υ₂=RT₂,

Выражается Т₂ и данные подставляются в формулу :

Т₂=,

Т₂==871,573.

Давление р₃, МПа, в точке 3 находится из уравнения степени повышения давления λ :

λ=.

Выражается р₃ и данные подставляются в формулу :

р₃=λ·р₂,

р₃=1,7·4,690=7,973.

Температура Т₃, К, в точке 3 определяется с помощью формулы закона Шарля :

=.

Из формулы выражается Т₃ и все данные подставляются в уравнение :

Т₃== Т₂·λ,

Т₃=871,573·1,7=1481,674.

Удельный объем υ₃, м³/кг, в точке 3 равен удельному объему υ₂, м³/кг в точке 2, так как процесс 2 - 3 - изохорный.

υ₃= υ₂=0,0533.

Давление р₄, МПа, в точке 4 равно давлению р₃, МПа, в точке 3, так как процесс 3 - 4 - изобарный.

р₄= р₃=7,973.

Из уравнения степени предварительного расширения ρ находится удельный объем υ₄, м³/кг, в точке 4 [2, стр.96]

ρ =.

Из формулы выражается υ₄ и все данные подставляются в уравнение :

υ₄= ρ·υ₂,

υ₄=1,6·0,0533=0,085.

Из уравнения Клапейрона находится температура Т₄, К, в точке 4

р₄υ₄=RT₄,

Выражается Т₄ и данные подставляются в формулу :

Т₄=,

Т₄==2370,678.

Удельный объем υ₅, м³/кг, в точке 5 равен удельному объему υ₁, м³/кг в точке 1, так как процесс 5 - 1 - изохорный.

При помощи уравнения политропного процесса находится давление р₅, МПа в точке 5 :

р₄₌ р₅,

где n₂ - показатель политропы расширения.

Выражается р₅ и данные подставляются в формулу :

р₅=,

р₅==0,508.

Определяется температура Т₅, К, в точке 5 из уравнения состояния идеального газа :

р₅υ₅=RT₅.

Выражается Т₅ и данные подставляются в формулу :

Т₅=,

Т₅==1416.

Находится количество подведенной теплоты q₁, кДж/кг, в цикле [4, стр.19]

q₁= q_1v+ q_1p+ q_1расш,

где q_1v, q_1p, q_1расш - количество подводимой теплоты соответственно в

изохорном, изобарном процессах и политропном процессе расширения.

Определяется теплота q_1v, кДж/кг, подведенная в изохорном процессе 2 - 3

q_1v=с_vm(Т₃ - Т₂),

где с_vm=0,716 - удельная массовая изохорная теплоемкость, кДж/(кг·К), принятая по начальной температуре газа [1, стр.75].

Данные подставляются в формулу :

q_1v=0,716·(1481-871,6)=436,8.

Определяется теплота q_1р, кДж/кг, подведенная в изобарном процессе 3 - 4 [4, стр.20]

q_1р=с_рm(Т₄-Т₃),

где с_рm=1,003 - удельная массовая изобарная теплоемкость, кДж/(кг·К), принятая по начальной температуре газа [1, стр.75].

Данные подставляются в формулу :

q_1р=1,003·(2370-1481)=891,7.

Определяется теплота q_1расш, кДж/кг, подведенная в политропном процессе расширения 4 - 5 [4, стр.20]

q_1р=с₂(Т₅-Т₄),

где с₂ - удельная массовая теплоемкость политропного процесса, кДж/(кг·К) вычисляется по формуле [4, стр.20]

с₂= с_vm(n₂-k)/(n₂-1).

Данные подставляются в формулу :

с₂= 0,716(1,23-1,4)/(1,23-1)= -0,531.

Данные подставляются в формулу :

q_1расш= -0,531·(1416-2370)=504,8

Найдя все необходимые данные, подставляем их в формулу всей подведенной теплоты q₁, кДж/кг, в цикле

q₁=436,8+891,7+504,8=1833,3.

Находится количество отведенной теплоты, кДж/кг, в цикле [4, стр.19].

= + ,

где , - количество отведенной теплоты соответственно в изохорном процессе отвода теплоты и политропном процессе сжатия.

Определяется теплота , кДж/кг, отведенная в политропном процессе сжатия 1 - 2 [4, стр.20]

=с₁(Т₁ - Т₂),

где с₁ - удельная массовая теплоемкость политропного процесса, кДж/(кг·К) вычисляется по формуле [4, стр.21].

с₁= с_vm(n₁-k)/(n₁-1).

Данные подставляются в формулу :

с₁= 0,716(1,37-1,4)/(1,37-1)= -0,058.

Данные подставляются в формулу :

=-0,058·(320-871,6)=32,02.

Определяется теплота, , кДж/кг, отведенная в изохорном процессе 5 - 1 [4, стр.20]

= с_vm(Т₅ - Т₁),

Данные подставляются в формулу :

=0,716·(1416-320)=785,3.

Найдя все необходимые данные, подставляем их в формулу всей отведенной теплоты , кДж/кг, в цикле

=785,3+32,02=817,3.

Вычисляется удельная работа цикла l, кДж/кг по формуле [4, стр.21].

l=q₁-.

Данные подставляются в формулу :

l=1833,3-817,3=1015,9.

Определяется термический КПД цикла по формуле [4, стр.21].

η_t==1-.

Данные подставляются в формулу :

η_t=1-=0,554.

Выводится формула, выраженная через безразмерные коэффициенты ε, λ, ρ из формулы приведенной выше

η_t=1-=1-.

Все температуры выражаются через температуру Т₁, К, точки 1, а теплоемкости выражаются через удельную массовую изохорную теплоемкость с_vm, кДж/(кг·К).

Температура Т₂, К, точки 2 выражается из уравнения политропного процесса сжатия с показателем политропы n₁

Т₁=Т₂,

Т₂== Т₁·.

Температура Т₃, К, точки 3 выражается из уравнения изохорного процесса

=,

Т₃== Т₂·λ=Т₁· λ.

Температура Т₄, К, точки 4 выражается из уравнения изобарного процесса, причем υ₃= υ₂

=,

Т₃== Т₃·ρ=Т₁· λ·ρ.

Температура Т₅, К, точки 5 выражается из уравнения политропного процесса сжатия с показателем политропы n₂, причем υ₅= υ₁

Т₄=Т₅,

Т₅== Т₄= Т₄= Т₁· λ·ρ·.

Удельная изобарная массовая теплоемкость с_рm, кДж/(кг·К), имеет следующую зависимость [2, стр.45].

k=,

с_рm=k· с_vm.

Удельные теплоемкости политропных процессов сжатии и расширения с₁, с₂, выраженные через удельную массовую изохорную теплоемкость, с_vm, приведены выше.

Все полученные данные подставляются в формулу :

η_t=1-.

Дробь сокращается на с_vm и на температуру Т₁, К, формула принимает вид

η_t=1-.

В результате математических преобразований формула принимает окончательный вид

η_t=1-.

В формулу подставляются все числовые значения

η_t=1-=0,554.

Находится изменение удельной энтропии ΔS, кДж/(кг·К), в процессе 1 - 2 по формуле :

ΔS=с₁·ln.

В формулу подставляются все числовые значения

ΔS=-0,058·ln=-0,058.

Для построения процесса 1 - 2 на диаграмме Т - S вычисляются расчетные точки по формуле :

ΔS=с₁·ln.

Таблица

, К,
320	0
420	-0,015787
520	-0,02819
620	-0,0384
720	-0,04708
871,573	-0,05817

Находится изменение удельной энтропии ΔS, кДж/(кг·К), в процессе 2 - 3 по формуле :

ΔS=с_vm·ln.

В формулу подставляются все числовые значения :

ΔS=0,7193·ln=0,379.

Для построения процесса 2 - 3 на диаграмме Т - S вычисляются расчетные точки по формуле :

ΔS= с_vm·ln.

Таблица

Т3i, K	,
871,573	0
900	0,02298
1200	0,228961
1300	0,286271
1481,674	0,37993

Находится изменение удельной энтропии ΔS, кДж/(кг·К), в процессе 3 - 4 по формуле :

ΔS=с_рm·ln.

В формулу подставляются все числовые значения :

ΔS=1,003·ln=0,471.

Для построения процесса 3 - 4 на диаграмме Т - S вычисляются расчетные точки по формуле :

ΔS=с_рm·ln.

Таблица

Т4i, K,
1481,674	0
1500	0,012329
1600	0,077062
1700	0,137868
1800	0,195198
1900	0,249427
2100	0,349811
2200	0,396471
2370,678	0,471414

Находится изменение удельной энтропии ΔS, кДж/(кг·К), в процессе 4 - 5 по формуле :

ΔS=с₂·ln.

В формулу подставляются все числовые значения

ΔS=-0,531·ln=0,272.

Для построения процесса 4 - 5 на диаграмме Т - S вычисляются расчетные точки по формуле :

ΔS=с₂·ln.

Таблица

Т5i, K,
2370,678	0
2000	0,089982
1800	0,145741
1600	0,208074
1416,835	0,272415

Находится изменение удельной энтропии ΔS, кДж/(кг·К), в процессе 5 - 1 по формуле :

ΔS=с_vm·ln.

В формулу подставляются все числовые значения :

ΔS=0,716·ln=-1,065.

Для построения процесса 5 - 1 на диаграмме Т - S вычисляются расчетные точки по формуле :

ΔS=с_vm·ln.

Таблица

Т1i, K,
1416,835	0
1100	-0,18123
900	-0,32491
800	-0,40924
700	-0,50485
600
500	-0,74577
400	-0,90554
320	-1,06531

Для построения процесса 1 - 2 на диаграмме р - V вычисляются расчетные точки по формуле :

р₁₌ р_i,

Таблица

, МПа, м3/кг
114800	0,8
500000	0,273304
1000000	0,164784
1500000	0,12257
2000000	0,099354
2500000	0,084421
3000000	0,073901
4000000	0,059904
4690152	0,053333

р₄₌ р_i,

Таблица

, МПа, м3/кг
7973258	0,085333
6000000	0,107526
4000000	0,149512
3000000	0,188909
2000000	0,262673
1000000	0,461483
508289,5	0,8

Задача 4

Для цикла ГТД с изобарным подводом теплоты определить параметры во всех характерных точках, количество подведенной и отведенной теплоты, работу цикла, значение термического КПД, изменение энтропии, если для данного газа известны начальные параметры р₁, υ₁ и Т₁, степень повышения давления газа в компрессоре β и степень предварительного расширения газа в процессе изобарного подвода теплоты ρ. Процессы сжатия и расширения - политропные с показателями политроп соответственно n₁ и n₂. Теплоемкость считать постоянной. Вывести расчетную формулу для определения термического КПД и построить зависимость η_t=f(β) при изменении β от 2,0 до 8,0.

Изобразить цикл в диаграммах р - υ и Т - S в масштабе.

Таблица 4

Исходные данные	Численные значения
1. Газ	Воздух
2. р1, МПа	0,10
3. υ1, м3/кг	0,85
4. Т1, К	-
5. ρ	3,0
6. β	7
7. n1	1,45
8. n2	1,28

Определяется удельный объем υ₁, м³/кг, в точке 1 по уравнению состояния идеального газа

р₁υ₁=RT₁,

где р₁ - начальное давление газа, Па;

R=287 - газовая постоянная воздуха, Дж/(кг·К);

Т₁ - начальная температура, К.

Выражается Т₁ и данные подставляются в формулу

Т₁=,

Т₁==296,167.

Из уравнения степени повышения давления находится давление р₂, МПа, в точке 2 [2, стр.96].

β=.

Выражается р₂ и данные подставляются в формулу :

р₂= β·р₁,

р₂= 7·0,1=0,7.

По уравнению политропного процесса находится удельный объем υ₂, м³/кг, в точке 2

р₁₌ р₂,

где n₁ - показатель политропы сжатия.

Выражается υ₂ и данные подставляются в формулу

υ₂=,

υ₂==0,222.

По уравнению политропного процесса находится температура Т₂, К, в точке 2

Т₁₌ Т₂.

Выражается Т₂ и данные подставляются в формулу :

Т₂=,

Т₂==367,2486.

Из уравнения степени предварительного расширения находится удельный объем υ₃, МПа, в точке 3

ρ=.

Выражается υ₃ и данные подставляются в формулу :

υ₃= ρ·υ₂,

υ₃=3·0,222=0,666.

По уравнению изобарного процесса находится температура Т₃, К, в точке 3

=.

Из уравнения выражается Т₃, К, подставляются все численные значения.

Т₃=,

Т₃==1625,287.

Давление р₃, МПа, в точке 3 равно давлению р₂, МПа в точке 2, а так же давление р₄, МПа, в точке 4 равно давлению р₁, МПа в точке 1 так как процесс 2 - 3 и процесс 4 - 1 - изобарные

р₃= р₂=0,7.

р₄= р₁=0,1.

По уравнению политропного процесса находится удельный объем υ₄, м³/кг, в точке 4

р₃₌ р₄,

где n₂ - показатель политропы расширения.

Выражается υ₄ и данные подставляются в формулу

υ₄=,

υ₄==3,047.

Определяется температура Т₄, К, по формуле состояния идеального газа

р₄υ₄=RT₄,

Выражается Т₄ и данные подставляются в формулу

Т₄=,

Т₄==1061,854.

Находится количество подведенной теплоты q₁, кДж/кг, в цикле [4, стр.24]

q₁=q_1p+q_1сж+,

где q_1p, q_1сж - количество подводимой теплоты соответственно в изобарном процессе 2 - 3 и политропном процессе сжатия 1 - 2.

 - количество теплоты, отведенное в политропном процессе расширения 3 - 4, кДж/кг.

Определяется теплота q_1р, кДж/кг, подведенная в изобарном процессе 2 - 3.

q_1р=с_рm(Т₃-Т₂),

где с_рm=1,003 - удельная массовая изобарная теплоемкость, кДж/(кг·К), принятая по начальной температуре газа

Данные подставляются в формулу

q_1р=1,003·(1625,287-541,762)=1086,775.

Определяется теплота q_1сж, кДж/кг, подведенная в политропном процессе сжатия 1 - 2

q_1сж=с₁(Т₂ - Т₁),

где с₁ - удельная массовая теплоемкость политропного процесса, кДж/(кг·К) вычисляется по формуле.

с₁=с_vm(n₁-k)/(n₁-1),

где с_vm=0,716 - удельная массовая изохорная теплоемкость воздуха, кДж/(кг·К), взятая при начальной температуре

Данные подставляются в формулу

с₁=0,716(1,45-1,4)/(1,45-1)=0,079.

Данные подставляются в формулу

q_1сж=0,079·(541,762-296,167)=19,538.

Определяется теплота , кДж/кг, отведенная в политропном процессе расширения 3 - 4

= с₂(Т₃ - Т₄),

где с₂ - удельная массовая теплоемкость политропного процесса, кДж/(кг·К) вычисляется по формуле

с₂=с_vm(n₂-k)/(n₂-1),

где с_vm=0,716 - удельная массовая изохорная теплоемкость воздуха, кДж/(кг·К), взятая при начальной температуре.

Данные подставляются в формулу :

с₂=0,716(1,28-1,4)/(1,28-1)=-0,307.

Данные подставляются в формулу :

=-0,307·(1625,287−1061,854)=172,893.

Найдя все необходимые данные, определяется вся подведенная теплота q₁, кДж/кг, в цикле

q₁=19,538+1086,775+ 172,893=1279,207.

Находится отведенная теплота , кДж/кг, в цикле

= ,

где  - количество теплоты, отведенное в изобарном процессе 4 - 1, кДж/кг;

Определяется теплота , кДж/кг, отведенная в изобарном процессе 4 - 1

= с_рm(Т₄ - Т₁).

Данные подставляются в формулу

=1,003·(1061,854-296,167)=767,984.

Найдя все необходимые данные, определяется вся отведенная теплота , кДж/кг, в цикле

=767,984.

Удельная работа цикла l, кДж/кг, определяется по формуле

l= q₁-.

Данные подставляются в формулу

l=1279,207-767,984=511,223.

Определяется термический КПД цикла по формуле

η_t==1-.

Данные подставляются в формулу

η_t=1-=0,399.

Выводится формула, выраженная через безразмерные коэффициенты β, ρ из формулы приведенной выше

η_t=1-=1-.

Все температуры выражаются через температуру Т₁, К, точки 1, а теплоемкости выражаются через удельную массовую изохорную теплоемкость с_vm, кДж/(кг·К).

Температура Т₂, К, точки 2 выражается из уравнения политропного процесса сжатия с показателем политропы n₁

Т₁=Т₂,

Т₂== Т₁·.

Температура Т₃, К, точки 3 выражается из уравнения изобарного процесса

=,

Т₃== Т₂·ρ=Т₁··ρ.

Температура Т₄, К, точки 4 выражается из уравнения политропного процесса сжатия с показателем политропы n₂

Т₃=Т₄,

Т₄==Т₃·= Т₁··ρ·= Т₁··ρ·= Т₁··ρ.

Удельные теплоемкости политропных процессов сжатии и расширения, а так же изобарная теплоемкость с₁, с₂, с_рm выраженные через удельную массовую изохорную теплоемкость, с_vm, приведены выше.

Все полученные данные подставляются в формулу

η_t=1-.

Дробь сокращается на с_vm и на температуру Т₁, К, формула принимает вид

η_t=1-.

В результате математических преобразований формула принимает окончательный вид

η_t=1-.

В формулу подставляются все числовые значения

η_t=1-=0,399.

Для построения графика η_t=f(β) вычисляются расчетные точки

Таблица

β	2	3	4	5	6	7
ηt	0,173	0,257	0,310	0,347	0,376	0,399

Рис.

Находится изменение удельной энтропии ΔS, кДж/(кг·К), в процессе 1 - 2 по формуле

ΔS=с₁·ln.

В формулу подставляются все числовые значения

ΔS=0,079·ln=0,048.

Для построения процесса 1 - 2 вычисляются расчетные точки по формуле

ΔS=с₁·ln.

Таблица

Т2i, K	,
296,167	0
370	0,017
470	0,036
541,762	0,048

Находится изменение удельной энтропии ΔS, кДж/(кг·К), в процессе 2 - 3 по формуле

ΔS=с_рm·ln.

В формулу подставляются все числовые значения

ΔS=1,003 ·ln=1,102.

Для построения процесса 2 - 3 вычисляются расчетные точки по формуле

ΔS= с_рm·ln.

Таблица

, К,
541,7624	0
600	0,102
700	0,257
800	0,390
900	0,509
1000	0,614
1100	0,710
1200	0,797
1300	0,877
1400	0,952
1625,287	1,102

Находится изменение удельной энтропии ΔS, кДж/(кг·К), в процессе 3 - 4 по формуле

ΔS=с₂·ln.

В формулу подставляются все числовые значения

ΔS=-0,307·ln=0,131.

Для построения процесса 3 - 4 вычисляются расчетные точки по формуле

ΔS=с₂·ln.

Таблица

Т4i, K,
1625,287	0
1400	0,046
1300	0,068
1200	0,093
1100	0,119
1061,854	0,131

Находится изменение удельной энтропии ΔS, кДж/(кг·К), в процессе 4 - 1 по формуле

ΔS=с_рm·ln.

В формулу подставляются все числовые значения

ΔS=1,003·ln=-1,281.

Для построения процесса 4 - 1 вычисляются расчетные точки по формуле

ΔS= с_рm·ln.

Таблица

, К,
1061,854	0
900	-0,166
800	-0,284
700	-0,418
600	-0,572
500	-0,755
400	-0,979
296,1672	-1,281

Для построения процесса 1 - 2 на диаграмме р - V вычисляются расчетные точки по формуле

р₁₌ р_i,

Таблица

, МПа, м3/кг
0,10	0,85
0,15	0,643
0,20	0,527
0,30	0,398
0,40	0,327
0,70	0,222

Для построения процесса 3 - 4 на диаграмме р - V вычисляются расчетные точки по формуле

р₃₌ р_i,

Таблица

, МПа, м3/кг
0,70	0,666
0,60	0,752
0,50	0,867
0,40	1,032
0,30	1,292
0,20	1,773
0,10	3,047

Задача 5

Сравнить термический КПД пароэнергетической установки, работающей на сухом насыщенном паре, перегретом паре и при введении промежуточного перегрева пара, если давление пара перед турбиной р_н, температура перегретого пара t₁, давление промежуточного перегретого пара р_пр, температура - t_пр, давление в конденсаторе для всех случаев р_к. Представить циклы в диаграммах р - υ, Т - S и h - S. Определить температуру и степень сухости отработавшего пара, поступившего в конденсатор. Оценить эффективность использования предварительного подогрева воды в водяном экономайзере, если температура воды после подогрева на 50ºС ниже температуры насыщения.

Таблица 5

Исходные данные	Численные значения
1. рн, МПа	1,4
2. рпр, МПа	0,5
3. рк, МПа	0,015
4. t1, ºC	300
5. tпр, ºC	280

Определяется термический КПД независимо от схемы ПЭУ по формуле

η_t=,

где l_т - удельная работа совершаемая рабочим телом в турбине;

q₁ - удельная теплота, подведенная в цикле.

Вычисляется удельная работа l_т, кДж/кг, для ПЭУ, работающего на сухом насыщенном паре [4, стр.28]

l_т=,

где =2770, =2083 - соответственно энтальпии в начальной и конечной точках адиабатного расширения, принятые по диаграмме h - S, кДж/кг.

Данные подставляются в формулу

l_т=2770-2083=687.

Вычисляется подведенная теплота q₁, кДж/кг, для ПЭУ, работающего на сухом насыщенном паре [4, стр.28]

где =226,1 - энтальпия жидкости при давлении и температуре конденсации принимается по таблице [1, стр.82].

Данные подставляются в формулу

q₁=2770-226,1=2808,9.

Найдя все необходимые данные вычисляется термический КПД по формуле приведенной выше

η_t==0,244.

Находится термический КПД цикла ПЭУ, работающего на перегретом паре, по формуле [4, стр.29]

η_tп=,

где  - энтальпии начальной и конечной точек адиабатного процесса расширения в турбине определяются по диаграмме h - S, кДж/кг.

Данные подставляются в формулу

η_tп==0,283.

Определяется термический КПД ПЭУ с промежуточным перегревом пара [4, стр.28]

η_tпп=,

где  - удельная работа в процессе адиабатного расширения соответственно в первой Т₁ и второй Т₂ ступенях турбины;

 - удельная теплота, подводимая соответственно к воде в пароводяном коллекторе, на перегрев пара в пароперегревателе ПП1 и

дополнительный перегрев пара в промежуточном пароперегревателе ПП2.

Определяется удельная работа l_т1, кДж/кг, в первой ступени турбины [4, стр.29]

l_т1=h₁ - h₂,

где h₂ - энтальпия пара, определяемая по диаграмме h - S, кДж/кг.

Данные подставляются в формулу

l_т1=3035 -2820=215.

Определяется удельная работа l_т2, кДж/кг, во второй ступени турбины [4, стр.29]

l_т2=h₃ - h_4пп,

где h₃, h_4пп - энтальпии пара, определяемые по диаграмме h - S, кДж/кг.

Данные подставляются в формулу

l_т2=3036 -2400=636.

Вычисляется подведенная теплота q_пвк, кДж/кг, подведенная к воде в пароводяном коллекторе по формуле

q_пвк=.

Данные подставляются в формулу

q_пвк=2770-226,1=2543,9

Вычисляется подведенная теплота q_п1, кДж/кг, подведенная на перегрев пара в пароперегревателе ПП1 по формуле [4, стр.29]

q_п1=.

Данные подставляются в формулу

q_п1=.

Вычисляется подведенная теплота q_п2, кДж/кг, подведенная на дополнительный перегрев пара в пароперегревателе ПП2 по формуле [4, стр.29]

q_п2=.

Данные подставляются в формулу

q_п2=.

Найдя все необходимые данные вычисляется термический КПД ПЭУ с промежуточным перегревом пара

η_tпп==0,281.

Находится термический КПД ПЭУ при наличии водяного экономайзера [4, стр.30]

=,

где  - энтальпия воды на выходе из водяного экономайзера определяется по формуле

=с_рв·,

где с_рв=4,19 - теплоемкость воды, кДж/(кг·К);

=-50ºС - конечная температура подогрева воды,

где =198,28 ºС - температура насыщения (кипения) при давлении р_н.

Данные подставляются в формулу

=198,28-50=148,28.

Данные подставляются в формулу

=4,19·148,28=621,293.

Найдя все необходимые значения, вычисляется КПД

==0,324.

С диаграммы h - S снимаем следующие показатели

х_4пп=0,932 - степень сухости точки 4_пп;

х_4п=0,887 - степень сухости точки 4_п;

х_4н=0,787 - степень сухости точки 4_н;

t_k=55ºC - температура конденсации.

Очевидно, что эффективность пароэнергетической установки при использовании предварительного подогрева воды в водяном экономайзере повышается, по сравнению с простой схемой ПЭУ.

Список литературы

1. Сборник задач по теплотехнике: Учеб. пособие/ Б. А. Колпаков, В. Д. Сисин, А. М. Пичурин, О. Г. Хатеев. - Новосибирск: Новосиб. госуд. акад. водн. транс., 2006. - 157 с.

. Селиверстов В. М., Бажан П. И. Термодинамика, теплопередача и теплообменные аппараты: Учебник для институтов водн. трансп. - М.: Транспорт, 1988. - 287 с.

. Сисин В. Д. Термодинамика и теплопередача. Контрольные задания и методические указания по их выполнению. Новосибирск, НГАВТ, 2001

4. Сисин В. Д.Анализ термодинамических процессов и циклов в тепловых двигателях и установках. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Теплотехника» для студентов специальности 240500 - «Эксплуатация судовых энергетических установок». Новосибирск, НГАВТ.-2005.

Приложение

Схема многоступенчатого компрессора

где К₁, К₂ - соответственно первая и вторая ступени компрессора;

ХП₁ - промежуточный охладитель рабочего тела.

Схема газотурбинной установки

где ПД - пусковой двигатель;

НУ - нагрузочное устройство;

К - компрессор;

Т - турбина;

НТ - насос топливный;

КС - камера сгорания.

Схема пароэнергетической установки

где ПВК - пароводяной коллектор;

ВЭ - водяной экономайзер;

НП - насос питательный;

Кн - конденсатор;

НЦ - насос циркуляционный;

НУ - нагрузочное устройство;

Т₁, Т₂ - первая и вторая ступени турбины;

ПП₁ - пароперегреватель;

ПП₂ - промежуточный пароперегреватель

Схема