Определение основных законов кинематики механических систем, их применение для изогнутой балки с консольным участком, материальной точки, плоского механизма и вращающей системы
Вариант 54
Контрольное задание С-1
Жёсткая изогнутая балка с консольным участком
установлена на двух опорах А и В. Опора А - это неподвижный шарнир; опора В -
стержень ВВ´, прикреплённый
неподвижными шарнирами к балке и к основанию - неподвижной опоре.
На балку действует пара сил с моментом М = 100
Н·м; неравномерно распределённая нагрузка q1
= 15 Н/м; сила F4=
40 Н, приложенная в точке К на конце консоли и сила F2=
20 Н, приложенная в точке Е. ℓ = 0,5 м.
Определить реакции в опорах А и В.
Рис.1 Заданная схема изогнутой балки
Рис.2 Расчётная схема балки
Составим уравнения равновесия:
А
= 0; -
XB·2 + q·1,5 + M - F2·sin30°·0,5 - F2·cos30°·0,5
+ F3·sin60°·0,5 = 0, откуда
XB =[ q·1,5 + M - F2·sin30°·0,5
- F2·cos30°·0,5 + F3·sin60°·0,5]/2 = [15·1,5 + 100 -
20·0,5·0,5 - 20·0,866·0,5 + 30·0,866·0,5]/2 = 60,92 H.
𝝨FY = 0;
YA + F2·sin30°- F3·sin60° = 0, откуда
YA = -
F2·sin30°+ F3·sin60° = - 10,0 + 30,0·0,866
= 15,98 Н.
𝝨FХ
= 0; -
XB - XA + q·1 - F2·cos30° -
F3·cos60° = 0 , откуда
XA = -
XB + q·1 - F2·cos30° - F3·cos60
= -60,92 + 15 - 20·0,866 - 30·0,5 = - 78,24
Н,
реакция направлена в противоположную сторону,
принятую ранее.
Ответ: XA
= 78,24
Н;
YA
= 15,98 Н;
XB
= 60,92
Н.
Контрольное задание К-1
Точка С движется по плоскости хОу. Закон
движения точки С задан двумя уравнениями:
х = f1(t).
y = f2(t),
где х и у выражены в сантиметрах, t
- в секундах.
х = 2sin(
t)
- 3;
у = 8cos(
t)
- 3; (1)
Определить уравнение траектории точки С,
определить скорость, ускорение точки С, а также касательное и нормальное
ускорения и радиус кривизны в точке С траектории для момента времени t1
= 1с и всё изобразить графически.
Решение.
Исключим из системы уравнений время t.
Считая α = t
, получим х = 2sinα
- 3;
sinα = 
;
Воспользуемся формулой cos2α
= 1 -2 sin2α.
тогда
= 9cos2α
= 8[1
-2 ( )2]
- 3 = - 4x2
- 24x - 31, это
уравнение параболы, т.е. y
= - 4x2
- 24x - 31.
Изобразим параболу на чертеже
|
х
|
-1
|
-2
|
-3
|
0
|
1
|
2
|
|
|
|
|
у
|
-11
|
1
|
5
|
-31
|
-59
|
-95
|
|
|
|
Далее определим положение точки С на траектории
в момент времени t1
= 1c.
Для этого в уравнения (1) подставим значение t
= 1с. Получим
х = 2sin(
t)
- 3 = 2·0,5 - 3 = -2;
у = 8cos(
t)
- 3 = 8·0,5 - 3 = 1;
хс = -2; ус = 1; т.е.
С(-2; 1), обозначим т.С на траектории.
Далее определим две составляющие скорости т.С по
осям Х и У:
Vx
= x´ = dx/dt = 
.y
= y´ = dy/dt = - 8
.
При t
= 1с Vx
= 
cм/с;
Vy
=- - 8
= -8
= - 7,25 см/с.
Модуль скорости Vс
= 
(Vx2
+ Vy2)
= (0,912
+ 7,252)
= 7,31
см/с.
Изобразим все три вектора на чертеже.
Из построения видно, что скорость Vс
направлена
по касательной к траектории в данной точке С. По вектору Vс
проведём линию в обе стороны - получим касательную ось τ.
Аналогично определим составляющие ускорения т.
С:
ахс
= V´x
= dVx/dt = - π2/18·(sin
;
аус = V´у
= dVу/dt
= - 
cos
;
При t
= 1с, ахс = - 0,274 см/с2; аус = - 4,38 см/с2.
ас = (
а2хс + а2ус) = (
0,2742 + 4,382) = 4,39 см/с2.
Касательное ускорение определим по формуле
аτ
= (Vx·ax
+ Vy·ay)/V
= [0,91·(- 0,274) +(- 7,25)·(- 4,38)/7,31 = 4,31 см/с2.
Нормальное ускорение
асn
= (a2c
- a2τ)
= (4,392
- 4,312) = 0,833 см/с2.
Радиус кривизны
ρ = V2/an;
ρ
= 7,312/0,83 = 64,38 см;
Контрольное задание K-2
Плоский механизм состоит из четырёх стержней 1,
2, 3, 4 и ползуна В (рис.К-2.5 Методические указания).
ω1
= 4 с-1; ℓ1 = 0,3 м; ℓ2 = 1,2 м; ℓ3
= 1,5 м; ℓ4 = 0,5 м.
Т.к. ω1
= 4 с-1, то вращение ведущего кривошипа 1 происходит против часовой
стрелки.
Найти: VB,
VE, ω3
.
Решение.
Определяем линейную скорость точки А
VA
= ω1
· ℓ1 = 4·0,3 = 1,2 м/с;
Согласно теореме: проекции векторов VA
и VЕ
на прямую АЕ равны и направлены в одну сторону. Поэтому определяем линейную
скорость VЕ
:
VA·cos30° = VE·cos60°,
1,2·0,866 = VE·0,5; VE = 
м/с;
Для определения скорости поршня В необходимо
определить величину и направление скорости точки D,
которая находится на середине АЕ.
Определим мгновенный центр скоростей звена 2. Для
этого проведём два перпендикуляра к известным векторам VA
и VЕ.
ωС2
= VA/0,600 = VD/0,600, откуда VD
= (VA·0,600)/0,600 =
(1,5·0,600)/0,600 =1,2 м/с;
Далее определяем линейную скорость ползуна В.
Для этого также используем теорему о равенстве проекций скоростей.
VВ
= VD·cos60°
= 1,2·0,5 = 0,6 м/с;
Определим мгновенный центр скоростей звена 3.
Для этого проведём два перпендикуляра к известным векторам VD
и VB, которые образуют
две параллельные линии, а значит мгновенный центр скоростей VB
и VD находится в
бесконечности, т.е. ω3
= 0.
Ответ: VВ
= 0,6 м/с;
VE
= 
м/с;
ω3
= 0.
Контрольное задание Д-2
Механическая система состоит из сплошного катка
1, ступенчатого шкива 2 и груза 3, соединённых в единую систему тел с помощью
невесомых нитей, намотанных на ручьи шкива 2.
Из положения равновесия систему выводит сила F.
Определить один из кинематических параметров движения системы, когда система
под действием силы F
передвинулась на расстояние S1
(соответствующую перемещению тела 1).
fтр
= 0,2; R2
= 0,3 м; r2
= 0,2 м.
m1
= 10 кг; m2
= 1,0 кг; m3
= 8,0 кг;
М2
= 0,5 Н·м;
F = f(S) = 30(5 + 4S); S1 = 0,6 м;
Найти ω2.
Решение.
Для решения задачи применим теорему об изменении
кинетической энергии системы.
Т - Т0 = 
ie. (1)
Кинетическая энергия движущейся системы равна
сумме кинетических энергий всех тел этой системы:
Т = Т1 + Т2 + Т3. (2)
Тело 1 движется плоскопараллельно, т.е. его
кинетическая энергия:
Т1 = 
·V2c1
+ 
Jc1·ω21,
где Vc1
- скорость центра 1;
Jc1
- момент инерции катка относительно оси, проходящей через центр масс, т.е. -
т.С1;
ω1
- угловая скорость вращения катка относительно оси, проходящей через т. С1.
Шкив 2 вращается постоянно относительно
неподвижности в центре точки О2, т.е. кинетическая энергия: Т2
= ·J2·ω22,
где J2
- момент инерции шкива относительно оси, проходящей через точку О2;
ω2
- угловая скорость шкива относительно оси, проходящей через точку О2.
Груз 3 движется поступательно, т.е. его
кинетическая энергия: Т3 = m3·V23
Все скорости выражаем через искомую угловую
скорость ω2,
т.е. Vс1
= ω2· R2.
следовательно:
ω2
= Vс1/
R2. ω1
= Vс1/
R2.
Vс3
= ω2· r2
.
Моменты инерции: сплошного цилиндрического катка
: Jc1
= 0,5m1·r21;
шкива с периферийной массой : J2
= m2·
R22. Всё подставляем в
выражение (2):
Т = ·V2c1
+ Jc1·[Vс1/
R2]2
+ ·J2·[(Vc1/
R2)]2
+ m3·[
Vс1(r2/
R2)]2
= 
ω22
·
R22
+ Jc1[(ω2·
R2)/R2]2
+ ·J2·[(
ω2· R2)/R2]2+
m3·[(
ω2· R2)·
(r2/
R2)]2
= [ ·
R22
+ Jc1
+ ·J2
+ m3·
r22
] ·ω22
= [ 
·
0,09 + 0,2
+ ·0,09
+ 8·
0,04 ] ·ω22
= 0,755 ω22
.
Далее определим сумму работ всех действующих
внешних сил на соответствующих перемещениях тел системы.
Реакции N1,
N2,
N3
, а также m1·g,
m2·g,
mg·cos30°
на направлениях перемещений имеют проекции равные нулю, поэтому работ не
совершают.
Fтр,1
- приложенная в точке касания катка 1, не производит работы, т.к. эта точка -
мгновенный центр скоростей и тело 1 катится по плоскости без скольжения, т.е.
без сопротивления.
Положительные работы производят:
) Сила F
на перемещении S1,
т.е. инициирующая движение всей системы сила:
А(F)
= 
=
150·S1
+120·S21
= 150·0,6 + 120·0,36 = 133,2 Н·м,
Отрицательные работы производят:
) Сила m3g·sin30°
(скатывающая составляющая G3)
на перемещении S3
даёт отрицательную работу, т.к. направлена против движения системы:
А(G3) = -
m3g·sin30°· S3 = - m3g·sin30°·r2·ϕ2
= - m3g·sin30°·(r2/ R2)·S1 = -
8·10·0,5·
·0,6
= - 16 Н·м.
3) Тормозной момент шкива 2 даёт
отрицательную работу:
А(М2) = - М2·ϕ2
= - М2·(S1/R2)
= - 0,5·(0,6/0,3)
= - 1,0
Н·м.
4) Сила Fтр,3
создаёт отрицательную работу (работу силы сопротивления) на том же перемещении S3:
А(Fтр,3)
= - fтр·
m3· g·cos30°· S3 = - 0,2· 8· 10·0,866· (0,2/ 0,3)·0,6 = -
5,54 Нм.
Окончательно из выражения (1) находим:
,755
ω22
= 110,66, ω2
= 
=
12,1
м/с.
Ответ: Угловая скорость шкива 2 ω2
= 12,1 рад/с.
Контрольное задание Д-3
балка точка ускорение инерция
Вертикальный невесомый вал вращается с
постоянной угловой скоростью ω = 5 1/с.
Вал имеет две опоры: подпятник А и цилиндрический подшипник В. К валу жёстко
прикреплён невесомый стержень 1 длиной ℓ1 = 0,6 м с
сосредоточенной массой m1
= 6 кг на его конце, а также однородный стержень 2 длиной ℓ2 =
0,8 м с массой m2
= 8 кг.
Пренебрегая весом вала и считая b
= 0,3 м, определить реакции опор: подпятника А и шарнира В. α
=
60°,
β = 45°.
Решение.
К вращающей системе (вал, стержни, груз)
применим принцип Даламбера.
Рассмотрим систему тел в плоскости хА (обозначим
оси координат) и приложим (изобразим) все силы, действующие на систему:
Реакции RB;
RAx; RAy.
Внешние силы: G1
= m1·g;
G2
= m2·g;
силы инерции стержня Fu2
и груза Fu1.
Для определения сил инерции стержня и груза
определим ускорения их центров масс точек C1
и С2. Т. к. вращение вала равномерное (ω
= const), то ускорения
равны центростремительным, то есть нормальным составляющим ускорения
аhc1
= ω2·hc1;
аhc2
= ω2·hc2;
H1
= 0,6·cos60° =
0,6·0,5 = 0,3 м;
аhc1
= ω2·hc1
= 52·0,52 = 13,0 м/с2;
hc2
= 0,8·cos45° =
0,8·0,707 = 0,566 м;
аhc2
= ω2·hc2
= 52·0,566 = 14,15 м/с2;
Векторы сил Fu1.
и Fu2
направлены в противоположную сторону направлениям аhc1
и аhc2.
Н2 = 
·0,566
= 0,377 м; H1
= 0,3 м;
Fu1
= m1·
аhc1
= 6·13,0 = 78,0 H.
Fu2
= m2·
аhc2
= 8·14,15 = 116 H.
Для полученной плоской системы сил составим три
уравнения равновесия:
=0; 
=
0; 
=0;
= 0, RAx
- RB + Fu1 + Fu2; (1)
=0, RAу
- G1 - G2; (2)
=0, Rb·0,6
- G1· hc1 - Fu1·(H1 + 0,3) - G2·
hc2 - Fu2·(0,9 + H2) = 0. (3)
Из (2) находим RAу
= G1
+ G2
= (6 + 8)·10 = 140 Н.
Из (3) находим RВ
= [G1·
hc1
+ Fu1·(H1
+ 0,3) + G2·
hc2
+ Fu2·(0,9
+ H2)]/0,6
=
= [60· 0,52 + 78,0·(0,3 + 0,3) + 80· 0,566 +
116·(0,9 + 0,377)]/0,6 = 45,2 H.
RAx
= RB - Fu1
- Fu2
= 45,2 - 78,0 - 116 = -148,8 H,
направлена в противоположную сторону от первоначального.
Ответ: RAx
= 148,8 H. RAу
= 140 Н. RВ
= 45,2 H.