Законы механического движения тел

1. Жесткая рама закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к невесомому стержню с шарнирами на концах.

В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р=25 кН. На раму действует пара сил с моментом М=60 кН∙м и две силы, модули, направления и точки приложения которых указаны.

Определить реакции связей в точках А, В, вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять а=0,5 м.

Дано:

Р=25 кН

М=60 кН∙м

а=0,5 м

 кН

 кН

Найти:

, ,

Решение:

Сила натяжения троса:

 кН

Составим уравнения равновесия:

(1)

(2)

(3)

Из уравнения (3)

 кН

Из уравнения (1):

 кН

Из уравнения (2):

 кН

 

Ответ:

 кН;  кН;  кН

Знак минус показывает, что реакции  и  направлены в стороны, противоположно показанным на рисунке.

2. Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С свободно опираются друг о друга. Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке А жестка заделка; в точке В - шарнир. На конструкцию действуют: пара сил с моментом М=60 кН∙м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q=20 кН/м и еще две силы. Эти силы, их направления и точки приложения указаны.

Определить реакции связей в точке А, В, С, вызванные заданными нагрузками. При окончательных расчетах принять а=0,2 м.

Дано:

М=60 кН∙м

q=20 кН/м

а=0,2 м

 кН

 кН

Найти:

, , , , ,

Решение:

Рассмотрим равновесие стержня BC

Составим уравнения равновесия:

(1)

(2)

(3)

Из уравнения (3):

 кН

Из уравнения (1):

 кН

Из уравнения (2):

 кН

Рассмотрим равновесия уголка AEL (с учетом закона о равенстве действия и противодействия).

Составим уравнения равновесия:

(4)

(5)

(6)

Из уравнения (4):

 кН

Из уравнения (5):

 кН

Из уравнения (6):

 кН∙м

Ответ:

 кН;  кН;  кН∙м;  кН;  

кН;  кН.

Знак минус показывает, что реакции  и  направлены в стороны, противоположно показанным на рисунке.

3. К вершинам прямоугольного параллелепипеда со сторонами , ,  приложена система сил , , , , , которые направлены по стороне, диагонали грани и диагонали параллелепипеда. Направления действия сил указаны. Определить главный вектор и главный момент этой системы относительно начала координат. Выяснить, к какому простейшему виду приводится эта система сил.

 

Дано:

 м

 м

 м

 Н

 Н

 Н

 Н

 Н

Найти:

F, M

Решение:

Т.к.  Н, то рисунок имеет вид:

Главный вектор силы найдем по проекциям:

где

 Н

 Н

Получаем:

 Н

Аналогично вычислим главный момент.

 Н∙м

 Н∙м

 Н∙м

Получаем:

 Н∙м

Вычислим скалярное произведение

Т.к. , то система сил приводится к динамическому винту.

 

Ответ:

 Н;  Н∙м

4. Две прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром, в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем; все стержни прикреплены к плитам и неподвижным опорам шарнирами.

Размеры плит указаны на рисунке; вес большой плиты G₁=5 кН, вес меньшей плиты G₂=3 кН. Каждая из плит расположена параллельно одной из координатных плоскостей.

На плиты действует пара сил с моментом  кН∙м, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения этих сил, их направление и точки приложения указаны.

Определить реакции связей в точках А и В и реакцию стержня. При подсчетах принять  м.

 

Дано:

G₁=5 кН

G₂=3 кН

 кН∙м

 м

F₁=6 кН

F₂=8 кН

Найти:

X_A, Y_A, Z_A, Y_A, Z_A, R_C

Решение:

Составим уравнения равновесия:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Из уравнения (1):

 кН

Из уравнения (4)

 кН

Из уравнения (5):

 кН

Из уравнения (6):

 кН

Из уравнения (2):

 кН

Из уравнения (3):

 кН

 

Ответ:

 кН;  кН;  кН;  кН;  кН;

 кН.

 

. Из однородного плоского листа вырезана фигура, которую можно рассматривать составленной из прямоугольника, треугольник и части (или целого) круга радиусом R=1 м. Общий вид фигуры представлен на рисунке.

Определить координаты центры тяжести плоской фигуры.

 

Дано:

R=1 м

Найти:

X_C, Y_C

Решение:

Разобьем сечение на элементарные фигуры: 1 - прямоугольник, 2 - треугольник, 3 - полукруг.

Площади элементарных фигур:

 м²

 м²

 м²

Координаты центров тяжести элементарных фигур:

 м

 м

 м

 м

 м

 м

Координаты центра тяжести сечения:

 м

 м

 

Ответ:

 м;  м

6. а) Точка движется в плоскости Оху. Закон движения точки в координатной форме задан уравнениями:

 

, ,

где х и у выражены в сантиметрах,  - в секундах. Определить и построить в масштабе траекторию точки. Найти скорость и ускорение точки, вычислить их в указанный момент времени . Для этого же момента времени вычислить радиус кривизны траектории. Построить на рисунке в соответствующей точке траектории векторы скорости и ускорения.

нагрузка вектор момент ускорение

Дано:

 см

 см

 с

Найти:

, ,

Решение:

Найдем координаты точки в момент времени  с.

 см

 см

Найдем уравнение траектории точки:

Строим траекторию движения точки

Скорость точки найдем по ее проекциям:

 см/с

 см/с

При  с

 см/с

Скорость точки:

 см/с

Аналогично найдем ускорение точки:

 см/с²

 см/с²

 см/с²

Для нахождения радиуса кривизны траектории, сначала вычислим касательное ускорение:

 см/с²

Нормальное ускорение:

 см/с²

Радиус кривизны траектории:

 см

 

Ответ:

 см/с;  см/с²;  см

б). Точка движется по дуге окружности радиусом  м по закону . Определить ускорение точки в момент времени точки в момент времени  с. Изобразить на рисунке векторы  и  для этого момента времени.

 

Дано:

 м

 с

Решение:

Скорость точки:

При  с

 м/с

Касательное ускорение точки:

При  с

 м/с²

Нормальное ускорение:

 м/с²

Полное ускорение точки:

 м/с²

Строим векторы:

 

Ответ:  м/с²

7. Механизм состоит из ступенчатых колес 1-3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, связанного к концу нити, намотанной на одно из колес. Радиусы колес у ступенчатых блоков:  см,  см,  см,  см,  см,  см. Точки А, В, С находятся на ободах соответствующих колес.

Определить в момент времени  с указанные угловые скорость и ускорение тел, линейные скорости и ускорения точек тел.

 

Дано:

 см

 см

 см

 см

 см

 см

 с

 см

Найти:

, , , ,

Решение:

Скорость рейки:

При  с

 см/с

Угловая скорость колеса 3:

 1/с

Скорость точки С:

 см/с

Угловая скорость колеса 2:

 1/с

Скорость точки В:

 см/с

Угловая скорость колеса 1:

 1/с

Ускорение рейки:

 см/с²

(Знак минус показывает, что ускорение направлено в противоположную сторону от скорости).

Угловое ускорение колеса 3:

 1/с²

Угловое ускорение колеса 2:

 1/с²

Касательное ускорение точки В:

 см/с²

Нормальное ускорение точки В:

 см/с²

Полное ускорение точки В:

 см/с²

Угловое ускорение колеса 2:

 1/с²

Касательное ускорение точки А:

 см/с²

Нормальное ускорение точки А:

 см/с²

Полное ускорение точки А:

 см/с²

 

Ответ:

 см/с;  см/с;  1/с²;  см/с²;  см/с²

8. Плоский механизм состоит из 4 стержней (1 - OA, 2 - AB, 3 - CD, 4 - BE) и ползуна D, соединенных цилиндрическими шарнирами. В точке О стержень ОА крепится к стойке, ползун D ограничен направляющими, направление которых по отношению к стержню CD определяется углом j, отсчитываемым против хода часовой стрелки от стержня CD, AC=CB. Положение механизма определяется углами a, b, g, q, j, откладываемыми против хода часовой стрелки. Длины стержней:  м,  м,  м,  м. Угловая скорость стержня 1 постоянная.

Определить указанные величины.

Дано:

 м

 м

 м

AC=CB

 рад/с

Найти:

, , , ,

Решение:

Чтобы найти скорость точки В, найдем скорость точки А:

 м/с

Т.к. точки А и В принадлежат одному стержню, то

 м/с

Найдем угловую скорость звена АВ. Для этого строим мгновенный центр скоростей О₂. Треугольник О₂АВ - равнобедренный (О₂А=О₂В).

 рад/с

Скорость точки С:

 м

 м/с

Скорость точки D:

 м/с

Для нахождения угловой скорости звена СD, строим мгновенный центр скоростей О₃.

 м

 рад/с

Чтобы найти ускорение точки В, составим уравнение ускорений:

Т.к. , то

 м/с²

 м/с²

 м/с²

Спроецируем уравнение ускорений на прямую параллельную АВ:

 м/с²

Полное ускорение точки В:

 м/с²

Спроецируем уравнение на ось, перпендикулярную прямой АВ:

 м/с²

Угловое ускорение звена АВ:

 рад/с²

 

Ответ:

 м/с;  м/с;  рад/с;  м/с²;  

рад/с²

9. Круглая пластина радиусом R=60 см вращается вокруг неподвижной оси по закону .

По окружности радиуса R движется тока М; закон ее относительного движения . Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени  с.

Дано:

R=60 см

 с

Найти:

,

Решение:

Найдем положение точки М в момент времени  с:

 рад

Получаем, что треугольник ОСМ - равносторонний треугольник

Абсолютная скорость точки М:

Относительная скорость:

При  с

 см/с

Угловая скорость пластины:

При  с

 рад/с

Переносная скорость:

 см/с

 см/с

 см/с

 см/с

Абсолютное ускорение точки М равно:

где в свою очередь

Относительные ускорения:

При  с

 см/с²

 см/с²

Переносные ускорения:

 рад/с²

 см/с²

 см/с²

Кориолисово ускорение:

,

где  - угол между вектором  и осью вращения. В данном случае

 см/с²

Полное абсолютное ускорение найдем по проекциям:

 см/с²

 см/с²

Полное абсолютное ускорение точки М:

 см/с²

 

Ответ:

 см/с

 см/с²