Моделирование на микроуровне: математическая модель колебания круглой мембраны

Содержание

Введение

1. Исходные данные

2. Постановка краевой задачи

3. Расчёт выходной распределенной величины

4. Расчёт интегральной передаточной функции

5. Построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики

Заключение

Список используемых источников

Введение

Существуют среды, которые не могут быть математически описаны в пространстве сосредоточенных параметров (например, электромагнитное поле, электростатическое поле, течение потока, температура и т.д.).

Системой с распределенными параметрами (СРП) называется система, в которой практически все сигналы (в первую очередь - входной и выходной) являются функциями пространственных координат и времени.

Математически СРП описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Также для этого вводятся функции Грина, континуальная и интегральная передаточные функции.

Система с сосредоточенными параметрами (ССП) является частным случаем СРП и вводится для упрощения и решения задач на первом этапе. В большинстве случаев такого упрощения оказывается достаточно для получения адекватных результатов, но в ряде задач распределение параметров в пространстве оказывает существенное воздействие на результаты. В этом случае применяется аппарат теории СРП.

Целью данной работы является моделирование на микро и макроуровне. При моделировании на микроуровне необходимо построить математическую модель колебания круглой мембраны. На макроуровне исследуется гидравлическая система. При разработке и исследовании модели макроуровня необходимо выполнить: синтез моделей в графической и матричный формах, в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнениях, а также анализ полученной математической модели в статическом и динамическом режиме.

1. Исходные данные

1) Уравнение колебания мембраны:

) Начальные условия:

) Граничные условия:

; ; a > 0

) Стандартизирующая функция:

) Функция Грина:

 - положительные корни уравнения

) Континуальная передаточная функция:

2. Постановка краевой задачи

Уравнение (1) представляет собой одномерное уравнение гиперболического типа, имеющую вторую производную по времени t. Данная мембрана имеет радиус R=2 метра и толщину 0,001 метра. Материал мембраны - резина, модуль Юнга E=0.7 кг/мм², поверхностная плотность ρ=1,8 кг/м². Проведём идентификацию всех величин входящих в уравнение (1). В момент времени t=0 к поверхности мембраны приложена равномерно распределенная гармоническая сила плотностью .

Дифференциальное уравнение имеет вид:

Где Q (r,t) - выходная распределённая величина, представляющая собой ортогональную деформацию мембраны, м;(r,t) - входное распределённое воздействие на мембраны, м/c^2,граничные условия: ,, , , a > 0.

Для уравнения (1) формулируются следующие условия:

начальные условия:

Стандартизирующая функция, компенсирующая влияние начальных и граничных условий для данной одномерной задачи имеет вид (2).

Функция Грина, являющаяся решением краевой задачи при начальных и граничных условиях и входном воздействии в виде δ-функции имеет вид (3).

Континуальная передаточная функция, являющаяся преобразованием Лапласа функции Грина имеет вид (4).

Для решения краевой задачи примем следующие условия:

входное воздействие:

начальные условия, описывающие положение и скорость мембраны в начальный момент времени:

, ;

Представим на рисунке 1 изображение мембраны в начальный момент времени:

Рисунок 1 - Изображение мембраны в начальный момент времени

Волновая скорость мембраны:

 м/с,

где Т - сила натяжения струны, Н;

р_л - линейная плотность, примем 1,8 кг/м

С учётом входного воздействия, принятых начальных и граничных условий стандартизирующая функция принимает вид:

где

δ^' (t) - импульсная переменная функции.

3. Расчёт выходной распределенной величины

Идентификация исходного уравнения позволяет перейти к расчету распределенной выходной величины, являющейся функцией как пространственной, так и временной координаты и рассчитываемой как пространственно-временная композиция от произведения функции Грина на стандартизирующую функцию:

Выходная величина Q (x,t) находится как сумма двух составляющих:

(x,t) =Q₁ (x,t) + Q₂ (x,t)

гдеQ₁ (x,t) и Q₂ (x,t) - первая и вторая составляющие выходной величины и находятся как:

В данном случае примем радиус мембраны и время соответственно R=2 м и t=1 c. Вычислим интеграл, связывающий выход объекта при заданном начальном состоянии с выходными воздействиями:

Причем

Определим значения  как корни уравнения:

Построим функцию Бесселя

Рисунок 2 - Функция Бесселя.

Представим функцию Грина в виде суммы слагаемых:

В результате получим уравнение выходной функции состояния объекта с распределенными параметрами:

Построим функцию колебания мембраны для t=1с и t=50с:

Рисунок 3. - График выходной величины Q (x,t) при t=1 c

Рисунок 4. - График выходной величины Q (x,y,t) при t=50 c

4. Расчёт интегральной передаточной функции

По заданному дифференциальному уравнению объекта получим выражение для передаточной функции в распределённых параметрах.

Континуальная передаточная функция имеет вид:

Стандартизирующая функция имеет вид:

Преобразование по Лапласу стандартизирующей функции:

Вынесем за скобку входное воздействие, преобразованное по Лапласу:

Рассчитаем интегральную передаточную функцию как пространственную композицию от произведения континуальной функции  

Причем

Следовательно получим:

Примем  и , и получим выражение для частотной передаточной функции:

5. Построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики

Построим ЛАЧХ, аппроксимируем, и запишем выражение передаточной функции через типовые звенья.

Построим ЛАЧХ по выражению:

log ([W_s (ω)])

Рисунок 5 - График логарифмической амплитудно-частотной характеристики

Аппроксимируем полученную ЛАЧХ стандартными типовыми наклонами (+20дб/дек; - 100 дб/дек; +80 дб/дек; - 80 дб/дек; +80 дб/дек; - 60 дб/дек; - 40 дб/дек). Тогда передаточная функция будет иметь вид:

График ЛАЧХ пересекает ось y в точке - 82.178, тогда коэффициент усиления равен:

logk=11.097, следовательно k=3.588

Постоянные времени равны:

₁=0.716; T₂=0.669; T₃=0,457; T₄=0,315;

С помощью аппроксимации передаточная функция запишется в виде:

Заключение

В данной курсовой работе был произведен расчет математической модели на микро и макроуровне. При моделировании на микроуровне был произведен расчет математической модели колебания мембраны. В ходе расчета была произведена идентификация краевой задачи, расчёт выходной распределенной величины, расчёт динамической характеристики, построен график ЛАЧХ и определена передаточная функция по аппроксимированной ЛАЧХ. При моделировании на макроуровне был были построены графические формы математической модели гидравлической системы, произведен расчет ее параметров, рассчитаны узловой метод формирования математической модели, метод Ньютона для анализа статической модели технической системы, метод Эйлера для анализа динамической модели.

моделирование система распределенный параметр

Список используемых источников

1. Анисимов И.В. Основы автоматического управления технологическими процессами химической промышленности. Л., Химия, 1967. 408 с.

. Баранов В.Я. Промышленные приборы и средства автоматизации. Справочник, 1987.

. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М., Наука, 1975. 767 с.

. Жарковский Б.И. Приборы автоматического контроля и регулирования: учебник для ПТУ. - М.: Высшая школа, 1989. - 450 с.

. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. М., Машиностроение, 1978. 735 с.