Финансовая математика
Вариант 10
Инвестируемая сумма 625 у. д. е. позволяет под
25 % годовых получить через 2 месяца X
у. д. е. и затем ещё через 10 месяцев - 700 у. д. е. Найти X.
Решение:
Накопление за год Агод определим по формуле:
где, Р - инвестируемая сумма; i - годовая
ставка; t - период
времени.
Получим Агод = 625(1 + 0,25∙
1) = 781,25.
Тогда Х = 781,25 - 700 = 81,25
Задача 11
Вексель с номинальной стоимостью 100
x + 400 у. д.
е. с процентной ставкой (0,1 у +12) % годовых сроком на Z + 70 дней
продаётся через 40 - z дней после подписания векселя банку
с учётной ставкой (10 - 0,1 у) % годовых. Найти норму прибыли продавца и банка,
если x - номер
варианта, y - пятая
цифра, z - четвёртая
цифра зачётной книжки (х = 10, у = 1, z = 0).
Решение: Найдём фактическую
стоимость векселя по формуле:
Чтобы найти цену продажи, необходимо
дисконтировать фактическую стоимость 
по формуле:
Норма прибыли, находится по формуле:
Где С0 - начальная сумма; 
-
накопленная сумма, 
- время
накопления.
Тогда норма прибыли продавца: 
Норма прибыли банка: 
Задача 21
Проверить выполнение принципа согласованности.
Решение: Накопление капитала
находится по
формуле:
Тогда текущая стоимость за 5 лет:
Проверим принцип согласованности по
формуле:
Допустим, что t0 =0, t1 = 3, t2 = 2, тогда
А(t0, t1) =
e0,05∙5 = 1,1618, A(t1, t2) = e0,05∙2 = 1,1052, A(t0, t2) = e0,05∙5
= 1,2840
1,2840 = 1,1618 ∙ 1,1052
Условие согласованности выполняется.
Задача 31
Дана постоянная сила процента 
в год. Найти
эквивалентные ей годовую учётную ставку и годовые процентные ставки,
конвертируемые раз в день и в квартал.
Решение: Если сила процента
постоянна, то есть 
, то
дисконтирующий множитель находим по формуле:
Отсюда годовая учётная ставка
Годовые процентные ставки
конвертируемые раз в день и в квартал найдём по формулам:
и
Годовая процентная ставка,
конвертируемая раз в день:
Годовая процентная ставка,
конвертируемая раз в квартал:
Задача 41
Мистер А обязуется уплатить мистеру
В 300 у. д. е. через 3 месяца и 500 у. д. е. через 6 месяцев от момента времени
при
фактической процентной ставке 2 % в квартал. Однако мистер А хотел бы составить
такую схему платежей, которая соответствовала бы его регулярным ежеквартальным
доходам, а именно: первый платёж производится немедленно, а остальные два - в
конце каждого квартала. Какой должен быть размер регулярного платежа?
Решение:
Представим данную сделку как поток
наличности:
прибыль
вексель доходность сделка
Найдём текущую стоимость на момент
времени t = 0 для
дискретного потока наличности по формуле:
где 
- дисконтирующий множитель.
Получим:
А(0) = 300 ∙ е 0,02 + 500 ∙
е 0,02 ∙ 2 = 300 ∙ 1,0202 + 500 ∙ 1,0408 = 826,5
Разделим эту сумму на 3 квартала,
получим размер регулярного платежа: 826,5 : 3 = 275,5 у.д.е.
Задача 51
Заданы сделки в виде дискретных
потоков наличности, определённых таблицами:
|
   
|
|
|
|
|
   ,
Решение:
а) Уравнение стоимости для данной сделки имеет
вид:
Или: -5(1 + i) -1 + 3(1 +
i) -3 - 2(1 +
i) -4 + 9(1 +
i) -6 = 0
Упростим данное уравнение, умножив
обе его части на множитель (1 + i)6. Получим: - 5(1 + i)5 + 3(1 + i)3 - 2(1 + i)2 + 9 = 0
б) По правилу 1 вычислим итоговые
суммы:
Таким образом, последовательность 
имеет одну перемену знака (вначале
следуют отрицательные члены, затем положительные), причём  . Сделка
имеет доходность.
в) Для нахождения доходности
воспользуемся методом бисекции или деления отрезка пополам. Введём функцию:
f(i) = -5(1 + i)5 + 3(1 + i)3 - 2(1 + i)2 + 9 = 0
Решение уравнения будем искать при  . Найдём
вначале интервал, на концах которого функция  принимает значение противоположных
знаков. Тогда, как известно, корень  находится внутри найденного
интервала. Такой интервал находится подбором:
f(0,2) = -5 ∙
1,25 + 3 ∙ 1,23 - 2 ∙ 1,22 + 9 = -1,1376 < 0
Следовательно, в качестве исходного
интервала можно взять (0; 0,2). Найдём середину этого интервала i1 = 0,1 и вычислим
значение функции  в этой
точке:
f(0,1) = -5 ∙
1,15 + 3 ∙ 1,13 - 2 ∙ 1,12 + 9 = 2,52045 > 0
Теперь из двух интервалов (0; 0,1) и
(0,1; 0,2) выберем тот, на концах которого функция принимает
значение различных знаков. Этот интервал (0,1; 0,2). Повторяя этот процесс,
выберем середину последнего интервала  и найдём  .
Аналогично, новый интервал, будет (0,15; 0,2). Возьмём его середину  . Тогда  и новый
интервал будет (0,15; 0,175). Его середина  . Далее,  , новый
интервал (0,1625; 0,175). Решим теперь вопрос о точности вычисления и, тем
самым, о прекращении указанного процесса. На концах интервала (0,1625; 0,175)
функция принимает
значения разных знаков, следовательно,  . Кроме того, длина данного
интервала равна 0,0125. Поэтому, если в качестве приближённого значения взять
середину интервала, то погрешность будет меньше половины, то есть меньше 0,006
и, следовательно, меньше заданной точности  . Итак,
Доходность сделки равна 17 %.
Список литературы
1. Бадюков В. Ф. Финансовая
математика: учебное пособие / В. Ф. Бадюков, С. Ю. Серкин. - Хабаровск: ХГАЭП,
2009.
2. Кузнецов Б. Т. Финансовая
математика: учебное пособие для вузов / Б. Т. Кузнецов. - М.: ЭКЗАМЕН, 2005.
. Лукашин Ю. Ф. Финансовая
математика: учебное пособие / Ю. Ф. Лукашин. - М.: ЭКЗАМЕН, 2004.
Похожие работы на - Финансовая математика
|